加速度的大小和运动轨迹的曲率半径运动方程解共25页

曲率半径的两种求解方法作者：汪邦家孙丽来源：《中学物理·高中》2014年第07期高中物理教材中出现了曲率半径，并且在高考中也出现过求曲率半径的试题.那什么是曲线的曲率半径呢？曲率半径如何求解？很多学生都发出这样的疑问.本文将讨论曲率半径的概念及求曲率半径的两种求解方法.1平面曲线的曲率半径工程技术中用曲率来描述曲线的弯曲程度.如图1所示，设曲线C是光滑的(曲线上每一处都有切线，且切线随切点的移动而连续转动).在曲线C上选定一端点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为a,曲线上另外一点M′对应于弧s+Δs，在点M′处切线的倾角为a+Δa，那么，弧段MM′的长度为|Δs|，当动点从M移动到M′时切线转过的角度为|Δa|.用比值|Δa||Δs|来表达弧段MM′的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段MM′的平均曲率，并记作=|ΔaΔs|，当Δs→0时，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K,K=|dads|，把ρ=1K=|dsda|称为曲线C在点M的曲率半径.设曲线的直角坐标方程为y=f(x)，则ρ=1K=(1+y′2)3/2|y″|.设曲线的参数方程为x=φ(t)，，则ρ=1K=［］-1.1抛物线上的曲率半径例1(2011年安徽高考题)现将一物体与水平面成a角的方向以速度v0抛出，如图2所示.则在轨迹最高点P处的曲率半径是多少？方法1数学公式法解斜抛运动参数方程x=φ(t)=v0cosa•t,-12gt2,可得φ′(t)=v0cosa,φ″(t)=0(1)--g(2)把(1)、(2)两式代入ρ=1K=［］-得ρ=［v20cos2a+(v0sina-gt)2］3/2v0gcosa(3)运动到轨迹最高点历时t=v0sinag(4)把(4)代入(3)，得ρ=v20cos2ag.方法2物理方法一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.而曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把把它看作是某个圆的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径，如图3.这样在分析质点经过曲线上某点的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了.如图3中，当质点运动到A点对应的曲率半径为ρ，速度为vA,向心加速度为an，由向心加速度公式可得an=v2Aρ.解物体在在其轨迹的最高点P处只有水平速度，其水平速度为v0cosa，最高点法向加速度an=g=v0cosa)2ρ，所以曲率半径ρ=v20cos2ag.例2将一小球以v0=10 m/s的初速度从楼顶水平抛出，小球下落t=3 s时位于轨迹曲线上的P点，求曲线在P位置的曲率半径和此时小球的法向加速度.方法1数学公式法平抛运动参数方程x=φ(t)=v0t,得φ′(t)=v0,φ″(t)=0(1)把(1)、(2)两式代入ρ=［］-得ρ=(v20+g2t2)3/2v0g(3)把v0=10 m/s，t=3 s代入(3)式，得ρ=80 m.此时小球瞬时速度v=v20+(gt)2=20 m/s,所以an=v2ρ=5 m/s2.方法2物理方法如图4所示，下落3 s时，竖直速度vy=gt=103 m/s.此时瞬时速度v=v20+(gt)2=20 m/s，设其方向与水平方向夹角为θ,则tanθ=vyv0=3,得θ=60°.把重力加速度g沿该点法向和切向分解，法向分加速度an=gcos60°=5 m/s2.由an=v2ρ得ρ=v2an=2025 m=80 m.1.2椭圆上的曲率半径例3质点沿轨道方程为x2a2+y2b2=1的椭圆从A点开始做逆时针运动，如图5所示.求A、B两点的曲率半径.方法1数学公式法解椭圆的参数方程为x=φ(θ)=acosθ,可得φ′(θ)=-asinθ,φ″(θ)=-acosθ(1)-bsinθ(2)把(1)、(2)两式代入ρ=［］-得ρ=［a2sin2θ+b2cos2θ］3/2ab(3)A点θ=0,代入(3)式得ρA=b2a(4)B点θ=90°,代入(3)式得ρB=a2b(5)方法2物理方法解如图6所示，半径为b的圆柱面被两平面相截，其中一个平面与圆柱面轴线垂直，第二个平面与第一个平面交角为θ，且满足cosθ=ba.两平面的交线与圆柱面相切，如图所示.由图5可知，第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b的圆，第二个平面与圆柱面的交线是一半长轴为b，半短轴为a的椭圆.如图6所示建立直角坐标系，坐标原点在圆心O处，y轴过两个平面交线与圆柱面的切点C.x轴与圆的交点A、y轴与圆的另一个交点B，沿z轴方向在第二个平面上的射影正好是椭圆上的A′、B′.设一质点在半径为b的圆周上做速率为v的匀速圆周运动，则此质点沿z轴方向在第二个平面上的运动将沿椭圆轨道运动.这个射影的运动就是此处选择的运动，在此运动下求椭圆轨道点A′、点B′的曲率半径易知，A点的速度v，法向加速度v2b.A点的射影A′的速度和法向加速度分别为vA′=vcosθ=abv,(aA′)n=(aA)n=v2b.由这两式得A′处的椭圆曲率半径ρA′=v2A′(aA′)n=a2b.同理，由点B的速度v和法向加速度v2b，得B点的射影B′点的速度和法向加速度vB′=v,(aB′)n=(aB)ncosθ=av2b2,由这两式得B′处的椭圆曲率半径ρB′=v2B′(aB′)n=b2a.2立体曲线的曲率半径螺旋线的曲率半径例5已知等距螺旋线在垂直z轴方向的截面圆半径为R，螺距为h，如图7所示.一质点沿此螺旋线做匀速率运动,在垂直z轴方向的投影转过一周所用的时间为T.求该质点在做等距螺旋线运动时螺旋轨迹的曲率半径.方法1数学公式法此题属于立体曲线的曲率半径求解问题，上面给出的平面曲线的曲率半径求解公式在此已经不适用.对于一个以参数化形式给出的空间曲线x=φ(t)，，z=ψ(t).其曲率半径计算公式为ρ=(x′2+y′2+z′2)3/2(z″y′-y″z′)2+(x″z′-z″x′)2+(y″x′-x″y′)2.解设此质点沿z轴方向的速率为v∥，螺旋线运动方程为x=φ(θ)=Rcosθ,z=ψ(θ)=v∥θ2πT,得x′=φ′(θ)=-Rsinθ,x″=φ″(θ)=-Rcosθ(1)-Rsinθ(2)z′=ψ′(θ)=v∥t2π,z″=ψ″(θ)=0(3)把(1)、(2)、(3)式代入ρ=［x′2+y′2+z′2］3/2(z″y′-y″z′)2+(x″z′-z″x′)2+(y″x′-x″y′)2,得ρ=4π2R2+v2∥T24π2R(4)质点沿z轴方向做匀速直线运动，v∥T=h(5)把(5)式代入(4)式得ρ=4π2R2+h24π2R.方法2物理方法解质点在垂直轴方向做匀速圆周运动的分速度为v⊥=2πRT(1)沿z轴方向匀速直线运动速度为v∥=hT(2)设质点沿螺旋线运动速度v，则v2=v2⊥+v2∥(3)把(1)、(2)代入(3)得v2=4π2R2+h2T2(4)质点运动的加速度a=ΔvΔt=Δ(v⊥+v∥)Δt=Δv⊥Δt=0,这里Δv∥Δt=0，可知加速度与质点做半径为R的圆周运动的加速度相同，即a=an=(2πT)2R=4π2RT2(5)把(4)、(5)代入ρ=v2a得ρ=4π2R2+h24π2R.从数学和物理两种角度出发都可以求解曲率半径，充分体现了数学工具在处理物理问题中的重要地位，体现了数学和物理在处理同一问题时的和谐统一美.。

dx vx = dt = 4 − 4t v = dy = 2 − 2t y dt
加速度的大小：| a |= ax 2 + a y 2 = 20(m/s 2 )
版权所有 张强 钟艳玲
2
例 dy-2 直杆 AB 两端分别沿铅锤和水平直线运动。已知
MA = l1 , MB = l2 , ϕ = ωt (ω = const.)
例 dy-1 已知动点在 xOy 平面内的运动方程为
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
x = 4t − 2t 2 y = 2t − t 2
单位：m, s
求动点的轨迹方程，速度和加速度的大小。 解 (1) 消去参数 t，得到轨迹方程
x − 2y = 0
(2) 求速度
t≥0
⇒ x ≤ 2, y ≤ 1
2 vC vC t = sin r r 2 vC vC t = cos r r
指向圆盘中心
tan β =
版权所有 张强 钟艳玲
aMy aMx
vC t π vC t π = cot = tan − = tan − ϕ r 2 r 2
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工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
旋轮线
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工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
例 dy-5 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 vC t y D xM = vC t − r sin r r y = r − r cos vC t vC Cr M r ϕ
dx vx = dt = 4 − 4t v = dy = 2 − 2t y dt

§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。

在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。

何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。

例如过两点成一条直线……。

由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。

这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。

一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。

速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。

同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。

2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。

用动力学方法求解曲率半径
本专题说明：物体运动轨迹曲率半径的求解是物理竞赛中的一个基本问题，本专题主要是练习掌握运用物 理原理和方法求解曲率半径，要求学会灵活构造物理过程、合理运用物理原理，归纳总结出最一般的物理 求解方法，并熟练掌握。 1、设长为 L 的杆 AB 靠在竖直的墙 y 轴和地面 x 轴上，P 点将杆分成长度分别为 a 和 b 的两段。设杆的 A 端沿地面以速度 v 匀速运动， 某时刻杆两端的坐标分别为 A( x0 ,0) ，B(0, y 0 ) ， P 点的坐标为 P( x, y) ， 求： （1）P 点的运动轨迹； （2）P 点的曲率半径。

2
5、在场强为 B 的水平匀强磁场中，一质量为 m 、电荷量为 q 带正电荷的小球在 O 点静止释放，小球的运 动曲线如图所示。已知重力加速度为 g ，求 （1）此曲线的轨迹方程； （2）此曲线上任一点的的曲率半径，并指出最低点的曲率半径。
6、一长为 L 的匀质重绳（柔软） ，两端挂在天花板上，绳的最低点与天花板间的距离为 H，求最低点的曲 率半径。
2、在水平地面上置有一质量为 M 的滑块。滑块内有一圆形空心光滑通道半径为 b ，开始时质量为 m 的小 球置于轨道的最高点，若有微小扰动，小球开始在光滑通道内运动，求： （1） 小球的运动轨迹； （2）运动轨迹在任一点的曲率半径。
3、轮滚线问题：轮子在直线轨道上做纯滚动，轮子边缘运动轨迹曲线称为滚轮线。设轮子半径为 R，轮子 边缘 P 对应的滚轮如图所示，试求 （1）P 点的轨迹曲线方程； （2）此滚轮线上任意一点的曲率半径 ( ) ，以及在最高点曲率半径 1 和最低点曲率半径 2 。
H
A
பைடு நூலகம்
B
7、理论力学可以证明：质点在有心力场中运动，如果总机械能 E 0 则其轨迹必为双曲线的一支，且引力 源在其双曲线的一个焦点上。假设某慧星进入太阳系中，慧星和太阳的质量分别为 m 、 M 且系统总能量

方法二：直角坐标法 ①列动点的运动方程。 建立直角坐标系Oxy，如图所示。 图示几何关系：x=Rsin2φ y=Rcos2φ y 故点M的运动方程为 O' x=Rsin2ωt a 2 a y=Rcos2ωt O ②求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rωcos2ωt vy= dy/dt =-2Rωsin2ωt A 点M速度的大小为： v =√vx2+vy2 = 2Rω 速度的方向余弦： cos（v，i）= vx/v= cos2ωt=cos2φ
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at² /2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt² /2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。 方法一：自然坐标法 ①分析动点的运动、建立弧坐标轴。 动点套环M的轨迹为沿固定圆环 的圆周运动。以圆环上的O′点 为弧坐标原点，顺时针为弧坐标 正向，建立弧坐标轴。 ②列动点的运动方程。 图示几何关系：s = R（2φ） 故有： s= 2Rωt
③求点的速度、加速度。 由v = ds/dt得 v = d（2Rωt）/dt=2Rω 速度v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。 由an = v2/ρ，aτ=dv/dt得 aτ=dv/dt=0，an = v2/ρ=4Rω2 即点M的全加速度为：a=an=4Rω2 a的方向即 an的方向，自M点半径指向圆心。 （套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。）

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
—— 质点运动学 ——
伽利略变换、 伽利略变换、绝对时空理论
二船都以2m/s 3、在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以 在相对地面静止的坐标系内， 二船都以 的速率匀速行驶， 船沿 轴正向， 船沿 轴正向， 船沿x轴正向 船沿y轴正向 的速率匀速行驶，A船沿 轴正向， B船沿 轴正向， 今在A船上设置与地面坐标系方向相同的坐标系， 今在 船上设置与地面坐标系方向相同的坐标系，那 船上设置与地面坐标系方向相同的坐标系 么在A船上的坐标系中 船上的坐标系中， 船的速度为 么在 船上的坐标系中，B船的速度为 。 4、一飞机相对空气的速度大小为200km/h，风速为 一飞机相对空气的速度大小为 ， 56km/h，方向从西向东，地面雷达测得飞机的速率为 ，方向从西向东， 192km/h，则飞机相对地面运动的方向为 ， 。
o O′ z x z′ z
x
t′ = t
∗
z′ = z
—— 质点运动学 —— 伽利略变换、 伽利略变换、绝对时空理论
x′ = x − υt y′ = y
轴方向上。 设两参考系间的相对运动只发生在 x 轴方向上。 S系 S ′系 事件A 事件A ( x 1 , t 1 ) ′ ′ ( x1 , t1 ) 事件B 事件B ( x 2 , t 2 ) ′ ( x′ , t2 ) 2
1– 4
如何度量曲线弯曲程度？ 如何度量曲线弯曲程度？ P∆s P′
∆θ
ρ
ρ
曲率圆
∆θ dθ = 曲率： 曲率： k = lim ∆s→0 ∆ s ds ds 1 = 曲率半径： 曲率半径： ρ = dθ k
—— 质点运动学 —— 切向加速度、 切向加速度、法向加速度
v τ ( t + dt )

习题解答 习题一1-1 ｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和td d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，12r r r-=∆；（2）t d d r 是速度的模，即td d r==v t s d d . trd d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则tˆr ˆt r t d d d d d d rr r +=式中trd d 就是速度径向上的分量， ∴trt d d d d 与r 不同如题1-1图所示.题1-1图(3)t d d v 表示加速度的模，即tva d d=，t v d d 是加速度a 在切向上的分量.∵有ττ(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以tv t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv就是加速度的切向分量. (tt r d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d tr而求得结果；又有人先计算速度和加速度v =22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =222222d d d d ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r+=，jty i t x t r a jty i t x t r v222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为222222222222d d d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x yx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作22d d d d tr a trv ==其二，可能是将22d d d d trt r 与误作速度与加速度的模。

曲线运动相关公式及定理匀速圆周运动定义：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做“匀速圆周运动”，亦称“匀速率圆周运动”因为物体作圆周运动时速率不变，但速度方向随时发生变化。

公式：1、v(线速度)=S/t=2πr/T=ωr=2πrf (S代表弧长，t代表时间，r代表半径)2、ω(角速度)=θ/t=2π/T=2πn （θ表示角度或者弧度）3、T（周期）=2πr/v=2π/ω4、n（转速）=1/T=v/2πr=ω/2π5、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^26、an（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^27、v过顶点时最大速度v=（gr）^（1/2）匀速圆周运动向心力公式的推导设一质点在A处的运动速度为Va,在运动很短时间⊿t后,到达B点,设此是的速度为Vb由于受向心力的作用而获得了一个指向圆心速度⊿v，在⊿v与Va的共同作用下而运动到B点，达到Vb的速度则矢量Va+矢量⊿v=矢量Vb，矢量⊿v=矢量Vb-矢量Va用几何的方法可以得到Va与Vb的夹角等于OA与OB的夹角，当⊿t非常小时⊿v/v=s/r（说明：由于质点做匀速圆周运动，所以Va=Vb=v，s表示弧长，r表示半径）所以⊿v=sv/r⊿v/⊿t=s/⊿t * v/r，其中⊿v/⊿t表示向心加速度a，s/⊿t 表示线速度所以a=v^2/r=rω^2=r4π^2/T^2=r4π^2n^2F（向心力）=ma=mv^2/r=mrω^2=4π^2/T^2相关介绍描述匀速圆周运动快慢的物理量(1)线速度v①意义：描述质点沿圆弧运动的快慢，线速度越大，质点沿圆弧运动越快。

②定义：线速度的大小等于质点通过的弧长s与所用时间t的比值。

③单位：m/s。

④矢量：方向在圆周各点的切线方向上。

⑤就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度。

⑥质点做匀速圆周运动时，线速度大小不变，但方向时刻在改变，故其线速度不是恒矢量。

沿速度方向的分力改变物体速度的大小，垂直于速度方向的分力改变物体速度的方 向
物体在曲线运动过程中，速度大小和方向不断变化，因此其运动轨迹是一条光滑的 曲线
02
实验器材与步骤
实验器材准备
平滑的实验台面
小型滑块或球体（用于在轨道 上滑动）
高速摄像机或手机摄像头（用 于记录运动轨迹）
曲线轨道（如：弯曲的轨道或 铁丝）
当物体仅受重力作用时，其运动轨迹为抛 物线。例如，在无空气阻力的条件下，投 掷的物体将沿抛物线轨迹运动。
当物体受到弹力作用时，其运动轨迹表现 为振荡形式。例如，在弹簧振子实验中， 物体在弹力的作用下围绕平衡点做往复运 动。
当物体受到摩擦力作用时，其运动轨迹将 逐渐偏离原始路径并减速。例如，在斜面 上滑动的物体，由于受到摩擦力的作用， 其运动轨迹将逐渐趋近于斜面。
受力方向与运动轨迹的关系
受力方向与速度方向一致时，轨迹为直线
当物体受到的力与速度方向相同时，物体的运动轨迹为直线。这是因为力使物体加速沿原方向运动， 不改变速度的方向。
受力方向与速度方向垂直时，轨迹为圆或圆弧
当物体受到的力与速度方向垂直时，物体的运动轨迹为圆或圆弧。这是因为力使物体产生向心加速度 ，从而改变速度的方向但不改变速度的大小。在这种情况下，物体将沿着一个圆形或圆弧形的路径运 动。
数据处理与统计分析方法
对实验数据进行整理，剔除异常值，对数据进行平滑处理以消除随机误差 。
利用统计分析方法（如描述性统计、相关性分析、回归分析等）对实验数 据进行分析，探究各参数之间的关系。
通过图表（如散点图、折线图、柱状图等）直观展示数据分布和趋势，便 于观察和分析。
结果展示与讨论
将实验数据和分析结果以图 表和文字形式进行展示，包 括数据表格、统计图表和分

火车转弯时的向心力来源
总结词
火车在转弯时需要向心力来维持其运动轨迹，这个向 心力主要来源于铁轨对轮子的侧压力和离心力。
详细描述
当火车在转弯时，由于离心力的作用，火车有向外甩 的趋势。为了保持火车在轨道上正常运行，铁轨会对 火车轮子施加一个侧压力，这个侧压力可以提供足够 的向心力来平衡离心力。同时，火车的速度和轨道半 径也会影响所需的向心力大小。在设计铁路弯道时， 需要考虑到这些因素以确保安全和稳定的运行。
行四边形定则或三角形法则进行计算。
运动的合成与分解方法
总结词
运动的合成与分解方法是将复杂的曲线运动分解为简单的直线运动，便于分析和计算。
详细描述
在曲线运动中，为了简化分析和计算，常常采用运动的合成与分解方法。具体地，可以 将曲线运动分解为两个或多个简单的直线运动，如水平方向的匀速运动和竖直方向的匀 加速运动等。通过这种分解方法，可以分别对各个方向的直线运动进行分析和计算，然
地球自转
地球绕着自己的轴线旋转，形成 昼夜交替的现象，这也是一种曲 线运动。
02
曲线运动的基本规律
匀速圆周运动
总结词
匀速圆周运动是质点在平面内以某点为中心作等速圆周运动的现象，其特点是速 度大小恒定，方向时刻改变。
详细描述
匀速圆周运动是曲线运动中最简单的一种形式，其速度大小恒定，方向沿圆周的 切线方向，加速度大小恒定，方向始终指向圆心，即向心加速度。匀速圆周运动 中，质点所受合力充当向心力，保持质点作等速圆周运动。
曲线运动的实例分析
地球的自转与公转
总结词
地球自转与公转是典型的曲线运动，涉 及到角动量守恒和万有引力定律等物理 原理。
VS
详细描述
地球自转是指地球绕自身轴线旋转，公转 是指地球绕太阳旋转。这两种运动都是曲 线运动，因为它们都涉及到旋转和椭圆轨 道。自转和公转运动遵循角动量守恒和万 有引力定律，这些定律在描述地球运动时 非常重要。

分析机械运作原理的曲线运动与轨迹控制曲线运动与轨迹控制是机械运作中的重要组成部分，它们在许多领域中起着关键作用，如制造业、航空航天、自动化等。

曲线运动有着独特的特点，需要精确的轨迹控制来实现。

本文将从原理和控制两个方面来分析机械的曲线运动和轨迹控制。

首先，我们需要了解曲线运动的基本原理。

曲线运动是指机械在运动中不沿直线轨迹运动，而是沿着一定的曲线轨迹运动。

这种运动可以是圆弧运动、椭圆运动、螺旋运动等。

曲线运动的机理主要涉及到速度、加速度和曲率等因素。

速度是指物体在单位时间内所走过的路程，加速度是指速度的变化率。

曲率是指曲线在某一点上的弯曲程度，可以用半径的倒数来表示。

曲线运动的基本原理就是在给定的速度和加速度下，通过调整曲率来实现。

其次，轨迹控制是实现曲线运动的关键。

轨迹控制是指通过控制机械的运动路径来实现特定的曲线运动。

轨迹控制涉及到位置控制、速度控制和加速度控制等方面。

在实际应用中，轨迹控制通常需要精确的数学模型和复杂的控制算法来实现。

其中，位置控制是指控制机械在特定的轨迹上运动，速度控制是指控制机械在运动过程中的速度，加速度控制是指控制机械在运动过程中的加速度。

这些控制方法可以通过传感器和控制系统来实现。

在实际应用中，曲线运动和轨迹控制可以广泛应用于各个领域。

在制造业中，曲线运动可以用于机器人的操作和加工过程中，通过控制机器人的运动路径来完成特定的工作任务。

在航空航天领域，曲线运动可以用于控制飞机和火箭的飞行轨迹，提高飞行的稳定性和安全性。

在自动化系统中，曲线运动和轨迹控制可以用于控制物流系统的搬运机器人，实现高效的物流运输和仓储管理。

需要强调的是，曲线运动和轨迹控制的实现需要考虑许多因素。

首先是运动的准确性和精度，这需要计算和控制系统的高精度和高速度。

其次是运动的稳定性和可靠性，这需要合理的控制算法和优化的设计。

最后是运动的安全性和灵活性，这需要考虑到机械设备和工作环境的特点，并做好相应的安全措施。

01
车辆行驶过程中的转弯
在转弯过程中，车辆的切向加速度和法向加速度共同作用，使车辆按照
预定的轨迹行驶。
02
投掷物体的运动
在投掷物体时，出手的瞬间切向加速度和法向加速度达到最大值，共同
决定了物体的飞行轨迹。
03
天体运动
在天体运动中，行星绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，切向加速度和法向
加速度的大小和方向不断变化，共同决定了行星的运动状态。
03
当物体沿着抛物线轨道运动时 ，法向加速度的计算公式为： an = v^2 / p，其中p表示抛 物线的焦距。
法向加速度的物理意义
法向加速度的物理意义在于描述 物体运动方向改变的快慢程度。
法向加速度越大，表示物体运动 方向的改变越快，物体运动的曲
率越大。
在圆周运动中，法向加速度的大 小决定了物体运动的角速度和周 期，其值越大则角速度和周期越
在车辆设计过程中，需要考虑轮胎与地面的摩擦力、悬挂系统的设计以及轮胎的弹性等因素，以确保 车辆在行驶过程中的稳定性和安全性。
飞行器飞行中的切向法向加速度
飞行器飞行中的切向法向加速度
在飞行器飞行过程中，由于气流的压力和摩擦力作用，会产生切向加速度，使飞行器产生偏航或滚转动作。同时 ，由于飞行器的翼型设计和气动布局，会产生法向加速度，使飞行器在飞行过程中保持稳定。
小。
03
CATALOGUE
切向法向加速度的关系
切向法向加速度的关联性
切向法向加速度是描述物体运 动状态的两个重要参数，它们
之间存在一定的关联性。
当物体做曲线运动时，切向 加速度决定物体运动轨迹的 弯曲程度，法向加速度则与 物体偏离轨迹的方向有关。
切向加速度和法向加速度的大 小和方向共同决定了物体的运

M
一、矢量法
1、运动方程 2、速度
3、加速度
11
§1-1 点的运动学
二、直角坐标法
1、运动方程
2、点的速度
3、点的加速度
12
§1-1 点的运动学
问题：如何求点运动方程、运动轨迹以及点 的速度和加速度的大小与方向？ 几何性质 运动方程 运动轨迹
点的速度
点的加速度
13
§1-1 点的运动学 例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
运动方程: 解：
20
§1-1 点的运动学
例： 已知点作平面曲线运动，其速度的大小为常量u，方向与 x 轴的夹角为θ = f(t)（时间的可微函数）， 求任意时刻点的运 动轨迹的曲率半径。 解： 加速度
y
u θ x 曲率(curvature)
21
§1-1 点的运动学
例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u
解：1、P 点运动方程 y A
O

P
B x

2、P 点的速度和加速度 14
§1-1 点的运动学
P点的运动轨迹
y O
A

P
B x

15
§1-1 点的运动学
问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时 间的变化规律，如何确定点的加速度?
M
列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点 且运动轨迹已知。
问题: 质点M沿椭圆轨道匀 速率运动，如何确定其加速 度的大小和方向？
6
流行病学动力学
7
经济动力学
8
第一章 质点动力学 第二章 质点系动力学
第三章 刚体动力学（平面问题） 第四章 动静法
9
第一章 质点动力学

巧用各种运动求曲率半径V oI.29No.42l(S)7.2O11.44物理教学探讨JournalofPhysicsTeaching第29卷总第421期2011年第7期(上半月),(—丫—丫—丫}.考试?l研究?{,(—一上j—巧用各种运动求曲率半径侯位锋浙江省诸暨中学,浙江省诸暨市311800曲率半径在数学上有严格的意义和表达式,而曲率半径的计算需要用到高等数学的知识.在中学阶段,我们可巧用各种运动来求曲率半径,具体举例如下.1利用平抛运动题目求抛物线Y一.(">0)上,任意一点的曲率半径.解析可以构建一个初速度为.的平抛运动,建立抛出点为坐标原点,初速度方向为轴的坐标系(如图1所示).贝0-1r一t,图1Y一丢抛物线的轨迹方程为Y—aLE式中"一.抛物线上任一点A的速度一,/vo+2gy.设A点的曲率半径为P,则一gcos0,pY.Ncos0一vo,所以p一,''gv0化简此式得到:P一(1+4.2利用匀速率运动题目四质点A,B,C,D在同一平面上运动.每时刻,A速度总对准B,速度大小为常量", B速度总对准C,速度大小同为",C速度总对准D,速度大小同为",D速度总对准A,速度大小同为".某时刻,A,B,C,D恰好逆时针方向按序位于各边长为z的正方形四个顶点上,试求此时A的运动轨道在此位置的曲率半径p.解析经过△时间,A,B,C,D位置变化如图2所示.A的速度变化是△U,方向与"垂直, Au—uAO,又因"△一Z△0,则A的加速度为a—Au/At—U/l,方向与U垂直.又因A做匀速率运动,无切向加速度,a心一a,根据P一"/&心,所以P—Z.3利用匀速直线运动与匀速圆周运动的合运动题目半径为R的轮子在水平直线MN上方纯滚动,轮子边缘上任意点P的运动轨迹不妨称为上滚轮线.如图3所示,将上滚轮线绕MN 向下翻转180.,成为下滚轮线.下滚轮线可看成尺轮子在下方沿直线MN纯滚动时轮子边缘点P的轨迹.求此轨迹最低点的曲率半径p.解析点P的运动可以看成是水平方向的匀速运动(设速度为.),与竖直平面内的匀速圆周运动(角速度为)的合运动.根据纯滚动可知一瓦而当P点运动到轨迹最低点时,速度(对地)2v.,向,c.,1Jn速度为__2一Y.Np一,p一4R.'a'同样方法其实可以求出任一点的曲率半径.即用上面方法可以求出滚轮线上任一点的曲率半径.用匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动第29卷总第421期2O11年第7期(上半月)物理教学探讨JournalofPhysicsTeachingV01.29No.42l(S)7.2011.45.还可以来求等距螺旋线的曲率半径.4利用匀速直线运动与简谐运动的合运动题目如图4所示一余弦曲线Y===Acosx,e,如图5所示.则一c.0一一"当.<<丌/2时,求曲线上各点的曲率半径.lD一纛,lD—≥, J厂',IP仉.一D\/一解析设质点在.27方向做匀速直线运动,速度大小为.,Y方向做简谐运动—ACOSY ot,则质点运动的轨迹为—Acosx.则一,a一0,=一0Asinv0t,a一一730ACOSgJ0t当质点运动到P点时,口一~/+v一0~/1+Asin73ottan0一ll—Asinv.t～s一u0V1l1l■1V2(1+Asin.n￡)3/2一一—■当0<z</2时(1+A一A.COSz).PJ一———_一根据图线的对称性,则可得余弦曲线任一点的曲率半径.5利用匀速直线运动和一般变速直线运动的合运动题目求解曲线.),一的曲率半径随的分布p(z).图5J'yA,,《0.:.图6解析设质点沿Y一轨道运动过程中,z方向运动为32一vt,即匀速直线运动.方向分运动为—e",则一73,一"off,a一0,ay一又"一~/+一,/1+P则_0一(1+P)e一6利用简谐运动和简谐运动的合运动题目求椭圆+一1上,任意一点的曲率半径.解析可以构建一个这样一个运动,水平方向做简谐运动,振幅为n,恢复力F一--k, —acost,一一asint,所以一1,又因∞一等,丁一2n√,则k一mo竖直方向也做简谐运动,振幅为b,恢复l力F一--k.,—bSint,一bcost,同理k一.这样的两个分运动的合运动的轨迹为椭圆一-一1d'b～如图6所示在椭圆上取一点A(x,),物体运动到该点的速度一~/j+7Jv.一~/".sin.t+bcOSt,在该点物体受到的向心力向一lFIsin0+fF{cos0,又因F一一m37,F::=一my,所以F自一m1.7cIsin0+IYlcos0.设A点的曲率半径为p,~I]v2一一,;rig即一l1sin0+lIcos0,5/.in一,.::=,则一+一一ab,所以lD一兰一,则lD一.7利用匀变速曲线运动与匀速圆周运动的合运动题目半径为r的圆盘以角速度60转动,现与水平面成a角以速度73抛出圆盘,圆盘运动时圆盘面保持竖直.求当圆盘上升到最大高度时,盘上最高点运动轨迹的曲率半径.V o1.29No.421(S)7.2O11.46物理教学探讨JournalofPhysicsTeaching第29卷总第42l期2O11年第7期(上半月)物理探究教学的局限性及应对策略邓春生,任萍四川工商职业技术学院,四川I省都江堰市6l1830摘要:本文结合物理探究式教学法的概念,物理学科的特点和新课改的要求分析了探究式教学法在教学中的局限性,并提出了一些适合我国目前开展探究式教学的策略,旨在为物理学教学和新一轮课改的实施提供一定参考.关键词:探究教学法;局限性;应对策略中图分类号:G633.7文献标识码:A文章编号:1003—6148(2011)7(S)一0046—31在我国实施探究式教学的局限性要分析探究式教学的局限性,首先得弄清楚探究式教学的定义,物理学科的特点以及新课程标准对课程实施的基本要求,在此基础上对探究式教学的局限性进行分析.下面分别论述:(1)探究式教学法在不同的文献中有不同的论述,且经常与发现法相混淆.探究式教学法旨在将学生学习的重心从过分的强调知识的传授向知识探究过程转化,其特点是学生主动参与,探究过程,在探究活动中学习物理知识与技能,领悟科学的思想和精神.(2)物理学科的特点物理学是一门实验和科学思维相结合的科学.实验是物理学的基础,科学思维是物理学的生命.物理实验不仅是物理学理论的基础,也是解析圆盘上各点的运动可以看作是圆盘圆心的斜抛运动和绕圆盘的匀速圆周运动.由题意可知,圆盘中一t7在最高点的速度为"OCOSff,绕盘中心可以顺时针或逆时针转,则最高点的速度为V^一UCOSC~±COt".最高点的加速度为aA—a-+-afJ,其中6/为最高点相对于盘中一t2,的加速度,大小为60.,.,方向竖下向下旭为盘中心相对地的加速度,大小为g,方向竖直向下,由此可得6/-一r+g,因此可得盘上最高点的运动轨迹的曲率半径为P一测P一同理可得圆盘上各点运动轨迹的曲率半径.8利用匀速圆周运动和匀速圆周运动的合运动题目如图7所示,固定环R一4r,小环在贴着在环内壁作纯滚动,小环的边缘某点滚出的曲图7线叫滚轮线,求内滚轮线的最大曲率半径p.解析滚轮线上各点的运动可以看成是绕圆心O的匀速圆周运动和圆心O绕圆一t7O的匀速圆周运动的合运动.设小环自转角速度为60,线速度为,小环圆心绕大环圆心转动的角速度为,根据运动关联有,砌一(R—r).,所以.一,又滚动线曲率半径最大处在弧中段,此点线速度大小为一2v,加速度方向有O指向0,大小为6/===呦l～(R—r).一(R—r)(R一2r)w().而"_.～===即pm—3R巧用各种运动求曲率半径的实例很多,以上是笔者结合自身教学实践,寥举几例,以求抛砖引玉之功.(栏目编辑陈洁)。

即定义了一个矢量
3）角速度
a）平均角速度
定义：
t
2
1
注意：平均角速度不是矢量
b）瞬时角速度
定义：
d
O
注意 ： dt
O
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
2020/5/22
通常是画在坐标原点处。
注意 ：
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
通常是画在坐标原点处。
2）单位 [] [ ] S 1
其质点运动方程为：s s(t)
为表示矢量建立切向单位矢和法向单位矢 ˆ, nˆ 2020/5/22
三）平面自然坐标系中的速度
s
ˆ s
c r
s O’
运动方程为
r lim s dss(为t)瞬时速率
lim O
dt dr
v
dt
r
v
lim 2020/5/22
t0 t
lim r s s t
lim s lim r t s
a
a an a
v2 nˆ dv ˆ
a
讨论：
dt
S a a 0,
0 ,
2
v
a 0, 90, v const
2020/5/22
a 0,
,
2
v
讨论： A):直线运动中 ( )
a
X
an
a
又若
v2
a
dv
0；
dv dt
0；
a
dv dt
ˆ ；
v cinst
4）角加速度
A）定平义均：角加 速度（
[t ]
）
t
1
2
T+t
2 1

Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0 Ds ds
ds
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曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
sec 2a da y， da y y ，
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
K
r
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在
要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂 轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
第6页/共13页
例1
计算等双曲线x
y
1 在 点 ( 1 ， 1 ) 处 的K曲
| y | (1 y2 )3 2
．
率．
解 由y 1 ，得
x
y 1 ，y 2 ．
x2
x3
因此，y|x11，y|x12．
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平 均 弯曲程度，
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设曲线C是光滑的，曲 线
线C上从点M 到点M 的弧