线性规划应用题

线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。

工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。

每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。

玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。

每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。

每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。

现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。

2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。

1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。

2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。

四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。

2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，产品A每单位售价为10元，产品B每单位售价为15元。

公司有两个生产车间，分别称为车间1和车间2。

每天车间1可生产产品A 4个单位或者产品B 6个单位，车间2可生产产品A 3个单位或者产品B 2个单位。

公司每天可提供的生产时间为8小时。

每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。

每天的总生产成本为生产产品A的数量乘以5元，生产产品B的数量乘以4元。

公司希翼在满足生产能力和时间限制的前提下，最大化每天的总利润。

二、数学建模1. 定义变量设x为每天生产的产品A的数量（单位：个），y为每天生产的产品B的数量（单位：个）。

2. 建立目标函数目标函数为最大化每天的总利润。

总利润等于每天销售产品A的收入减去生产成本，再加之每天销售产品B的收入减去生产成本。

由此可得目标函数：Maximize Z = 10x + 15y - 5x - 4y化简得：Maximize Z = 5x + 11y3. 建立约束条件（1）车间1每天可生产的产品A的数量为4个单位或者产品B的数量为6个单位，即约束条件为：4x + 6y ≤ 8（2）车间2每天可生产的产品A的数量为3个单位或者产品B的数量为2个单位，即约束条件为：3x + 2y ≤ 8（3）每天的生产时间为8小时，每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时，即约束条件为：x + 2y ≤ 8（4）生产数量不能为负数，即约束条件为：x ≥ 0, y ≥ 04. 整理数学模型综合以上信息，得到线性规划的数学模型如下：Maximize Z = 5x + 11ySubject to:4x + 6y ≤ 83x + 2y ≤ 8x + 2y ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题可以使用线性规划求解方法，如单纯形法或者内点法，求解以上线性规划问题，得到最优解。

根据求解结果，可以得到最大利润为XXX元，此时每天生产产品A的数量为XXX个，每天生产产品B的数量为XXX个。

线性规划的应用习题1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．3．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小．4．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．5．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．线性规划的应用习题答案1．设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：作出可行域．z最大=200×4＋240×8=2720答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．2．设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．目标函数z=x＋2y，线性约束条件：作出可行域．作一组平行直线x＋2y=t．的整点中，点(4，8)使z取得最小值．答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．3．设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x＋2y，线性约束条件，作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．A不是整点，A不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．z最小=3×1＋2×1=5，答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．4．设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．线性约束条件是：作出可行域．作直线960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．5．设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x ＋10y．作出可行域．即M(350，100)．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点M(350，100)时，z=6x ＋10y最大．答：圆桌和衣柜应分别生产350件、100件时，才能获得最大利润．。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品分别需要使用两种原材料X和Y。

已知每种产品的利润和原材料的用量，求解最大利润的生产方案。

二、数据分析1. 产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位150元。

2. 产品A每单位需要用2单位的原材料X和1单位的原材料Y；产品B每单位需要用1单位的原材料X和3单位的原材料Y。

3. 公司每天可用的原材料X和Y的数量分别为10单位和15单位。

三、数学建模设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

目标函数：最大化利润，即最大化目标函数Z = 100x + 150y。

约束条件：1. 原材料X的用量约束：2x + y ≤ 10。

2. 原材料Y的用量约束：x + 3y ≤ 15。

3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。

四、求解过程1. 构建线性规划模型：最大化目标函数 Z = 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法（如单纯形法）求解最优解。

五、最优解分析经过计算，得到最优解为：x = 5，y = 3，Z = 100*5 + 150*3 = 950。

六、结论为了实现最大利润，公司应生产5个单位的产品A和3个单位的产品B，此时可以获得最大利润950元。

七、敏感性分析通过敏感性分析可以了解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响程度。

1. 原材料X的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加100元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

2. 原材料Y的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加150元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

3. 公司每天可用的原材料X的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

4. 公司每天可用的原材料Y的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品：产品A和产品B。

每个产品的生产需要消耗不同的资源，且每个产品的利润也不同。

公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。

产品A需要消耗3个单位的资源1和4个单位的资源2，每个单位的产品A的利润为5。

产品B需要消耗6个单位的资源1和2个单位的资源2，每个单位的产品B的利润为8。

公司拥有的资源1和资源2的总量分别为30和20。

二、数学模型设x为生产产品A的数量，y为生产产品B的数量。

目标是最大化利润，即最大化5x + 8y。

约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0。

三、线性规划求解使用线性规划求解器求解上述问题。

输入目标函数和约束条件后，求解器将自动计算出最优解。

给定目标函数为：5x + 8y约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0求解结果如下：最大利润为：120生产产品A的数量为：5生产产品B的数量为：3四、解释结果根据求解结果，最大利润为120，生产5个产品A和3个产品B可以实现最大利润。

同时，根据约束条件，生产数量不能为负数，因此生产数量均为非负数。

五、敏感性分析敏感性分析用于确定目标函数系数的变化对最优解的影响程度。

在本例中，我们将分别增加产品A和产品B的利润，观察最优解的变化情况。

1. 增加产品A的利润：假设每个单位的产品A的利润增加1，即每个单位的产品A的利润为6。

重新求解线性规划问题，得到最大利润为130，生产产品A的数量为6，生产产品B的数量为2。

可以看出，增加产品A的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品A的数量均增加。

2. 增加产品B的利润：假设每个单位的产品B的利润增加1，即每个单位的产品B的利润为9。

重新求解线性规划问题，得到最大利润为135，生产产品A的数量为4，生产产品B的数量为4。

可以看出，增加产品B的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品B的数量均增加。

线性规划经典例题1. 问题描述假设我们有一个农场，种植两种作物：小麦和大豆。

农场有一定的土地和资源限制，我们需要确定如何分配这些资源，以最大化农场的利润。

我们知道每亩小麦的利润为1000元，每亩大豆的利润为2000元。

同时，我们还知道种植每亩小麦需要2个单位的肥料和3个单位的水，而种植每亩大豆需要4个单位的肥料和2个单位的水。

农场总共有100个单位的肥料和90个单位的水可用。

我们需要确定种植多少亩小麦和多少亩大豆，以最大化利润。

2. 数学建模为了解决这个问题，我们可以使用线性规划来建立数学模型。

假设我们种植x 亩小麦和y亩大豆，则我们的目标是最大化利润，即最大化目标函数Z = 1000x + 2000y。

同时，我们需要满足资源限制，即种植小麦和大豆所需的肥料和水不能超过总量。

因此，我们有以下约束条件：2x + 4y ≤ 100（肥料限制）3x + 2y ≤ 90（水限制）x ≥ 0，y ≥ 0（非负性约束）3. 求解方法我们可以使用线性规划的求解方法来找到最优解。

常见的方法有图形法、单纯形法和内点法等。

在这个例题中，我们使用单纯形法求解。

4. 求解过程首先，我们将约束条件转化为标准形式。

将不等式约束转化为等式，并引入松弛变量，得到以下等式约束：2x + 4y + s1 = 1003x + 2y + s2 = 90其中，s1和s2为松弛变量。

接下来，我们构建初始单纯形表格：基变量 | x | y | s1 | s2 | b |--------------------------------------s1 | 2 | 4 | 1 | 0 | 100 |s2 | 3 | 2 | 0 | 1 | 90 |--------------------------------------Z | -1000| -2000| 0 | 0 | 0 |其中，Z表示目标函数的系数，初始解为0。

我们选择最负的目标函数系数对应的列作为进入变量，即选择-2000对应的y列。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。

工厂有两个车间，分别是车间1和车间2。

每天车间1生产A产品需要2小时，B产品需要1小时；车间2生产A产品需要1小时，B产品需要3小时。

每天车间1的工作时间为8小时，车间2的工作时间为10小时。

工厂需要决定每天在两个车间分别生产多少单位的A和B产品，以最大化利润。

二、数学模型设每天在车间1生产的A产品单位数为x1，B产品单位数为y1；车间2生产的A产品单位数为x2，B产品单位数为y2。

根据题目要求，可以得到以下约束条件：车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 0目标函数为利润的最大化：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y2三、求解过程1. 确定决策变量和目标函数决策变量：x1, y1, x2, y2目标函数：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y22. 确定约束条件车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 03. 求解最优解利用线性规划求解方法，将目标函数和约束条件输入线性规划求解器，得到最优解。

四、数值计算与结果分析假设A总产量为100单位，B总产量为80单位。

将上述条件带入线性规划求解器，得到最优解如下：x1 = 20，y1 = 0，x2 = 60，y2 = 20根据最优解，工厂每天在车间1生产20单位的A产品，不生产B产品；在车间2生产60单位的A产品和20单位的B产品。

此时，工厂的利润最大化为：10 * 20 + 8 * 0 + 10 * 60 + 8 * 20 = 1160 元。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要2个工时和3个材料单位，每单位产品B需要3个工时和2个材料单位。

已知该工厂每天有40个工时和50个材料单位可用。

产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位80元。

问该工厂应该生产多少单位的产品A和产品B才能使利润最大化？二、数学建模1. 假设生产产品A的单位数量为x，生产产品B的单位数量为y。

2. 根据题目要求，可以得到以下约束条件：- 工时约束：2x + 3y ≤ 40- 材料约束：3x + 2y ≤ 50- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 03. 目标函数：利润最大化，即最大化目标函数 Z = 100x + 80y。

三、标准格式的线性规划模型最大化目标函数：Z = 100x + 80y约束条件：2x + 3y ≤ 403x + 2y ≤ 50x ≥ 0，y ≥ 0四、求解方法可以使用线性规划的求解方法，如单纯形法或者求解器进行求解。

以下是使用求解器求解的步骤：1. 打开线性规划求解器，输入目标函数和约束条件。

2. 设置目标为最大化。

3. 添加约束条件：2x + 3y ≤ 40，3x + 2y ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0。

4. 点击求解按钮，得到最优解及最优值。

5. 解释结果并作出决策。

五、求解结果与决策分析经过求解器计算，得到最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 1800。

根据最优解，该工厂应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，才能使利润最大化，最大利润为1800元。

六、敏感性分析对于该线性规划问题，我们可以进行敏感性分析来了解目标函数系数的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数变化：- 如果产品A的利润系数从100变为110，产品B的利润系数从80变为90，重新求解得到新的最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 2000。

可以看出，利润系数的变化对最优解有一定的影响，但最优解仍然是生产10个单位的产品A和10个单位的产品B。