2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题04 四边形(逐题详解版)

上海市2021年中考数学试题一、选择题1.下列实数中，有理数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】解：A 2是无理数B 3是无理数C 12为有理数D 55是无理数故选：C【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键2.下列单项式中，23a b 的同类项是（）A.32a b B.232a b C.2a b D.3ab 【答案】B【解析】【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致，∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．3.将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变B.对称轴不变C.y 随x 的变化情况不变D.与y 轴的交点不变【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y 随x 的变化情况不变；与y 轴的交点改变故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg /包B.3kg /包C.4kg /包D.5kg /包【答案】A【解析】【分析】选择人数最多的包装是最合适的．【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故选：A ．【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可．5.如图，已知平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，E 为AB 中点，求12a b += （）A.ECB.CEC.EDD.DE【答案】A【解析】【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，E 为AB 中点，∴1122a b AB BC EB BC EC +=+=+= 故选A ．【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则．6.如图，已知长方形ABCD 中，4,3AB AD ==，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点,C D 与圆A 的位置关系是（）A.点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B.点C 在圆A 外，点D 在圆A 外C.点C 在圆A 上，点D 在圆A 内D.点C 在圆A 内，点D 在圆A 外【答案】C【解析】【分析】根据内切得出圆A 的半径，再判断点D 、点E 到圆心的距离即可【详解】∵圆A 与圆B 内切，4AB =，圆B 的半径为1∴圆A 的半径为5∵3AD =<5∴点D 在圆A 内在Rt △ABC 中，5AC ===∴点C 在圆A 上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题7.计算：72=x x ÷_____________．【答案】5x 【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【详解】∵72=x x ÷5x ,故答案为:5x ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．8.已知6()f x x=，那么f =__________．【答案】【解析】【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．【详解】解：∵6 ()f xx=，∴f=，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．9.3=，则x=___________．【答案】5【解析】【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解．3=，两边同平方，得49x+=，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案是：5．【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键．10.不等式2120x-<的解集是_______．【答案】6x<【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】2120x-<212x<6x<故答案为：6x<．【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．11.70︒的余角是__________．【答案】20︒【解析】【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】70︒的余角是90°-70︒=20︒故答案为：20︒．【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．12.若一元二次方程2230x x c -+=无解，则c 的取值范围为_________．【答案】98c >【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到()2342c =--⨯ ＜0，然后求出c 的取值范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程2230x x c -+=无解，∵2a =，3b =-，c c =，∴()2243420b ac c =-=--⨯< ，解得98c >，∴c 的取值范围是98c >．故答案为：98c >．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．【答案】38【解析】【分析】根据概率公式计算即可【详解】根据概率公式，得偶数的概率为38，故答案为：38．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．14.已知函数y kx =经过二、四象限，且函数不经过(1,1)-，请写出一个符合条件的函数解析式_________．【答案】2y x =-（0k <且1k ≠-即可）【解析】【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．【详解】解：∵正比例函数y kx =经过二、四象限，∴k <0，当y kx =经过(1,1)-时，k =-1，由题意函数不经过(1,1)-，说明k ≠-1，故可以写的函数解析式为：2y x =-(本题答案不唯一，只要0k <且1k ≠-即可)．【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，y kx =(k ≠0)当0k <时经过第二、四象限；当0k >时经过第一、三象限．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．【答案】335k 【解析】【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润．【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为()510y mx n x =+≤≤，将（5，4k ），（10，k ）代入关系式：5410m n k m n k +=⎧⎨+=⎩，解得357m k n k⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴()375105y kx k x =-+≤≤令8x =，则115y k =∴利润=()11338555k k -⨯=【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量．16.如图，已知12ABD BCD S S = ，则BOC BCDS S =_________．【答案】23【解析】【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出12AD BC =，再根据△AOD ∽△COB 得出12OD AD OB BC ==，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可【详解】解：作AE ⊥BC ，CF ⊥BD ∵12ABD BCD S S = ∴△ABD 和△BCD 等高，高均为AE ∴112122ABD BCD AD AE S AD S BC BC AE === ∵AD ∥BC∴△AOD ∽△COB ∴12OD AD OB BC ==∵△BOC 和△DOC 等高，高均为CF ∴1·2211·2BOC DOCOB CF S OB S OD OD CF === ∴BOC BCD S S = 23故答案为：23【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．【答案】2．【解析】【分析】由六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC 、△CDE 、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC 、AE 、CE ，作BG ⊥AC 、DI ⊥CE 、FH ⊥AE ，AI ⊥CE ，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120︒，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30︒，∴BG=DI=FH=1 2，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=3 2，∴AC=AE=CE3，∴由勾股定理得：AI=3 2，∴S=111333 33322222⨯+=，故答案为：33 2．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点,2P OP=，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．【答案】221d ≤≤【解析】【分析】先确定正方形的中心O 与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．【详解】解：如图1，设AD 的中点为E ，连接OA ，OE ，则AE =OE =1，∠AEO =90°，2OA =．∴点O 与正方形ABCD 边上的所有点的连线中，OE 最小，等于1，OA 2．∵2OP =，∴点P 与正方形ABCD 边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E 落在OP 上时，最大值PE =PO -EO =2-1=1；如图3所示，当点A 落在OP 上时，最小值22PA PO AO =-=-．∴当正方形ABCD 绕中心O 旋转时，点P 到正方形的距离d 的取值范围是221d ≤≤．故答案为：221d ≤≤【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．三、解答题19.计算：1129|12-+-【答案】2【解析】【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．【详解】解：1129|1|2-+--，(112--⨯=31，=2．【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．20.解方程组：22340x y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由第一个方程得到3x y =-，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出y ，再回代第一个方程中即可求出x ．【详解】解：由题意：223(1)40(2)x y x y +=⎧⎨-=⎩，由方程(1)得到：3x y =-，再代入方程(2)中：得到：22(3)40y y --=，进一步整理为：32y y -=或32y y -=-，解得11y =，23y =-，再回代方程(1)中，解得对应的12x =，26x =，故方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可．21.已知在ABD △中，,8,4AC BD BC CD ⊥==，4cos 5ABC ∠=，BF 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求tan FBD ∠的值．【答案】（1）6AC =；（2）310【解析】【分析】（1）在Rt △ABC 中，利用三角函数即可求出AB ，故可得到AC 的长；（2）过点F 作FG ⊥BD ，利用中位线的性质得到FG ，CG ，再根据正切的定义即可求解．【详解】（1）∵AC BD ⊥，4cos 5ABC ∠=∴cos 45ABC BC AB ∠==∴AB =10∴AC 6=；（2）过点F 作FG ⊥BD ，∵BF 为AD 边上的中线．∴F 是AD 中点∵FG ⊥BD ，AC BD⊥∴//FG AC∴FG 是△ACD 的中位线∴FG =1=2AC 3CG=1=22CD ∴在Rt △BFG 中，tan FBD ∠=338210FG BG ==+．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．22.现在5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G 手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G 手机速度很快，比4G 下载速度每秒多95MB ，下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒，求5G 手机的下载速度．【答案】（1）36万部；（2）100MB /秒【解析】【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；（2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒，根据下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒列方程求解．【详解】（1）3月份的百分比=130%25%45%--=三月份共生产的手机数=8045%=36⨯（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒，由题意可知：1000100019095x x-=-解得：100x =检验：当100x =时，()950x x ⋅-≠∴100x =是原分式方程的解．答：5G 手机的下载速度为100MB /秒．【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．23.已知：在圆O 内，弦AD 与弦BC 交于点,,,G AD CB M N =分别是CB 和AD 的中点，联结,MN OG ．（1）求证：OG MN ⊥；（2）联结,,AC AM CN ，当//CN OG 时，求证：四边形ACNM 为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连结,OM ON ，由M 、N 分别是CB 和AD 的中点，可得OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，由AB CD =，可得OM ON =，可证()Rt EOP Rt FOP HL ∆∆≌，MG NG MGO NGO =∠=∠，，根据等腰三角形三线合一性质OG MN ⊥;（2）设OG 交MN 于E ，由Rt EOP Rt FOP ∆∆≌，可得MG NG =，可得CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN ===，可证CMN ANM ≌可得AM CN =，由CN ∥OG ，可得90AMN CNM ∠=∠=︒，由+=180AMN CNM ∠∠︒可得AM ∥CN ，可证ACNM 是平行四边形，再由90AM N ∠=︒可证四边形ACNM 是矩形．【详解】证明：（1）连结,OM ON ，∵M 、N 分别是CB 和AD 的中点，∴OM ，ON 为弦心距，∴OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，90GMO GNO ∴∠=∠=︒，在O 中，AB CD =，OM ON ∴=，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中，OM ON OG OG =⎧⎨=⎩，()Rt GOM Rt GON HL ∴∆∆≌，∴MG NG MGO NGO =∠=∠，，OG MN ∴⊥;（2）设OG 交MN 于E ，()Rt GOM Rt GON HL ∆∆ ≌，∴MG NG =，∴GMN GNM ∠=∠，即CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN === ，在△CMN 和△ANM 中CM AN CMN ANM MN NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMN ANM ∴ ≌，,AM CN AMN CNM ∴=∠=∠，∵CN ∥OG ，90CNM GEM ∴∠=∠=︒，90AMN CNM ∴∠=∠=︒，+90+90=180AMN CNM ∴∠∠=︒︒︒，∴AM ∥CN ，ACNM ∴是平行四边形，90AMN ∠=︒ ，∴四边形ACNM 是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．24.已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）点A 在直线PQ 上且在第一象限内，过A 作AB x ⊥轴于B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角ABC ．①若A 与Q 重合，求C 到抛物线对称轴的距离；②若C 落在抛物线上，求C 的坐标．【答案】（1）21922y x =-+；（2）①1；②点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩,解方程组即可;（2）①根据AB =4,斜边上的高为2,Q 的横坐标为1,计算点C 的横坐标为-1,即到y 轴的距离为1；②根据直线PQ 的解析式，设点A （m ，-2m +6）,三角形ABC 是等腰直角三角形，用含有m 的代数式表示点C 的坐标，代入抛物线解析式求解即可.【详解】（1）将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩解得19,22a c =-=．所以抛物线的解析式是21922y x =-+．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点(1,4)Q 重合时，4AB =，作CH AB ⊥于H ．∵ABC 是等腰直角三角形，∴CBH 和CAH 也是等腰直角三角形，∴2CH AH BH ===，∴点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，由(3,0)(1,4)P Q 、，得30,4,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,6,k b =-⎧⎨=⎩∴直线PQ 的解析式为26y x =-+，设(,26)A m m -+，∴26AB m =-+，所以3CH BH AH m ===-+．所以3,(3)23C C y m x m m m =-+=--+-=-．将点(23,3)C m m --+代入21922y x =-+，得2193(23)22m m -+=--+．整理，得22730m m -+=．因式分解，得(21)(3)0m m --=．解得12m =，或3m =（与点B 重合，舍去）．当12m =时，1523132,3322m m -=-=--+=-+=．所以点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．25.如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求AD BC的值；（2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．【答案】（1）①见解析；②23；（2）1或3+【解析】【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，DAC DCA OBC OCB ∠=∠=∠=∠，由此可得DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒，作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．根据30°所对直角边是斜边的一半可知CH m =，由此可得AD BC 的值．（2）①当点E 在AD 上时，可得四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，在Rt ACE 和Rt DCE V 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-求解即可．②当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m =；由EOC ECB ∽得EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+，解出x 的值即可．【详解】（1）①由AD CD =，得12∠=∠．由//AD BC ，得13∠=∠．因为BO 是Rt ABC △斜边上的中线，所以OB OC =．所以34∠=∠．所以1234∠=∠=∠=∠．所以DAC OBC ∽．②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒．作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．在Rt DCH △中，60,2DCH DC m ∠=︒=，所以CH m =．所以3BC BH CH m =+=．所以2233AD m BC m ==．（2）①如图5，当点E 在AD 上时，由//,AD BC O 是AC 的中点，可得OB OE =，所以四边形ABCE 是平行四边形．又因为90ABC ∠=︒，所以四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2AE x =-．已知3OE =，所以6AC =．在Rt ACE 和Rt DCE V 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-．解得1x =+，或1x =（舍去负值）．②如图6，当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2CE x =-．设OB OC m ==，已知3OE =，那么3EB m =+．一方面，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m=，另一方面，由24BEC ∠=∠∠，是公共角，得EOC ECB ∽．所以EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+．等量代换，得32232x x x m m -==-+．由322x x m =-，得226x x m -=．将226x x m -=代入3223x x m -=-+，整理，得26100x x --=．解得3x =+，或3x =．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．。

2021全国中考真题分类汇编（四边形）----多边形与平行四边形一、选择题1. （2021•湖南省常德市）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（ ）边形．A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】D【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）×180 ，根据多边形的内角和为1800 ，就得到一个关于n 的方程，从而求出边数．【详解】根据题意得：（n ﹣2）×180=1800，解得：n =12．故选：D ．2. （2021•株洲市）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（ ）A.B. C. D.【答案】B 3. （2021•江苏省连云港）正五边形的内角和是（ ）A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】n 边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角︒︒︒︒ABCDEF AB ABGHI FAI ∠=10︒12︒14︒15︒360︒540︒720︒900︒()2180n -⋅︒和．详解】（7﹣2）×180°=900°．故选D ．4. （2021•江苏省南京市）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）A. 1，1，1B. 1，1，8C. 1，2，2D. 2，2，2 【答案】D【解析】【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．【详解】A 、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B 、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C 、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D 、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D ．5. （2021•江苏省扬州） 如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）A.B. C. D.【答案】D【解析】 【分析】连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∵∠BCD =100°，∴∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∴∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，【AB BC CD DE EA 100BCD ∠=︒A B D E ∠+∠+∠+∠=220︒240︒260︒280︒故选D ．6. （2021•四川省眉山市）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）A ．1：3B ．1：2C ．2：1D ．3：1【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135:45＝3:1．故选：D ．7. (2021•四川省自贡市) 如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，的度数是（ ）A. 72°B. 36°C. 74°D. 88°【答案】A【解析】 【分析】根据正五边形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差即可求解．ACD∠108B BCD ∠=∠=︒AB BC =36BCA BAC ∠=∠=︒【详解】解：∵ABCDE 是正五边形，∴，，∴,∴，故选：A ．8. （2021•北京市）下列多边形中，内角和最大的是（ ）DA.B ．C ．D ． 9. （2021•福建省）如图，点F 在正ABCDE 五边形的内部，△ABF 为等边三角形，则∠AFC 等于（ ）CA ．108°B ．120°C ．126°D ．132° 10. （2021•云南省）一个10边形的内角和等于（ ）CA ．1800°B ．1660°C ．1440°D ．1200° 11. （2021•山东省济宁市）如图，正五边形ABCDE 中，∠CAD 的度数为（ ）A ．72°B ．45°C ．36°D ．35°【分析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠CAB 和∠DAE ，108B BCD ∠=∠=︒AB BC =36BCA BAC ∠=∠=︒1083672ACD ∠=︒-︒=︒即可求出∠CAD．【解答】解：根据正多边形内角和公式可得，正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，则∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故选：C．12.（2021•贵州省铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A. 等边三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C13.（2021•襄阳市）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B14.（2021•绥化市）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A. 八边形B. 九边形C. 十边形D. 十二边形【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.【详解】设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝4×360°，解得：n＝10，故选C.15. （2021•河北省）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO ＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（ ）A．20B．30C．40D．随点O位置而变化【分析】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD＝AF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED 的高，即可求出正六边形的面积．【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）＝30°，∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD＝（FO +OD ）×AF＝FD ×AF＝10，∴FD ×AF ＝20，DM ＝cos30°DE ＝x ，DF ＝2DM ＝x ， EM ＝sin30°DE ＝，∴S 正六边形ABCDEF ＝S 矩形AFDC +S △EFD +S △ABC＝AF ×FD +2S △EFD＝x •x +2×x •x＝x 2+x 2 ＝20+10＝30，故选：B ．16.（2021•株洲市） 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）A. B. C. D.ABCD E BC 132DCE ∠=︒A ∠=38︒48︒58︒66︒【答案】B17.（2021•山东省泰安市）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的性质，证明△MDB≌△NBD，从而判断①正确；若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，通过证明△BAM≌△CDM可以判断②；过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，通过三角形面积公式可以判断③；若AB＝MN则四边形MNCD是等腰梯形，通过证明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判断④．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△MDB和△NBD中，，∴△MDB≌△NBD（ASA），∴DM＝BN，∴AM＝CN，故①正确；②若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠A＝90°，在△BAM和△CDM中，，∴△BAM≌△CDM（SAS），∴BM＝CM，故②正确；③过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，由①可知四边形MBCD是平行四边形，E为BD中点，∴MG＝2EH，又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，∴S△ANC＝NC•MG＝•BN•2EH＝BN•EH＝S△BNE，故③正确；④∵AB＝MN，AB＝DC，∴MN＝DC，∴四边形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC＝∠DCN，在△MNC和△DCN中，，∴△MNC≌△DCN（SAS），∴∠NMC＝∠CDN，在△MFN和△DFC中，，∴△MFN≌△DFC（AAS），故④正确．∴正确的个数是4个，故选：D．18.（2021•陕西省）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则（ ）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，由锐角三角函数可求解．【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．19.（2021•河北省）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙：证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥B，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；故选：A．20.（2021•泸州市）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（）A. 61°B. 109°C. 119°D. 122°【答案】C【解析】 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出，根据角平分线的性质得：AE 平分∠BAD 求，再根据平行线的性质得，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴，∴∵AE 平分∠BAD∴ ∵∴故选C ．21. （2021•四川省南充市）如图，点O 是▱ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ，下列结论成立的是（ ）A ．OE ＝OFB ．AE ＝BFC ．∠DOC ＝∠OCD D ．∠CFE ＝∠DEF【分析】证△AOE ≌△COF （ASA ），得OE ＝OF ，AE ＝CF ，∠CFE ＝∠AEF ，进而得出结论．【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AD ∥BC ，180122BAD D ∠=︒-∠=︒DAE ∠AEC ∠//AB CD //AD BC 180********BAD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒111226122DAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒//AD BC 180********AEC DAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，AE ＝CF ，∠CFE ＝∠AEF ，又∵∠DOC ＝∠BOA ，∴选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确，故选：A ．22. （2021•天津市）如图，的顶点A ，B ，C 的坐标分别是，则顶点D 的坐标是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 平行四边形，点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)，∴点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度，∴A 到D 也应向右移动4个单位长度，∵点A 的坐标为(0，1)，则点D 的坐标为(4，1)，故选:C ．23. （2021•湖北省恩施州）如图，在▱ABCD 中，AB ＝13，AD ＝5，AC ⊥BC ，则▱ABCD ABCD Y ()()()2,0,1,2,2,2---()4,1-()4,2-()4,1()2,1是的面积为（ ）A．30B．60C．65D．【分析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD的底边BC和其对角线AC的值，然后根据平行四边形的面积计算公式求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．∵AC⊥BC，∴△ACB是直角三角形．∴AC＝＝＝12．∴S▱ABCD＝BC•AC＝5×12＝60．故选：B．24.（2021•湖北省荆门市）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．65°C．75°D．85°【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，带哦求出答案即可．【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH 是等腰直角三角形，∴∠FHE ＝45°，∴∠NHB ＝∠FHE ＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB ＝180°﹣∠1﹣∠NHB ＝105°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠2+∠HNB ＝180°，∴∠2＝75°，故选：C ．25.（2021•山东省威海市） 如图，在平行四边形ABCD 中，AD-3，CD=2．连接AC ，过点B 作BE ∥AC ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，交BC 于点F ．若∠AFC=2∠D ，则四边形ABEC 的面积为（ ）B.C. 6D.【答案】B【解析】 【分析】先证明四边形ABEC 为矩形，再求出AC ，即可求出四边形ABEC 的面积．【详解】解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD =2，BC =AD =3，∠D =∠ABC ，∵，是//BE AC∴四边形ABEC 为平行四边形，∵，∴，∵∠AFC =∠ABF +∠BAF ，∴∠ABF =∠BAF ，∴AF =BF ，∴2AF =2BF ，即BC =AE ，∴平行四边形ABEC 是矩形，∴∠BAC =90°，∴,∴矩形ABEC 的面积为故选：B26.（2021•浙江省衢州卷）如图，在中，，，，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，连结DE ，EF ，则四边形ADEF 的周长为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 15【答案】B27.（2021•贵州省贵阳市）如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ，若AB ＝3，AD ＝4，则EF 的长是（ ）2AFC D ∠=∠2AFC ABC ∠=∠AC ===AB AC =g ABC V 4AB =5AC =6BC =A ．1B ．2C ．2.5D ．3【分析】根据平行四边形的性质证明DF ＝CD ，AE ＝AB ，进而可得AF 和ED 的长，然后可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝5，∴∠DFC ＝∠FCB ，又∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCF ＝∠FCB ，∴∠DFC ＝∠DCF ，∴DF ＝DC ＝3，同理可证：AE ＝AB ＝3，∵AD ＝4，∴AF ＝5﹣4＝1，DE ＝4﹣3＝1，∴EF ＝4﹣1﹣1＝2．故选：B ．28.（2021•湖南省娄底市）如图，点在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是（ ）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形 【答案】A【解析】【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状． ,E F ABCD BD BE DFAECF【详解】解：由题意：，，又，，，，四边形为平行四边形，故选：A ．二．填空题1. （2021•湖北省黄冈市）正五边形的一个内角是 108　度．【分析】因为n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．【解答】解：（5﹣2）•180＝540°，540÷4＝108°．2. （2021•陕西省）正九边形一个内角的度数为 140°　．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n ﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．3. （2021•上海市）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．//,AD BC ADB CBD ∴∠=∠ FDA EBC ∴∠=∠,AD BC BE DF == ()ADF CBE SAS ∴V V ≌AF EC ∴=,//AFD CEB AF EC ∴∠=∠∴∴AECF 30°【解析】【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC 、△CDE、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC 、AE 、CE ，作BG ⊥AC 、DI ⊥CE、FH ⊥AE ，AI ⊥CE ，在正六边形ABCDEF 中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF 为1，∴△ABC 、△CDE 、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形， ∵∠ABC =∠CDE =∠EFA =120︒，AB =BC = CD =DE = EF =FA =1，∴∠BAG =∠BCG =∠DCE =∠DEC =∠FAE =∠FEA =30︒，∴BG =DI = FH =， ∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH ∴AC =AE =，∴由勾股定理得：AI=， ∴S = 30°1232111332222⨯+=4. （2021•新疆） 四边形的外角和等于_______.【答案】360°．5. （2021•浙江省湖州市）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A ，B ，C，D ，E 是正五边形的五个顶点），则图中∠A 的度数是 度．【答案】36【解析】首先根据正五边形的内角和计算公式，求出每个内角的度数为108°，即∠ABC ＝∠BAE ＝108°，那么等腰△ABC 的底角∠BAC ＝36°，同理可求得∠DAE ＝36°，故∠CAD ＝∠BAE ﹣∠BAC ﹣∠EAD ＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其实正五角星的五个角是36°，可以作为一个常识直接记住．6. （2021•江苏省盐城市）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 9　．【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为40°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．【解答】解：360°÷40°＝9，故答案为：9．7. （2021•广西玉林市）如图、在正六边形中，连接线，，，，，与交于点，与交于点为，与交于点，分别延长，于点，设．有以下结论：①；②；③重心、内心及外心均是点；④四边形绕点逆时针旋转与四边形重合．则所有正确结论的序号是______．ABCDEF AD AE AC DF DB AC BD M AE DF N MN AD O AB DC G 3AB =MN AD ⊥MN =DAG △的M FACD O 30°ABDE【答案】①②③8. （2021•浙江省衢州卷）如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC ，BD 交于点F ，则的度数为________．【答案】9. （2021•江苏省扬州）如图，在中，点E 在上，且平分，若，，则的面积为________．【答案】50【解析】【分析】过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，利用直角三角形的性质求出EF ，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE =∠BEC ，可得BE =BC =10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠EBC =30°，BE =10，AFB∠72︒ABCD Y AD EC BED ∠30EBC ∠=︒10BE =ABCDY∴EF =BE =5， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DEC =∠BCE ，又EC 平分∠BED ，即∠BEC =∠DEC ，∴∠BCE =∠BEC ，∴BE =BC =10，∴四边形ABCD 的面积===50，故答案为：50．10.（2021•山东省临沂市）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点C 1的坐标是 （4，﹣1）　．【分析】由题意A ,C 关于原点对称，求出点C 的坐标，再利用平移的性质求出点C 1的坐标可得结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD 的对称中心是坐标原点，∴点A ,点C 关于原点对称，∵A (﹣1,1),∴C (1,﹣1),∴将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点C 1的坐标是(4,﹣1),故答案为：（4，﹣1）．11.（2021•山东省菏泽市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，DE ＝2，过点B 作BF ∥AC ，交DE 的延长线于点F ，则四边形ABFD 的面积为 8　．12BC EF ⨯105⨯【分析】由三角形的中位线定理证得DE∥AB，AB＝2DE＝4，进而证得四边形ABFD是平行四边形，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC＝4，得到BE＝2，根据平行四边形的面积公式即可求出四边形ABFD的面积．【解答】解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴AB＝2DE，DF∥AB，又∵BF∥AC，∴BF∥AD，∴四边形ABFD是平行四边形，∵AB⊥BE，∴S平行四边形ABFD＝AB•BE，∵DE＝2，∴AB＝2×2＝4，在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝4，∴BE＝BC＝2，∴S平行四边形ABFD＝4×2＝8，故答案为8．12. 6.（2021•浙江省丽水市）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【解析】【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．13.（2021•青海省）如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为　6cm　．【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知▱ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再S四边形ABCD＝BC•h，可求得h的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，在△ABD和△BCD中∴△ABD≌△BCD（SSS），∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm，∴S△ABD＝BD•AE＝×8×3＝12（cm2），∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，设AD与BC之间的距离为h，∵BC＝4cm，∴S四边形ABCD＝AD•h＝4h，∴4h＝24，解得h＝6cm，故答案为：6cm．14.（2021•浙江省嘉兴市）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出BC和OB的长，又AH⊥OB ，可利用等面积法求出AH 的长．【解答】解：如图，∵AB ⊥AC ，AB ＝2，BC ＝2， ∴AC ＝＝2，在▱ABCD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OA ＝OC ＝，在Rt △OAB 中，OB ＝＝，又AH ⊥BD ，∴OB •AH ＝OA •AB ，即＝， 解得AH ＝． 故答案为：． 15.（2021•黑龙江省龙东地区）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．【答案】【解析】【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴当时，四边形ABCD 为矩形．故答案为：．三、解答题1.（2021•湖北省武汉市）如图，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，BC 的延长线分别交于点E ，F，求ABCD AC BDABCD 90ABC ∠=︒90ABC ∠=︒90ABC ∠=︒证：∠DEF＝∠F．【分析】由平行线的性质得到∠DCF＝∠B，进而推出∠DCF＝∠D，根据平行线的判定得到AD∥BC，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F．2.（2021•怀化市）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到DA＝BC，DA∥BC，然后即可得到∠EAD ＝∠FCB，再根据SAS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到∠E＝∠F，从而可以得到ED∥BF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）由（1）知，△ADE ≌△CBF ，∴∠E ＝∠F ，∴ED ∥BF ．3. 如（2021•岳阳市）图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析4. （2021•宿迁市）在①AE=CF ；②OE=OF ；③BE ∥DF 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 在AC 上，(填写序号)．求证：BE=DF ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】见解析【解析】ABCD AE BD ⊥CF BD ⊥EF AECF AECF //AFCE【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF 后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论．【详解】解：若选②，即OE=OF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵OE=OF，∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；若选①，即AE=CF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO，∵AE=CF，∴OE=OF，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；若选③，即BE∥DF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵BE∥DF；∴∠BEO=∠DFO，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE =DF ；5. （2021•山东省聊城市） 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AO ＝CO ，点E 在BD 上，满足∠EAO ＝∠DCO ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AB ＝BC ，CD ＝5，AC ＝8，求四边形AECD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【解析】【分析】（1）根据题意可证明，得到OD ＝OE ，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；（2）根据AB =BC ，AO =CO ，可证明BD 为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD 为菱形，然后根据条件求出DE 的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD 中，∴．∴OD ＝OE ．又∵AO ＝CO ，∴四边形AECD 是平行四边形．（2）∵AB ＝BC ，AO ＝CO ，∴BO 为AC 的垂直平分线，．∴平行四边形 AECD 是菱形．∵AC ＝8，．AOE COD V V ≌EAO DCO AO COAOE COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AOE COD ASA V V ≌BO AC ⊥142CO AC ∴==在 Rt △COD 中，CD ＝5，，∴，， ∴四边形 AECD 的面积为24．6. （2021•湖南省永州市）如图，已知点A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，AE ∥BF ．（1）求证：△AEC ≌△BFD ．（2）判断四边形DECF 的形状，并证明．7.（2021•四川省广元市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，连接AE ，若AE 的延长线和BC 的延长线相交于点F ．（1）求证：BC=CF ；（2）连接AC 和相交于点为G ，若△GEC 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【解析】【分析】（1）根据E 是边DC 的中点，可以得到，再根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；3OD ∴===26DE OD ==11682422AECD S DE AC ∴=⋅=⨯⨯=菱形BE DE CE =ADE ECF ∠∠＝AED CEF ∠=∠ADE ECF V V ≌（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∴，∵点E 为DC 的中点，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，点E 为DC 的中点，∴，，∴，，∴，∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴，∴．CEG ABG V :V 8ABG S =V 12AG AB GC CE ==4BGC S =V ABC ABG BCG S S S =+V V V 12ABC S =△//B AD C AD BC =ADE ECF ∠∠＝DE CE =ADE V ECF △ADE ECF DE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ADE ECF ASA V V ≌AD CF =BC CF =//AB DC 2AB EC =GEC ABG ∠=∠GCE GAB ∠=∠CEG ABG V :V GEC V 221124ABG CEG S AB S CE ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V 4428ABG CEG S S ==⨯=V V CEG ABG V :V 12AG AB GC CE ==118422BGC ABG S S ==⨯=V V 8412ABC ABG BCG S S S =+=+=V V V 221224ABCD ABC S S ==⨯=Y V8. （2021•新疆）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且．求证：（1）；（2）四边形AEFD 是平行四边形．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．9.（2021•浙江省绍兴市）问题：如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，∠DAB ，∠ABC 的平分线AE ，F ，求EF 的长．答案：EF ＝2．探究：（1）把“问题”中的条件“AB ＝8”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“AB ＝8，AD ＝5”去掉，其余条件不变，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求的值．【分析】（1）①证∠DEA ＝∠DAE ，得DE ＝AD ＝5，同理BC ＝CF ＝5，即可求解； ②由题意得DE ＝DC ＝5，再由CF ＝BC ＝5，即可求解；（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等，分别求解即可．【解答】解：（1）①如图1所示：BE CF ABE DCF △≌△∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；②如图3所示：∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5；（2）分三种情况：①如图3所示：同（1）得：AD＝DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴＝；②如图4所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴＝；③如图5所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴＝2；综上所述，的值为或．。

2021上海初三数学一模试题分类整理（阅读理解与新定义题）1．（长宁）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线.在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==.点E 、点F 分别是边AD 、边BC 上的中点.如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于．2.（杨浦）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB =10，BC =12，CD =5，tan 34B =，那么边AD 的长为．3．（徐汇）定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数．例如：[]17.1=，053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，3412-=⎦⎤⎢⎣⎡-．根据你学习函数的经验，下列关于函数[]x y =的判断中，正确的是（）（A）函数[]x y =的定义域是一切整数；（B）函数[]x y =的图像是经过原点的一条直线；（C）点)2,522(在函数[]x y =图像上；（D）函数[]x y =的函数值y 随x 的增大而增大．4．（普陀）勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙，利用面积证明了勾股定理．如果小正方形EFGH 的面积是4，10sin 10GBC ∠=，那么大正方形ABCD 的面积等于．5．（浦东）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线2C 的表达式为．6．（闵行）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）（A）4cm；（B）6cm；（C）8cm；（D）10cm．7．（虹口）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC ，使∠C=90°，∠ABC =30°，再延长CB到点D ，使BD =BA ，联结AD ，即可得∠D =15°．如果设AC =t ，则可得(2CD t =+，那么cot15°=cot D =CD AC ．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是．8.（奉贤）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线．如果抛物线C 1：x x y 2=2-与抛物线C 2是关于直线x =-1的对称曲线，那么抛物线C 2的表达式为．9．（崇明）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD 中，AB AC AD ==，则2AC AB AD =⋅，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，那么线段AD 的长为．10．（青浦）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果△QAB 、△QBC 和△QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=2，BC=8，∠B=60°，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =．。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题06 几何证明（解答题23题）1. （2021宝山一模）如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅；（2）如果1OE =，2EF =，求CF BF的长．2. （2021崇明一模）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=．3. （2021奉贤一模）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．4. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．5.（2021黄埔一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则AM CN DM BN=； ②如图2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于点K 、L ，则AK BL DK CL =．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔水笔完成作图，不要涂改）的6. （2021嘉定一模）如图，已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC 上．ABC的高AH交GF于点I．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．7. （2021闵行一模）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．8.（2021普陀一模） 已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．9. （2021青浦一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅（1）求证：ABE ACB ∽；（2）如果2·DA DE DB =，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅．10.（2021松江一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠；（2）求证：··BE EF BF AE =．11. （2021杨浦区一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DE BD BE =； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．12. （2021金山一模）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠.（1）求证：DE BF AB ⋅=2； （2）若DCDN DE BE =，求证：MN EF //.A B F EC第23题图 D MN13.（浦东新区一模）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．14．（2021徐汇一模）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE 交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．15．（2021长宁一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC 上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．16．（2021·上海静安区·九年级一模）已知：如图，在△ABC中，DE△BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD△△CDE；（2）22CD AD BC AB．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题06 几何证明（解答题23题）1. （2021宝山一模）如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅；（2）如果1OE =，2EF =，求CF BF的长．【答案】（1）见解析；（2）CF BF = 【分析】（1）根据菱形的性质证明ABO EDO ，BFO DAO ，得到AB BF ED DA=，再由AB DA =，即可证明结论； （2）连接OC ，先证明()ADO CDO SAS ≅得到DAO DCO ∠=∠，就可以证明OEC OCF ，根据对应边成比例求出OC 的长，再根据ADE FCE ~，利用对应边成比例求出结果．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴//AB CD ，//AD BC ，AB DA =，∴ABO EDO ，BFO DAO ， ∴AB BO ED DO =，BF BO DA DO =，∴AB BF ED DA=， ∵AB DA =，∴2AB DE BF =⋅；（2）如图，连接OC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=DC ，ADO CDO ∠=∠，在ADO △和CDO 中，AD CD ADO CDO DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADO CDO SAS ≅，∴DAO DCO ∠=∠，∵//AD BF ，∴DAO OFC ∠=∠，∴DCO OFC ∠=∠，∵COE FOC ∠=∠，∴OEC OCF ，∴OE OC OC OF=，即2OC OE OF =⋅， ∵1OE =，2EF =，∴123OF =+=，∴OC =AO OC == ∵//AD CF ，∴ADE FCE ~，∴12AD AE FC FE +==，∴12BC AD FC ==，BF BC CF FC FC =+=+=，∴(23363CF BF -===． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．2. （2021崇明一模）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=． 【分析】（1）先说明ADE ACB 可得AE AB AD AC=，再说明ADC AEB △△，最后根据相似三角形对应角相等即可证明： （2）先说明EDF EBD △△得到DF EF DE BD DE BE ==，进一步可得2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即可证明． 【详解】证明：（1）∵AED ACB ∠=∠，A A ∠=∠，∵ADE ACB ，∵AE AB AD AC =， 又∵A A ∠=∠，∵ADC AEB △△，∵ABE ACD ∠=∠；（2）∵ED EC =，∵EDC ACD ∠=∠，∵ABE ACD ∠=∠∵EDC ABE ∠=∠，又∵DEF DEF ∠=∠，∵EDF EBD △△，∵DF EF DE BD DE BE ==， ∵2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，∵22DF EF BD EB =． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键． 3. （2021奉贤一模）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．【分析】（1）证明ACB EDC ∆∆可得∠ACB=∠EDC=∠CAD ，从而可得结论；（2）根据ASA 证明ADF DEC ∆≅∆，得到AF=DC ，再证明FCDDCA ∆∆，得到2FC CA CD =，即可得到结论．【详解】解：（1）∵B DCB ∠=∠，且CE CB AB CD ⋅=⋅，即CE CD AB CB = ∴ACB EDC ∆∆，∴ACB CDE ∠=∠∵CDE CAD ∠=∠，∴∠ACB=∠CAD ，∴//AD BC（2）∵//AD BC ，∴∠ADE=∠CED在△ADF 和△DEC 中，FAD EDC AD CEADF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△DEC ，∴AF=DC 又∵∠CDF=∠CAD ，∠FCD=∠ACD ，∴FCD DCA ∆∆ ∴FC CD CD CA=，即2FC CA CD = ，∴2AF CF CA =⋅ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的性质找出比例式．4. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．【分析】（1）由//EG AB 易证△CGE ∽△CAB ，由性质得CG CE =CA CB 由比例性质得CG CE =AG BE ，由已知BF=AG 比例式变为CG CE =BF BE，由已知DB DC =，利用等边对等角得∠FBE=∠GCE ，利用两边成比例夹角相等知BFE CGE △∽△；（2）由//EG AB ，利用性质内错角相等∠BAE=∠AEG ，由已知AEG C ∠=∠，推出∠BAE=∠C ，又∠ABE=∠CBA 共用，可证△ABE ∽△CBA ，由性质AB BE =BC AB，∠BEA=∠BAC ，把比例变等积得2AB =BC BE ，由（1）BFE CGE △∽△利用性质∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，推出∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，利用等角对等边得AC=BC ，GC=EC ，利用等量代换得AG=BE ，可证2AB =AC AG ．【详解】（1）∵//EG AB ，∴∠CGE=∠CAB ，∠CEG=∠CBA ，∴△CGE ∽△CAB ，∴CG CE =CA CB ， ∴CG CE =CA-CG CB-CE 即CG CE =AG BE ，∵BF=AG ，∴CG CE =BF BE，∵DB DC =， ∴∠DBC=∠DCB ，即∠FBE=∠GCE ，∴BFE CGE △∽△，（2）∵//EG AB ，∴∠BAE=∠AEG ，又∵AEG C ∠=∠，∴∠BAE=∠C ，又∵∠ABE=∠CBA 共用，∴△ABE ∽△CBA ，∴AB BE =BC AB，∠BEA=∠BAC ，∴2AB =BC BE ， 由（1）BFE CGE △∽△，∴∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，∵//EG AB ，∴∠ABC=∠GEC ，∠BAC=∠EGC ，∴∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，∴AC=BC ，GC=EC ，∴AG=BE ，2AB =BC BE=AC AG ．．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似证角等转化边角关系是解题关键．5.（2021黄埔一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则AM CN DM BN=； ②如图2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于点K 、L ，则AK BL DK CL =．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB 、CD 同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B 铅笔水笔完成作图，不要涂改）【分析】（1）根据题意，写出已知、求证并画出图形，如解图所示，根据平行证出△AOB ∽△COD ，列出比例式并根据比例的性质可证AO BO AC BD=，再利用平行证出△AEO ∽△ADC ，△BFO ∽△BCD ，分别列出比例式即可证出结论；（2）连接DA 、CB 并延长交于点P ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 并延长，分别交AB 、CD 于M 、N ，利用①、②的结论即可证明PN 平分线段AB 、CD ．【详解】解：（1）已知：四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作EF ∥CD ，分别交AD 、BC 于E 、F ，求证：OE=OF 证明：∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AO BO CO DO =，∴AO BO AC BD= ∵EF ∥CD ，∴△AEO ∽△ADC ，△BFO ∽△BCD ∴OE AO CD AC =，OF BO CD BD=，∴OE OF CD CD =，∴OE=OF ； （2）连接DA 、CB 并延长交于点P ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 并延长，分别交AB 、CD 于M 、N ，如下图所示，PN 即为所求，证明如下的由①知：AM CN BM DN =，由②知：AM DN BM CN =，∴CN DN DN CN= ∴22CN DN =，∴CN=DN ，∴1AM DN BM DN==，∴AM=BM ，∴PN 平分线段AB 、CD ． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握利用平行证相似和相似三角形的性质是解题关键．6. （2021嘉定一模）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．ABC 的高AH 交GF 于点I ．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=． 分析】（1）证明,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽，根据相似三角形的性质列出比例关系，整理即可证得结论；（2）要证明11n BC AH EF +=只需证明1nEF EF BC AH +=即1DE EF BC AH+=，证明∵AGF∵∵ABC ，根据相似三角形的性质以及比例的性质即可证明．【详解】解：（1）证明：∵四边形DEFG 为矩形，ABC 的高AH 交GF 于点I ，∴GD=EF,90GDH GDB FEC FEB AHB AHC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒,又∵∵B=∵B,∵C=∵C ，∵,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽， ∴GD BD BD AH BH BD DH ==+,EF CE CE AH CH CE EH ==+，∵=BD CE BD DH CE EH++，∴BD EH DH CE ⋅=⋅； （2）证明：∵四边形DEFG 为矩形，∴,//GF DE GF BC =，90FEB EFG ∠=∠=︒，∴,AGF B AFG C ∠=∠∠=∠，∴∵AGF∵∵ABC ， ∵AH 为∵ABC 的高，∵∵AIF=∵AHC=90°，GF AI BC AH =,即DE AI BC AH=, ∵90FEB EF C G AH ∠=∠=∠=︒，∴四边形IHEF 为矩形，∴EF=IH ，∵DE n EF =⋅，∴1nEF EF DE IH AI IH AI IH AH BC AH BC AH AH AH AH AH ++=+=+===，∴11n BC AH EF+=． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质和判断．本题中相似三角形有很多，能结合结论判断是需要证明哪组三角形相似是解题关键．7. （2021闵行一模）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．【分析】（1）先证明ADF CDB △△，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出1B ∠=∠，再证明BCD CAE △△，根据相似三角形的性质得出BC CE BD AC ⋅=⋅，根据等式的性质和等量代换即可得证．【详解】（1）CD BD ⊥，90ADF CDB ∴∠=∠=︒，AF CD BC AD ⋅=⋅,AD CDAF BC∴=, 在ADF 和CDB △中AD BCAF CD ADF CDB⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADFCDB ∴△△，F B ∴∠=∠，FAD EAB ∠=∠，90FDA BEA ∴∠=∠=︒，AE BC ∴⊥；（2）BE CE AE BC =⊥，，AB AC ∴=，1B ∴∠=∠又90BDC AEC ︒∠=∠=,BCDCAE ∴△△，BC BDAC CE∴=，BC CE BD AC ∴⋅=⋅ 22BC CE BD AC ∴⋅=⋅，BE CE =，∴2BC CE =，∴22BC BD AC =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8.（2021普陀一模） 已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BDDF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．【分析】（1）先证ABD △与DCB 相似，再根据相似三角形对应线段成比例再进行证明，问题得证；（2）先证ABD EFD ∽，再证DCB EFD △∽△，最后根据相似三角形对应线段成比例进行证明，问题得证．【详解】证明（1）/AD/BC ，ADB DBC ∠=∠∴，ABD C ∠=∠，∴ABD DCB △∽△，又∵AE 、DF 分别是ABD △与DCB 对应边上的高，AE BDDF BC∴= （2）如图，连结EF/AD/BC ，DF BC ⊥，∴90ADF ∠=︒，ADB BDF ∠=∠，∴45ADB BDF ∠==︒ AE BD ⊥，∴90∠=︒AED ，∴cos45DE DFDA DB=︒= ABD EFD ∴△∽△，DCB EFD ∴△∽△，DC BCEF DF∴=DF DC EF BC ∴⋅=⋅ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9. （2021青浦一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅（1）求证：ABE ACB ∽；（2）如果2·DA DE DB =，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅． 【分析】（1）找到两对相同角即可证明相似 （2）证明出ADE BDA △∽△后可推出．【详解】证明：（1）··AE CE DE BE ADE BCE ADE ACB =⇒⇒∠=∠∽AB AD ADE ABE ACB ABE =⇒∠=∠⇒∠=∠∵两个三角形有一公共角∠BAC ∴ABE ACB ∽．（2）2·DA DE DB ADE BDA =⇒∽AED ⇒为等腰三角形BEC ⇒为等腰三角形AD AE AB AEAB EC BC AE BC EC BC EC⇒=⇒=⇒⋅=⋅． 【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题， 10.（2021松江一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠； （2）求证：··BE EF BF AE =． 【分析】（1）根据2CE DE BC =⋅得CE BCED CE=，再由BCE CED ∠=∠，可以证明BCE CED ，即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质结合（1）的结论，证明BFE AEB ∠=∠，即可证明EBF ABE ，就能得到结论．【详解】解：（1）∵2CE DE BC =⋅，∴CE BCED CE=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴BCE CED ∠=∠，∴BCE CED ，∴EBC DCE ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴AEB EBC ∠=∠， ∵EBC DCE ∠=∠，∵//AB CD ，∴BFE DCE ∠=∠，∴BFE AEB ∠=∠， ∵EBF ABE ∠=∠，∴EBFABE ，∴EF BFAE BE=，∴BE EF BF AE ⋅=⋅． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．11. （2021杨浦区一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DEBD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项． 【分析】（1）延长AF 交BC 于点G ，可证AD=GC ，由//AF DC ，可证DF CG ADBD BC BC==，由ADE CBE △△，可证AD DEBC BE=，进而可证结论成立； （2）证明ADECBE △△，可证2CD BD DE =⋅，由（1）得AD DEBC BE=，即DF BE BD DE ⋅=⋅，进而可证线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【详解】证明：（1）如图，延长AF 交BC 于点G ，∵//AD BC ，//AF DC ， ∴四边形AGCD 是平行四边形，∴AD=GC ． ∵//AF DC ，∴DF CG ADBD BC BC==，∵//AD BC ，∴ADE CBE △△， ∴AD DE BC BE =， ∴DF DEBD BE=；（2）∵//AD BC ，∴CBD ADB ∠=∠．∵ADB ACD ∠=∠，∴CBD ACD ∠=∠， ∵CDE BDC ∠=∠， ∴CDEBDC ，∴CD DEBD CD=， ∴2CD BD DE =⋅． ∵DF DEBD BE=，∴DF BE BD DE ⋅=⋅，∴2CD DF BE =⋅． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．12. （2021金山一模）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠.（1）求证：DE BF AB ⋅=2；（2）若DCDNDE BE =，求证：MN EF //.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形； ∴AD AB =；……………（1分） ∴ADB ABD ∠=∠；……………（1分）∵BAE ABD AED ∠+∠=∠,BAE MAN BAF ∠+∠=∠； 又∵ABD MAN ∠=∠；A BF E C第23题图DMN∴BAF AED ∠=∠；……………（1分） ∴AED ∆∽FAB ∆；……………（1分） ∴ABDEBF AD =，即DE BF AB AD ⋅=⋅；……………（1分） ∴DE BF AB ⋅=2.……………（1分）（2）∵四边形ABCD 是菱形；∴BC AD =，BC AD //；……………（1分） ∴AD BM DE BE =；……………（2分） ∵DCDNDE BE =； ∴DC DN AD BM =，……………（1分）∴DCDNBC BM =；……………（1分） ∴BD MN //，即MN EF //.……………（1分）14. （浦东新区一模）Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD ＝CA ， DE ⊥AB ．（1）求证：CA 2＝CE •CB ；（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ，求证：CH ⊥AB ．【分析】（1）证明△DCE△△BCD ，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；（2）证明△CAE△△CBA ，可得△CEA=△CAB ，由直角三角形的性质可证CM=AM ，从而△CAE=△ACM ，然后由等量代换可证△CAB+△ACM=90°，进而可证结论成立．【详解】证明：（1）△CA=CD ，△△A=△CDA ．△△ACD=90°，△△A+△B=90°．△DE△AB，△△CDA+△CDE=90°，△△B=△CDE．△△DCE=△BCD，△△DCE△△BCD，△CD CB CE CD=．△CD=CA，△CA CBCE CA=，△2CA CB CE=⋅；（2）△CA CBCE CA=，△ACE=△BCA，△△CAE△△CBA，△△CEA=△CAB．△△ACB=90°，△△CEA+△CAE=90°．△M为AE的中点，△ACE=90°，△CM=AM，△△CAE=△ACM．△△CEA=△CAB，△△CAB+△ACM=90°，△△AHC=90°，△CH△AB．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．（2021徐汇一模）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE 交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴＝，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴＝，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．15．（2021长宁一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC 上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，进而得到∠AEC＝∠ADB，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，根据相似三角形的性质得到＝，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH＝∠CBH，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ACE∽△ABD；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，∴∠CAD＝∠G，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠G，∴AB＝BG，∵BG∥AC，∴△ADC∽△GDB，∴＝，∴＝，∴＝，∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．16．（2021·上海静安区·九年级一模）已知：如图，在△ABC中，DE△BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD△△CDE；（2）22CD AD BC AB．【分析】（1）由2·AD AE AC =，易证得ADC AED ∆∆∽，即可得ACD ADE =∠∠，又由//DE BC ，易证得ECD B ∠=∠，则可证得BCD CDE ∆∆∽；（2）由BCD CDE ∆∆∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可得CD DEBC CD=，又由//DE BC ，可得ADE ABC ∆∆∽，即可得AD DEAB BC=，继而得到结论． 【详解】证明：（1）2·AD AE AC =，∴AD ACAE AD=，A ∠是公共角， ADC AED ∴∆∆∽，ACD ADE ∴∠=∠，//DE BC ，ADE B ∴∠=∠，BCD CDE ∠=∠，ECD B ∴∠=∠，BCD CDE ∴∆∆∽；（2）BCD CDE ∆∆∽，∴CD DE BC CD =，2CD DE BC ∴=， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DE AB BC =，∴22CD ADBC AB=． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。