地球半径巧测量
（2006年06月02日10:53:02）
来源：《牛顿科学世界》
两千多年前，哲学家们找到了测量地球半径的方法，只需量一下影子的长度就可以计算出地球的半径。
不知读者朋友们能否在一间邻海的房子里只借助一只表和一把皮尺测量地球半径呢？
假如你正在海边度假，住在一家临海旅馆四层的一个房间里，房间视野很开阔。
有一个人悬赏说，明天天亮以前，谁要能想出一个相当准确的方法来测量地球半径，将获得一笔奖金，条件是除了借助一只表和一把皮尺外，不能使用特别的仪器。
你能做到吗？
先别急着往下看，也不要看图，你先仔细想一想。
你就想像你在旅馆里，房间的位置如上所述，免得你走弯路。
答案
你可以测一下房间的窗台离地面有多高，当然也可以问旅馆老板：我们假设为10米。
黄昏时分，你趴在旅馆前的海滩上，请你的朋友坐在你房间里把下巴倚在窗台上。
为了不使问题过于复杂化，我们可以这样设想，趴着时你的眼睛处在地平面上。
当太阳的上边或者说最后一个亮点消失在海平面上时，你按下秒表开始记时。
此时，从你朋友那里看，太阳还有一点仍处在海平面上，当太阳消失的一瞬间，
让你的朋友喊声“停！”，你就让秒表停下。
你可能会觉得奇怪，不过这中间确实要经过24秒多（准确的结果应该是24.366秒）。
现在，你需要一点三角函数知识来推导出地球半径。
如图1所示。
对于趴在海滩上的人来说，太阳的上边没入海平面时，太阳发出的光线与地球相切于他趴着的地方，如图上线段AB所示。
处于高处的人看到太阳落山时的最后一缕光线，与地球相切的那条线是线段CE。
设高处的观察者所在的高度为h，地球的半径为R。
三角形ODE是直角三角形。
根据余弦定理，直边OD=R与斜边OE=R+h的关系式为R=（R+h）cosθ，其中cosθ是θ角的余弦。
另外，我们知道，地球转过这个θ角需要24.366秒（如果不出偏差）；因为转一周要用24小时，这样可以得出：θ/360=24.366/（24×3600），结果θ=0.101525º。
用一个小计算器可以算出θ的余弦等于0.99999843；代入上面的三角公式，其中h=10米，这样得出R≈6370公里，正好是地球半径。
不用三角函数知识，也可以计算出同样的结果，只不过需要比较复杂的几何推理。
站直了和趴下
当然，事情不可能像描述得那么理想，会有各种误差。
比如，你的眼睛不可能恰好处在地面上，而且你找的人头脑反应快慢的问题等等，这样得到的数据可能会有5%左右的偏差。
如果你的房间在11层，或者最好你的朋友在海边一个巨大的峭壁上，而你在峭壁的底部，通过手机接收他发出的停止指令，这样偏差就会小些。
在意大利的拉
齐奥（Lazio）就有一个好去处：在海边有一座高600米的山，从高处到水平面大约有3分钟的延迟，偏差几乎为零。
如果没有人帮忙，你可以自己试一下，沿着台阶跑上去，但愿时间来得及。
你还可以通过测量你趴在地上和站直身体时看到太阳落山的时间间隔进行计算。
既然上面用到的几何关系式表明间隔与两个观察点的高度差成正比，那么如果你站直身体时眼睛的高度为1.70米，时间间隔就应该是10秒，不同的是高度差太小，时间太短而已（图2）。
令人感到意外的是，虽然古人知道地球是圆的，而且早在公元前，毕达哥拉斯和亚里士多德就明确地指出了这一点，但据我们所知，古人从来没有用过这么简单的方法来估算地球的半径。
这其中的原因也许是那个时代人们很难准确地测量时间。
井中的太阳
公元前3世纪，他看到太阳光直射入一口井里，并计算骆驼的脚程，最终埃拉托斯特尼测量出地球半径
历史上第一个做此种尝试的是希腊天文学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes，公元前280～前190年），他的试验比较复杂。
埃拉托斯特尼认为，在赛伊尼（Syene），即位于今天的亚历山大以南的阿斯旺（Assuan），在夏至日的正午，太阳差不多经过天顶：他知道窄窄的井底被照亮。
而在亚历山大，情况就不一样了，影子不可能消失，即太阳总是斜射的。
他观察了日晷指针（或一根竿子）的影子，而且他还知道太阳射到地球上的光线是平行的，通过计算影子和指针的长
度关系，他得出结论：正午时分，在亚历山大，太阳光会与地面的垂直线有一个7.2º的夹角，相当于地球圆周角的1/50（图3）。
如图所示，因为这个角度与赛伊尼和亚历山大之间的经线弧度相等，于是只需确定这段距离的长度，再乘以50即可。
然而在当时，测量这两地之间的距离也非易事。
根据一个驼队走完这段距离平均所花的时间，埃拉托斯特尼得出这段弧长为5000斯塔迪亚（1斯塔迪亚约为178米），那么经圈的周长为5000×50=250000斯塔迪亚，得出半径长为7080公里，大约多出10%。
不过，能根据骆驼的脚程计算出这样一个数来已经不错了。
公元前1世纪，希腊哲学家波塞多尼奥斯（Poseidonius）做了进一步努力：这是第一次利用天文方法进行测量，得出的值比埃拉托斯特尼的数值略低。
波塞多尼奥斯利用的是洛迪（Rodi）和亚历山大之间的经线，他根据船航行两地用的平均时间，并且根据老人星（Canopus）在同一时刻处在两座城市上的不同位置确定中心角。
事实上，这颗星在洛迪处在地平线上时，它的光线则以7.5º的斜角照到亚历山大。
在事隔900年后，阿拉伯人开始尝试再一次测量地球半径。
他们也是在天文观测的基础进行的，不过任务更艰巨。
他们在地上，准确地说就在巴格达附近的平原上，选取了两个参照点竖起木竿。
他们得到的结果更加精确，只有3.6%的误差。
阿基米诺怎麽测量地球的半径的方法
提问者：jsy5211 - 一级最佳答案公元前三世纪时希腊天文学家厄拉多塞内斯（Eratosthenes，公元前276—194）首次测出了地球的半径。
他发现夏至这一天，当太阳直射到赛伊城（今埃及阿斯旺城）的水井S时，在亚历山大城的一点A的天顶与太阳的夹角为7.2°（天顶就是铅垂线向上无限延长与天空“天球”相交的一点）。
他认为这两地在同一条子午线上，从而这两地间的弧所对的圆心角SOA就是7.2°（如图1）。
又知商队旅行时测得A、S间的距离约为5000古希腊里，他按照弧长与圆心角的关系，算出了地球的半径约为4000古希腊里。
一般认为1古希腊里约为158.5米，那么他测得地球的半径约为6340公里。
其原理为：
设圆周长为C，半径为R，两地间的的弧长为L，对应的圆心角为n°。
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对弧长是，即。
于是半径为的R的圆中，n°的圆心角所对的弧长L为：
当L=5000古希腊里，n=7.2时，
厄拉多塞内斯这种测地球的方法常称为弧度测量法。
用这种方法测量时，只要测出两地间的弧长和圆心角，就可求出地球的半径了。
近代测量地球的半径，还用弧度测量的方法，只是在求相距很远的两地间的距离时，采用了布设三角网的方法。
比如求M、N两地的距离时，可以像图2那样布设三角点，用经纬仪测量出△AMB，△ABC，△BCD，△CDE，△EDN的各个内角的度数，再量出M点附近的那条基线MA的长，最后即可算出MN的长度了。
通过这些三角形，怎样算出MN的长度呢？这里要用到三角形的一个很重要的定理——正弦定理。
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
就是说，在△ABC中，有。
在图2中，由于各三角形的内角已测出，AM的长也量出，由正弦定理即可分别算出：
∴MN=MB+BD+DN。
如果M、N两地在同一条子午线上，用天文方法测出各地的纬度后，即可算出子午线1°的长度。
法国的皮卡尔（Pi－card．J．1620—1682）于1669—1671年率领他的测量队首次测出了巴黎和亚眠之间的子午
线的长，求得子午线1°的长约为111.28公里，这样他推算出地球的半径约为6376公里。
另外，布设三角网有多种方法，要根据实际情况，布设的网点越少越好。
地球平均半径
6371.004千米
地球赤道半径
6378.140千米
地球极地半径
6356.755千米
地球平均密度
5.518×103千克·米-3
地球质量
5.974×1024千克
地球体积
1.083×1012立方千米
地球表面积
5.11×108平方千米
地球陆地面积
1.49×108平方千米（约为地球表面积的29%）地球海洋面积
3.62×108平方千米（约为地球表面积的71%）地球南北纬30°之间表面积
2.555×108平方千米（约1/2地球表。
