应用题,线性规划

线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。

工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。

每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。

玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。

每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。

每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。

现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。

2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。

1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。

2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。

四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。

2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。

线性规划的应用习题1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．3．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小．4．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．5．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．线性规划的应用习题答案1．设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：作出可行域．z最大=200×4＋240×8=2720答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．2．设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．目标函数z=x＋2y，线性约束条件：作出可行域．作一组平行直线x＋2y=t．的整点中，点(4，8)使z取得最小值．答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．3．设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x＋2y，线性约束条件，作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．A不是整点，A不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．z最小=3×1＋2×1=5，答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．4．设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．线性约束条件是：作出可行域．作直线960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．5．设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x ＋10y．作出可行域．即M(350，100)．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点M(350，100)时，z=6x ＋10y最大．答：圆桌和衣柜应分别生产350件、100件时，才能获得最大利润．。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品分别需要使用两种原材料X和Y。

已知每种产品的利润和原材料的用量，求解最大利润的生产方案。

二、数据分析1. 产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位150元。

2. 产品A每单位需要用2单位的原材料X和1单位的原材料Y；产品B每单位需要用1单位的原材料X和3单位的原材料Y。

3. 公司每天可用的原材料X和Y的数量分别为10单位和15单位。

三、数学建模设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

目标函数：最大化利润，即最大化目标函数Z = 100x + 150y。

约束条件：1. 原材料X的用量约束：2x + y ≤ 10。

2. 原材料Y的用量约束：x + 3y ≤ 15。

3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。

四、求解过程1. 构建线性规划模型：最大化目标函数 Z = 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法（如单纯形法）求解最优解。

五、最优解分析经过计算，得到最优解为：x = 5，y = 3，Z = 100*5 + 150*3 = 950。

六、结论为了实现最大利润，公司应生产5个单位的产品A和3个单位的产品B，此时可以获得最大利润950元。

七、敏感性分析通过敏感性分析可以了解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响程度。

1. 原材料X的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加100元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

2. 原材料Y的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加150元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

3. 公司每天可用的原材料X的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

4. 公司每天可用的原材料Y的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

线性规划经典例题【题目描述】某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A和B的生产时间分别为2小时和3小时。

产品A和B的利润分别为每一个单位的利润为5元和4元。

公司希翼最大化每天的利润。

已知产品A和B的生产过程中，每一个单位所需的原材料分别为2个和3个。

公司每天可用的原材料数量为12个。

请问公司应该如何安排每天的生产计划，以获得最大利润？【解题思路】这是一个典型的线性规划问题，我们可以通过建立数学模型来求解。

首先，我们定义决策变量：x表示每天生产的产品A的数量，y表示每天生产的产品B的数量。

然后，我们需要确定目标函数和约束条件。

【目标函数】公司的目标是最大化每天的利润，即最大化目标函数Z：Z = 5x + 4y【约束条件】1. 生产时间约束：产品A和B的生产时间不能超过每天的生产时间，即：2x + 3y ≤ 82. 原材料约束：产品A和B的生产过程中所需的原材料数量不能超过每天可用的原材料数量，即：2x + 3y ≤ 123. 非负约束：产品A和B的数量不能为负数，即：x ≥ 0y ≥ 0【求解过程】我们可以使用线性规划的求解方法来求解该问题。

首先，我们需要将目标函数和约束条件转化为标准的线性规划形式。

将目标函数Z = 5x + 4y转化为标准形式：Z = 5x + 4y + 0将约束条件2x + 3y ≤ 8转化为标准形式：2x + 3y + s1 = 8，其中s1 ≥ 0将约束条件2x + 3y ≤ 12转化为标准形式：2x + 3y + s2 = 12，其中s2 ≥ 0将约束条件x ≥ 0转化为标准形式：-x + 0y + s3 = 0，其中s3 ≥ 0将约束条件y ≥ 0转化为标准形式：0x - y + s4 = 0，其中s4 ≥ 0得到线性规划的标准形式为：Max Z = 5x + 4y + 02x + 3y + s1 = 82x + 3y + s2 = 12-x + 0y + s3 = 00x - y + s4 = 0x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 0s2 ≥ 0s3 ≥ 0s4 ≥ 0【求解结果】通过线性规划求解器，我们可以得到最优解：x = 2，y = 2，Z = 5(2) + 4(2) = 18因此，公司应该每天生产2个产品A和2个产品B，以获得最大利润18元。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品：产品A和产品B。

每个产品的生产需要消耗不同的资源，且每个产品的利润也不同。

公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。

产品A需要消耗3个单位的资源1和4个单位的资源2，每个单位的产品A的利润为5。

产品B需要消耗6个单位的资源1和2个单位的资源2，每个单位的产品B的利润为8。

公司拥有的资源1和资源2的总量分别为30和20。

二、数学模型设x为生产产品A的数量，y为生产产品B的数量。

目标是最大化利润，即最大化5x + 8y。

约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0。

三、线性规划求解使用线性规划求解器求解上述问题。

输入目标函数和约束条件后，求解器将自动计算出最优解。

给定目标函数为：5x + 8y约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0求解结果如下：最大利润为：120生产产品A的数量为：5生产产品B的数量为：3四、解释结果根据求解结果，最大利润为120，生产5个产品A和3个产品B可以实现最大利润。

同时，根据约束条件，生产数量不能为负数，因此生产数量均为非负数。

五、敏感性分析敏感性分析用于确定目标函数系数的变化对最优解的影响程度。

在本例中，我们将分别增加产品A和产品B的利润，观察最优解的变化情况。

1. 增加产品A的利润：假设每个单位的产品A的利润增加1，即每个单位的产品A的利润为6。

重新求解线性规划问题，得到最大利润为130，生产产品A的数量为6，生产产品B的数量为2。

可以看出，增加产品A的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品A的数量均增加。

2. 增加产品B的利润：假设每个单位的产品B的利润增加1，即每个单位的产品B的利润为9。

重新求解线性规划问题，得到最大利润为135，生产产品A的数量为4，生产产品B的数量为4。

可以看出，增加产品B的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品B的数量均增加。

例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的51.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料y kg ,每周总的饲料费用为z 元,那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≥+05000005135000y x xy y x ,而z =0.28x +0.9y 如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线x y 51=的交点)317500,387500(A ,即387500=x ,317500=y 时,饲料费用最低.所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例3图) (例4图)例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 的含量及成本:营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩⎨⎧≥-≥422y x y 作出可行域如上图中阴影部分目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩⎨⎧≥-≥422y x y 得z =2x +y +50=(2x -y )+2y +50≥4+2⨯2+50=58,当且仅当y =2,x =3时取等号 总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++nm nm n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”或“=”号)其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。

工厂有两个车间，分别是车间1和车间2。

每天车间1生产A产品需要2小时，B产品需要1小时；车间2生产A产品需要1小时，B产品需要3小时。

每天车间1的工作时间为8小时，车间2的工作时间为10小时。

工厂需要决定每天在两个车间分别生产多少单位的A和B产品，以最大化利润。

二、数学模型设每天在车间1生产的A产品单位数为x1，B产品单位数为y1；车间2生产的A产品单位数为x2，B产品单位数为y2。

根据题目要求，可以得到以下约束条件：车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 0目标函数为利润的最大化：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y2三、求解过程1. 确定决策变量和目标函数决策变量：x1, y1, x2, y2目标函数：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y22. 确定约束条件车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 03. 求解最优解利用线性规划求解方法，将目标函数和约束条件输入线性规划求解器，得到最优解。

四、数值计算与结果分析假设A总产量为100单位，B总产量为80单位。

将上述条件带入线性规划求解器，得到最优解如下：x1 = 20，y1 = 0，x2 = 60，y2 = 20根据最优解，工厂每天在车间1生产20单位的A产品，不生产B产品；在车间2生产60单位的A产品和20单位的B产品。

此时，工厂的利润最大化为：10 * 20 + 8 * 0 + 10 * 60 + 8 * 20 = 1160 元。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要2个工时和3个材料单位，每单位产品B需要3个工时和2个材料单位。

已知该工厂每天有40个工时和50个材料单位可用。

产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位80元。

问该工厂应该生产多少单位的产品A和产品B才能使利润最大化？二、数学建模1. 假设生产产品A的单位数量为x，生产产品B的单位数量为y。

2. 根据题目要求，可以得到以下约束条件：- 工时约束：2x + 3y ≤ 40- 材料约束：3x + 2y ≤ 50- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 03. 目标函数：利润最大化，即最大化目标函数 Z = 100x + 80y。

三、标准格式的线性规划模型最大化目标函数：Z = 100x + 80y约束条件：2x + 3y ≤ 403x + 2y ≤ 50x ≥ 0，y ≥ 0四、求解方法可以使用线性规划的求解方法，如单纯形法或者求解器进行求解。

以下是使用求解器求解的步骤：1. 打开线性规划求解器，输入目标函数和约束条件。

2. 设置目标为最大化。

3. 添加约束条件：2x + 3y ≤ 40，3x + 2y ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0。

4. 点击求解按钮，得到最优解及最优值。

5. 解释结果并作出决策。

五、求解结果与决策分析经过求解器计算，得到最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 1800。

根据最优解，该工厂应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，才能使利润最大化，最大利润为1800元。

六、敏感性分析对于该线性规划问题，我们可以进行敏感性分析来了解目标函数系数的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数变化：- 如果产品A的利润系数从100变为110，产品B的利润系数从80变为90，重新求解得到新的最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 2000。

可以看出，利润系数的变化对最优解有一定的影响，但最优解仍然是生产10个单位的产品A和10个单位的产品B。

1. A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 7002. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．3. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】274. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，解得A (30,20)． 【答案】305. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.6. 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨) 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.7. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 8. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216 000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．9. 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶， 则根据题意得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图阴影部分．画出直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知， 当直线l 过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.。