平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的(1)

曲率半径的两种求解方法作者：汪邦家孙丽来源：《中学物理·高中》2014年第07期高中物理教材中出现了曲率半径，并且在高考中也出现过求曲率半径的试题.那什么是曲线的曲率半径呢？曲率半径如何求解？很多学生都发出这样的疑问.本文将讨论曲率半径的概念及求曲率半径的两种求解方法.1平面曲线的曲率半径工程技术中用曲率来描述曲线的弯曲程度.如图1所示，设曲线C是光滑的(曲线上每一处都有切线，且切线随切点的移动而连续转动).在曲线C上选定一端点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为a,曲线上另外一点M′对应于弧s+Δs，在点M′处切线的倾角为a+Δa，那么，弧段MM′的长度为|Δs|，当动点从M移动到M′时切线转过的角度为|Δa|.用比值|Δa||Δs|来表达弧段MM′的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段MM′的平均曲率，并记作=|ΔaΔs|，当Δs→0时，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K,K=|dads|，把ρ=1K=|dsda|称为曲线C在点M的曲率半径.设曲线的直角坐标方程为y=f(x)，则ρ=1K=(1+y′2)3/2|y″|.设曲线的参数方程为x=φ(t)，，则ρ=1K=［］-1.1抛物线上的曲率半径例1(2011年安徽高考题)现将一物体与水平面成a角的方向以速度v0抛出，如图2所示.则在轨迹最高点P处的曲率半径是多少？方法1数学公式法解斜抛运动参数方程x=φ(t)=v0cosa•t,-12gt2,可得φ′(t)=v0cosa,φ″(t)=0(1)--g(2)把(1)、(2)两式代入ρ=1K=［］-得ρ=［v20cos2a+(v0sina-gt)2］3/2v0gcosa(3)运动到轨迹最高点历时t=v0sinag(4)把(4)代入(3)，得ρ=v20cos2ag.方法2物理方法一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.而曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把把它看作是某个圆的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径，如图3.这样在分析质点经过曲线上某点的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了.如图3中，当质点运动到A点对应的曲率半径为ρ，速度为vA,向心加速度为an，由向心加速度公式可得an=v2Aρ.解物体在在其轨迹的最高点P处只有水平速度，其水平速度为v0cosa，最高点法向加速度an=g=v0cosa)2ρ，所以曲率半径ρ=v20cos2ag.例2将一小球以v0=10 m/s的初速度从楼顶水平抛出，小球下落t=3 s时位于轨迹曲线上的P点，求曲线在P位置的曲率半径和此时小球的法向加速度.方法1数学公式法平抛运动参数方程x=φ(t)=v0t,得φ′(t)=v0,φ″(t)=0(1)把(1)、(2)两式代入ρ=［］-得ρ=(v20+g2t2)3/2v0g(3)把v0=10 m/s，t=3 s代入(3)式，得ρ=80 m.此时小球瞬时速度v=v20+(gt)2=20 m/s,所以an=v2ρ=5 m/s2.方法2物理方法如图4所示，下落3 s时，竖直速度vy=gt=103 m/s.此时瞬时速度v=v20+(gt)2=20 m/s，设其方向与水平方向夹角为θ,则tanθ=vyv0=3,得θ=60°.把重力加速度g沿该点法向和切向分解，法向分加速度an=gcos60°=5 m/s2.由an=v2ρ得ρ=v2an=2025 m=80 m.1.2椭圆上的曲率半径例3质点沿轨道方程为x2a2+y2b2=1的椭圆从A点开始做逆时针运动，如图5所示.求A、B两点的曲率半径.方法1数学公式法解椭圆的参数方程为x=φ(θ)=acosθ,可得φ′(θ)=-asinθ,φ″(θ)=-acosθ(1)-bsinθ(2)把(1)、(2)两式代入ρ=［］-得ρ=［a2sin2θ+b2cos2θ］3/2ab(3)A点θ=0,代入(3)式得ρA=b2a(4)B点θ=90°,代入(3)式得ρB=a2b(5)方法2物理方法解如图6所示，半径为b的圆柱面被两平面相截，其中一个平面与圆柱面轴线垂直，第二个平面与第一个平面交角为θ，且满足cosθ=ba.两平面的交线与圆柱面相切，如图所示.由图5可知，第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b的圆，第二个平面与圆柱面的交线是一半长轴为b，半短轴为a的椭圆.如图6所示建立直角坐标系，坐标原点在圆心O处，y轴过两个平面交线与圆柱面的切点C.x轴与圆的交点A、y轴与圆的另一个交点B，沿z轴方向在第二个平面上的射影正好是椭圆上的A′、B′.设一质点在半径为b的圆周上做速率为v的匀速圆周运动，则此质点沿z轴方向在第二个平面上的运动将沿椭圆轨道运动.这个射影的运动就是此处选择的运动，在此运动下求椭圆轨道点A′、点B′的曲率半径易知，A点的速度v，法向加速度v2b.A点的射影A′的速度和法向加速度分别为vA′=vcosθ=abv,(aA′)n=(aA)n=v2b.由这两式得A′处的椭圆曲率半径ρA′=v2A′(aA′)n=a2b.同理，由点B的速度v和法向加速度v2b，得B点的射影B′点的速度和法向加速度vB′=v,(aB′)n=(aB)ncosθ=av2b2,由这两式得B′处的椭圆曲率半径ρB′=v2B′(aB′)n=b2a.2立体曲线的曲率半径螺旋线的曲率半径例5已知等距螺旋线在垂直z轴方向的截面圆半径为R，螺距为h，如图7所示.一质点沿此螺旋线做匀速率运动,在垂直z轴方向的投影转过一周所用的时间为T.求该质点在做等距螺旋线运动时螺旋轨迹的曲率半径.方法1数学公式法此题属于立体曲线的曲率半径求解问题，上面给出的平面曲线的曲率半径求解公式在此已经不适用.对于一个以参数化形式给出的空间曲线x=φ(t)，，z=ψ(t).其曲率半径计算公式为ρ=(x′2+y′2+z′2)3/2(z″y′-y″z′)2+(x″z′-z″x′)2+(y″x′-x″y′)2.解设此质点沿z轴方向的速率为v∥，螺旋线运动方程为x=φ(θ)=Rcosθ,z=ψ(θ)=v∥θ2πT,得x′=φ′(θ)=-Rsinθ,x″=φ″(θ)=-Rcosθ(1)-Rsinθ(2)z′=ψ′(θ)=v∥t2π,z″=ψ″(θ)=0(3)把(1)、(2)、(3)式代入ρ=［x′2+y′2+z′2］3/2(z″y′-y″z′)2+(x″z′-z″x′)2+(y″x′-x″y′)2,得ρ=4π2R2+v2∥T24π2R(4)质点沿z轴方向做匀速直线运动，v∥T=h(5)把(5)式代入(4)式得ρ=4π2R2+h24π2R.方法2物理方法解质点在垂直轴方向做匀速圆周运动的分速度为v⊥=2πRT(1)沿z轴方向匀速直线运动速度为v∥=hT(2)设质点沿螺旋线运动速度v，则v2=v2⊥+v2∥(3)把(1)、(2)代入(3)得v2=4π2R2+h2T2(4)质点运动的加速度a=ΔvΔt=Δ(v⊥+v∥)Δt=Δv⊥Δt=0,这里Δv∥Δt=0，可知加速度与质点做半径为R的圆周运动的加速度相同，即a=an=(2πT)2R=4π2RT2(5)把(4)、(5)代入ρ=v2a得ρ=4π2R2+h24π2R.从数学和物理两种角度出发都可以求解曲率半径，充分体现了数学工具在处理物理问题中的重要地位，体现了数学和物理在处理同一问题时的和谐统一美.。

（完整版）机械原理笔记第⼀章平⾯机构的结构分析1.1 研究机构的⽬的⽬的：1、探讨机构运动的可能性及具有确定运动的条件2、对机构进⾏运动分析和动⼒分析3、正确绘制机构运动简图1.2 运动副、运动链和机构1、运动副：两构件直接接触形成的可动联接（参与接触⽽构成运动副的点、线、⾯称为运动副元素）低副：⾯接触的运动副（转动副、移动副），⾼副：点接触或线接触的运动副注：低副具有两个约束，⾼副具有⼀个约束2、⾃由度：构件具有的独⽴运动的数⽬（或确定构件位置的独⽴参变量的数⽬）3、运动链：两个以上的构件以运动副联接⽽成的系统。

其中闭链：每个构件⾄少包含两个运动副元素，因⽽够成封闭系统；开链：有的构件只包含⼀个运动副元素。

4、机构：若运动链中出现机架的构件。

机构包括原动件、从动件、机架。

1.3 平⾯机构运动简图1、机构运动简图：⽤简单的线条和规定的符号来代表构件和运动副并按⼀定的⽐例表⽰各运动副的相对位置。

机构⽰意图：不按精确⽐例绘制。

2、绘图步骤：判断运动副类型，确定位置；合理选择视图，定⽐例µｌ；绘图（机架、主动件、从动件）1.4 平⾯机构的⾃由度1、机构的⾃由度：机构中各活动构件相对于机架的所能有的独⽴运动的数⽬。

F=3n - 2p L - p H（n指机构中活动构件的数⽬，p L指机构中低副的数⽬，p H指机构中⾼副的数⽬)⾃由度、原动件数⽬与机构运动特性的关系：1）：F≤0时，机构蜕化成刚性桁架，构件间不可能产⽣相对运动2）：F > 0时，原动件数等于F时，机构具有确定的运动; 原动件数⼩于机构⾃由度时，机构运动不确定; 原动件数⼤于机构⾃由度，机构遭到破坏。

2、计算⾃由度时注意的情况1）复合铰链：m个构件汇成的复合铰链包含m-1个转动副（必须是转动副，不能多个构件汇交在⼀起就构成复合铰链，注意滑块和盘类构件齿轮容易漏掉，另外机架也是构件。

2) 局部⾃由度：指某些构件（如滚⼦）所产⽣的不影响整个机构运动的局部运动的⾃由度。

各种坐标法::⽮径::...选取参考系上某确定点 O 为坐标原点，⾃点O 向动点M 作⽮量，称为点 M 相对原点 O 的位置⽮量，简称⽮径。

::运动⽅程::...当动点M 运动时，⽮径随时间⽽变化，并且是时间的单值连续函数，即=(t)。

上式称为以⽮量表⽰的点的运动⽅程。

::轨迹::...动点M 在运动过程中，其⽮径的末端描绘出⼀条连续曲线，称为⽮端曲线。

显然，⽮径的⽮端曲线就是动点M 的运动轨迹，如图所⽰。

::速度::...动点的速度⽮等于它的⽮径对时间的⼀阶导数，即：。

动点的速度⽮沿着⽮径的⽮端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的⽅向⼀致。

::加速度::...点的速度⽮对时间的变化率称为加速度。

动点的加速度⽮等于该点的速度⽮对时间的⼀阶导数，或等于⽮径对时间的⼆阶导数，即：为⽅便起见，记为如在空间任意取⼀点O ，把动点M在连续不同瞬时的速度⽮，…等都平⾏地移到点O ，连接各⽮量的端点M ，，…，就构成了⽮量端点的连续曲线，称为速度⽮端曲线，如下图所⽰。

动点的加速度⽮的⽅向与速度⽮端曲线在相应点M 的切线相平⾏。

::运动⽅程::...取⼀固定的直⾓坐标系Oxyz ，如下图所⽰。

由于原点与直⾓坐标系的原点重合，因此有如下关系式中分别为沿三个定坐标轴的单位⽮量。

由于是时间的单值连续函数，因此x ，y ，z 也是时间的单值连续函数，即：这些⽅程称为以直⾓坐标表⽰的点的运动⽅程。

当点在某⼀平⾯运动时，运动⽅程为：::轨迹::...将运动⽅程中的时间 t 消去，可以得到点的轨迹⽅程。

对于平⾯问题有：f （x ，y ） =0::速度::...有结论：速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的⼀阶导数。

::加速度::...结论：加速度在直⾓坐标轴上的投影等于动点各对应坐标对时间的⼆阶导数。

::例⼀::...已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 中点以铰链相连接，⽽规尺A ，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图所⽰。

d 2
1
O
t+dt t
d t+dt 1 2 t
O


引入了角位置，角位移，角速度，角加速度， 它们与位矢，位移, 速度，加速度一一对应。 线量 角量

d dt,
0
a r r v

t
匀变速率圆周运动中：
（E）若物体的加速度 a 为恒矢量，它一定作匀变
v dv a an at n0 t0 R dt
2
课 堂 练 习 解：
以初速度 v0 20ms 从地面抛出一小球,抛出 方向与水平面成 60 的夹角，则小球落地处 的轨道曲率半径为 m（不计空气 2 阻力，取 g 10ms ）

）

t 含义：反映一段时间内角速度变化快慢。
2 1


t

2 1 t+t
O



B）瞬时角加速度（

定义：
单位： rad / s 2
方向： 的极限方向
d lim t 0 t dt

）


§1-3 平面曲线运动
平面曲线运动: 质点的运动轨迹在同一个平面内的运动， 它可以分解成两个直线运动的叠加。
一. 匀变速直线运动
质点作匀变速直线运动, 其加速度
为恒矢量, a
dv adt
0 t
有
dv a C dt
积分可得
初始条件


v
v0
v v0 at
初始条件
x x0
dx 再由 v dt

１１ 静 瞬 心线 为直 线而动 瞬心 线为 圆 ．
如图 １ 示 ， 所 静瞬心 线 为直线 ， 瞬心线 为 以 Ｒ 为半 径 的圆． 心 Ｐ沿静 瞬心 线 的绝 对运 动 为变 速 直 动 瞬
线 运动 ， 动瞬心 线 的相 对运 动为 变速 圆周运 动 ， 沿 而动 刚体 的牵连 运动则 为动 瞬心 线绕静 瞬心 线所 做 的无 滑动纯 滚动 ． 由理 论力学 知识 不难 看 出 ， 刚体 的角速 度 为 动瞬 心线法 线转 角对 时间 ｔ的导 数 ， 动 即
４００） ５０ ２
摘 要 ： 用相 对运 动原 理说 明 了平 面运 动 刚体 上存 在 着一 个 拐 点 圆 ， 出 了动 、 瞬心 线各 利 给 静 种 不 同接 触 情 况下拐 点 圆和 刚体 上 点轨迹 曲率半 径 与 曲 率 中心 的 确 定方 法 ， 究 了点 轨 迹 曲 研 率 半径 和 曲率 中心 的分 布规律 ， 讨论 了一 个鹤 式起 重机 构设 计 实例．
曲线称 为 静瞬 心线 ， 固连 于 刚体 的动 坐标 系上绘 出的 曲线 称 为 动 瞬心 线． 外界 观 察 ， 连 于刚 体 上 的 在 从 固 动 瞬心 线绕 着 固连 于机 架上 的静 瞬 心线 作无 滑动 的纯 滚 动． 如 ， 例 周转 轮系 中行 星轮 的节 圆绕着 固定 太 阳 轮 节 圆作 纯滚 动． 线针 轮 机构 中摆 线轮 节 圆绕 固定 轮节 圆作 纯滚 动． 摆 双滑 块机 构 的动瞬 心线是 以连 杆为 直 径 的 圆 ， 瞬心线 则是 直 径为其 两 倍 的 内切 圆． 静 反平 行 四边形 机 构连杆 的动瞬 心线 及静 瞬心线 分别 是两
关键 词 ： 面运 动 刚体 ；动 点轨 迹 ；瞬 心线 ； 点 圆 ；曲率半径 ；曲率 中心 ； 式起 重机 平 拐 鹤 中图法 分类 号 ： ＴＨ１ ２ １ 文献标 识码 ：Ａ

x
第一节 三种方法表示点的运动的比较
a r
O z a r O y M z x v y M v 直角坐标法 自然法 x=f1(t) 运 y=f2(t) 动 s = f(t) r = r(t) z=f3(t) 方 r=xi+yj+zk 程 g1(x,y)=0 轨 已知 矢端曲线 g2(x,z)=0 迹 vx = x vy= y 速 v=dr/dt r v =s vz = z = 度 沿轨迹切线 v = vt v= vxi+vy j+vzk a=at+an ax= v x 加 ay= v x =att+ann r 速 a= v = az= v z at= v an=v2/r 度 a=axi+ay j+azk an指向曲率中心 矢量法
第五章 点的运动学
本章将研究点的运动 包括点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度等。 三种方法: (1)矢量法(主要用于理论分析) (2)直角坐标法(主要用于实际应用) (3) 自然法(主要用于实际应用) 还有柱坐标法和球坐标法(略)
第一节 三种方法表示点的运动的比较
a r
O z a r O y M z x v y M v 直角坐标法 x=f1(t) 运 y=f2(t) 动 z=f3(t) 方 r = r(t) r=xi+yj+zk 程 g1(x,y)=0 轨 矢端曲线 g2(x,z)=0 迹 vx = x vy= y 速 v=dr/dt r vz = z = 度 沿轨迹切线 v= vxi+vy j+vzk ax= v x 加 ay= v x r 速 a= v = az= v z 度 a=axi+ay j+azk 矢量法 自然法

Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
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小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支—
—微分几何学.
1. 弧长微分 ds 1 y2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
3
要使 k最大， 必有 (4 5cos2 t )2 最小，
t , 3 此时 k最大，
22
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补充:参数方程曲率公式
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy dx
(t ) (t )
,
d2y dx 2
(t)
(t) (t) 3(t)
(t) .
高等数学上3.7平面曲线的曲率
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
的凹向一侧法线上取点 D 使
CR
T
M (x, y)
DM R 1
o
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心.

话题4：曲率半径问题一、曲率半径的引入在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。

因为在0t ∆→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。

对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。

因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。

亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。

如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。

也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。

可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。

二、曲线上某点曲率半径的定义在向心加速度公式2n v a ρ=中ρ为曲线上该点的曲率半径。

圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。

我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。

曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。

曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。

曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1kρ=。

这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。

二、曲线上某点曲率半径的确定方法1、 从向心加速度n a 的定义式2n v a ρ=出发。

将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2n v a ρ=求出该点的曲率半径ρ。

例1、将1kg 的小球从A 点以10/m s 的初速度水平抛出，设重力加速度210/g m s =，求：(1)在抛出点的曲率半径； (2)抛出后1s 时的曲率半径。

2021年 5月 Journal of Science of Teachers′College and University May 2021文章编号：1007-9831（2021）05-0039-05力学中二维曲线曲率半径的表达式研究邵云（南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171）摘要：介绍了力学中质点二维运动轨迹曲率半径的几种常见的计算公式，证明了它们之间的等价性．利用其中的平面自然坐标系下的公式d d sr j=较简便地推导出平面极坐标系中曲率半径的一般计算公式，据此推导出在通常的极坐标系（以焦点为极点）中圆锥曲线曲率半径的统一表达式，进而推导出在通常的直角坐标系（以中心或顶点为原点）中各圆锥曲线曲率半径的表达式． 关键词：极坐标系；直角坐标系；圆锥曲线；曲率半径中图分类号：O311.1 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2021.05.008Research on the expression of curvature radius oftwo dimensional curve in mechanicsSHAO Yun（School of Electronic Engineering，Nanjing Xiaozhuang College，Nanjing 211171，China）Abstract：Introduces several common formulas for calculating the radius of curvature of two-dimensional trajectory of particle in mechanics，and proves their equivalence．By using the formula of d d sr j=in the plane natural coordinate system，the general formula for calculating the radius of curvature in plane polar coordinate system is derived simply．Based on this formula，the unified expression of curvature radius of conic curves in the usual polar coordinate system（with the focus as the pole）is derived，and then the expression of the radius of curvature of each conic curve in the usual rectangular coordinate system（with the center or vertex as the origin）is derived． Key words：polar coordinate system；rectangular coordinate system；conic curve；radius of curvature1 几种常见的曲率半径计算公式及相互等价关系在直角坐标系中，二维曲线()y y x =的曲率半径通常表示为()3/221y y r ¢+=¢¢（1）其中：d d y y x ¢=；22d d yy x¢¢=．而在自然坐标系下（见图1），质点二维运动轨迹L 的方程可以写成()s s j =，其曲率半径则可表示成[1]12d d sr j=（2）收稿日期：2021-01-12基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划课题（D/2020/01/55）作者简介：邵云（1973-），男，江苏镇江人，讲师，从事理论物理研究．E-mail：*******************其中自然坐标s 定义为：沿自然坐标轴O s ¢正方向从原点O ¢到质点P 的路程（有正负之分）；自然坐标j 则定义为：过P 点的切线与x 轴正方向的夹角（要求随质点运动连续变化）．在微分几何中，三维曲线的曲率半径常常又被表示成[2]17112t 2d d d d s s r --==e r（3）其中：r 是质点的位置矢量；s 即上述自然坐标，t d d s=re 为切向单位矢量．而在力学中，二维曲线的曲率半径既可表示为d /d tr w j ==v v（4） 其中：v 为做二维曲线运动质点的速率；d /d t w j =为质点绕曲率圆心做瞬间小圆弧运动的角速率；j 同上，又可表达成[3]673r =´v v a（5）其中：v 和a 分别为质点的瞬时速度矢量和瞬时加速度矢量．式（1）~（5）这5个表达式其实是彼此等价的．下文将从直角坐标系下曲率半径的计算公式（1）导出极坐标系下的计算公式（2）[4]，进而导出式（3）~（5）． 由图1可见d tan d y y xj ¢== （6）将式（6）两边对x 求导得2d sec d y xjj ¢¢= （7） 再将式（6）（7）代入式（1），可得d sec d xr jj= （8） 于是根据几何关系：d sec d s x j =，即得d d sr j=． 只需将式（2）中右边导数的分子和分母同除以d t ，即得式（4）；而将图1中右下角所显示的微分几何关系：t d d j =e 代入式（2），即得式（3）． 在平面自然坐标系下，二维曲线上质点的运动速度可表示为t =v v e （9）则质点的加速度为y第5期 邵云：力学中二维曲线曲率半径的表达式研究 41t t d d d d d d t t t==+e a e vv v （10） 从图1中右下角的微分分析可知t nd d j =e e（11）于是，将d d s r j =、d d st=v 、式（11）一起代入式（10），即得 2t n d d t r=+a e e v v （12）此即通常的力学教材中质点在自然坐标系下的加速度公式．由式（9）（12）可得333t n r r ==´´a e e v v vv ， 这样就从式（2）即d d sr j=证明了式（5）．经验表明，式（5）极为实用． 从以上简单的推证可知，式（1）~（5）确实是等价的．2 极坐标系下曲率半径的一种简便的推理方法由于质点P 的元位移d r 的方向就是质点速度的方向（见图2），因此图2中的j 角就相当于图1中的j 角．在图2的极坐标系中，元位移d r 可表示为d d d r r r q q =+re e （13） 于是可见，j 角可以表示为d arctan arctan d r r rr qj q q æöæö=+=+ç÷ç÷¢èøèø（14） 其中：d d r r q ¢=．将式（14）两边对q 求导并整理，得2222d 2d r rr r r rj q ¢¢¢-+=¢+ （15） 其中：22d d rr q¢¢=．此外，根据式（13）有d d s ==r（16）d d sq= （17） 于是，将式（15）（17）代入式（2），即得()3/22222d d /d d d /d 2r r s s r rr rqr j j q ¢+===¢¢¢-+ （18） 此即在极坐标系下二维曲线曲率半径的一般计算公式[5-6]．与其它的推理方法[6]14-15相比较，这里利用式（2）即d d sr j=来推理式（18）的方法要简便许多． 3 在通常的极坐标系和直角坐标系中圆锥曲线的曲率半径在通常的极坐标系（以焦点为极点）中，圆锥曲线方程可以统一表示成[1]521cos pr e q=+ （19） 其中：p 为半正焦弦长；e 为偏心率．于是有42 高 师 理 科 学 刊 第41卷()22d sin sin d 1cos r pe r e r pe q q q q ¢===+ （20）2222d 2sin cos d r er re r p p qq q æö¢¢==+ç÷èø（21）将式（19）~（21）一起代入式（18），经计算整理后，得 ()3/222212r e pr pr éù-+ëû= （22）此即在通常的极坐标系下圆锥曲线曲率半径的统一表达式．若将圆锥曲线准线的性质：r e x x =-准代入式（22），并利用圆锥曲线诸参量（如a ，b ，c ，e ，p ）之间的关系，即可推得在通常的直角坐标系（以中心或顶点为原点）中诸正圆锥曲线的曲率半径[7]194-196．具体的推理过程如下：（1）在直角坐标系中（见图3），对于椭圆：22221x y a b+=，根据准线知识有2a r e x a ex c æö=-=-ç÷èø（23）其中：椭圆的偏心率为/e c a =．需要说明：r ¹，下同．将式（23）及椭圆的半正焦弦长：()221b p a e a=-=代入式（22），即得()()()()3/223/23/222222223/21/22p a ex p a ex a e x a e x a abpa pr éù--+-êú--ëû===×椭 （24）（2）对于双曲线（见图4）：22221x y a b-=（左支），根据准线知识有()2a r e x a ex c æö=--=-+ç÷èø（25）其中：双曲线的偏心率/1e c a =>，左支的x a £-．将式（25）及双曲线的半正焦弦长()221b p a e a=-=代入式（22），即得()()()()3/223/23/222222223/21/22pa ex p a ex e x a e xa a abp a p r éù+-+êú--ëû===双 （26）易见，该结论同样适用于图4中双曲线的右支（x a ³）．（3）对于抛物线（见图5）：22y px =，根据准线知识有22p pr e x x éùæö=--=+ç÷êúèøëû（27）其中：抛物线的偏心率1e =．将式（27）及1e =代入式（22）（注：该式与抛物线的开口方向无关），则得()3/23/221/2222p p x x p p pr éùæö+ç÷êú+èøëû==抛（28）图3 正椭圆及其准线第5期 邵云：力学中二维曲线曲率半径的表达式研究 434 结语本文介绍了5种常见的曲率半径计算公式（1）~（5），并从式（1）逐步推导出式（2）~（5），显示出它们之间的等价性；利用式（2），即d d sr j=推导出极坐标系下二维曲线曲率半径的一般计算公式（18），即()3/222222r r r rr r r ¢+=¢¢¢-+，该推理方法十分简便，值得推荐；最后，利用式（18）推导出在通常的极坐标系（以焦点为极点）中圆锥曲线曲率半径的统一表达式（22），即()3/222212r e pr pr éù-+ëû=，进而利用它及圆锥曲线的准线性质：r e x x =-准，推导出在通常的直角坐标系（以中心或顶点为原点）中3种正圆锥曲线的曲率半径表达式（24）（26）（28）．虽然式（24）（26）（28）可以从传统的直角坐标计算公式（1）直接推得[8]，但是本文却是从式（22）推得．这在提供了一种新的推理思路的同时，也揭示出这些公式之间内在的联系，或更便于相关记忆．另外，从本质上说，本文中出现的质点运动学知识实际上也是微分几何知识[2，6，9]，也可以说属于数学范畴．需要说明的是，本文主要阐述的是曲率半径在3个不同坐标系中的一般计算式（1）（2）（18），和在运动学中的3个计算式（3）~（5），以及圆锥曲线曲率半径的几个具体的表达式（22）（24）（26）（28）．当质点做二维运动的轨迹方程或运动方程已知时，利用这些计算式或表达式便可求出相应的曲率半径，但是方法各异，不一而足[3，7，10]．本文在此不再赘述． 参考文献：[1] 周衍柏．理论力学教程[M]．3版．北京：高等教育出版社，2009：12，52． [2] 彭家贵，陈卿．微分几何[M]．北京：高等教育出版社，2002：15-20．[3] 王化银．一般方法求解曲率半径举隅[J]．物理教师，2014，35（5）：67，69．[4] 同济大学数学系．高等数学：上册[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：169-173． [5] 中国矿业学院数学教研室．数学手册[M]．2版．北京：科学出版社，1980：85．[6] 邵云．简析极坐标系下曲线曲率半径的数学与力学推理方法[J]．大学物理，2020，39（8）：14-17．[7] 李崇虎．用动力学方法求圆锥截线上各点的曲率半径[J]．西南师范大学学报（自然科学版），2006（4）：193-196． [8] 杨胜，梁双凤．圆锥曲线的渐屈线和曲率圆[J]．楚雄师范学院学报，2009，24（6）：29-34． [9] 蔡肖兵．对物理学之几何化发展的哲学思考[J]．哲学研究，2011（3）：86-92．[10]宋辉武，陈钢．用质点匀速率曲线运动的方法求解曲线任意点处的曲率半径[J]．物理教师，2018，39（06）：56-58．。

=0.2m,O1O2=AB=0.6m,AM=0.2m，如O1A按φ=15πt的规律转动， 其中φ以rad计，t以s计。试求t=0.8s时，M点的速度与加速度。
解： 在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。因此，杆AB为 平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时M、A两 点具有相同的速度和加速度。A点作圆周运动，它的运动规律为
rB rA rAB
(7-1)
式（7-3）、（7-4）两式表明，在任何瞬时，A、B两点的速 度相同，加速度也相同。由于A、B是任取的两点，于是可推得如 下的定理： 刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。在同一瞬时， 所有各点具有相同的速度和相同的加速度。
既然平动刚体上各点的运动规律相同，因此只须确定出刚体 内任一点的运动，就确定了整个刚体的运动。由此可知刚体平动 的问题，可归结为点的运动问题。若刚体上任一点的轨迹为直线， 则刚体的运动称为直线平移；若刚体上任一点的轨迹为平面曲线 或空间曲线，则刚体的运动称为平面平移或空间平移，或称为曲 线平移。火车沿直线轨道行驶时，其车厢的运动即是直线平动， 其平行杆的运动就是平面运动。
沿逆时针方向量取为正值，反之为负值。当刚体转 动时，位置角φ随时间t变化，是时间t的单值连续函 数，可表示为
t
（7-5）
这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程φ（t） 已知，则刚体在任一瞬时的位置即可确定。
转角φ实际上是确定转动刚体位置的“角坐标”。
设由瞬时t到瞬时t+Δt，位置角由φ改变到φ+ Δφ ，位置角的增 量Δφ称为角位移。比值Δφ/Δt称为在时间Δt内的平均角速度。当 Δt→0时， Δφ/Δt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，并用字母ω表 示，即
at a sin 40sin 30 m s 20 m s

6.1.3 自然坐标法
例 6-1 已知点 M 的运动方程为 x 2t ， y t2 ，式中 x 和 y 的单位为 m，t 的单位为 s。试求动点的
运动轨迹，以及当 t 1s 时切向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径。 解：由题目中给出的点的运动方程，消去 t 即可得到点的运动轨迹方程为 x2 4 y (x 0 ，y 0)
等于 dv ，其方向与 Δt→0 时 Δv 的极限方向一致。在国际单位制中，加速度的单位是 m/s2。 dt
6.1.2 直角坐标法
1．点的运动方程
如图所示，设动点 M 相对于一参考直角坐标系 Oxyz 运动，点 M 在空间的位置由它的坐标值 x，y，z
x f1(t)
唯一确定。当点运动时，坐标值
6.1.1 矢量法
2．点的速度
位移 Δr 与对应时间间隔 Δt 的比值，表示点在 Δt 内运动的平均快慢和方向，称为点在该时间间
隔内的平均速度，用 v*表示，即 v* r t
平均速度是一个矢量，其大小等于 r ，方向与位移 r 的方向相同。当 Δt→0 时，点 M′趋近于 t
M，而平均速度 v*趋近于一个极限值，此极限值称为动点 M 在瞬时 t 的瞬时速度，简称速度，用 v 表
6.1.2 直角坐标法
2．点的速度
另一方面，以 vx，vy，vz 表示动点速度 v 在直角坐标轴上的投影，则 v 可表示为 v vxi vy j vzk
对比上述两式，有 vx x ，vy y ，vz z
所以，点的速度在直角坐标系中的投影等于动点对应的坐标对时间的一阶导数。
速度 v 的大小和方向可由它的这三个投影完全确定，速度 v 的大小为 v vx2 vy2 vZ2
第六章
点的运动学和刚体基本运动

100mm
1
1 2
vB O1 B AB AB 0.8 rad/s O1 B O1 B
30°
BC杆
2
45°
O2 B O2C 100 mm O2 B 115 .5 mm cos 30 CI O2C O2 B tan 30 157 .7 mm v 160 BC B 1.39 rad/s BI 115 .5 BI
第八章 刚体的平面运动
第一节 平面运动的概念和运动的分解 第二节 平面图形上各点的速度 第三节 平面图形上各点加速度 第四节 运动学综合问题举例
本章重点：
1、平面图形上点的速度计算； 2、平面图形上点的加速度计算。
1
第一节
平面运动的概念和运动的分解
一、平面运动的定义与简化 1、平面运动的定义
刚体运动时，若其上各点到某一固定平面的距离始终保持不
15
二、速度瞬心法 1、瞬心：平面图形上（或延伸部分）瞬时速度为零的点。
/
2、瞬心的确定 取点A为基点，根据速度基点法， AN上任一点M的速度均可按下式计算:
v M v A v MA
令
vM v A AMω
vA
v I v A AI 0
AI

3、平面图形上各点速度的分布 取瞬心I为基点
O1B长为a并以角速度转动，求机构处于图示位置时杆OD的角速度OD。 D
A C 60 O B
O2
O1

31
解：板ABC作平面运动。板的瞬心I。 D I
vC
O2
3 vB a a1 2
vA 1 3 a1 a 2 3
A
vr
O 60

基于平面运动方程，如上图所示： （a）列车在翻越山峰（对应上凸函数）时，台秤的读 数将减小； （b）经过山谷（对应下凸函数）时，台秤的读数将增大。 个案研究（二） ：变轨设计 —— 以曲率（对应二阶导数）连续为原则
y
n n



o
as x 0
x
对上图所示的变轨，可有如下设计方案：
*
按现有认识，我们按“知识点及知识要素”构建知识体系，并决定教学内容及进度。对于各门知识体系，我们先将其归类 成若干“知识点” （knowledge point） ，而每个知识点又由若干“知识要素” （knowledge element）组成。知识点为认识或 处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上述知识集 合的核心内容。以“知识点+知识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 † 我们始终将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法，而非仅是逻辑过程。 第1页 共6页
由典则基的定义：
, n t i , j
可得††：


y x t Байду номын сангаас 2 2 y x y x 1 y t x
1 i , j t , n 2 x 2 y



此处需说明，局部微分同胚 的存在性，由此可有曲线的局部 Monge 表示§，籍此可定义斜率 角。 按 Landau 的局部分析（基于无限小增量公式的分析**） ，推导得：曲率半径计算式
t
x
2
2 y
32

根据 图线 的对 称性 ， 可得余 弦曲线 任 一点 则 的 曲率 半 径 。
５ 利 用匀 速 直 线 运 动 和 一 般 变 速 直 线 运 动 的 合运 动
设 Ａ 点 的 曲率 半径 为 ｐ，Ｉ ２ ￣ｖ ］
一
一
，
；ｇ ｒ ｉ
即 一 ｌ １ ｉ０ ｌ Ｉ ｏ ０ ｎ ＋ ｓ， ｓ ｃ
运 动 的 轨 迹 为 椭 圆
一－ 一 １
当质 点运 动到 Ｐ点 时 ，
口 一
ｄ ’ｂ
～
￣ ＋ 一 ／ ｖ ０ ／ ＋Ａ ｓ ｏ ￣１ ｉ ７ｔ ｎ ３
ｌ Ａｓ ｖ ｔ — ｉ 。 ｎ
ｓ 一
如 图 ６所 示 在椭 圆上 取 一点 Ａ（ ） 物 体 ｘ， ，
摘 要 ： 文 结 合 物 理探 究 式教 学 法 的 概 念 、 理 学科 的 特 点 和 新 课 改 的 要 求 分 析 了探 究 式 教 学 法在 教 学 中 的 局 本 物
限性 ， 并提 出 了一 些 适 合 我 国 目前 开 展 探 究 式 教 学 的 策 略 ， 旨在 为 物 理 学教 学 和 新 一轮 课 改 的 实施提 供 一 定 参 考 。
５ ｉ 一 ／ ｎ ． 、。 ： ： ＝ ，
题 目 求 解 曲线 ．一 的曲率半 径 随 的 ） ，
分布 ｐ ｚ 。 （ ）
Ｊ ‘ ｙ Ａ
，
，
则 一
＋
一一 ａ ｂ
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所 ｌ兰 以一 一 Ｄ
则 ｌ Ｄ一 。
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：
．
７ 利 用匀 变 速 曲线 运 动 与 匀 速 圆周 运 动 的 合
关 键 词 ： 究教 学 法 ； 限性 ； 对 策 略 探 局 应

巧用各种运动求曲率半径作者：侯位锋来源：《物理教学探讨》2011年第07期曲率半径在数学上有严格的意义和表达式，而曲率半径的计算需要用到高等数学的知识。

在中学阶段，我们可巧用各种运动来求曲率半径，具体举例如下。

1 利用平抛运动题目求抛物线y=ax2(a＞0)上，任意一点的曲率半径。

解析可以构建一个初速度为v0的平抛运动，建立抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴的坐标系（如图1所示）。

则x=v0t，y=12gt2。

抛物线的轨迹方程为y=ax2式中a=g2v02。

抛物线上任一点A的速度v=v02+2gy，设A点的曲率半径为ρ，则v2ρ=gcosθ，又因cosθ=v0v，所以ρ=v3gv0，化简此式得到：ρ=12a(1+4a2x2)32。

2 利用匀速率运动题目四质点A、B、C、D在同一平面上运动。

每时刻，A速度总对准B，速度大小为常量u，B速度总对准C，速度大小同为u，C速度总对准D，速度大小同为u，D速度总对准A，速度大小同为u。

某时刻，A、B、C、D恰好逆时针方向按序位于各边长为l的正方形四个顶点上，试求此时A的运动轨道在此位置的曲率半径ρ。

解析经过Δt时间，A、B、C、D位置变化如图2所示。

A的速度变化是Δu，方向与u垂直，Δu=uΔθ，又因uΔt=lΔθ，则A的加速度为a=Δu/Δt=u2/l，方向与u垂直。

又因A做匀速率运动，无切向加速度，a心=a，根据ρ=u2/a心，所以ρ=l。

3 利用匀速直线运动与匀速圆周运动的合运动题目半径为R的轮子在水平直线MN上方纯滚动，轮子边缘上任意点P的运动轨迹不妨称为上滚轮线。

如图3所示，将上滚轮线绕MN向下翻转180°，成为下滚轮线。

下滚轮线可看成R轮子在下方沿直线MN纯滚动时轮子边缘点P的轨迹。

求此轨迹最低点的曲率半径ρ。

解析点P的运动可以看成是水平方向的匀速运动(设速度为v0)，与竖直平面内的匀速圆周运动（角速度为ω）的合运动。

根据纯滚动可知ω=v0R而当P点运动到轨迹最低点时，速度（对地）2v0，向心加速度为a心=v02R又因ρ=（2v0)2a心，ρ=4R。

知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ⋅欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一.1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ⋅达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）.大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间夹角α∆关于弧长s ∆的变化率||lim 0ss ∆∆→∆α引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）.2 该知识点讲解方法2.1讲解方法一：曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义.2.1.1曲率圆1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L,这样就可以用圆周运动的知识来分析这点处的曲线运动.（问题：什么样的圆周曲线在点M 更接近曲线L 呢？）2、试求一个圆周曲线C ： 222()()x y αβρ-+-= （1） 使之满足C 过点))(,(00x f x M ： 22200()()x y αβρ-+-= （2） C 与L 在点M 有相同斜率： )(000x f y y y x x '='== （3）C 与L 在点M 有相同凹性： 0000≠''=''==)(x f y y y x x （4）（1）式两边对x 求二阶导： 0)(2)(2='-+-y y x βα0)(2)(222=''-+'+y y y β（3）（4）式代入上面两式有：0)(])([)(000='-+-x f x f x βα （5） 0)(])([)]([10020=''-+'+x f x f x f β （6）从（6）式解出： )()]([1)(0200x f x f x f '''++=β 将其代入（5）式解出200001[()]()()f x x f x f x α'+'=-'' βα,代入（2）式解出：|)(|])(1[02/320x f x f '''+=ρ. 3、定义： 曲线L 即 )(x f y =上的点)(,(00x f x M 处，在其凹向一侧的法线上取一点),(βαD 为圆心,以)()]([023021x f x f MD '''+==ρ为半径所得到的圆为L 在点M 处的曲率圆,ρ为曲率半径.2.1.2曲率1、曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路弯度大,车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害,于是2、定义：23020)](1[)(1x f x f k '+''==ρ为曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处曲率.2.2讲解方法二：通常与分析曲线弯曲程度与曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间的夹角α∆大小有关,当转角相同时,又与弧段的长短有关,于是曲率由α∆关于s ∆的变化率0lim s sα∆→∆∆来叙述.2.2.1弧微分 （这里只介绍弧微分公式的初等几何解释）设函数()f x 在区间(,)a b 内具有连续导数.基点为00(,)A x y ,(,)M x y 为曲线上任意点,规定：（1） 曲线的正向与x 增大的方向一致； （2） 有向弧段AM 的值表为：s AM =；当AM 的方向与曲线的正向一致时, s 取正号；相反时, s 取负号.设弧MN 是从点(,)M x y 起弧长的改变量s ∆，而x ∆和y ∆是相应的y x 和的改变量，由直角三角形得到：,)()()(222y x MN ∆+∆=由此，,)(1)()(222xy x MN ∆∆+=∆ 当0x ∆→时，假定这条曲线具有连续导数，可用弧长代替,MN 再对0x ∆→时取极限，得到22)d d (1)d d (xy x s +=由此得到弧长微分表达式x y s d 1d 2'+±=或22)d ()d (d y x s +±=如果弧长是朝增加的方向变化的，则s d 取正号，反之取负号.2.2.2曲率及其计算公式1、曲率的定义1、曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量. 设曲线C是光滑的,0M 是基点.Δs ='M M ,'M M →切线转角为α∆.定义：弧段M M '的平均曲率为sK ∆∆=α,曲线C 在点M 处的曲率0lims K sα∆→∆=∆. 在0lims d s dsαα∆→∆=∆存在的条件下,s K d d α=.注 意：（1）直线的曲率处处为零；（2）圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.2、曲率的计算公式 （ⅰ）设()y f x =二阶可导,tan 'y α=,有arctan 'y α=,dx 1d 2y y '+''=α, x y d 1ds 2'+=,232)1(y y k '+''=∴.（ⅱ）设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ,二阶可导,)()(d d t t s y ϕψ''= , )()()()()(d d 322t t t t t x y ϕψϕψϕ''''-'''=， 3222()()()().[()()]t t t t k t t ϕψϕψϕψ''''''-∴=''+2.2.3 曲率圆与曲率半径定义：设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)k k ≠.在点M 处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使1DM kρ==.以D 为圆心,ρ为半径作图（如图）,称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.D —曲率中心, ρ—曲率半径注意：1、线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.即1kρ=,1k ρ=.2、曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小,曲率越大（曲线越弯曲）.3、一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）.2.3 讲解方法三用曲线离开切线的速度刻画曲率；在已知弧长积分表达式的前提下推导曲率计算公式. 2.3.1曲率：曲率是表示曲线方向改变快慢的量.设A 是曲线L 上点,M 是接近A 的点(图1).由A 沿曲线到M 其切线的转角为ϕ,长度s ∆的弧段AM 的平均旋转速度k sϕ=∆.定义曲线L 在点A 处曲率lims k sϕ∆→=∆.例：讨论圆的曲率（图2） 角ϕ所张的弧AM 长度s r ϕ∆=,于是1s rϕ=∆, 所以圆所有点处的曲率都相同，等于半径的倒量.2.3.2曲率公式：平面曲线L 由函数()y f x =给出,具有连续导数，取固定点N 作为计算弧长的起点（图3）,切线倾斜角从点A 到M 的改变量ϕα=∆，s xs x s sk x s s ''=∆∆∆∆=∆∆=∆=→∆→∆→∆||lim limlim00αααϕ， 其中⎰'+=xa x x y s d )(12,y '=αtan ,故y '=arctan α，得21y y '+''='α.最终有232)1(y y k '+''= .2.4讲解方法四：曲线的解析表达式以矢量形式给出,在已有矢函数微分积分知识的前提下给出曲率概念.给定曲线：()r r t =,（t αβ≤≤）,图3 图 2图 1弧长()s t ：⎰'=βαt t r t s d )()(,r s d d =是弧微分.单位切矢：)()(t r t r τ''= ，则n k sτ=d d .n 是曲线的单位法矢.这样s τk d d=是曲率,1R k =是曲率半径, 以n R r +为矢径的点是曲率中心.具体形式，若j t y i t x r )()(+=, 则2322])()([)()()()(t y t x t y t x t y t x k +''''-'''=. 若j y i x r+=, 则232''(1')y k y =+.例题的选择方法：曲率的实际应用,根据专业特点选择为好.3 例题例1 直线的曲率恒为零.解：直线b ax y +=,因0=''y ,故各点处曲率为零,所以直线不弯. 例2 抛物线c bx ax y ++=2上哪点曲率最大？ 解：由于b ax y +='2,a y 2='',故3222[1(2)]a k axb =++,当02=+b ax ,即2bx a=-时,k 取最大值a 2, 故抛物线c bx ax y ++=2在顶点处),(ab ac a b 4422--处曲率最大. 例3 一工件内表面截线为24.0x y =,用砂轮磨削其内表面,半径多大合适？ 解：砂轮半径≤抛物线上各点处曲率半径的最小者,才不会破坏工件内表面,由例2知抛物线在顶点处曲率最大,曲率半径最小.x y 8.0=',8.0=''y ,320.8(0,0)0.8(10)k ==+,25.11==kρ,所以砂轮半径不能大于1.25．4 扩展知识黎曼流形的曲率是微分几何中最重要的几何量之一，曲率和流形的拓扑结构之间的联系是一个十分重要的问题．对于黎曼流形来说,有三种不同层次的曲率,一种是截面曲率,它相应于在每点某一平面方向所相应的曲率.另一种是里奇曲率,它是由截面曲率以适当的形式作和而成.第三种是数量曲率,它是里奇曲率的迹.这三种曲率和流形的拓扑性质之间有很强的相互制约作用,这方面的研究成果非常丰富,而且是微分几何主要研究方向之一．5 参考文献[1] 章栋恩，金元怀．高等数学．北京：中国标准出版社，1998[2] 同济大学应用数学系．高等数学．北京：高等教育出版社，2002[3] A.Д.亚历山大洛夫．数学——它的内容、方法和意义．北京：科学技术出版社，19596 参考教案MC20306.ppt。

运动轨迹曲率半径的计算运动轨迹曲率半径是描述物体运动轨迹弯曲程度的重要参数，它能够帮助我们理解运动物体在空间中的运动状态以及运动轨迹的特征。

本文将详细介绍曲率半径的概念、计算方法以及它在运动学和工程学中的应用。

首先，让我们来了解一下什么是曲率半径。

曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，而曲率半径则是曲线上某一点处曲率的倒数。

曲率半径越小，表示曲线的弯曲程度越大，反之亦然。

曲率半径还可以用来描述曲线的曲率速率，即曲线上各点处曲率变化的快慢。

计算曲率半径需要用到微积分中的导数概念。

对于平面曲线，曲率半径的计算公式为：r = (1 + (dy/dx)²)^(3/2) / (d²y/dx²)。

其中，dy/dx表示曲线在某点处的斜率，而d²y/dx²表示曲线的曲率。

通过求解这个方程，我们可以得到曲线在某点处的曲率半径。

在实际的运动学中，曲率半径可以帮助我们分析物体在运动过程中的加速度和速度变化情况。

当物体在某一点处的曲率半径为正值时，表示物体处于凸向外弯曲的状态，此时物体受到的向心力将使其向曲线的中心靠拢；反之，当曲率半径为负值时，表示物体处于凸向内弯曲的状态，物体将远离曲线的中心。

这些信息对于研究物体的运动规律，以及为工程设计提供参考具有重要的指导意义。

除了在运动学中的应用，曲率半径还在工程学中发挥着重要的作用。

例如，在公路和铁路的设计中，为了确保交通流畅和安全，需要合理设置弯道的曲率半径。

通过计算弯道的曲率半径，可以确定车辆在通过这些弯道时的速度限制和转向半径，从而保证行车的安全性。

此外，曲率半径还广泛应用于机器人技术和航天工程中。

在机器人的路径规划中，通过计算路径上各点处的曲率半径，可以为机器人选择合适的路径，避免出现过于急转弯或过于平直等不适合的情况。

而在航天工程中，曲率半径可以帮助研究人员分析和预测航天器的轨迹变化情况，为航天任务的执行提供指导。

综上所述，曲率半径是描述物体运动轨迹弯曲程度的重要参数，它不仅在运动学中起到重要作用，还被广泛应用于工程学领域。