2013年上海高三数学四区(静安区杨浦区青浦区宝山区)联考二模试卷理科含答案

2013年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科) 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(l o g 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-yx，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx xx x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T .8．若n x )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的8倍，则正整数=n .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n n n S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量α，β(0≠α)满足|β|＝2，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的最大值是 .14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，， 按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ）（A ）71． （B ）71-． （C ） 7． （D ）7-．16．已知圆C 的极坐标方程为θρsin a =，则“2=a ”是“圆C 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（ ）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件． 17． 若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（ ） （A ） 422≤+b a ． （B ） 422≥+b a ． （C ）41122≤+ba． （D ）41122≥+ba．18．已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使 得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ②{}2),(-==xe y y x M③{}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(==其中所有“Ω集合”的序号是……………………………………………………（ ） （A ）②③ ． （B ）③④ ． （C ）①②④． （D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD B A ,11的中点． （1）求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小； （2）求二面角B AF E --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知函数a x x f +=2)(． （1）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A ，1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点，且1A P 、2A P 、3A P 成等差数列，公差为d ，0≠d ．（1）若1P 坐标为()1,1-，2d =，点3P 在直线3180x y --=上时，求点3P 的坐标；（2）已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ，过点A 的直线交圆于31P P 、两点，2P 是圆C 上另外一点，求实数d 的取值范围；（3）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为3，求证：线段13P P 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值； （3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e n n ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若nC 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．2013年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1；7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ②二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．(文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯=所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EOSO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板． （理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴d ．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，d 与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ 31arcsinBCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠CB EB ECB 故42a r c t a n B C C B 11成角大小为与平面故EC19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos ．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求 AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AFAD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos2222πPC OC PCOCOP ⋅-+= 得032=-+PC PC，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CP PCOOP =∠，即θπsin 32sin2CP =∴θsin 34=CP ,又32sin)3sin(πθπCP OC=-)3sin(34θπ-=∴OC ．（文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 22223cos πθθθ⎛⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC 23.（理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin21)(πθOC CP S ⋅=，23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅=)sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33.解法二：212432cos 22-=⋅-+=PCOC PCOCπ即422=⋅++PC OC PC OC，又PC OC PC OC PCOC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x yy x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y = 设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ；(2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，， 则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，，由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴3k =±（理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒ 当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.（文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35A P =，设()3,P x y则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=，又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d 结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d（3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标， 点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=， 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=-则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y y y x ++-=--直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ；又21=a 382=⇒a（2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n n n32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ， 所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ．解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即nk a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{nk a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{nk a 的公比q 最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21nk k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{nk a 是等比数列，其中11=k ，那么}{nk a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232．)2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n tk ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+n n n S a 31nn n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n nnnn n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列．3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ． （2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ；n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a nn ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，nn C 2423++++= 12+=n ，31=C ， 所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n pt，n pt21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，npppttt2)1)(1(122=-+=-，因为12+pt和12-pt都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gpt 212=+，hpt212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--hg 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．。