8.6与三角形有关的综合题(分类精讲)·数学中考分类精粹

中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等 （3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。

知识回顾2023年中考数学----三角形的综合知识回顾与专项练习题（含答案解析）1. 角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

2. 角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

3. 角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O 为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M 、N 。

如图①。

②分别以点M 与点N 为圆心，大于MN 长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P 。

如图②。

③连接OP ，OP 即为角的平分线。

4. 垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

5. 垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

6. 垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M 、N 。

如图①②连接MN ，过MN 的直线即为线段的垂直平分线。

如图②7.中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

8. 等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。

②等腰三角形的两底角相等。

（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。

（简称底边上三线合一）9. 等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。

10. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于243a （a 为等腰三角形的边长）。

11. 等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

【课标解读】三角形综合问题是指针对三角形的知识点之间的综合性的考查，特别是等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质应用，及其与三角形相关的知识点之间的综合考查。

【解题策略】从具体问题入手→探索三角形知识点→综合各点联系→综合把握各个知识点之间的内在关系→综合应用并解决问题【考点深剖】★考点一关于图形全等的综合问题本类题大都含有基本图形“燕子图”，在条件给足的背景下，两个三角形是全等的，从图形变换条件，两个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称．归纳几何基本图形，然后对基本图形进行变式与拓展，是学习几何图形相关知识的重要手段．如：①旋转模型②三垂直模型,,③一线三等角模型,,易错提示)已知两边及一边对角对应相等的两个三角形，不全等，即“SSA”得不到两个三角形全等．【典例1】如图1所示，A、E、F、C在同一直线上，AF=CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．（1）试说明ME=MF；（2）若将E、F两点移至如图2中的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠AFB=90°，∠DEC=90°，可根据“HL”证明Rt△ABF≌Rt△CDE，则BF=DE，然后根据“ASA”可证明△BFM≌△DEM，根据全等的性质即可得到ME=MF；（2）上述结论仍然成立．证明的方法与（1）一样．∵在△BFM 和△DEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DE BF DEM BFM DME BMF ， ∴△BFM ≌△DEM （AAS ）， ∴ME=MF ；（2）解：上述结论仍然成立．理由如下：与（1）一样可证得Rt △ABF ≌Rt △CDE 得到BF=DE ， 与（2）一样可证得△BFM ≌△DEM ， 所以ME=MF ．★考点二 关于图形变换的综合问题【典例2】（2018·湖北江汉·10分）问题：如图①，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ；探索：如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD 的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE ，根据全等三角形的性质得到BD=CE ，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．学科&网★考点三关于条件探究的综合问题【典例3】如图22－2，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是 ( )A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC★考点四关于结论探究的综合条件思维定式是条件改变，结论必须改变，但有些条件改变了，但全等的关系仍然存在，导致结论不变.1．全等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法．2．变化题目中某些条件，结论是否成立，关键是得到结论的核心是否仍然存在，比如：两个三角形是否仍然全等或相似．【典例4】(1)如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．(2)AB＝AC＋CF.证明：延长AE交DF的延长线于点G.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC.∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G.∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.∴AB＝CG＝AF＋CF.★考点五关于图形相似的综合问题【典例5】（2018•岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．（3）如图 3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin （45°﹣α），∵=，∴=sin （45°﹣α）．学科&网【讲透练活】变式1：(2018·河北T23·9分)如图，∠A ＝∠B ＝50°，P 为AB 中点，点M 为射线AC 上(不与点A 重合)的任意一点，连接AP ，并使MP 的延长线交射线BD 于点N ，设∠BPN ＝α. (1)求证：△APM ≌△BPN ； (2)当MN ＝2BN 时，求α的度数；(3)若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．变式2： 已知：∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，垂足分别为D ，E. (1)如图1，①线段CD 和BE 的数量关系是CD ＝BE ； ②请写出线段AD ，BE ，DE 之间的数量关系并证明；(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD ，BE ，DE 之间的数量关系．(2)②中的结论不成立．结论：DE＝AD＋BE.理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠B＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBE(AAS)．∴AD＝CE，CD＝BE.∵DE＝CD＋CE＝BE＋AD，∴DE＝AD＋BE.变式3：（2018•莱芜•9分）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D.E分别是AB.AC的中点，将△ADE绕点A 按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．（1）求证：BD′=CE'；（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求的值．【解答】解：（1）证明：∵AB=AC，D.E分别是AB.AC的中点，∴AD=BD=AE=EC．由旋转的性质可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．∴AD′=AE′，∴△BD′A≌△CE′A，∴BD′=CE′．（2）连接DD′．∵∠DAD′=60°，AD=AD′，∴△ADD′是等边三角形．∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．∴∠DB D′=∠DD′B=30°，∴∠BD′A=90°．∵∠D′AE′=90°，∴∠BAE′=30°，∴∠BAE′=∠ABD′，又∵∠BFD′=∠AFE′，∴△BFD′∽△AFE′，∴．∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′==，∴=．学科&网变式4：（2017•乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴，同理．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，（3）结论：．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，变式5：（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC= °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为60．（2）如图1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2，∴S△AOC=•OA•AB=×2×2=2，∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC==2，∴OP===．（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON•sin60°=x，②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°=（8﹣1.5x），∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．当x=时，y取最大值，y＜，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y=•MN•OG=12﹣x，当x=4时，y有最大值，最大值=2，综上所述，y有最大值，最大值为．学科&网变式6：（2017浙江义乌）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α= °，β= °，②求α，β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=60°，∵AD=AE，∠ADE=70°，∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，故答案为：20，10；②设∠ABC=x，∠AED=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β；。

ɦ８．２㊀全等三角形㊀１．知道证明的意义和证明的必要性,会进行综合法证明．㊀２．掌握全等三角形的性质和判定,并能利用其进行计算和证明．㊀３．懂得定义㊁命题㊁定理㊁推论的意义以及原命题及其逆命题的概念,会区分命题的条件和结论．会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立．一㊁选择题１．(２０１２ 海南)如图是一个风筝设计图,其主体部分(四边形A B C D)关于B D所在的直线对称,A C与B D相交于点O,且A BʂA D,则下列判断不正确的是(㊀㊀)．A．әA B DɸәC B D B．әA B CɸәA D CC．әA O BɸәC O B D．әA O DɸәC O D(第１题)㊀㊀(第２题)２．(２０１２ 贵州贵阳)如图,已知点A㊁D㊁C㊁F在同一条直线上,A B＝D E,B C＝E F,要使әA B CɸәD E F,还需要添加一个条件是(㊀㊀)．A．øB C A＝øF B．øB＝øEC．B CʊE F D．øA＝øE D F３．(２０１２ 四川巴中)如图,已知A D是әA B C的边B C上的高,下列能使әA B DɸәA C D的条件是(㊀㊀)．A．A B＝A C B．øB A C＝９０ʎC．B D＝A C D．øB＝４５ʎ(第３题)㊀㊀(第４题)４．(２０１２ 四川自贡)如图,在矩形A B C D中,E为C D的中点,连接A E并延长交B C的延长线于点F,连接B D㊁D F,则图中全等的直角三角形共有(㊀㊀)．A．３对B．４对C．５对D．６对５．(２０１２ 四川乐山)如图,在әA B C中,øC＝９０ʎ,A C＝B C＝４,D是A B的中点,点E㊁F分别在边A C㊁B C上运动(点E不与点A㊁C重合),且保持A E＝C F,连接D E㊁D F㊁E F．在此运动变化的过程中,有下列结论:①әD F E是等腰直角三角形;②四边形C E D F不可能为正方形;③四边形C E D F的面积随点E位置的改变而发生变化;④点C到线段E F的最大距离为２．其中正确结论的个数是(㊀㊀)．A．１个B．２个C．３个D．４个(第５题)㊀㊀(第６题)６．(２０１２ 黑龙江鸡西)在R tәA B C中,A B＝A C,点D为B C中点,øMD N＝９０ʎ,øMD N绕点D旋转,DM㊁D N分别与边A B㊁A C交于E㊁F两点．下列结论:①B E＋C F＝２２B C;②SΔA E Fɤ１４SΔA B C;③S＝A D E F;④A DȡE F;⑤A D与E F可能互相平分．其中正确结论的个数是(㊀㊀)．A．１个B．２个C．３个D．４个７．(２０１２ 广西贵港)如图,在直角梯形A B C D中,A DʊB C,øC＝９０ʎ,A D＝５,B C＝９,以点A为中心将腰A B顺时针旋转９０ʎ至A E,连接D E,则әA D E的面积等于(㊀㊀)．A．１０B．１１C．１２D．１３(第７题)㊀㊀(第８题)８．(２０１２ 广西柳州)如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M㊁N的距离,如果әP Q OɸәNM O,则只需测出其长度的线段是(㊀㊀)．A．P O B．P QC．M O D．M Q９．(２０１２ 广东深圳)下列命题:①方程x２＝x的解是x＝１;②４的平方根是２;③有两边和一角相等的两个三角形全等;④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形．其中正确的个数有(㊀㊀)．A．４个B．３个C．２个D．１个１０．(２０１２ 湖南娄底)下列命题中,假命题是(㊀㊀)．A．平行四边形是中心对称图形B．三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等C．对于简单的随机样本,可以用样本的方差去估计总体第八章㊀三㊀角㊀形的方差D．若x２＝y２,则x＝y１１．(２０１２ 贵州六盘水)下列命题为真命题的是(㊀㊀)．A．平面内任意三点确定一个圆B．五边形的内角和为５４０ʎC．如果a＞b,则a c２＞b c２D．如果两条直线被第三条直线所截,那么所截得的同位角相等１２．(２０１２ 湖南岳阳)下列命题是真命题的是(㊀㊀)．A．如果|a|＝１,那么a＝１B．一组对边平行的四边形是平行四边形C．如果a是有理数,那么a是实数D．对角线相等的四边形是矩形二㊁填空题１３．(２０１２ 湖北黄石)将下列正确的命题的序号填在横线上㊀㊀㊀㊀．①若n为大于２的正整数,则n边形的所有外角之和为(n－２) １８０ʎ;②三角形三条中线的交点就是三角形的重心;③证明两三角形全等的方法有:S S S,S A S,A S A,S S A及H L等．１４．(２０１２ 黑龙江绥化)如图所示,直线a经过正方形A B C D的顶点A,分别过正方形的顶点B㊁D作B Fʅa于点F,D Eʅa于点E,若D E＝８,B F＝５,则E F的长为㊀㊀㊀㊀．(第１４题)㊀㊀(第１５题)１５．(２０１２ 山东临沂)在R tәA B C中,øA C B＝９０ʎ,B C＝２c m,C DʅA B,在A C上取一点E,使E C＝B C,过点E 作E FʅA C交C D的延长线于点F,若E F＝５c m,则A E ＝㊀㊀㊀㊀c m．三㊁解答题１６．(２０１２ 北京)已知:如图,点E㊁A㊁C在同一直线上,A BʊC D,A B＝C E,A C＝C D．求证:B C＝E D ．(第１６题)１７．(２０１２ 广东广州)如图,点D在A B上,点E在A C上,A B ＝A C,øB＝øC．求证:B E＝C D ．(第１７题)１８．(２０１２ 黑龙江哈尔滨)如图,点B在射线A E上,øC A E＝øD A E,øC B E＝øD B E．求证:A C＝A D ．(第１８题)１９．(２０１２ 重庆)已知:如图,A B＝A E,ø１＝ø２,øB＝øE．求证:B C＝E D ．(第１９题)２０．(２０１２ 广东佛山)如图,已知A B＝D C,D B＝A C．(１)求证:øA B D＝øD C A．注:证明过程要求给出每一步结论成立的依据．(２)在(１)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?(第２０题)２１．(２０１２ 湖北十堰)如图,在四边形A B C D中,A B＝A D,C B ＝C D．求证:øB＝øD ．(第２１题)２２．(２０１２ 福建宁德)如图,点E㊁F分别是A D上的两点, A BʊC D,A B＝C D,A F＝D E．问:线段C E㊁B F有什么数量关系和位置关系?并加以证明．(第２２题)２３．(２０１２ 广西南宁)如图所示,øB A C＝øA B D＝９０ʎ,A C＝B D,点O是A D㊁B C的交点,点E是A B的中点．(１)图中有哪几对全等三角形?请写出来．(２)试判断O E和A B的位置关系,并给予证明．(第２３题)２４．(２０１２ 湖北随州)如图,在әA B C中,A B＝A C,点D是B C的中点,点E在A D上．求证:(１)әA B DɸәA C D;(２)B E＝C E ．(第２４题)ɦ８．２㊀全等三角形１．B㊀２．B㊀３．A㊀４．B㊀５．B㊀６．C㊀７．A㊀８．B㊀９．D １０．D㊀１１．B㊀１２．C１３．②㊀１４．１３㊀１５．３１６．ȵ㊀A BʊC D,ʑ㊀øB A C＝øE C D．在әB A C和әE C D中,A B＝E C,øB A C＝øEC D,A C＝C D,ʑ㊀әB A CɸәE C D(S A S)．ʑ㊀C B＝E D．１７．ȵ㊀在әA B E和әA C D中,øA＝øA,A B＝A C,øB＝øC,ʑ㊀әA B EɸәA C D．ʑ㊀B E＝C D．１８．ȵ㊀øA B C＋øC B E＝１８０ʎ,øA B D＋øD B E＝１８０ʎ,øC B E＝øD B E,ʑ㊀øA B C＝øA B D．在әA B C和әA B D中,øC A E＝øD A E,A B＝A B,øA B C＝øA B D,ʑ㊀әA B CɸәA B D(A S A)．ʑ㊀A C＝A D．１９．ȵ㊀ø１＝ø２,ʑ㊀ø１＋øB A D＝ø２＋øB A D,即㊀øE A D＝øB A C．在әE A D和әB A C中,øB＝øE,A B＝A E,øB A C＝øE A D,ʑ㊀әA B CɸәA E D(A S A)．ʑ㊀B C＝E D．２０．(１)连接A D．在әB A D和әC D A中,A B＝C D,D B＝A C,A D＝A D,ʑ㊀әB A DɸәC D A(S S S)．ʑ㊀øA B D＝øD C A(全等三角形对应角相等)．(２)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边．２１．连接A C．在әA B C和әA D C中,A B＝A D,C B＝C D,A C＝A C,ʑ㊀әA B CɸәA D C．ʑ㊀øB＝øD．２２．C E和B F的数量关系是C E＝B F,位置关系是C EʊB F．证明:ȵ㊀A BʊC D,ʑ㊀øA＝øD．ȵ㊀在әA B F和әD C E中,A B＝C D,øA＝øD,A F＝D E,ʑ㊀әA B FɸәD C E．ʑ㊀C E＝B F,øA F B＝øD E C．ʑ㊀C EʊB F．故C E和B F的数量关系是C E＝B F,位置关系是C EʊB F．２３．(１)әA B CɸәB A D,әA O EɸәB O E,әA O CɸәB O D;(２)O EʅA B．理由如下:ȵ㊀在R tәA B C和R tәB A D中,A C＝B D,øB A C＝øA B D,A B＝B A,ʑ㊀әA B CɸәB A D．ʑ㊀øD A B＝øC B A．ʑ㊀O A＝O B．ȵ㊀点E是A B的中点,ʑ㊀O EʅA B．２４．(１)ȵ㊀D是B C的中点,ʑ㊀B D＝C D．在әA B D和әA C D中,B D＝C D,A B＝A C,A D＝A D(公共边),ʑ㊀әA B DɸәA C D(S S S)．(２)由(１)知әA B DɸәA C D,ʑ㊀øB A D＝øC A D,即øB A E＝øC A E．在әA B E和әA C E中,A B＝A C,øB A E＝øC A E,A E＝A E,ʑ㊀әA B EɸәA C E(S A S)．ʑ㊀B E＝C E(全等三角形的对应边相等)．。