新2021年高考数学精练考点08 利用导数研究函数的性质(学生版)

第3讲利用导数研究函数的性质【题型精讲】题型一：导数的几何意义1．（2021·陕西·西安中学高三期中）若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，则实数a 取值范围是（）A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．()0,∞+C．[)2,+∞D．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【详解】解：因为函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，所以()10f x x a x'=-+=在()0,∞+上有解，即1a x x =+在()0,∞+上有解，因为12x x +≥，所以2a ≥，故选：C.2．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数()2ln 21f x x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（）A．210x y +-=B．20x y --=C．0x y +=D．240x y --=【答案】C 【详解】解：∵()2ln 21f x x x x =-+的导数为()2ln 2f x x x x '=+-，∴()1121f '=-=-．∵()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x +=--，即0x y +=．故选：C．3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点P 在曲线22sin cos 22x xy =-上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦D．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D 【详解】22sin cos cos 22x xy x =-=- ，sin y x '∴=.设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率为0tan sin k x α==，1tan 1α∴-≤≤.0απ≤< ，30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∴∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：D4．（2021·全国·高三专题练习）点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦C．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】D 【详解】2311y x '=-≥-，即tan 1α≥-，又[)0,απ∈，所以30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，故选：D.5．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（理））函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（）A．(,2]-∞B．[)2,+∞C．(,2)-∞D．(2,)+∞【答案】C 【详解】由题意，函数()ln f x x ax =+的定义域(0,)+∞，且1()f x a x'=+，因为函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，即12a x +=有解，即12a x=-在(0,)+∞有解，因为0x >，可得10x >，则10x -<，可得122x-<，所以2a <，即实数a 的取值范围是(,2)-∞.故选：C.6．（2021·全国·高三专题练习）若函数2()ln f x a x bx =+在点()()1,1f 处的切线方程为y x =，则函数()y f x =的增区间为（）A．(0,1)B．0,2⎛ ⎝⎭C．,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】将1x =代入y x =得到1y =，所以切点为()1,1.因为()2af x bx x'=+，所以()()12111ln111f a b a f a b b ⎧=+==-⎧⎪⇒⎨⎨===⎩'+⎪⎩，所以()22221212x x x f x x x x x ⎛⎫⎛+- ⎪-⎝⎭⎝⎭'=-+==()0x >，当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()y f x =的增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C题型二：利用导数研究函数的单调性1、与函数的单调区间有关的问题1．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三月考（理））函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（）A．(),2-∞B．()0,3C．()1,4D．()2,+∞【答案】D 【详解】函数()()3xf x x e =-的定义域为R ，()(2)x f x x e '=-，令()0f x '>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞.故选：D.2．（2021·河南·高三月考（文））若函数()3213f x x ax x =--存在递减区间，则实数a 的取值范围是（）A．[]1,1-B．()(),11,-∞-+∞ C．()1,1-D．(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【详解】由题设，()221f x x ax '=-+，由()f x 存在递减区间，即存在x 使()0f x ¢<，∴2440a ∆=->，可得1a <-或1a >.故选：B3．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（）A．2k >B．1kC．1k >D．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴' 在区间(1,)+∞上恒成立．1k x∴ ，而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴ ．选项中只有0k >是1k的必要不充分条件.选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件.故选：D4．（2021·西藏·拉萨中学高三月考（文））函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是（）A．(,1)-∞B．(,1]-∞C．(1,)+∞D．[1,)+∞【答案】D 【详解】函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，即220y x x m '=++≥或220y x x m '=++≤(舍)在R 上恒成立440m ∴∆=-≤，解得m 1≥故选：D5．（2021·全国·高三月考（理））若()3213f x x ax =-的单调减区间是()4,0-，则a 的值是（）A．2-B．2C．4-D．4【答案】A 【详解】由题意，函数()3213f x x ax =-，可得()22f x x ax '=-，令()0f x '<，可得()20x x a -<，因为()f x 的单调减区间是()4,0-，可得24a =-，解得2a =-．故选：A.6．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（）A．(,1)-∞-B．(,1]-∞-C．(1,)+∞D．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-．故选：B7．（2021·宁夏·中宁一中高三月考（理））若21()ln(2)2f x x b x =-++在()1,+¥上是减函数，则b 的取值范围是（）A．()3,+∞B．[)3,+∞C．(]3,-∞D．(),3-∞【答案】C 【详解】由题知，21()ln(2)2f x x b x =-++，()2bf x x x '=-++.若()f x 在()1,+∞上是减函数，则()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，由()02b f x x x '=-+≤+得，()()2211b x x x ≤+=+-，当()1,x ∈+∞时，()()22111113x +->+-=，所以3b ≤.故选：C.8．（2021·江西宜春·模拟预测（文））“4m <”是“函数()22ln f x x mx x =-+在()0,∞+上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】若2()2ln f x x mx x =-+在(0,)+∞上单调递增，则1()40f x x m x'=-+≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，∴有14x m x +≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，即min 14m x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而144x x +≥=当且仅当12x =时等号成立，则4m ≤.∴“4m <”是“函数()22ln f x x mx x =-+在()0,∞+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A．9．（2021·浙江·高三专题练习）若函数()1ln f x kx x x =-+在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A．1[,)2+∞B．[1,)+∞C．[2,)+∞D．(,2]-∞-【答案】C 【详解】由()1ln f x kx x x =-+知，()211f x k x x'=--，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，即2110k x x --≥，则211k x x≥+在()1,+∞上恒成立，令()211g x x x =+，因为()23120g x x x '=--<在()1,+∞上恒成立，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()12g x g <=，所以2k ≥.故选:C .10．（2021·重庆市清华中学校高三月考）函数21()9ln 2f x x x =-在区间()2,1m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是（）A．[)0,1B．()0,1C．[]0,2D．()0,2【答案】A 【详解】解：()f x 的定义域是(0,)+∞，9(3)(3)()x x f x x x x+-'=-=，令()0f x '>，解得：3x >，令()0f x '<，解得：03x <<，故()f x 在(0,3)递减，在(3,)+∞递增，若函数21()92f x x lnx =-在区间(2,1)m m +上单调递减，则20m且013m <+ 且21m m <+，解得：01m < ，故选：A ．2、构造函数比较大小或解不等式1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+<，若2211(2(2),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A．a b c <<B．b c a<<C．a c b<<D．c a b<<【答案】B 【详解】解：令函数()()g x xf x =，因为定义域为R 的()y f x =是奇函数，所以函数()g x 为偶函数；()()()g x f x xf x ''=+，当0x >时，因为()()0f x f x x '+<，所以()()0xf x f x x'+<，所以()()0xf x f x '+<，即()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上为减函数，()()()()222111(),2(2)22,ln (ln )ln ln 3ln 3333333a f g b f g g c f g g g ⎛⎫⎛⎫===--=-====-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2ln 323<<，所以()()2ln 323g g g ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>.故选：B2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足1()()02f x f x '+>且有1(2)f e=，则()f x >）A．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C．(,2)-∞D．(2,)+∞【答案】D 【详解】设2()e ()x g x f x =，则221()e ()()2x x g x f x e f x ''=+，因为1()()02f x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 是R 上的增函数，(2)e (2)1g f ==，不等式()f x >2e ()1xf x >，即()(2)g x g >，所以2x >，故选：D．3．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()tan ()0f x x f x '+⋅>，则（）63ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64ππ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭46ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【详解】因为()tan ()0f x x f x '+⋅>，所以()sin ()0,cos xf x f x x'+⋅>cos ()sin ()0x f x x f x '∴⋅+⋅>，令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()2cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x'⋅+⋅'=>，所以()g x 单调递增，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为奇函数，(0)0g =，所以6430cos cos cos643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<<，即0643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A，C 错误；63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以063ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x为奇函数，所以063ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；64ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭064f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为()f x为奇函数，所以046ππ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 错误．故选：B4．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数()y f x =对任意的(0,)x π∈满足()cos ()sin f x x f x x '>（其中()f x '为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【详解】解：令()()cos g x f x x =，(0,)x π∈故()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=->，故()g x 在(0,)π递增，所以(()36g g ππ>，可得1()(236f f ππ>63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确；故选：D．5．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，'()()ln 20f x f x +<，则下列不等关系成立的是（）A．2(1)(0)f f >B．2(2)(1)f f >C．2(0)(1)f f >-D．()23log 32(1)f f <【答案】D 【详解】设()()2xh x f x =，则()()()()()22ln 22ln 2x x x h x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又()()ln 20f x f x '+<，20x >，所以()0h x '<，所以()h x 在(),-∞+∞上单调递减，由10>可得2(1)(0)f f >，故A 错；由21>可得22(2)2(1)f f <，即2(2)(1)f f <，故B 错；由01>-可得012(0)2(1)f f -<-，即2(0)(1)f f <-，故C 错；因为2log 31>，所以()()2log 31h h <，得()()23log 321f f <，故D 正确.故选：D6．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（）A．()()0af a e f =B．()()0af a e f ＞C．()()0af f a e <D．()()0af f a e >【答案】B 【详解】构造函数()()x f x F x e =，则()()()xf x f x F x e'-'=，因为()()f x f x '>，所以()()0f x f x '->，故()0F x '>，因此()F x 在R 上单调递增，所以对于任意的正数a ，有()()0F F a <，即()()00af f a e e <，即()()0af a f e <，又因为0a e >，所以()()0ae f f a <，结合选项可知B 正确，故选：B7．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））定义在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若恒有()()cos sin xf x f x x'>-，则下列不等式成立的是（）63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭B．63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎝⎭⎝⎭D．63f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【详解】令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=因为()()cos sin x f x f x x'>-，因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()cos sin 0f x x f x x '+<得()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x'+'=<所以()()cos f x g x x=在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故63g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63122f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭<，有63f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D8．（2021·江苏·苏州中学高三月考）已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为（）A．(,2019)-∞-B．(2023,2019)--C．(2023)-∞-,D．(2019,0)-【答案】A 【详解】解：设2()()g x x f x =，由()f x 为奇函数，可得22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，202()()f x xf x x '>>+，()[2()()]0g x x f x xf x ''∴=+>，()g x 单调递增，根据奇函数的对称性可知，()g x 在R 上单调递增，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<可转化为()2(2021)(2021)4(2)42x f x f f ++<--=，即()()20212g x g +<，20212x ∴+<即2019x <-，即(),2019x ∈-∞-．故选：A9．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意()(),0x R f x f x -'∈<恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式()4()123x e f x e f x +>-的解集为（）A．()4,+∞B．()1,4-C．(),3-∞D．(),4-∞【答案】D 【详解】设()()xf xg x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，因为对任意()(),0x R f x f x -'∈<，所以()0g x '>在R 上恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又4123()()x e f e f x x >-+等价于()()123123x x f x f x ee+-+->，即()(2)13g x g x +>-，因为()g x 在R 上单调递增，所以123,x x +>-解得4x <，所以原不等式的解集是(,4)-∞.故选：D.10．（2021·新疆喀什·模拟预测）定义在R 上的偶函数()f x 存在导数()f x '，且当0x >时，有()2f x x '>恒成立，若2(2)383(21)f m m m f m -++-<+，则实数m 的取值范围是（）A．1(3，)+∞B．(,3)-∞-C．1(3,)3-D．(-∞，13)(3-⋃，)+∞【答案】D 【详解】解：()f x 是R 上的偶函数，令2()()g x f x x =-，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，()g x ∴为偶函数，∴当0x >时，()()20g x f x x '='->，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，①2(2)383(21)f m m m f m -++-<+ ，222(21)(21)[(2)(2)](21)(2)(383)0f m m f m m f m f m m m ∴+-+----=+---+->，22(21)(21)(2)(2)f m m f m m ∴+-+>---，即(21)(2)g m g m +>-，∴由①得|21||2|m m +>-，展开得23830m m +->，解得，13m >或3m <-，故选：D ．题型三：利用导数研究函数的极值、最值1．（2021·河南·高三月考（理））函数221()e 4x f x x x x =---的极大值为（）A．12-B．12e-C．0D．14-【答案】B 【详解】函数221()e 4x f x x x x =---的定义域为R ，则()2()(21)e 1x f x x ¢=+-，令()0f x '=，解得0x =，12x =-，当12x <-或0x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当102x -<<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以当12x =-时，()f x 取得极大值1122e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故选：B2．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =处取得极小值0，若1[,]x m n ∀∈，2[,]x m n ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则n m -的最大值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C 【详解】解：函数32()2f x x ax bx =+++在1x =处取得极小值0所以()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即12031210a b a b +++=⎧⎨⨯+⨯+=⎩解得：0a =，3b =-()332f x x x ∴=-+由()2330f x x '=-=得：1x =±当(),1x ∈-∞-和()1,+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增当()1,1x ∈-时，()0f x '<，即()f x 单调递减所以()f x 的极大值为(1)4f -=，极小值为(1)0f =由()3324f x x x =-+=得：1x =-或2x =由()3320f x x x =-+=得：1x =或2x =-若1[,]x m n ∀∈，2[,]x m n ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则()()224max n m -=--=故选：C.3．（2021·山西太原·高三期中）若2x =是函数21()2ln 2f x ax x x =--的极值点，则函数（）A．有最小值2ln 2-，无最大值B．有最大值2ln 2-，无最小值C．有最小值2ln 2-，最大值2ln 2D．无最大值，无最小值【答案】A 【详解】由题设，2()1f x ax x'=--且(2)0f '=，∴220a -=，可得1a =.∴2(1)(2)()1x x f x x x x+-'=--=且0x >，当02x <<时()0f x '<，()f x 递减；当2x >时()0f x '>，()f x 递增；∴()f x 有极小值(2)2ln 2f =-，无极大值.综上，有最小值2ln 2-，无最大值.故选：A4．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（文））如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +=（）A．23B．43C．83D．4【答案】C【详解】由图示可知：()32f x x bx cx d =+++经过（0，0）、（1，0）、（2，0），所以有：()()()001020f f f ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即0108420d b c d b c d =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：032d b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()3232f x x x x =-+，()2362f x x x '=-+.由图示可知12,x x 是()3232f x x x x =-+的极值点，所以12,x x 是23620x x -+=的两根.所以()222121212482433x x x x x x +=+-=-=.故选：C5．（2021·全国·高三月考（理））已知函数21,0,()ln 1,0,x ax x f x ax x x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩若x ∈R 时，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．212,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B．(2,1)--C．(2,0)-D．(2,1)-【答案】A 【详解】因为(0)10=>f 成立，故原命题即()0f x >对任意的0x ≠成立，此时21()010()()1ln 10(ln )0x x a x x ax x xf x f x ax x x x x a x x x ⎧⎧+-<-+<⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨-+>⎪⎪+->⎩⎪⎩，，，，，由()0f x >得01x x a x <⎧⎪⎨+<⎪⎩且0ln x x x x a >⎧⎨+>⎩，当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-时等号成立，故2a >-；当0x >时，记()ln g x x x x =+，则()ln 2g x x '=+在(0)+∞，上为增函数，且2()0g e -'=，故min 21()g x e =-，即21a e <-，综合所述，a 的取值范围为21(2e --，.故选：A6．（2021·湖北·高三月考）已知函数()33f x x x =-，若函数()f x 在区间()2,8m m -上有最大值，则实数m 的取值范围为（）A．(3,-B．()3,1--C．()D．[)2,1-【答案】A 【详解】由()33f x x x =-得()2333(1)(1)f x x x x '=-=+-，∴当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，故1x =-是函数()f x 的极大值点，(1)132,f -=-+=令()332f x x x =-=，即2(1)(2)0x x x +--=，∴1x =-，或2x =，又函数()f x 在区间()2,8m m -上有最大值，∴222818182m m m m m ⎧<-⎪<-⎪⎨->-⎪⎪-≤⎩，解得3m -<≤故选：A.7．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知函数()2,01ln 1,13x x f x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩，若存在实数1x ，2x 满足1203x x ≤<≤，且12()()f x f x =，则21x x -的最大值为（）A．e 1-B．12C．51ln 322-D．1【答案】A 【详解】当01x ≤≤时，022x ≤≤，当13x <≤时，1ln 11ln 3x <+≤+，则[0,2](1,1ln 3](1,2]⋂+=，令12()()(1,2]f x f x t ==∈，则112,e 2t t x x -==，121e 2t t x x --=-，设1()e 2t tg t -=-，(1,2]t ∈，11()e 02t g t -'=->，即1()e 2t tg t -=-在(1,2]t ∈上单调递增，max ()(2)e 1g t g ==-，所以21x x -的最大值为e 1-.故选：A8．（2021·浙江·高三月考）已知a R ∈，函数()224()ln 2ln f x x a x x a =+++的最小值为()g a ，则()g a 的最小值为（）A．2e-B．1e-C．e-D．e 2-【答案】B 【详解】解：由题意得：4222ln ln l (n )a a x x x xf x +++=22(ln )ln ln a x x x x x=++≥令22()(ln )ln P a a x x x =++，其最小值为ln x x 再令()()ln g a Q x x x ==，则'()ln 1Q x x =+当1(0,)∈x e 时，函数()Q x 单调递减；当1(,)∈+∞x e 时，函数()Q x 单调递增.故1=x e 时，()min 1Q x e =-故()g a 的最小值为1e-.故选：B9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）“当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立”的一个必要不充分条件为（）A．[5,1]a ∈--B．[7,1]a ∈--C．[6,2]a ∈--D．[4,3]a ∈--【答案】B 【详解】当0x =时，不等式恒成立，当01x <≤时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，等价于23max43x x a x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，当20x -≤<时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，等价于23min43x x a x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x --=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x --==--，令1t x =，则3234y t t t =--+，'2981y t t =--+，可知函数3234y t t t =--+在11,9⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1(,1),,9⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以当(0,1]x ∈，即[1,)t ∈+∞时，当1t =时，max 6y =-，即()6max f x =-，所以6a ≥-，当[2,0)x ∈-时，即1,2t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，函数3234y t t t =--+在(,1)-∞-递减，在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，所以当1t =-时，min 2y =-，所以2a ≤-，综上，当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立的充要条件为62a -≤≤-，所以[7,1]a ∈--是“当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立”的一个必要不充分条件，故选：B10．（2021·北京·潞河中学高三月考）若函数()32231,0e ,0ax x x xf x x ⎧++≤=⎨>⎩在[]22-,上的最大值为2，则实数a 的取值范围是（）A．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．(],0-∞D．1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【详解】当20x -≤≤时，()32231f x x x =++，则()()26661f x x x x x '=+=+．当21x -≤<-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<．所以，函数()y f x =在1x =-处取得极大值，亦即最大值，即()()max 12f x f =-=．当0a >时，函数()ax f x e =在(]0,2上单调递增，由题意可知，()222af e =≤，得2ln 2a ≤，解得1ln 22a ≤，此时，10ln 22a <≤；当0a =时，且当02x <≤时，()12f x =≤合乎题意；当0a <时，函数()axf x e =在(]0,2上单调递减，此时，()()2012f f <=<，合乎题意．综上所述，实数a 的取值范围是1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：D【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()xf x f x x ->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（）A．()()2,00,2- B．()(),22,-∞-+∞ C．()()2,02,-+∞ D．()(),20,2-∞-【答案】C 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x 为奇函数，∴()f x x在(),0-∞上为增函数，∵()()220f f -==，若0x >，()202f =，所以2x >；若0x <，()202f -=-，()f x x 在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<，综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞ .故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数()2e 21xf x x x x =---的极大值为（）A．1-B．1e-C．ln 2D．()2ln 21--【答案】B 【详解】由()2e 21x f x x x x =---可得()()()()1e 221e 2x xf x x x x '=+--=+-，由()0f x '>可得：ln 2x >或1x <-，由()0f x '<可得1ln 2x -<<，所以()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,ln 2-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以1x =-时，()f x 取得极大值为()111121e ef -=--+-=-，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（）A．(,1)-∞-B．(,1]-∞-C．(1,)+∞D．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-．故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（）A．2k >B．1kC．1k >D．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴' 在区间(1,)+∞上恒成立．1k x∴ ，而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴ ．选项中只有0k >是1k的必要不充分条件.选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件.故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数2()ln 22x f x m x x =+-，()0,x ∈+∞有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A．(],0-∞B．(],1-∞C．[)1,-+∞D．()0,1【答案】D 【详解】22()2m x x mf x x x x-+'=+-=,因为()f x 有两个极值点，故()f x '有两个变号零点，故2x 2x m 0-+=在()0,∞+上有两个不同的解，故0440m m >⎧⎨∆=->⎩，所以01m <<，故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数()x x f x e e -=+（其中e 是自然对数的底数），若 1.5(2)a f =，0.8(4)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A．a b c <<B．c a b <<C．a c b<<D．b a c<<【答案】B 【详解】函数()x x f x e e -=+是偶函数，()x x f x e e -=-'，当0,()0;0,()0x f x x f x ''<<>>，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，因为2222log 5log 25log 325=<=， 2.5 1.55222<==⨯，所以 1.522log 5522<<⨯，则 1.51.60.82log 5224<<=，1.50.82221(log (log 5)(log 5)(2)(4)5f f f f f =-=<<，即c a b <<．故选：B．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（）A．(),1-∞B．(),2-∞C．()1,+∞D．()2,+∞【答案】A 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<'所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f ==由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +<所以1x <故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数2ln ,0(),1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（）A．e 1k -<≤B．11k e-<<C．e 0k -<<D．1ek -<<【答案】D 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10x e <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞；当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10ek -<<，故选：D．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数()x f x xe ax =+．则下列说法正确的是（）A．当0a =时，()min 1f x e=-B．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图象相切C．若函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则0a ≥D．若在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，则1a e≤-【答案】ABD【详解】解：对于A：当0a =时，()x f x xe =，则()()'+1+x x x f x xe e e x ==，令()'0f x =，得1x =-，所以当1x <-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当>1x -时，()'>0f x ，函数()f x 单调递增，所以()()1111f x f e e -≥-=-=-，所以()min 1f x e=-，故A 正确；对于B：当1a =时，()+x f x xe x =，则()'++1x x f x xe e =，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000+++1x x x y x e x e x e x x -=-，因为切线过原点，所以()()()00000000+++01x x x x e x x e x e -=-，解得00x =，此时()'000+0+12f e e =⨯=，所以直线2y x =与函数()f x 的图像相切，故B 正确；对于C：由函数()x f x xe ax =+得()()1+x f x x e a '=+，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()()1+0x f x x e a '=+≥在区间[)0,+∞上恒成立，即()1x a x e ≥--在区间[)0,+∞上恒成立，令()()1x g x x e =--，则()()'+2x g x x e =-，又令[)0,x ∈+∞，所以，()'0g x <，函数()g x 单调递减，所以()()000+21g x g e e ≤=-=，所以1a ≥，故C 不正确；对于D：在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，等价于2x xe ax x +≤在区间[]0,1上恒成立，当0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，x a x e ≤-恒成立，令()x h x x e =-，则()'1x h x e =-，令()'0h x =，得0x =，因为01x <≤，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()1111h x h e e ≥=-=-，所以1a e -≤，故D 正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数()()[)ln ,0,1e 44,1,x x f x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪+∈+∞⎪⎩(其中e 是自然对数的底数)，函数()()g x f x kx =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则（）A．实数k 的取值范围为()0,1B．实数k 的取值范围为()0,e C．123x x x 的取值范围为4,e ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭D．123x x x 的取值范围为()e,+∞【答案】AC【详解】由图可知，0,k >则方程44kx x-=+，即2440kx x -+=有两个正实数解，所以16160,k =-> 解得)1(0k ∈，；由图可知，12301,x x x <<<<所以234x x k⋅=，且11ln x k ex =-因为11ln 1x k ex =-<，则111x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21112311441,1ln x ex x x x x k x e ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设1)0(1lnx t =∈-，，则()24t e e g t t⋅=-，所以()()22421'0t g t t e e t ⋅-=->，即()g t 单调递增，又4()1g e -=，且0t ⇒时，()g t →+∞，所以()4,g t e ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：AC11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为()f x ¢，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（）A．()00f >B．()421f e >-C．()()()2021202021f ef e ->-D．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD【详解】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e '-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>，所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e +==，故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11x f x e+>，()0f x >，所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->，令()()2,1x f x h x x e +=>，则()()()20x f x f x h x e''--=>，所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f e e >++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-，故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x '是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x'>，则（）A．234f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．2426f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．()2cos116f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅ ⎪⎝⎭【答案】AD【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，又()()sin cos f x f x x x'>，所以()()cos sin f x x f x x '>．构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即46f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos166f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误；因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos133f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()21cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：AD.三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数3()5,(2,2)f x x x x =+∈-，若()2()20f t f t +->.则t 的取值范围为___________.【答案】(1,0)(0,2)- 【详解】3()5f x x x =+，()3()5f x x x f x -==---，函数为奇函数.2()350f x x '=+>，函数单调递增，()2()20f t f t +->，即()2(2)f t f t ->，故22222222t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得(1,0)(0,2)t ∈-⋃.故答案为：(1,0)(0,2)- .14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是________.【答案】(,3]-∞【详解】对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，∴不等式等价为1212()()f x a f x a x x ++<恒成立，令()()f x a h x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立，即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数；3()x e ax a h x x+-+=，则23()0x x xe e a h x x -+-'=在[1，)+∞上恒成立；30x x xe e a ∴-+- ；即3x x a xe e -- 恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在[1，)+∞上为增函数；()g x g ∴ （1）0=；30a ∴- ；3a ∴ ．a ∴的取值范围是(,3]-∞．故答案：(,3]-∞．15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()20f =，()()()0xf x f x x '<>，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【详解】令()()f x g x x=，则()2()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时．由()()xf x f x '<，得()0g x '<，所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上是减函数，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，∴()()()f x g x g x x--==--，∴()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，∴()g x 在(,0)-∞上递减，又(2)0f =，∴(2)(2)02f g ==，则()g x 的大致图象如图所示：∴02x <<时，()0>g x ，2x >时，()0<g x ，根据函数的奇偶性知，20x -<<时，()0<g x ，2x <-时，()0>g x ，当0x ≠时，()0xf x <等价于()0<g x ，当0x =时，()0xf x <不成立，∴不等式()0xf x <的解集为(2,0)(2,)-+∞ ，所以不等式()0xf x <的解集是(2,0)(2,)-+∞ ．故答案为：(2,0)(2,)-+∞ .16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数9()(),[1,9]g x x a a R x x=+-∈∈，则()g x 的值域是___________.设函数()|()|f x g x =，若对于任意实数a ，总存在0[1,9]x ∈，使得()0f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是___________【答案】[]6,10a a --(],2-∞【详解】（1）()()()223391x x g x x x +-'=-=，当[]1,3x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当[]3,9x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()()min 36g x g a ∴==-，又()()110,910g a g a =-=-，()max 10g x a ∴=-，故()g x 的值域是[]6,10a a --；（2） ()|()|f x g x =，当610a a -≥-，即8a ≥时，()max 66f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤，当610a a -<-，即8a <时，()max 1010f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤，综上，实数t 的取值范围是(],2-∞.故答案为：[]6,10a a --；(],2-∞。

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（ ）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（ ） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。

第8练 函数性质在运用中的巧思妙解题型一 直接考查函数的性质例1 “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件．破题切入点 首先找出f(x)在(0，＋∞)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件． 答案 充要解析 当a ＝0时，f(x)＝|(ax －1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件．题型二 函数性质与其他知识结合考查例2 函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn ，使得f (x1)x1＝f (x2)x2＝…＝f (xn )xn ，则n 的取值范围为________．破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果．答案 {2,3,4}解析 过原点作直线与函数y ＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取值范围是{2,3,4}．题型三 对函数性质的综合考查例3 已知函数f(x)＝x2＋aln x.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．破题切入点 (1)直接根据f′(x)<0确定单调递减区间．(2)g(x)在[1，＋∞)上单调，则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x， 故f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g′(x)＝2x ＋a x －2x2，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥2x －2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝2x －2x2， ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max ＝φ(1)＝0，∴a≥0.②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．总结提高 (1)函数单调性的等价结论：设x1、x2∈[a ，b]则(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0⇔f (x1)－f (x2)x1－x2>0⇔f(x)在[a ，b]上递增．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f (x1)－f (x2)x1－x2<0⇔f(x)在[a ，b]上递减．(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)＋g(x)也是增函数，－f(x)是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则．(3)求函数的单调性问题还可以求导．(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称．(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数．如f(x)＝f (x )＋f (－x )2＋f (x )－f (－x )2，f (x )＋f (－x )2为偶函数，而f (x )－f (－x )2为奇函数． (6)求函数的单调性要注意先研究定义域．1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝13x ＋2 013－a ，则f(log312)＝________. 答案 12 015×2 014解析 由题意，可知函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝130＋2 013－a ＝0， 解得a ＝12 014，所以当x≥0时，f(x)＝13x ＋2 013－12 014. 所以f(log32)＝13log32＋2 013－12 014＝12 015－12 014＝－12 015×2 014.从而f(log312)＝f(－log32)＝－f(log32)＝12 015×2 014.2．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝________.答案 337解析 ∵f(x ＋6)＝f(x)，∴T ＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×2 0106＝335.而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝335＋2＝337.3．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x ∈[－2－2，2＋2]，不等式f(x ＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 设x<0，则－x>0.f(－x)＝(－x)2，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－x2.∴f(x)在R 上为增函数，且2f(x)＝f(2x)．∴f(x ＋t)≤2f(x)＝f(2x)⇔x ＋t≤2x 在[－2－2，2＋2]上恒成立，∵x ＋t≤2x ⇔(2－1)x≥t ，要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t⇒t≤－2即可．4．(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2 解析 由题意知a>0，又log 21a ＝log2a －1＝－log2a.∵f(x)是R 上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log 21a)，∵f(log2a)＋f(log 21a)≤2f(1)， ∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)． 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2. 5．函数y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a ＝20.2·f(20.2)，b ＝ln 2·f(ln 2)，c ＝(log 2114)·f(log 2114)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 b>a>c解析 因为函数y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f(x)关于y 轴对称．所以函数y ＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，所以当x ∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，函数y ＝xf(x)单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf(x)单调递减．因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 1214＝2，从而0<ln 2<20.2<log 1214，所以b>a>c.6．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R ，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函数y ＝f(x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________．答案 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f(4.5)＝f(4＋12)＝f(12)，f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，f(6.5)＝f(4＋52)＝f(52)．又f(x)在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．7．已知函数f(x)是R 上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x ＋2)＝－f(x)，且当x ∈[0,2)时，f(x)＝log8(x ＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________．答案 13解析 当x≥0时，有f(x ＋2)＝－f(x)，故f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝－f(x ＋2)＝f(x)．由函数f(x)在R 上为偶函数，可得f(－2 013)＝f(2 013)，故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)，f(2 014)＝f(4×503＋2)＝f(2)．而f(1)＝log8(1＋1)＝log82＝13，f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝－log81＝0.所以f(－2 013)＋f(2 014)＝13.8．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，0<x≤2，－x ＋3，x>2. 当0<x≤2时，h(x)＝log2x 是增函数；当x>2时，h(x)＝3－x 是减函数，∴h(x)在x ＝2时，取得最大值h(2)＝1.9．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x ，因此f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x ，x≥0－x2－4x ，x<0不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0x2－4x>x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x<0－x2－4x>x ， 解得：x>5或－5<x<0.10．已知函数y ＝f(x)，x ∈R ，有下列4个命题：①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x ＝1对称；②y ＝f(x －2)与y ＝f(2－x)的图象关于直线x ＝2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x ＝2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x －2)，则f(x)的图象关于直线x ＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f(t)与y ＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f(x －2)与y ＝f(2－x)的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f(x ＋2)＝－f(x)，可得f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝4k(k ∈Z)对称，不能推得函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，由f(x)＝f(－x －2)，可得f(－x)＝f(x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故④正确．11．设函数f(x)对任意的a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R 上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m －2)<3.(1)证明 方法一 设x1<x2，∴Δx ＝x2－x1>0，∴f(Δx)>1，∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，∴f(x)是R 上的增函数．方法二 ∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1，∴f(0)＝1，∴f(0)＝f(x －x)＝f(x)＋f(－x)－1＝1，∴f(－x)＝2－f(x)．设x1<x2，∴x2－x1>0，∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)＋2－f(x1)－1＝f(x2)－f(x1)＋1>1，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)是R 上的增函数．(2)解 f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴f(3m2－m －2)<3＝f(2)．又由(1)的结论知f(x)是R 上的增函数，∴3m2－m －2<2，∴－1<m<43.12．已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a ，b 满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．解 (1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R ，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a(21x －22x )＋b(31x －32x )．∵21x <22x ，a>0⇒a(21x －22x )<0，31x <32x ，b>0⇒b(31x －32x )<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R 上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R 上是减函数．(2)f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x>0，当a<0，b>0时，⎝⎛⎭⎫32x>－a 2b ，则x>log1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a>0，b<0时，⎝⎛⎭⎫32x<－a 2b ，则x<log1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 故a<0，b>0时，x ∈(log1.5(－a 2b )，＋∞)；a>0，b<0时，x ∈(－∞，log1.5(－a 2b ))．。

导数专题·导数在研究函数中的应用考纲要求知识框图知识点一、利用导数研究函数的单调性1. 函数()y f x =在区间()a b ，内可导 （1）如果在()a b ，内，'()0f x >，则()f x 在此区间是增函数，()a b ，为()f x 的单调增区间． （2）如果在()a b ，内，'()0f x <，则()f x 在此区间是减函数，()a b ，为()f x 的单调减区间． （3）如果在()a b ，内，'()0f x =恒成立，则()f x 在此区间是常函数，不具有单调性． 小贴士：单调区间是指单调增区间或单调减区间． 2. 利用导数研究函数单调性的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数'()f x ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；（3）由'()0f x >（或0<）解出相应的x 的取值范围．当'()0f x >时，()f x 在相应的区间内是单调增函数；当'()0f x <时，()f x 在相应的区间内是单调减函数． 一般需要通过列表，写出函数的单调区间．小贴士：①单调区间不能用“”连接，应用“，”隔开或用“和”连接．②“()f x 在区间()a b ，内单调递减”可转化为“在区间()a b ，内'()0f x 且不恒为0”或“区间()a b ，是()f x 减区间的子集”二、利用导数研究函数的极值、最值1. 已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点．2.如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．3. 极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点．小贴士：极值点是个数，而不是个坐标． 1. 求函数()y f x =的极值的方法：（1）求函数()f x 的定义域 （2）求导数()f x '；（4）考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化． 如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值． 1.一般地，求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤： （1）求出函数()y f x =在()a b ，内所有极值； （2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2. 最值与极值的区别与联系：（1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题整体而言； （2）最值和极值都不一定存在；（3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 一. 利用导数解决某些实际问题1. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题．2. 利用导数解决生活中优化问题的基本思路为（1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系是()y f x =； （2）利用导数求出函数()y f x =的最值； （3）根据实际问题的意义给出答案．利用导数解决函数单调性问题()f x 在区间()a b ，内可导，“'()0f x ”是“()f x 在区间()a b ，上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件设函数()()21xf x x e x =--，求函数()f x 的单调区间．函数2()(2)e x f x x x =-的图像大致是（ ）已知R 上可导函数()f x 的图像如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（ ） A ．(,2)(1,)-∞-+∞ B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞已知函数单调性利用导数求参数范围已知函数2()(2),(,)R xf x x ax e x a =++∈．若()f x 在R 上单调，求a 的取值范围；利用导数求解极值与最值函数()y f x =在0x x =处是可导的，“0x 是()y f x =的极值点”是“0'()0f x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件已知函数()ln f x x x =-，求函数()f x 的极值．DCBA yyyyxxxxOOOO已知函数.93)(23a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间；（Ⅱ）若)(x f 在区间[22]-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．已知函数()ln ,f x x x =-求()f x 在2[e,e ]（e 2.71828=）上的值域已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．求：（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值．yxO 21利用导数构造函数，求解问题已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(12)x k f x x k =--=，，则（ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值 C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值已知函数，下列结论中错误的是（ ）A ．R ，B ．函数的图像是中心对称图形C ．若是的极小值点，则在区间0()x -∞，上单调递减 D ．若是的极值点，则已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点12x x ，12()x x <，则（ ）A ．121()0()2f x f x >>-，B ．121()0()2f x f x <<-，C ．121()0()2f x f x ><-，D ．121()0()2f x f x <>-，设函数()()()()()22e e 2208x f x x f x xf x f x f x x '+==>满足，，则时，（ ）C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值导数解决应用题已知函数()e x f x =，直线(0)x t t =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，O 为坐标原点，记OMN ∆的面积为()S t ，求函数()S t 的单调区间．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．2rCDB2r CAAB Oxy练习A【练1】已知函数2()(1)e xf x x x =+-，求函数()f x 的单调区间．【练2】已知函数21()2ln 4f x x x =-，求函数()f x 在[1e]，上的最大值和最小值．【练3】已知函数2()ln f x x x bx =++（其中b 为常数），在处取得极值，求的单调区间．【练4】 已知函数()2e 1xf x ax=+，其中a 为正实数，e 2.718=，21=x 是()x f y =的一个极值点，求a 的值．1x =()f x【练5】 已知函数()ln(1)f x x x =+-，求函数)(x f 的单调递减区间．【练6】 已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >，求函数()f x 的单调区间．【练7】 已知函数e ()1xf x x =-的定义域为(1,)+∞，求函数()f x 的单调区间．【练8】已知函数()ln f x x x =，求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值．【练9】已知函数()ln f x x x =-，求函数()f x 的极值．【练10】已知函数21()ln 2f x x x =+，求)(x f 在区间[1e]，上的最大值和最小值．【练11】 已知函数2()2ln f x x x =-，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数．【练12】已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，()f x 在1x =处取得极值，求a 的值．练习B【练1】 已知函数()(1)ln af x x a x a x=--+∈R ，，当1a >时，求()f x 的单调区间．【练2】已知函数（），试讨论在区间(01)，上的单调性．【练3】设函数()0)(2>+=a bx axx f ，若函数)(x f 在区间()11-，内单调递增，求b 的取值范围．11()()ln f x a x x a x=++-1a >()f x【练4】 已知函数，其中()(1)e xa f x x=+，其中0a >，讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性．【练5】设函数()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，求函数的最小值．【练6】2019年海淀一模文）已知函数3215()132f x x x a x =-+-． (I)当6a =时，求函数()f x 在(0+)∞，上的单调区间； (Ⅱ)求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．()f x练习C【练1】（2019年丰台一模文）已知函数e ()ln x af x a x x x=--．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围．函数()f x 在1x =处不可能取得极大值． （2）当e a >时，ln 1a >．【练2】（2019年朝阳二模理）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠).（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值.【练3】（2019年房山二模理）已知函数21()2sin +1,()cos 2f x x xg x x m x =-=+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在(0,)π上的单调区间；（Ⅲ）当1m >时，证明：()g x 在(0,)π上存在最小值.【练4】（2019年丰台一模理科）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.课后作业【习1】设函数1()2ln()f x x x=--+，求()f x 的极值．【习2】已知]1,0[∈x ，函数)21ln()(2+-=x x x f ，求函数)(x f 的单调区间和值域．【习3】（2018年丰台一模试题）已知函数()e (ln 1)()xf x a x a =-+∈R ．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()y f x =在1(,1)2上有极值，求a 的取值范围．【习4】（2017年西城期末）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．【习5】（2019年二模丰台理）已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（Ⅱ）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-．【习6】（2019年石景山区期末）已知函数()()ln f x x a x =+．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．.【习7】（2019年海淀区期末）已知函数()xax x f x -=e 2. （Ⅰ）当a =-1时，求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证:2()ef x >-对任意的(,)x ∈+∞0成立.。

第3讲 利用导数研究函数的性质【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】C 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->， ∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x 为奇函数， ∴()f x x在(),0-∞上为增函数， ∵()()220f f -==， 若0x >，()202f =，所以2x >； 若0x <，()202f -=-，()f x x 在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<， 综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞.故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数()2e 21xf x x x x =---的极大值为（ ）A ．1-B ．1e- C ．ln 2 D ．()2ln 21--【答案】B 【详解】由()2e 21xf x x x x =---可得()()()()1e 221e 2x x f x x x x '=+--=+-，由()0f x '>可得：ln 2x >或1x <-， 由()0f x '<可得1ln 2x -<<，所以()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,ln 2-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以1x =-时，()f x 取得极大值为()111121e ef -=--+-=-，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)+∞D ．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-． 故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A ．2k > B ．1k C ．1k > D ．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴'在区间(1,)+∞上恒成立． 1kx ∴， 而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴．选项中只有0k >是1k 的必要不充分条件. 选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件. 故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数2()ln 22x f x m x x =+-，()0,x ∈+∞有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．()0,1【答案】D 【详解】22()2m x x mf x x x x-+'=+-=,因为()f x 有两个极值点，故()f x '有两个变号零点，故2x 2x m 0-+=在()0,∞+上有两个不同的解，故0440m m >⎧⎨∆=->⎩，所以01m <<， 故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数()x x f x e e -=+（其中e 是自然对数的底数），若 1.5(2)a f =，0.8(4)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B 【详解】函数()x x f x e e -=+是偶函数，()x x f x e e -=-'，当0,()0;0,()0x f x x f x ''<<>>， 即函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，因为2222log 5log 25log 325=<=， 2.5 1.55222<==⨯，所以 1.522log 5522<<⨯，则 1.51.60.82log 5224<<=，1.50.82221(log )(log 5)(log 5)(2)(4)5f f f f f =-=<<，即c a b <<． 故选：B ．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（ ） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞ C ．()1,+∞ D ．()2,+∞【答案】A 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<' 所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f == 由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +< 所以1x < 故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数2ln ,0(),1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤B ．11k e-<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<【答案】D 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10x e <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10e k -<<，故选：D ．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数()xf x xe ax =+．则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，()min 1f x e=-B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图象相切C ．若函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，则1a e ≤-【答案】ABD 【详解】解：对于A ：当0a =时，()xf x xe =，则()()'+1+x x x f x xe e e x ==，令'0f x，得1x =-，所以当1x <-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当>1x -时，()'>0f x ，函数()f x 单调递增，所以()()1111f x f e e-≥-=-=-，所以()min 1f x e =-，故A 正确；对于B ：当1a =时，()+x f x xe x =，则()'++1xx f x xe e =，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000+++1x xx y x e x e x e x x -=-，因为切线过原点，所以()()()00000000+++01x x x x e x x e x e -=-，解得00x =，此时()'000+0+12f e e =⨯=，所以直线2y x =与函数()f x 的图像相切，故B 正确；对于C ：由函数()xf x xe ax =+得()()1+x f x x e a '=+，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()()1+0xf x x e a '=+≥在区间[)0,+∞上恒成立，即()1x a x e ≥--在区间[)0,+∞上恒成立，令()()1x g x x e =--，则()()'+2x g x x e =-，又令[)0,x ∈+∞，所以，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 所以()()000+21g x g e e ≤=-=，所以1a ≥，故C 不正确；对于D ：在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，等价于2x xe ax x +≤在区间[]0,1上恒成立，当0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，x a x e ≤-恒成立，令()xh x x e =-，则()'1x h x e =-，令()'0h x =，得0x =，因为01x <≤，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()1111h x h e e ≥=-=-，所以1a e -≤，故D 正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数()()[)ln ,0,1e44,1,x x f x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪+∈+∞⎪⎩(其中e 是自然对数的底数)，函数()()g x f x kx =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则（ ） A ．实数k 的取值范围为()0,1 B ．实数k 的取值范围为()0,e C ．123x x x 的取值范围为4,e ⎛+∞⎫⎪⎝⎭D ．123x x x 的取值范围为()e,+∞ 【答案】AC 【详解】由图可知，0,k >则方程44kx x-=+，即2440kx x -+=有两个正实数解， 所以16160,k =->解得)1(0k ∈，； 由图可知，12301,x x x <<<<所以234x x k⋅=，且11ln x k ex =-因为11ln 1x k ex =-<，则111x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21112311441,1ln x ex x x x x k x e ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设1)0(1lnx t =∈-，，则()24te e g t t⋅=-， 所以()()22421'0t g tt e e t ⋅-=->，即()g t 单调递增， 又4()1g e -=，且0t ⇒时，()g t →+∞，所以()4,g t e ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：AC11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为f x ，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（ ） A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD 【详解】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e '-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>， 所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e +==， 故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11xf x e +>，()0f x >， 所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->， 令()()2,1x f x h x x e +=>，则()()()20xf x f x h x e ''--=>， 所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f e e >++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-， 故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x '是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x '>，则（ ）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2cos116f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D ．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅ ⎪⎝⎭【答案】AD 【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，又()()sin cos f x f x x x'>，所以()()cos sin f x x f x x '>． 构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos166f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误； 因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos133f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()21cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确， 故选：AD. 三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数3()5,(2,2)f x x x x =+∈-，若()2()20f t f t +->.则t 的取值范围为___________. 【答案】(1,0)(0,2)- 【详解】3()5f x x x =+，()3()5f x x x f x -==---，函数为奇函数.2()350f x x '=+>，函数单调递增，()2()20f t f t +->，即()2(2)f t f t ->，故22222222t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得(1,0)(0,2)t ∈-⋃. 故答案为：(1,0)(0,2)-.14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是________. 【答案】(,3]-∞ 【详解】对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立， ∴不等式等价为1212()()f x a f x ax x ++<恒成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立， 即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数； 3()x e ax a h x x+-+=，则23()0x x xe e ah x x -+-'=在[1，)+∞上恒成立； 30x x xe e a ∴-+-；即3x x a xe e --恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在[1，)+∞上为增函数； ()g x g ∴（1）0=； 30a ∴-；3a ∴．a ∴的取值范围是(,3]-∞．故答案：(,3]-∞．15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()20f =，()()()0xf x f x x '<>，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【详解】 令()()f x g x x=，则()2()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时．由()()xf x f x '<，得()0g x '<， 所以函数()()f xg x x=在(0,)+∞上是减函数， 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=， ∴()()()f x g x g x x--==--， ∴()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数， ∴()g x 在(,0)-∞上递减，又(2)0f =，∴(2)(2)02f g ==， 则()g x 的大致图象如图所示：∴02x <<时，()0>g x ，2x >时，()0<g x ，根据函数的奇偶性知，20x -<<时，()0<g x ，2x <-时，()0>g x ， 当0x ≠时，()0xf x <等价于()0<g x ，当0x =时，()0xf x <不成立， ∴不等式()0xf x <的解集为(2,0)(2,)-+∞，所以不等式()0xf x <的解集是(2,0)(2,)-+∞． 故答案为：(2,0)(2,)-+∞.16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数9()(),[1,9]g x x a a R x x=+-∈∈，则()g x 的值域是___________.设函数()|()|f x g x =，若对于任意实数a ，总存在0[1,9]x ∈，使得()0f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是___________【答案】[]6,10a a -- (],2-∞ 【详解】 （1）()()()223391x x g x x x +-'=-=， 当[]1,3x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当[]3,9x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()()min 36g x g a ∴==-，又()()110,910g a g a =-=-，()max 10g x a ∴=-， 故()g x 的值域是[]6,10a a --； （2）()|()|f x g x =，当610a a -≥-，即8a ≥时，()max 66f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 当610a a -<-，即8a <时，()max 1010f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 综上，实数t 的取值范围是(],2-∞. 故答案为：[]6,10a a --；(],2-∞。

1 / 14利用导数研究函数的性质-2021年高考数学备考艺考生百日冲刺系列试题（新高考地区）专题09 利用导数研究函数的性质1.函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减. 2.函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值. (2)求可导函数的极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值. 3.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在区间(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4.方法技巧(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.题型一函数的单调性知识点拨：利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2.利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．2/ 143 / 14例1、（湖南省衡阳市第八中学2020届高三下学期高考适应性考试）已知函数f(x)=x 2−cosx ，则f (35),f(0),f (−12)的大小关系是（）A ．f(0)<f (35)<f (−12) B ．f(0)<f (−12)<f (35)C ．f (35)<f (−12)<f(0)D ．f (−12)<f(0)<f (35)【答案】B【解析】∵函数f(−x)=(−x)2−cos(−x)=x 2−cosx =f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(0.5)=f(−0.5)，f ′(x)=2x +sinx ，当0<x <π2时，f ′(x)=2x +sinx >0，函数在(0,π2)上递增，∴f(0)<f(0.5)<f(0.6)，即f(0)<f(−0.5)<f(0.6)，故选B ．变式1、（2019年江苏模拟）若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围_______________【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】：()'122fx x x =-,令()'102f x x =⇒=.∵函数()f x 在()1,1k k -+内不是单调函数，所以()11,12k k ∈-+，又因为()1,1k k -+是定义域()0,+∞的子区间，所以4 / 1410k -≥，综上可得：103112112k k k k -≥⎧⎪⇒≤<⎨-<<+⎪⎩ 答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式2、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数，函数（）.讨论的单调性；【解析】的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减； 变式3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数. 若在上是单调递增函数，求的取值范围；【解析】 ∵ 在上是单调递增函数,()()2ln 1sin 1f x x x =+++()1ln g x ax b x =--,,0a b ab ∈≠R ()g x ()g x ()0,∞+()a g x x bx'=-0a >0b <()0g x '>()g x ()0,∞+0a >0b >()0g x '>b x a >()0g x '<0b x a <<()g x 0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a <0b >()0g x '<()g x ()0,∞+0a <0b <()0g x '>0b x a <<()0g x '<b x a >()g x 0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭()()245xaf x x x a R e =-+-∈()Ⅰ()f x (),-∞+∞a ()1()f x (),-∞+∞5 / 14∴在上，恒成立，即： ∴设∴ ，∴当时，∴ 在上为增函数， ∴当时， ∴在上为减函数， ∴∵∴ ， 即 .题型二、利用导数研究函数的极值与最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【解析】因为，因为函数处有极小值，所以，所以由，得或， x R ∈()240xa f x x e =-+≥'()42xa x e ≥-()()42xh x x e =-R x ∈()()22xh x x e =-'(),1x ∈-∞()0h x '>()h x (),1x ∈-∞()1,x ∈+∞()0h x '<()h x ()1,x ∈+∞()()max 12h x h e ==()max 42x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦2a e ≥[)2,a e ∈+∞()32112f x x x ax =-++()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =6 / 14当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.故选：D.变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭()21ln 2f x x a x =-()0,2()0,2()()2,00,2-()0,4()()4,00,4-2()a x a f x x x x -'=-=()f x (0,2)()f x '(0,2)02a >⎧⎪<(0,4)a ∈2()ln f x x x x =+0x ()f x7 / 14A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】函数,,∵是函数的极值点，∴，即，,,,即A 选项正确,B 选项不正确;,即C 正确,D 不正确.故答案为:AC.变式3、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是M ，极小值是m ，则M -m( ) A ．与有关，且与有关 B ．与有关，且与无关 C ．与无关，且与无关 D ．与无关，且与有关【答案】C【解析】∵，∴，令，得，或，010x e<<01x e>00()20f x x +<00()20f x x +>2()l (),n 0f x x x x x =+>()ln 12f x x x '∴=++0x ()f x ()'00f x =00ln 120x x ∴++=120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭0,()x f x '→→-∞010x e∴<<()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<3()()3f x x a x b =--+a b a b a b a b 3()()3f x x a x b =--+2()3()3f'x x a =--2()3()30f'x x a =--=1x a =-1x a =+8 / 14当x 变化时，、的变化如下表：∴，，∴， 故选：C ．题型三、利用导数研究函数性质的综合例3、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵只有一个零点， ∴函数与函数有一个交点，作函数函数与函数的图象如下，'()f x ()f x ()(1)13123f a a bM a b -=---+=-+=()(1)13123m f a a b a b =+=-++=--+4M m -=()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x x a =-+a ()()g x f x x a =-+()y f x =y x a =-()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩y x a =-9 / 14结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点； 当时，，可得，令可得，所以函数在x=2时，直线与相切，可得a=2. 综合得：或a=2. 故选：ABC.变式1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数，下列判断正确的是（ ）A ．X=2是的极大值点B ．函数有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得成立D ．对任意两个正实数，，且，若，则. 【答案】BD【解析】A .函数的 的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ），∴（0，2）上，f ′（x ）＜0，函数单调递减，（2，+∞）0a ≤()y f x =y x a =-0a >ln(1)y x =-11y x '=-111x =-2x =ln(1)y x =-0a ≤()2ln f x x x=+()f x yf xx ()f x kx >1x 2x 12x x >()()12f x f x =124x x +>22212x x x x-=-+=10 / 14上，f ′（x ）＞0，函数单调递增，∴x ＝2是f （x ）的极小值点，即A 错误；B .y ＝f （x ）﹣x lnx ﹣x ，∴y ′10， 函数在（0，+∞）上单调递减，且f （1）﹣1=2+ln 1﹣1=1>0，f （2）﹣2=1+ln 2﹣2= ln 2﹣1<0，∴函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确；C .若f （x ）＞kx ，可得k ，令g （x ），则g ′（x ）， 令h （x ）＝﹣4+x ﹣xlnx ，则h ′（x ）＝﹣lnx ，∴在x ∈（0，1）上，函数h （x ）单调递增，x ∈（1，+∞）上函数h （x ）单调递减， ∴h （x ）⩽h （1）＜0，∴g ′（x ）＜0，∴g （x ）在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，即C 不正确； D .令t ∈（0，2），则2﹣t ∈（0，2），2+t ＞2，令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ）ln （2+t ）ln （2﹣t ）ln ， 则g ′（t ）0， ∴g （t ）在（0，2）上单调递减，则g （t ）＜g （0）＝0，令x 1＝2﹣t ，由f （x 1）＝f （x 2），得x 2＞2+t ，则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4，当x 2≥4时，x 1+x 2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞4，故D 正确2x =+221x x =-+-222x x x-+-=＜22lnx x x +＜22lnx x x =+34x xlnxx -+-=22lnxx x=+22t =++22t ---244t t =+-22tt+-()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)t t t t t t t t t t t t t ----++---=+⋅=+=-+----＜11 / 14故正确的是BD ，故选：BD ．1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数，其中.求函数的单调区间；【解析】函数的定义域为, ,令,得或x=e,因为,当或时,,单调递增；当时,,单调递减,所以的增区间为,；减区间为2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数，曲线在点处的切线在y 轴上的截距为. （1）求a ；2213()ln 224f x x ax x ax x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭0a e <<()f x ()f x {}|0x x >()()()211313ln 2ln 22222f x x a x x ax a x x a x x a a x x⎛⎫'=-+-⋅+-=-+-+- ⎪⎝⎭()()ln ()(ln 1)x a x x a x a x =---=--()0f x '=x a =0a e <<0x a <<x e >()0f x '>()f x a x e <<()0f x '<()f x ()f x ()0,a (),e +∞(),a e ()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>()y f x =(1,(1))f 2ln 33-12 / 14（2）讨论函数和的单调性；【解析】（1）对求导，得. 因此.又因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 由题意，. 显然a=1，适合上式.令， 求导得， 因此为增函数：故a=1是唯一解.（2）由（1）可知，， 因为， ()()2g x f x x =-(0)x >2()()21x h x f x x =-+(0)x >()ln(2)f x x a =+2()2f x x a'=+2(1)2f a'=+(1)ln(2)f a =+()y f x =(1,(1)f 2ln(2)(1)2y a x a-+=-+22ln(2)22y x a a a=++-++22ln(2)ln 323a a +-=-+2()ln(2)2a a aϕ=+-+(0)a >212()02(2)a a a ϕ'=+>++()a ϕ()ln(21)2g x x x =+-(0),x >2()ln(21)21x h x x x =+-+(0)x >24()202121x g x x x '=-=-<++13 / 14所以为减函数.因为， 所以为增函数. 3、（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数．当时，讨论的单调性；【解析】函数的定义域为.， 因为，所以，①当，即时，由得或，由得，所以在，上是增函数， 在上是减函数；②当m -1=1，即m=2时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减；()()2g x f x x =-(0)x >222()21(21)h x x x '=-++240(21)x x =>+2()()12x h x f x x=-+(0)x >()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭1m ()f x ()f x (0,)+∞'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x -+----==1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -14 / 14 当m=2时，在.上是单调递增；当时在(0,1)，上是单调递增，在(1,m -1)上是单调递减. 4、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数.(1)求证:当时,对任意恒成立;(2)求函数的极值;【解析】 (1),,在上为增函数,所以当时,恒有成立;(2)由当在上为增函数,无极值当在上为减函数,在上为增函数,有极小值,无极大值,综上知:当无极值,当有极小值,无极大值.()f x ()0,∞+2m >()f x ()1,m -+∞()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+1a ≤()()0,,0x f x ∈+∞>()g x ()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，1cos 1x -≤≤()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，()sin f x x a x =-()0+∞，()0,x ∈+∞()()00f x f >=()()()ln ,10mx mg x x m x g x x x x +'=+∴=+=>()00m g x '≥>，()g x ()0+∞，()()0,00;0m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，()g x ()0m -，(),m -+∞()x m x ∴=-，g ()ln m m m -+-()0m g x ≥，()0m g x <，()ln m m m -+-。

考点08 利用导数研究函数的性质1、了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次函数的多项式函数的单调性。

2、了解函数极大（小）值、最大（小）值与导数的关系，会求不超过三次函数的多项式函数的极大（小）值、最大（小）值。

利用导数研究函数的单调性、奇偶性、极值和最值是近几年高考的热点和难点，在考查中主要以压轴题的方式出现，难度较大。

纵观这几年江苏高考不难发现主要利用导数研究函数的单调性以及零点和不等式等知识点的结合。

因此在复习中要注意加强函数的性质的研究和学习。

1、利用导数研究函数的单调性要注意一下两点：（1）求函数的单调性不要忘记求函数的定义域。

（2）给定区间的单调性不要忽略等号；2、利用导数求函数的单调区间，这类问题常于含参的不等式结合，要重视分类讨论的思想和数形结合的思想的应用。

3、求参数的取值范围，这类问题可以转化为研究函数的极值或者最值问题；1、【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：2、【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.4、【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞. 5、【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3ax =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为3-.6、【2020年全国1卷】.已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，由于()20xf x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112x e x x g x x ---=-，()()231212x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-， 令()()21102xe x x h x x ---≥=， 则()1xh x e x '=--，()10xh x e ''=-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=， 故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=， 由()0h x ≥可得：21102xe x x ---恒成立， 故当()0,2x ∈时，0g x ，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；因此，()()2max724e g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 7、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【解析】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 8、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【解析】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln x f x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x aex -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，011x aex -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). 解法二：()111x lna x f x aelnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+， 令()1h x lnx x =-+,则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 10、【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+. 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.11、【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=， 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q'x=+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=>⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()xf x ． 综上所述，所求a的取值范围是⎛ ⎝⎦．题型一 函数的单调性1、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>,若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是( )A ．3ln 30,2+⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()0,2ln 2+C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，()()1'1f x a x=+-，()()1ln111f a a =+-+= 当1a ≤时，函数单调递增，不成立； 当1a >时，函数在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递增；有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >，故()20f >且()30f ≤ 即ln 2220,ln 22a a a +-+>∴<+；ln 33ln 3330,2a a a ++-+≤∴≥ 故选：C .2、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】根据题意设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x'+'=，又当02x π<<时，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，所以()g x是偶函数，所以()()4()cos 4cos 4cos cos 4f f x f x f x x x x ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭<→<⇒<⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得 24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B.3、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数()2xxf x e ex -=--，则不等式()()2210f x f x -+≤的解集为_____________.【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为()2xxf x e ex -=--,所以()2(2)()x x x x f x e e x e e x f x ---=-+=---=-,所以函数()f x 为奇函数,因为()()()(2)2xxxxf x e e x e e --''''=--=+-2220≥=-=(当且仅当0x =时,等号成立)所以函数()f x 为R 上的递增函数,所以不等式()()2210f x f x -+≤可化为()2(21)f x f x -≤-,所以根据函数()f x 为奇函数可化为2(21)()f x f x -≤-,所以根据函数()f x 为增函数可化为221x x -≤-,可化为2210x x +-≤, 可化为(21)(1)0x x -+≤, 解得:112x ≤≤-, 所以不等式()()2210f x f x -+≤的解集为:1[1,]2-.故答案为1[1,]2-4、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；【解析】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减； 当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.5、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-． （1）求函数()f x 的单调区间； 【解析】(1)由()(1)=0ax ax f x a e a a e =-'=⋅-,解得0x =．①若0a >,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减． 综上所述,()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增．6、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）设a R ∈，函数()32221f x x ax a x =-+-，()f x '为函数()f x 的导函数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x '与函数()f x 存在相同的零点，求实数a 的值； （3）求函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值. 【解析】（1）因为()32221f x x ax a x =-+-所以()()()22343f x x ax a x a x a '=-+=--，当0a =时，()0f x '≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a <时，当x a <或3ax >时，()0f x '>，当3a a x <<时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(),a -∞和在,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 同理当0a >时，函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和在(),a +∞上单调递增，在,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，函数()f x '的零点是0，而()01f =-，所以不合题意，舍去；当0a ≠时，函数()f x '的零点是a 和13a ， 因为()10f a =-≠，所以由函数()f x '与函数()f x 存在相同的零点，得03a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即3332102793a a a -+-=，解得a =（3）由（1）得，当1a ≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，此时函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()212f a a =-；当13aa ≤<，即13a 时， 函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()1f a =-； 当13a>，即3a >时， 因为()212f a a =-，()1f a =-，所以()()1f f a >，此时函数的最小值为()1f a =-.所以函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为22,1,1, 1.a a a a ⎧-≤⎨->⎩ 题型二 利用导数研究函数的极值与最值1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．()()2,00,2- C ．()0,4 D ．()()4,00,4-【答案】C【解析】2()a x af x x x x -'=-=,由于函数()f x 在(0,2)上有极值点，所以()f x '在(0,2)上有零点.所以02a >⎧⎪<，解得(0,4)a ∈. 故选：D.2、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数3()()3f x x a x b =--+的极大值是M ，极小值是m ，则M m -( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 有关【答案】C 【解析】∵3()()3f x x a x b =--+， ∴2()3()3f'x x a =--，令2()3()30f'x x a =--=，得1x a =-，或1x a =+， 当x 变化时，'()f x 、()f x 的变化如下表：∴()(1)13123f a a b M a b -=---+=-+=，()(1)13123m f a a b a b =+=-++=--+，∴4M m -=， 故选：C ．3、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ） A ．14B ．12 C ．34D ．1【答案】B【解析】f ′（x ）＝x 2+2mx +1，若函数f （x ）有极值点，则f ′（x ）有2个不相等的实数根， 故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142==， 故选：B ．4、（2019年北京101中学月考）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m(0)m >，则函数()()()F x g x f x =-（ ）A ．有极小值，没有极大值B ．有极大值，没有极小值C ．至少有两个极小值和一个极大值D ．至少有一个极小值和两个极大值【答案】C 【解析】如图，由图像可知，直线y kx =与曲线()y f x =切于a ，b ， 将直线向下平移到与曲线()y f x =相切，设切点为c ，当x a <时，()f x 单调递增，所以有'()0f x >且()()f x f a k ''>=．对于()()()F x g x f x =-=()kx m f x +-，有()()0F x k f x ''=-<，所以()F x 在x a <时单调递减；当a x c <<时，()f x 单调递减，所以有'()0f x <且()()f x f a k ''<=．有()()0F x k f x ''=->，所以()F x 在a x c <<时单调递增； 所以x a =是()F x 的极小值点．同样的方法可以得到x b =是()F x 的极小值点，x c =是()F x 的极大值点． 故选C ．5、（2019年北京人民大学附属中学月考）已知0a >且1a ≠，函数32232,0()1,0xx x x f x a x ⎧++≤=⎨+>⎩在[2,2]-上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(1,2] B． C ．(0,1)[2,)+∞ D ．(0,1)(1,2)【答案】A【解析】当0x ≤时，32()232f x x x =++，2'()666(1)f x x x x x =+=+，由'()0f x >得0x >（舍）或21x -≤<-，此时()f x 为增函数， 由'()0f x <得10x -<≤，此时()f x 为减函数， 则当1x =-时，()f x 取得极大值，极大值为(1)3f -=， 当2x =-时，()f x 取得最小值，最小值为(2)2f -=-， ∵()f x 在[2,2]-上的最大值为3，∴当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值不能超过3即可，当1a >时，()f x 为增函数，则当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值为2(2)13f a =+≤，即22a ≤，得1a <≤当01a <<时，()f x 为减函数，则0()1112f x a <+=+=，此时满足条件．综上实数a 的取值范围是01a <<或1a <≤故选A ．6、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A ．010x e <<B ．01x e >C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>【答案】AC【解析】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=， 120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭, 0,()x f x '→→-∞,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确; ()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<,即C 正确,D 不正确.故答案为:AC.7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知函数()[)2,b f x x a x a x=++∈+∞，，其中0a >，b R ∈，记(),m a b 为()f x 的最小值，则当(),4M a b =时，b 的取值范围为___________.【答案】()2-∞，【解析】函数()[2)b f x x a x a x++∈+∞＝，，， 导数()221b f x x'-＝， 当0b ≤时，()0f x '＞，()f x 在[)x a ∈+∞，递增，可得()f a 取得最小值， 且为22b a a +，由题意可得22400b a a b a+≤＝，＞，方程有解；当0b ＞时，由()2210b f x x '-＝＝，可得x 负的舍去)，当a ≥()0f x '＞，()f x 在[)x a ∈+∞，递增，可得()f a 为最小值， 且有22400b a a b a+＝，＞，＞，方程有解；当a ()f x 在[a 递减，在)+∞递增，可得f 为最小值，且有4a +，即40a -＝，解得02b ＜＜.综上可得b 的取值范围是()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 8、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）已知a R ∈，实数x ，y 满足方程22ln 0x x y -+=，则()()222a x a y -+--的最小值为______. 【答案】0【解析】设(),2A a a -，(),B x y ，则()()2222a x a y AB -+--= (),2A a a -在直线2y x =-上，(),B x y 在曲线22ln y x x =-+， ∴求AB 的最小值，即为求曲线22ln y x x =-+上的点到直线2y x =-上的点的距离的最小值。

函数与导数函数与导数问题是高考数学的必考内容。

从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。

此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想，难度较大。

题型一：利用导数研究函数的单调性题型二：利用导数研究函数的极值题型三：利用导数研究函数的最值题型四：利用导数解决恒成立与能成立题型五：利用导数求解函数的零点题型六：利用导数证明不等式题型七：利用导数研究双变量问题题型八：利用导数研究极值点偏移问题题型九：隐零点问题综合应用题型十：导数与数列综合问题题型一：利用导数研究函数的单调性1(2024·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=x22+ax-(ax+1)ln x在x=1处的切线方程为y=bx+52(a,b∈R).(1)求a，b的值；(2)证明：f x 在1,+∞上单调递增.1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.2、求函数单调区间的步骤(1)确定函数f x 的定义域；(2)求f x (通分合并、因式分解)；(3)解不等式f x >0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f x <0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3、含参函数单调性讨论依据：(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义)；(2)导函数的零点在不在定义域或区间内；(3)导函数多个零点时大小的讨论。

1(2024·安徽六安·高三统考期末)已知函数f x =x3+ax-6a∈R.(1)若函数f x 的图象在x=2处的切线与x轴平行，求函数f x 的图象在x=-3处的切线方程；(2)讨论函数f x 的单调性.2(2024·辽宁·校联考一模)已知f x =sin2x+2cos x.(1)求f x 在x=0处的切线方程；(2)求f x 的单调递减区间.题型二：利用导数研究函数的极值1(2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试)已知直线y=kx与函数f(x)=x ln x-x2+x的图象相切.(1)求k的值；(2)求函数f x 的极大值.1、利用导数求函数极值的方法步骤(1)求导数f (x)；(2)求方程f (x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根x0附近，从左到右导函数f (x)的符号如何变化．①如果f (x)的符号由正变负，则f (x0)是极大值；②如果由负变正，则f (x0)是极小值；③如果在f (x)=0的根x=x0的左右侧f (x)的符号不变，则不是极值点．根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.2(2024·广东汕头·统考一模)已知函数f x =ax-1x-a+1ln x a∈R.(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点e,f e处的切线方程；(2)若f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.3(2022·河南·高三专题练习)已知函数f(x)=e x-ax312，其中常数a∈R.(1)若f x 在0,+∞上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若a=4，设g(x)=f(x)+x33-x2-x+1，求证：函数g x 在-1,+∞上有两个极值点.题型三：利用导数研究函数的最值1(2024·江苏泰州·高三统考阶段练习)已知函数f x =x4+ax3，x∈R．(1)若函数在点1,f1处的切线过原点，求实数a的值；(2)若a=-4，求函数f x 在区间-1,4上的最大值．函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则求函数f(x)最值的步骤为：(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；(3)实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。

高考数学专题复习：用导数研究函数的性质一、单选题1．若函数()sin f x x t x =+在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2,)-+∞B ．(2,)-+∞C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞2．若直线l 是曲线()()0xf x ae a =>的切线，且l 又与曲线2()g x x=相切，则a 的取值范围是（ ） A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．260,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．26,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知4ln 0,5ln 0,6ln 0456a b ca b c -=≠-=≠-=≠，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c <<D ．a c b <<4．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数()f x '满足()()6xf x f x '<，则必有（ ） A ．()()6412f f < B ．()()811163f f > C ．()()424f f >D ．()()7292643f f >5．若函数328()2()43f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,8- B ．17,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),28,-∞-+∞ D ．()(),22,-∞-+∞6．若过点()(),0a b a >可以作曲线33y x x =-的三条切线，则（ ） A ．3b a <- B ．333a b a a -<<- C ．33b a a >-D ．3b a =-或33b a a =-7．若函数()f x mx =+[]1,4上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的偶函数，当()0,x ∈+∞时，()ln xf x x=，设2a f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2e b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．设函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y xf x '=的图像如图所示，则（ ）A ．()f x 的极大值为f，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为()3f -，极小值为()3fD ．()f x 的极大值为()3f ，极小值为()3f - 10．函数()()ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．[),0e - B ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[),e -+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()f x 的定义域为[]3,3-，其导函数为()f x '，对任意()(),x R f x f x '∈>恒成立，且()11f =，则不等式()xef x e >的解集为（ ）A ．(]1,3B ．()1,+∞C ．[)3,1-D ．()1,1-12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''->且，()30f =，则不等式()()0f x g x >的解集是（ ）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),30,3-∞-二、填空题13．“当0a >时，函数()4ln f x x ax =-在区间(0,1)上不是单调函数”为真命题的a 的一个取值是________．14．设0a >，若函数()1ln x f x x +=在区间2,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则a 的取值范围是________.15．函数())0f x x π=<<的极小值为________.16．函数1()sin 2f x x x =-，(0,)x π∈的单调减区间是________．三、解答题 17．已知函数21()1ln ()2f x x a x a R =--∈． （1）若a =1，求函数y =f (x )的单调区间；（2）求证：当a >0时，函数f (x )的最小值小于零 ．18．已知函数()()xf x axea R =∈，()()ln 1g x x kx k R =++∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）若1k =时有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．19．已知函数2()1x f x e x ax =---． （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若0x >，证明：()()21ln 1xe x x -+>．20．已知函数()()()22ln 24a f x a x x a x a R =-+--∈.（Ⅰ）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行时，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当函数()f x 在区间()1,4单调递增时，求实数a 的取值范围.21．已知函数()2ln f x ax x =-． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当12a >时，()3f x >恒成立．22．已知函数2()ln 2m F x x x x =-+． （1）讨论()F x 的单调性；（2）关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值．参考答案1．C 【分析】由题设，函数区间单调性有()0f x '≥，即1cos t x ≥-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，根据1cos y x=-的区间最值求t 的范围. 【详解】由题意知：()1cos 0f x t x '=+≥在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，∴1cos t x ≥-在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，而1cos y x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭递减，则1y <-， ∴1t ≥-. 故选：C. 2．A 【分析】由()f x ，()g x 的图象可得切点在第一象限，设切点分别为(,)mm ae ，2(,)n n ，求得()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率，求得切线方程，由直线重合的条件，可得m ，n 的关系，即有a ，m 的关系，构造函数()h m ，求得导数和单调性，可得极大值，且为最大值，即可得到所求范围． 【详解】由曲线()(0)xf x ae a =>的切线，且l 又与曲线2()g x x =相切，可得切点在第一象限，设切点分别为(,)mm ae，2(,)n n ，()(0)x f x ae a =>的导数为()x f x ae '=，2()g x x =的导数为()2g x x '=，可得直线l 的方程为()m my ae ae x m -=-，即为·(1)?m my ae x m ae =+-， 又直线l 的方程为22()y n n x n -=-， 即为22y nx n =-，可得2m n ae =，2(1)?m m ae n -=-， 即有1222mn m ae =-=， 即有14m a m e-=，0m >， 设1()mm h m e -=，0m >，2()m m h m e -'=，当2m >时，()0h m '<，()h m 递减； 当02m <<时，()0h m '>，()h m 递增． 即有2m =时，()h m 取得极大值，且为最大值21e ， 可得214ae ，即240a e <，即a 的范围是(0，24]e ． 故选：A ． 3．A 【分析】根据给定条件构造函数()ln (0)f x x x x =->，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解. 【详解】令函数()ln (0)f x x x x =->，则11()1x f x x x'-=-=，则有()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，()f x 值都趋近于正无穷大， 由4ln04aa -=≠得，ln 4ln4a a -=-，即()(4)f a f =，且4a ≠， 显然01a <<，若1a ≥，而()f x 在(1,)+∞上单调递增，由()(4)f a f =必有4a =与4a ≠矛盾，因此得01a <<， 同理，由5ln 05bb -=≠得()(5)f b f =，且5b ≠，并且有01b <<， 由6ln06cc -=≠得()(6)f c f =，且6c ≠，并且有01c <<， 显然有(4)(5)(6)f f f <<，于是得()()()f a f b f c <<，又()f x 在(0,1)上单调递减， 所以c b a <<. 故选：A思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系， 抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 4．D 【分析】 构造函数()()6f x g x x=，0x >，利用导数判断函数()g x 在()0,∞+上单调递减，根据单调性即可判断出选项. 【详解】由()()6xf x f x '<，得()()656x f x x f x '<.设()()6f xg x x =，0x >，则()()()760xf x f x g x x '-'=<， 故()g x 在()0,∞+上单调递减， 则()()()()1234g g g g >>>，则()()6412f f >，()()7292643f f >，但由于()1f ，()2f ，()3f ，()4f 的正负不确定， 所以()()811163f f >，()()424f f >都未必成立. 故选：D 5．C 【分析】求出导函数()'f x ，再由一元二次方程()0f x '=有两个不等实根即可得解. 【详解】216()3223f x x ax a '=+++，根据题意知方程21632203x ax a +++=有两个不等实根，于是得216412(2)03a a ∆=-+>，整理得26160a a -->，解得8a >或2a <-， 所以a 的取值范围是()(),28,-∞-+∞.故选：C 6．B切点()3,3P m m m -，写出切线方程，结合切线过点()(),0a b a >，整理成关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，结合函数单调性求解.【详解】233y x '=-设切点()3,3P m m m -，切线方程()()()32333y m m m x m --=--，切线过点()(),0a b a >，()()32333b m m m a m -+=--，整理得：322330m am a b -++=，由于可以作三条切线， 所以关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，()32233g m m am a b =-++，()266g m m am '=-，令()2660g m m am '=-=，0m =或(),0m a a =>.函数()32233g m m am a b =-++的增区间为()(),0,,a -∞+∞，减区间为()0,a ，所以函数极大值()03g a b =+，极小值()33g m a a b =-++，关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，所以33030a a b a b ⎧-++<⎨+>⎩，所以33,33b a a b a a >-<<-. 故选：B 7．D 【分析】由题意可得()0f x m'=≥在[]1,4上恒成立，然后分离参数m ，从而可求出其范围 【详解】由题意可得()0f x m'=≥在[]1,4上恒成立， 即m≥在[]1,4上恒成立，故12m ≥-. 故选：D 8．D 【分析】根据函数奇偶性只需研究()1,x e ∈函数的单调性，即可判定大小关系. 【详解】由题意知，22a f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22e e b f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()ln 4ln 24242c f f ====.当()1,x e ∈时，()ln ln x x f x x x ==，()21ln xf x x -'=，因为()1,x e ∈，所以ln 1x <，即0f x ，所以()f x 在()1,e 上单调递增，因为1222e e π<<<<，∴c a b >>. 故选：D 9．D 【分析】根据图像得出()0f x '<的符号，进而确定函数()f x 的单调性，最后得出答案. 【详解】当(),3x ∈-∞-时，()0y xf x '=>，∴()0f x '<，()f x 单调递减；同理可得，当()3,3x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增；当()3,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()f x 的极大值是()3f ，()f x 的极小值是()3f -. 故选：D. 10．B 【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数可求得函数()f x 的单调递减区间. 【详解】函数()()ln f x x x =-的定义域为(),0-∞，且()()ln 1f x x '=-+，令()0f x '≤，解得10x e -≤<，所以()f x 的单调递减区间是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 11．A 【分析】由题意不等式等价于()1x f x e e >，构造()()xf xg x e=，求出()()1g x g >的解集，结合[]3,3x ∈-即可.【详解】 令()()()()(),0xxf x f x f xg x g x ee-=='>'，所以()g x 单调递增，不等式()xef x e >，等价于()1x f x e e>，因为()11g e =， 所以等价于()()1g x g >，则1x >， 又[]3,3x ∈-，故()xef x e >的解集为(]1,3.故选:A 12．A 【分析】 设()()()f x h xg x =，分析函数()h x 的奇偶性，利用导数分析函数()h x 的单调性，求得()()330h h =-=，然后分0x <、0x >解不等式()0h x >，综合可得出原不等式的解集. 【详解】 设()()()f x h xg x =，则函数()h x 的定义域为{}0x x ≠， 所以，()()()()()()f x f x h x h x g x g x ---===--，所以，函数()h x 为奇函数， 当0x <时，()()()()()()20f x g x f x g x h x g x '''-=>⎡⎤⎣⎦，所以，函数()h x 在(),0-∞上为增函数，因为函数()h x 为奇函数，所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数， 因为()30f =，则()()()3330h f g ==，()()330h h -=-=. 当0x <时，由()()0f x g x >可得()()3h x h >-，解得30x -<<； 当0x >时，由()()0f x g x >可得()()3h x h >，解得3x >. 因此，不等式()()0f x g x >的解集是()()3,03,-⋃+∞. 故选：A.13．5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）【分析】求导函数，根据导函数与函数的单调性的关系得到a 的取值范围，进而可在范围内任取一个值作为答案. 【详解】∵()4ln f x x ax =-，∴44()axf x a x x-'=-=， 函数()4ln f x x ax =-在区间(0,1)上不是单调函数， ∴40ax -=在区间(0,1)上有解,∵0a >，∴()40,1x a=∈,∴4a >, 故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）. 14．113a <<【分析】根据导函数()2ln xf x x-'=求出()1ln x f x x +=的单调区间，即可得解. 【详解】 函数()1ln x f x x +=，()2ln xf x x-'=， ()()()0,1,0,x f x f x '∈>单调递增，()()()1,,0,x f x f x '∈+∞<单调递减，函数()1ln x f x x +=在区间2,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则213a a <<+， 解得：113a <<故答案为：113a <<15．1 【分析】求函数()y f x =的导函数，求0y '<以及0y '>的解，从而求出函数()y f x =的单调区间，确定极小值点，求出极小值. 【详解】y '=30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>， 所以函数()y f x =在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则当34x π=时，()y f x =有极小值3cos 34134sin 4f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：1 16．()3ππ,【分析】对函数()f x 求导，在指定区间上求出导函数小于0的x 取值区间即可得解. 【详解】依题意，1()cos 2f x x '=-， 因(0,)x π∈，且cos x 在(0,)π上递减，则当3x ππ<<时，1cos 2x <，即()0f x '<，()f x 在()3ππ,上递减，所以所求单调减区间是()3ππ,.故答案为：()3ππ,17．（1）单调增区间为(1,)+∞；单调减区间为(0,1)；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导函数的正负来求解函数的单调区间， （2）对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可得min 11()1ln 22f x f a a a ==--，构造函数11()1ln 22h a a a a =--，利用导数求出其最大值，只有()h a 的最大值小零即可 【详解】解：（1）函数f (x )的定义域为(0,)+∞． 当a =1时，21()1ln 2f x x x =--，1()f x x x'=-． 当1()0'=->f x x x时，解得x >1，函数y =f (x )的单调增区间为(1,)+∞， 当1()0f x x x-'=<时，解得x <1，函数y =f (x )的单调减区间为(0,1)， 故函数()f x 的单调增区间为(1,)+∞；单调减区间为(0,1)；（ （2）2(),0a x af x x x x x-'=-=>． 由()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，函数f (x )单调递减；当x ()0,()f x f x '>单调递增，所以min 11()1ln 22f x f a a a ==--． 令11()1ln 22h a a a a =--，则1()ln 2h a a =-'，令1()ln 02h a a '=-=，解得1a =．当(0,1)∈a 时，1()ln 02h a a '=->，函数h （a ）在区间（0，1）上单调递增；当(1,)∈+∞a 时，1()ln 02h a a '=-<，函数h （a ）在区间(1,)+∞上单调递减；所以a =1时，max 11()122h a =-=-， 所以min ()0f x <．18．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1a ≥． 【分析】（1）首先求出函数的定义域与导函数1()g x k x'=+，在对参数k 分0k ≥与0k <两种情况讨论，即可求出函数的单调区间；（2）根据ln 1x axe x x ++≥恒成立，参变分离得ln 1x x x a xe ++≥，构造函数ln 1()xx x h x xe++=，求出函数的导函数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）()ln 1g x x kx =++的定义域为()0,∞+，所以1()g x k x'=+． 当0k ≥时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增；当0k <时，由()0g x '>得10,x k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；()0g x '<得1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在10,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上可得，当0k ≥时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增；当0k <时，函数()g x 在10,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）当1k =时，()()f x g x ≥恒成立，即ln 1x axe x x ++≥恒成立． 因为0x >，所以ln 1xx x a xe++≥．令ln 1()xx x h x xe ++=，()()()()()22ln 1ln 1(1)(ln )()x x xx x x xe xe x x x x x h x x exe ''++⋅-⋅+++--'==． 令()ln p x x x =--，所以1()10p x x '=--<，故()p x 在()0,∞+上单调递减，且1110p e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()110p =-<，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()000ln 0p x x x =--=，故00ln 0x x +=，即00xx e -=．当()00,x x ∈时，()0p x >，()0h x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0p x <，()0h x '<； ∴()h x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减， ∴()000max 00ln 1()1x x x h x h x x e ++===，故[)1,a ∈+∞．19．（1）在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）证明见解析 .【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数，由导函数正负确定函数的单调性与最值，由最小值不小于0得参数范围，在确定导函数零点时，需要对导函数进一步求导得出结论；（3）由（2）得，12a =且0x >时，212xx x e >++，即2221x x e x +>-，要证不等式可变形为只需证ln(1)22x x x+>+，设2()ln(1)(0)2xF x x x x =+->+，由导数得函数的最小值可得结论． 【详解】（1）由题意可知，当0a =时，()1xf x e x =--，x ∈R ，则()1xf x e '=-，令()0f x '=，则0x =，当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<，所以()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增．（2）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-，①当21a ≤，即12a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，即()h x 单调递增， 所以()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，()f x ∴在[]0,+∞上为增函数，()()00f x f ∴≥=，12a ∴≤时满足条件． ②当21a ≥时，令()0h x '=，解得ln2x a =，在[]0,ln 2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当()0,ln 2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，则()f x 在()0,ln 2a 上为减函数，()()00f x f ∴<=，不合题意．综上，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）由（2）得，当12a =且0x >时，212x x x e >++，即222212xx e x x x +>+=-， 要证不等式()21ln(1)xe x x -+>，只需证明21ln(1)xe x x ->+，只需证明2222ln(1)x x x x >++，只需证ln(1)22x xx+>+， 设2()ln(1)(0)2xF x x x x=+->+，则22214()(0)1(2)(1)(2)x F x x x x x x '=-=>++++， 所以当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,∞+上单调递增， 又()00F =．()0F x ∴>恒成立，∴原不等式成立． 20．（Ⅰ）3a =；（Ⅱ）答案见详解；（Ⅲ）8a ≥ 【分析】（Ⅰ）当切线与直线41y x =-+平行时，有切线斜率4843a-=-，可求得3a =； （Ⅱ）求由()()220af x x a x'=-+-=求得两根121,2ax x =-=，讨论0a ≤与0a >即可分析单调性；（Ⅲ）结合（Ⅱ）分析即可求解． 【详解】（Ⅰ）()()22a f x x a x'=-+-()f x 在3x =时的切线的斜率为()4362833a a k f a '==-+-=- 又因为()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行，则4843a-=-解得3a =； （Ⅱ）由()()()()2222200x a x a af x x a x x x'-+-+=-+-==>，得()2220x a x a -++-=，解得121,2a x x =-=若02a≤即0a ≤，()0f x '<，得()f x 在()0,∞+上单调递减； 若02a >即0a >， 当02a x <<时，()0f x '>，得()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当2a x >时，()0f x '<，得()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调减区间为()0,∞+，当0a >时，()f x 的单调减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）当函数()f x 在区间()1,4单调递增时，结合（Ⅱ）得482a a ≥⇒≥成立． 21．（1）0a ≤时，()f x 在()0,∞+为单调减函数；0a >时，()f x 在1(0,)2a为单调减函数，在1(,)2a+∞为单调增函数. （2）证明见解析. 【分析】（1）先求导数，讨论导数的符号，判断函数的单调性；（2≥再结合（1）求出()f x 的最小值，然后构造函数求解最值，证明不等式恒成立. 【详解】 （1）121()2,ax f x a x x-'=-=其中0x >； 当0a ≤时，()0f x '<， ()f x 在()0,∞+为单调减函数； 当0a >时，1(0,),()0,2x f x a'∈<()f x 为单调减函数；1(,),()0,2x f x a'∈+∞>()f x 为单调增函数； 综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+为单调减函数；0a >时，()f x 在1(0,)2a为单调减函数，在1(,)2a+∞为单调减增函数.（2）证明：因为12a >2=≥当且仅当2即12x a=时，取等号； 由（1）知min 1()()1ln 2,2f x f a a==+所以()ln 2 1.f x a≥+令1()ln 21()2g x x x =+>则()g x 为增函数，所以1()()32g x g >=，即12a >时，()3f x >恒成立． 22．（1）答案见解析；（2）2. 【分析】（1）给出函数定义域，对函数求导通分，得到21()mx x F x x-++'=时，对m 进行讨论，进而得到单调区间；（2）将不等式移项，转化为函数最值问题，即2()ln 12x m m g x x x x =-+-+的最大值，进而利用导数方法求解即可. 【详解】（1）2()ln 2m F x x x x =-+，()0,x ∈+∞，211()1mx x F x mx x x -++'=-+=，①0m =时，1()0x F x x+'=>，函数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增． ②0m ≠时，令()21,14u x mx x m =-++∆=+，若140m ∆=+≤，解得14m ≤-，14m -≥．∴()0F x '≥，∴数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增．140m ∆=+>，解得14m >-，14m -<．由210mx x -++=，解得：1x =2x =0m >时，120,0x x <>，函数()F x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减．104m -<<时，120,0x x ><，函数()F x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减． 综上：①0m =时，函数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增； ②0m ≠且14m ≤-时，数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增；0m >时，函数()F x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减；104m -<<时，函数()F x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减． （2）不等式()1F x mx ≤-，化为：2ln 102x x m x mx -+-+≤． 令2()ln 12x m m g x x x x =-+-+，()0,x ∈+∞． 1(1)(1)()1x mx g x mx m x x+--+-'==， 0m ≤时，()0g x '>，可得函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，3(1)202g m =-+>，不满足题意，舍去．0m >时，1(1)()m x x m g x x⎛'⎫--+ ⎪⎝⎭=，可得函数()g x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴1x m=时，函数()g x 取得极大值即最大值， 则1111ln 11ln 022g m m m m m m ⎛⎫=--+-+=-+≤ ⎪⎝⎭， 令1()ln 2h m m m =-+，函数在()0,∞+上单调递减，又11(1),(2)ln 2024h h ==-+<．因此存在唯一()01,2m ∈，使得001ln 02m m -+=， ∴0m m ≥，∴整数m 的最小值为2．。

考点21利用导数研究函数的零点（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现【核心题型】题型一　利用函数性质研究函数的零点利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．【例题1】（2024·全国·模拟预测）若函数()e 2xf x x a =-+-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-¥B ．(],0-¥C ．(),0¥-D ．(),1-¥【变式1】（2024·陕西西安·一模）若不等式e ln 2x x x a x -+³-恒成立，则实数a 的取值范围为.【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，a ÎR .(1)讨论()f x 的单调性；(2)设2e ()()(1)2(1)ln xg x f x x a x a a x x =-+-+-+-，若()g x 存在两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <.（i ）证明：2e 1a >+；（ii ）证明：22142121a a x x a ---<-.【变式3】（2024·辽宁·三模）已知()()211e 2xf x x ax =-+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，证明：函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且120x x +<.题型二　数形结合法研究函数的零点含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．【例题2】（2024·北京房山·一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x f x x ¥¥ì-Î-ï=íÎ+ïî，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或3【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数3e ,111(),()11,12xx x f x g x x a x x x ì>-ïï+==++íï+£-ïî．若(())0g f x =有三个不同的根，则a 的取值范围为 ．【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()()e 1xf x ax a =--ÎR ．(1)若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线2e 10x y ++=垂直，求a 的值；(2)当(]0,2x Î时，讨论函数()()ln F x f x x x =-零点的个数．【变式3】（2024·河北邯郸·二模）已知函数()()e ,ln xf x mxg x x m x =-=-．(1)是否存在实数m ，使得()f x 和()g x 在()0,¥+上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知12,x x 是()f x 的零点，23,x x 是()g x 的零点．①证明：e m >，②证明：31231e x x x <<．题型三　构造函数法研究函数的零点涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围【例题3】（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()()232()23f x x x ax b =+-+满足：①定义域为R ；②142b <<；③有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，则1211+x x 的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．11,2æö--ç÷èøC ．1,12æöç÷èøD ．(1,2)【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数2()e 2ln x f x ax x x a =---，则（ ）A ．当1a =时，()f x 有极小值B ．当1a =时，()f x 有极大值C ．若()0f x ³，则1a =D ．函数()f x 的零点最多有1个【变式2】（2024·全国·模拟预测）设函数()()2ln f x x ax x a =-++ÎR .(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在1,e e éùêúëû上有两个零点，求实数a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数）【变式3】（2024·广东·二模）已知()()21122ln ,02f x ax a x x a =+-->.(1)求()f x 的单调区间；(2)函数()f x 的图象上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y （其中12x x ¹），使得直线AB 与函数()f x 的图象在1202x x x +=处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·四川资阳·模拟预测）将函数()1cos e xf x x =-在()0,¥+上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x （其中*n ÎN ），则（ ）A ．11ππ22n n x n æöæö-<<+ç÷ç÷èøèøB ．1πn n x x +-<C ．()121πn n x x n ++>-D ．(){}1πn x n --为递减数列2．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）()22e 5x f x x =-的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2023·四川成都·二模）若指数函数x y a =（0a >且1a ¹）与幂函数5y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．e5e ,¥æö+ç÷èøB ．e51,e æöç÷èøC ．e 51,e æöæöç÷ç÷ç÷èøèøD ．e 51,e æöç÷èø4．（2023·全国·模拟预测）已知函数1522ln 4()e 4ln(4)e 2x a a xx f x x x -+-=++-++存在零点，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．15ln24-C ．3-D ．15ln34-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+，a ÎR ，则（ ）A ．若()f x 有极值点，则0a £B ．当1a =时，()f x 有一个零点C ．()()2f x f x =--D ．当1a =时，曲线()y f x =上斜率为2的切线是直线21y x =-6．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在R 上的奇函数()f x 连续，函数()f x 的导函数为()f x ¢．当0x >时，()()()cos sin e f x x f x x f x ¢>+×¢，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．()f x 在R 上为减函数B ．当0x >时，()0f x <C ．π3π22f f æöæö>ç÷ç÷èøèøD ．()f x 在R 上有且只有1个零点三、填空题7．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数()()32340f x kx x k k =-+>，若()f x 存在唯一的零点，则k 的取值范围是 .8．（2024·四川成都·模拟预测）若函数()2e 2x m f x x x =--在()1,2x Î-上有2个极值点，则实数m 的取值范围是 .四、解答题9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知()e xf x a x =-，()cosg x x =.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若0x ∃使得()()00f x g x =，求参数a 的取值范围.10．（2024·宁夏固原·一模）已知函数()()ln 11(0)f x ax x a =++>．(1)求()f x 的最小值；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．11．（2024·全国·模拟预测）已知函数1()e (0)x f x x a x =->，且()f x 有两个相异零点12,x x ．(1)求实数a 的取值范围．(2)证明：122eax x +>．12．（2024·湖北黄石·三模）已知函数()ln f x x x m =-+有两个零点1x ，2x .(1)求实数m 的取值范围；(2)如果1212x x x <£，求此时m 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A 地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程1s （千米）与时间t （时）的关系为()121ts t =-，乙物体运动的路程2s （千米）与时间t （时）的关系为()23s t t =，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t （时）属于区间（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,62．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()sin 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．（2024·全国·模拟预测）若函数()e ln 2x f x x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-¥B ．(],0-¥C ．(),0¥-D ．(),1-¥4．（23-24高三下·江西·阶段练习）函数()|2||ln |f x x m x =--有且只有一个零点，则m 的取值可以是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．e5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数3232,0()ln ,0x x x x f x x x ì---£=í>î，()()g x f x mx =-有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．11(,4eB ．1(2,0]{}e -U C ．1(2,0]{}4-U D ．11(,0](,)4e-¥U 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2xf x kx b =--恰有一个零点0x ，且0b k >>，则0x 的取值范围为（ ）A ．1ln2,ln2-æö-¥ç÷èøB ．ln2,1ln2æö-¥ç÷-èøC ．1ln2,ln2-æö+¥ç÷èøD ．ln2,1ln2æö+¥ç÷-èø7．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数()e ,0e ,0x a xf x x x -ì+>ï=íï<î，若方程()e 0f x x +=存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -¥B ．(),e -¥-C ．(),2e -¥-D ．(),2e -¥8．（2024·陕西·二模）已知()0f x ³，且0x >时，()()22cos f x x f x =×，则下列选项正确的是（ ）A ．()2x f x f æö>ç÷èøB ．当()ππ2x k k ¹+ÎZ 时，()()2tan 2f x xf x £C ．若2π42πf æö=ç÷èø，()()22sin x f x g x x=为常函数，则()1f x =在区间()0,1内仅有1个根D ．若()11f =，则()2827f <二、多选题9．（2024·辽宁·三模）已知函数()()1ln ,ln ,f x ax x g x a x a x=-=+为实数，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，则()f x 与()g x 有相同的极值点和极值B ．存在R a Î，使()f x 与()g x 的零点同时为2个C ．当()0,1a Î时，()()1f x g x -£对[]1,e x Î恒成立D ．若函数()()f x g x -在[]1,e 上单调递减，则a 的取值范围为2,e æù-¥çúèû10．（2024·河北唐山·一模）已知函数()331f x x x =-+，则（ ）A ．直线32y x =-是曲线()y f x =的切线B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 有三个零点D ．存在等差数列{}n a ，满足()155k k f a ==å11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()(1)ln f x x x =-，2()g x x =，下列命题正确的是（ ）A ．若()()()H x f x g x =-，则()H x 有且只有一个零点B ．若()()()f x H xg x =，则()H x 在定义域上单调，且最小值为0C ．若()()()H x f x g x ¢=-，则()H x 有且只有两个零点D ．若()()(||)g x H x f x ¢=，则()H x 为奇函数三、填空题12．（2023·四川内江·模拟预测）若函数()e x f x kx =-有两个零点，则k 的取值范围为 ．13．（2024·四川泸州·二模）若函数1()ln ef x x x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是 ．14．（2024·广东佛山·二模）若函数()ln e ln e x xa xf x x x a x=+--（R a Î）有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题15．（23-24高三上·河南·期末）已知函数()ln(1)sin f x a x x x =+-．(1)若0a =，求曲线()y f x =在点ππ,22f æöæöç÷ç÷èøèø处的切线方程；(2)若1a =，研究函数()f x 在(]1,0x Î-上的单调性和零点个数．16．（2024·四川泸州·三模）已知函数1(e )x ax f x =-（0a >），(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若|()ln |x x x f x >+恒成立，求函数()f x 的零点0x 的取值范围．17．（2024·四川·模拟预测）已知函数()2211e ,2exf x ax x x a =--³．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0x >时，求证：()21ln 12f x x x ³--．18．（2024·北京朝阳·一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-Î.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()(0,1)x f x a a a =>¹，函数()log (0,1)a g x x a a =>¹．(1)当e a =时，讨论函数()()()h x f x g x =的单调性；(2)当01a <<时，求函数()()()S x f x g x =-的零点个数．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·云南·模拟预测）已知函数()e ln x f x x x x a =---，若()0f x =在()0,e x Î有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,¥+B ．1,e ¥éö+÷êëøC ．[)1,+¥D ．[)e,+¥2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数()ln f x x x x x a =-+-有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,00,e e æö-Èç÷èøB ．()2,00,e e æö-Èç÷èøC ．()2,00,3e æö-Èç÷èøD ．()1,00,3e æö-Èç÷èø3．（2024·四川成都·二模）函数()()e sin ,π,x f x a x x =+Î-+¥，下列说法不正确的是（ ）A ．当1a =-时，()0f x >恒成立B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0xC ．对任意()0,a f x >在()π,x Î-+¥上均存在零点D ．存在()0,a f x <在()π,x Î-+¥上有且只有一个零点4．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x æö=--+ç÷èø有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+¥B ．()2,+¥C ．(),1-¥-D ．(),2-¥-二、多选题5．（2024·重庆·一模）已知函数()32e 2x f x x x ax =+--，则()f x 在()0,¥+有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ）A ．e 2e 1a -<<-B ．e 1e a -<<C ．e e 1a <<+D ．e 1e 2a +<<+6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数()(1)ln 1f x m x x x =+-+，下列说法正确的有（ ）A ．当12m =时，则()y f x =在(0,)+¥上单调递增B ．当1m =时，函数()y f x =有唯一极值点C ．若函数()y f x =只有两个不等于1的零点12,x x ，则必有121x x ×=D ．若函数()y f x =有三个零点，则102m <<三、填空题7．（2023·湖北·一模）若函数21ln(21),2()12,2x x f x x x a x ì->ïï=íï--+£ïî在1x =处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围 ．8．（2023·河南·模拟预测）已知函数()32f x x bx cx c =+++有三个零点，且它们的和为0，则b c -的取值范围是 .四、解答题9．（2024·北京丰台·二模）已知函数()()222ln 0f x a x x a =+¹．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．10．（2024·全国·模拟预测）已知函数()cos ln(1)f x x x =++．(1)求证：()f x 在π1,2æö-ç÷èø上有唯一的极大值点；(2)若()1f x ax £+恒成立，求a 的值；(3)求证：函数()()g x f x x =-有两个零点．。

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）专题11利用导数研究函数的性质B 辑1．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ） A ． B ．C ．-2D ．-1【答案】D 【解析】()11'1022x f x x x +=-=>++， 当时，()()'0,f x f x <单调递减，当时，()()'0,f x f x >单调递增，()10f -=， 即函数存在唯一零点，即， ，即在有零点，①若()244440a a ∆=-+=，即，此时的零点为，显然符合题意；②（i ）若()244440a a ∆=-+>，即或，若在只有一个零点，则； （ii ）若在只有两个零点，则，解得12a -≤<- 即的最小值为，故选D.2．函数()22xxf x e e =-+，若函数在区间的取值范围为，则的取值范围为（ ）A ． B．((),ln 2-∞+C ．D ．【答案】C()()()22,ln 222,ln 2x x x x e e x f x e e x ⎧--+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，当时，，易知时，，0ln 2x <<时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，所以在区间()ln 2,+∞上单调递增，又因为()03f =，()ln 22f =，当时，，即()223xxee-+=，解得(ln 1x =，当时，，所以当时，，作出示意图，如图，因为函数在区间的取值范围为，所以(ln 2ln 1n ≤≤，当(ln 1n =时，，此时，当(ln 2ln 1n ≤<+时，，此时(ln 1m n +<， 综上所述，的取值范围为． 故选：C3．已知函数()21(1)2xxf x x e ae ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]∪[，+∞） B ．（﹣∞，0]∪[，+∞） C ．（﹣∞，0]∪[，+∞） D ．（﹣∞，]∪[0，+∞）【答案】A由题意，函数()21(1)2xxf x x e ae ax =--+，可得 因为函数只有一个极值点，即20x x xe ae a -+=只有一个变号零点， （1）当时，，易知是的唯一极值点， （2）当时，方程20x x xe ae a -+=可化为， 令，可得两函数都是奇函数， 所以只需判断时两函数无交点即可， ①当时，，可得是的唯一极值点， 故满足题意； ②当时，()0xxh x e e-'=+>，所以在递增，且()00h =，当时，()h x →+∞，设过原点的切线为，设切点为(,)(0)m km m >，则，解得0,2m k ==，如图所示，当在直线下方（第一象限）时，因为切线的切点为原点，所以也可以与切线重合，此时是唯一交点， 能满足()0f x '=的变换零点，即原函数的极值点，满足题意， 故，即，综上可得，实数的取值范围是或， 即实数的取值范围是1(,0][,)2-∞+∞. 故选：A.4．若对于任意[),0,x y ∈+∞，不等式恒成立，则实数的最大值是( ) A ． B ．1C ．2D ．【答案】D 【解析】当时，不等式即为，显然成立， 当时，设，所以不等式恒成立，即为不等式恒成立，即有()222()222x y y x x f x e e e e e ----=++≥⋅=+（当时等号成立）， 由题意可得2422x ax e -≤+，即有在时恒成立，令函数，则22222(1)()4x x xe e g x x---+'=， 令()0g x '=，即有2(1)1x x e --=， 令()()22(1)x x h x x eh x xe --⇒='=-，当时，()0h x '>，函数单调递增，由于()21h =，即有2(1)1x x e --=的根为2， 当时，函数单调递增，时，函数单调递减， 即有时，取得最小值，其最小值为， 所以实数的最大值为，故选D ．5．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，'()0g x >恒成立；且满足：①对，都有((f x f x =；②当[x ∈时，3()3f x x x =-.若关于的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵函数满足：当时，()0g x '>恒成立，∴函数为上的偶函数，且在上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由((f x f x =-，得(()f x f x +=，即函数的周期，∵时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(0)(00)0)，，，如图，且函数在处取得极大值，在处取得极小值，即函数在上的最大值为2，∵，函数的周期是，∴当时，函数的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即，则，解得或. 故选D ．6．函数，当时，恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 取，则有，故.又时，恒成立等价于()cos 10x e a x x+-->在上恒成立.令()(),0,xe s x x x=∈+∞，()()21x e x s x x -'=， 当()0,1x ∈时，，()1,x ∈+∞时，， 所以在上减函数，在为增函数，所以，故当时，有()cos 110xe a x e a x+--≥+->，综上，.故选：B.7．已知函数f （x ）满足2()2()1ln x f x xf x x '+=+，，当x ＞0时，下列说法正确的是（ ） ①只有一个零点； ②有两个零点； ③有一个极小值点； ④有一个极大值点 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】B令2()()g x x f x =，则'2()()2()1+ln g x x f x x x x '=+=，()ln +g x x x C =⋅， 即，∴()2xlnx Cf x x+=， ∵，∴，∴，，当时，()0f x '>，单调递增；当时，()0f x '<，单调递减， 在处取得极大值，而这也是最大值，即③错误，④正确； 又0()1f =，且当时，恒成立，只有一个零点为，即①正确，②错误. ∴正确的有①④， 故选：B .8．曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，则的递减区间为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D由题意，函数，，则()xf x e '=，，因为在处的切线与曲线在处的切线平行，可得()()01f g '='，即0231e a =⨯-，即，解得， 所以，令()2320g x x '=-<，得，即函数的递减区间为. 故选：D.9．设是定义在上的函数，其导函数为，若()()1f x f x '+<，()011f =，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D 设，则，函数单调递减，()011f =，故()()00110g f =-=， ，即()10xxe f x e ->，即()()0g x g >，故.故选：D.10．若关于x 的不等式e 2x ﹣a ln xa 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2e ] B ．（﹣∞，2e ] C ．[0，2e 2] D ．（﹣∞，2e 2]【答案】C解：当a ＜0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时时，f （x ），所以不符合题意；当a ＝0时，e 2x ﹣a ln xa 即为e 2x ≥0显然成立； 当a ＞0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 的导数为＝2e 2x ，由于y ＝2e 2x 在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数）， 设＝0的根为m ，即有a ＝2me 2m ，.当0＜x ＜m 时，＜0，f （x ）单调递减；当x ＞m 时，＞0，f （x ）单调递增， 可得x ＝m 处f （x ）取得极小值，且为最小值e 2m ﹣a ln m ， 由题意可得e 2m ﹣a ln ma ，即a ln ma ，化为m +2m ln m ≤1，设g （m ）＝m +2m ln m ，＝1+2（1+ln m ）， 所以函数在内单调递减，在单调递增. 当m ＝1时，g （1）＝1，当时，()0g m <. 可得m +2m ln m ≤1的解为0＜m ≤1， 设22()2,()2(21)0,mmh m me h m m e '=∴=+>所以函数在单调递增. 则a ＝2me 2m ∈（0，2e 2]， 综上可得a ∈[0，2e 2]， 故选：C ．11．已知曲线在处的切线是轴，若方程()()f x m m R =∈有两个不等实根，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 的定义域为，，依题意可知，解得1,1a b =-=，所以()ln 1f x x x =-+，()'111x f x x x-=-=， 所以在区间上递增，在上递减，，由于方程()()f x m m R =∈有两个不等实根， 所以，不妨设1201x x <<<，当时，12121,12x x x x →→⇒+→， 当时，12120,x x x x →→+∞⇒+→+∞， 即的取值范围是. 故选：C12．已知函数，对任意的实数，()2,x ∈-∞+∞，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B ，且，()()11221112221212sin sin sin sin 0x a x x a x x ax a x x ax a x a x x x x --------∴-=>--，令，则对任意的实数，()2,x ∈-∞+∞，且都成立， 在上为增函数，即()1cos 0g x a a x '=--≥恒成立， 整理得，可知1cos 0x +≥ 当1cos 0x +=时，不等式成立，当1cos 0x +>时，恒成立，又，. 故选：B.13．已知函数有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B()1(0)a x a f x x x x-'=-=>， 当时，()0f x '>，∴在上单调递增，不合题意，当时，时，()0f x '<；时，()0f x '>，∴在上单调递减，在上单调递增，∴min ()()2ln f x f a a a a ==-，依题意得2ln 0a a a -<，∴，取，，则，，且()1()0f x f e e ==>，()()2222ln (2ln 1)f x f a a a a a a a a ==-+=-+，令()2ln 1g a a a =-+，则，∴在上单调递增，∴()22()30g a g e e >=->，∴()20f x >，∴在及上各有一个零点，故a 的取值范围是， 故选：B.14．已知函数()() ln ,x xf xg x xe x-==.若存在120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D易知在上单调递增，在上单调递减，同理， ，易得在上单调递增，在上单调递减，又存在120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12(0,1),(,0)x x ∈∈-∞，12ln 0,0x x <<，且12112ln 1 ln ln 0e ex x x x x x ==<，又在上单调递增， 故，所以1211ln x x x x =，令，则'()ln 1h x x =+，易知，在上单调递减，在上单调递增，故min 11()()e eh x h ==-. 故选：D.15．若函数()sin xxf x e ex x -=-+-，则满足恒成立的实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A因为，所以是上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以是上的增函数， 等价于 所以，所以，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为，所以是上的偶函数， 所以只需求在上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++， 则当时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-， 即， 故选：A16．在上可导的函数3211()232f x x ax bx c =+++，当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈ 时取得极小值，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()()()()()20002{10{21,202f b f x x ax b f a b a b f a b >>=++∴<∴+<-'''∴>>-'+在由所构成的三角形的内部，可看作点与点的连线的斜率，结合图形可知17．定义在上的函数满足()'10xf x +>，，则不等式()0xf e x +>的解集为（ ）A ．B ．C ．()ln2,+∞D ．【答案】C设()()ln g x f x x =+，则1'()1'()'()0xf x g x f x x x+=+=>， ∴在上是增函数，不等式()0xf e x +>可化为()ln 0(2)ln 2xxf e e f +>=+，即()(2)xg e g >，∴，． 故选C ．18．已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D时，()0f x '<；，()0f x '>， ∴在上递增，在上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即的值域为. 令，则，∵在上递增，在上递减，要使的值域为， 则，∴的取值范围是， 故选：D .19．已知函数()1n(3)x f x e x =-+,则下面对函数的描述正确的是（ ） A ．1(3,),()3x f x ∀∈-+∞≥ B ．1(3,),()2x f x ∀∈-+∞>- C ．D ．min ()(0,1)f x ∈【答案】B因为()ln(3)xf x e x =-+，所以，导函数在上是增函 数，又，'1(1)ln 20f e-=->，所以在上有唯一 的实根，设为，且0(2,1)x ∈--，则为的最小值点，且， 即00ln(3)x x =-+，故， 故选B.20．已知函数，方程有3个不同的解，现给出下述结论： ①；②；③的极小值()02f x <-. 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．② B ．③C ．①③D ．②③【答案】D 由221111()ln 1,()x f x x t f x x x x x'''-=+++=-=， 所以在递减，递增，当时，()(1)20f f t x ''≥=+=，此时为增函数，方程不会有三个解，此时不符合题意，即①错误. 若时，(1)0f '<，又时，()f x '→+∞；时，()f x '→+∞，所以有两个零点，不妨，则01a b <<<. 当(0,)x a ∈时，()0f x '>； 当(,)x a b ∈时，()0f x '<； 当(,)x b ∈+∞时，()0f x '>.因为时，()f x →-∞；；时，()f x →+∞， 所以此时有三个零点，即为， 不妨设，则. 因为，则，所以，从而，即②正确.由上面可知0()()(1)2f x f b f t =<=<-，所以③正确. 故选：D .21．已知关于的不等式()1ln ln 1xx e e x x λλ+>+在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A由()1ln ln 1xx ee x x λλ+>+，得，构造函数()()1lnf x x x =+，则()1ln 1x xf x '=++，()22111x f x x x x -''=-=，当()0,1x ∈时，()0f x ''<，当()1,x ∈+∞时，()0f x ''<()()min 120f x f ''∴==>，所以在上单调递增， 得，，在上恒成立， 设，，当时，()0g x '>，单调增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，单调减，()()max 1g x g e e==，所以故选: A.22．已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】由题意设，则，在递减，在上递增，且，在一个坐标系中画出两个函数图象如图：存在唯一的正整数，使得()00f x >，即由图得，则，即，解得的取值范围是，故选C. 23．已知函数()()21ln 12f x x x m x x =-+-有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．）D ．【答案】B因为函数()()21ln 12f x x x m x x =-+-， 所以，因为函数()()21ln 12f x x x m x x =-+-有两个极值点， 所以有两个变号零点， 有两个不同的交点， 令， 所以，当时，()0g x '>，当时，()0g x '<， 所以当时，()()max 1g x g e e==， 如图所示： 则， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：B24．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有()()'tan f x f x x <成立，则（ ） A ． B ．()12()sin16f f π<C ．D ()()43ππ>【答案】A 【解析】因为,所以, cos 0x >. 由()()'tan f x f x x <，得. 令 ，（），则， 所以函数在上为增函数， 则，即，所以， 即，故答案为A.25．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数，有，且()1y f x =-为奇函数，则不等式的解集为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】令，则，，即为减函数，()1y f x =-为奇函数，()010f ∴-=，即()()01,01f g ==，则不等式等价于，即()()0g x g <，解得不等式的解集为，故选B. 26．下列命题为真命题的是（ ） ①②③④ A ．①④ B ．②④C ．②③D ．①②④【答案】B对于①，令()ln ln 2f x x =，则122()2f x x x'==， 当时，()0f x '>，故在上单调递增，()()4f f π<，即ln 20π<，故，故①错误；对于②，令，则1()f x x '==当04x e <<时，()0f x '>，故在上单调递增，()()f f e π>，即，即，故，故②正确；对于③，令()sin f x x =，则在上单调递减， 又，sin3sin 4∴>，故③错误； 对于④，， 因为在上是减函数， ， ，又，，即，故④正确． 故选：．27．已知函数2()ln x f x e x x =++与函数2()2x g x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 由得：由题意可知在()0,x ∈+∞上有解 即：在()0,x ∈+∞上有解 即与在上有交点()0,x e ∴∈时，，则单调递增；(),x e ∈+∞，，则单调递减当时，取极大值为： 函数与的图象如下图所示：当与相切时，即时， 切点为，则011a =-=- 若与在上有交点，只需 即：(],1a ∈-∞- 本题正确选项：28．已知偶函数满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D 因为偶函数满足, 所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于[200,200]-上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于的不等式2()()0f x af x +>在上有3个整数解, 当(0,4]x ∈时,,由'()0f x >,得,由'()0f x <,得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减, 因为(1)ln 2f =,ln83(2)(3)(4)ln 2044f f f >>==>, 所以当(1,2,3,4)x k k ==时,,所以当时,2()()0f x af x +>在上有4个整数解,不符合题意, 所以,由2()()0f x af x +>可得或, 显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为, 所以,,(1)ln 2a f -<=, 所以. 故选:D29．设函数f (x )的导函数为，f (0)=1，且3()'()3f x f x =-,则4()'()f x f x >的解集是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 构造函数()()31xf xg x e+=，，故()()00102f g e +==. ，故为常函数. 故()()312xf xg x e+==，，()3'6xf x e =， 4()'()f x f x >，即，解得.故选：.30．若函数，，若有两个零点，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A解：由题意得，'()(1)(21)xxf x ae e =-+，，可得函数的单调性如下：当时，'()0f x >，单调递减，当时，'()0f x <，单调递增，可知，当时，取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当时，由于(ln )0f a -=，故只有一个零点；②当(1,)∈+∞a 时，由于，即(ln )0f a ->，故没有零点； ③(0,1)∈a 时，由于，即(ln )0f a -<， 又422(2)(2)2220f aea e e ----=+-+>-+>，故在上有一个零点，令，则'()1xg x e =-，当时，'()0g x >，在上单调递增，故当时，()(0)1g x g >=，即1(0)x e x x ->>.设整数满足31ln(1)ln ln 0n a a a>->=->，则 ∴，故在内有一个零点. 综上所述，的取值范围是 答案选：A。

第3讲 利用导数研究函数的性质一、 单项选择题1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )(第1题)A BC D 2.已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，f ′(x )＋1<0恒成立，且f (1)＝－1，则( )A. f (0)<0B. f (e)<－eC. f (e)>f (0)D. f (2)>f (1)3. (2020·岳阳二模)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a>12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为( )A. 23B. 45 C. 1D. 124. (2020·孝感一模)若函数f (x )＝ax22＋(1－2a )x －2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上有极小值，则a 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－1eB. (－∞，－1)C. (－2，－1)D. (－∞，－2)二、 多项选择题5. 如图所示是y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )(第5题)A. f (x )在区间[－2，－1]上是增函数B. x ＝－1是f (x )的极小值点C. f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数D. x ＝1是f (x )的极大值点6. 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2的极小值为－1，那么实数a 的值为( ) A. －2 B. －1 C. 1 D. 27.如图所示，已知直线y ＝kx ＋m 与曲线y ＝f (x )相切于两点，那么下列关于函数F (x )＝f (x )－kx 的结论中成立的是( )(第7题)A. 有3个极大值点，2个极小值点B. 有2个零点C. 有2个极大值点，没有极小值点D. 没有零点 三、 填空题 8.(2020·安阳二模)若曲线y ＝ax cos x ＋16在x ＝π2处的切线与直线y ＝x ＋1平行，则实数a 的值为________．9. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，那么不等式xf ′(x )>0的解集为________．(第9题)10. (2020·益阳模拟)已知函数g (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，那么实数a 的取值范围是________．四、 解答题11. 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1) 当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2) 若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值．12. 已知函数f (x )＝mx －1ln x ＋n .(1) 若m ＝1，n ＝0，求函数f (x )的单调区间；(2) 若m ＝1，n ＝1，求函数f (x )在区间[2a,4a ]上的最小值； (3)某高二学习研究小组通过研究发现：总存在正实数a ，b (a <b )，使得等式a b ＝b a 成立．试问：他们的研究成果是否正确？若正确，请写出a ，b 的取值范围；若不正确，请说明理由．。