完整版棱柱棱锥棱台练习题

8.1 基本几何图形第1课时 棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A ，C ；相邻平面只有两个是空白面，排除D ；故选B2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为 l ，由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，222h r l += ，故侧棱长 l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选D.3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是()A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.【答案】ABD【解析】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；故选ABD .6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形【答案】CD【解析】 如图所示截面为三角形ABC ，OA =a ，OB =b ，OC =c ，∴222222222,,AC a c AB a b BC b c =+=+=+， ∴222202AB AC BC cos CAB AB AC +-∠==>⋅ ∴∠CAB 为锐角，同理∠ACB 与∠ABC 也为锐角，即△ABC 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A 、B 错误；若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C 正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D 正确.故选：CD .二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.8.如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm.【答案】 13【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.【答案】（1）【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体；（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；（4）不正确，用反例去检验，如图，显然错误图.故答案为：（1）10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【答案】569【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？【答案】（1）三棱锥（2）见解析【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝3 2a2.。

棱柱棱锥棱台的练习题一、选择题1. 正六棱柱的底面是正六边形，其侧面积与底面积之比为：A. 1:1B. √2:1C. √3:1D. 2:12. 若一个直棱柱的底面是正方形，侧面积为12，底面边长为3，则其高为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个正四棱锥的底面边长为4，高为3，其体积为：A. 8√3B. 12√3C. 16√3D. 24√34. 一个棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，高为3，其体积为：A. 6B. 8C. 10D. 125. 若一个正棱柱的底面是正三角形，且底面周长为6，其侧面积是底面积的2倍，则该棱柱的高为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6. 一个正六棱柱的底面边长为a，高为h，则其侧面积为________。

7. 一个正四棱锥的底面边长为a，高为h，其体积为________。

8. 一个棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，高为h，其体积为________。

9. 若一个直棱柱的底面是正n边形，其底面周长为C，高为h，则其侧面积为________。

10. 一个正棱锥的底面半径为r，高为h，其体积为________。

三、解答题11. 已知一个正三棱柱的底面边长为2，高为3，求其表面积和体积。

12. 一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，求其表面积和体积。

13. 一个正六棱锥的底面边长为4，高为5，求其体积。

14. 一个直棱柱的底面是正五边形，其底面周长为10，高为4，求其侧面积和体积。

15. 一个正棱台的上底面是边长为1的正三角形，下底面是边长为2的正六边形，高为3，求其表面积和体积。

四、证明题16. 证明：若一个正棱柱的底面是正n边形，其侧面积是底面积的k 倍，则该棱柱的高是底面边长的k√2倍。

17. 证明：一个正棱锥的体积公式是V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高。

五、应用题18. 一个工厂需要制作一个正六棱柱形的水箱，水箱的底面边长为1米，高为2米，请计算出水箱的表面积和体积。

棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 32.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________.解析：将展开图还原成原来的正方体，由图知标“△”的面的方位是北．答案：北3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.解析：用棱台的定义去判断．答案：①②④4．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________．解析：结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①.答案：①5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________．①有一对面互相平行；②侧面都是四边形；③每相邻两个侧面的公共边都互相平行；④所有侧棱都交于一点．解析：由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行．答案：①②③6．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)．解析：若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾．答案：六7．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为5 cm,4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起，得到的长方体的表面积最大，此时，所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm，表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图，三棱台ABC­A′B′C′，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后，剩余的是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图，观察并分别判断①中的三棱镜，②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面，只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面，只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．层级二应试能力达标1．下列命题正确的是______(填序号)．①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；③棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形；④棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形．解析：根据棱柱的定义可知④正确．答案：④2．给出下列几个命题：①用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．其中真命题是________(填序号)．解析：①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故④不正确．故填①②③.答案：①②③3.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形，可得∠ABC＝60°.答案：60°4．下图中哪些不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图，其序号是________．解析：(3)(4)中的四个三角形有公共顶点，无法折成三棱锥，当然不是正四面体的展开图．答案：(3)(4)5．在正方体上任意选择4个顶点，则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1上，若取A，B，C，D四个顶点，可得矩形；若取D，A，C，D1四个顶点，可得③中所述几何体；若取A，C，D1，B1四个顶点，可得④中所述几何体；若取D，D1，A，B四个顶点，可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的答案：137．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．B是边长为3的正方形，CC18.如图，四边形AA＝2，CC1∥AA1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．解：这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱．在正方形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连结C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC­EFC1，其侧棱长为2；截去的部分。

人教版高中数学必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步精练【考点梳理】考点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积考点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱＝Sh S 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝13ShS 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高【题型归纳】题型一：棱柱侧面积和表面积1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（）A ．12B ．48C ．64D ．722．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的表面积为A ．290cm B ．2365cm C ．272cm D ．254cm 3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A ．3034B ．6034C ．3034135+D ．135题型二：棱锥的侧面积和表面积4．已知四面体ABCD 的各面均为等边三角形，且棱长为2，则该四面体的表面积为（）A ．3B ．23C ．33D ．435．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，点P 到底面ABC 的距离为3，则三棱锥的表面积是（）A ．93B ．183C ．273D ．3636．已知正四棱锥P ABCD -的底面正方形的中心为O ，若高2PO =，45PAO ∠=︒，则该四棱锥的表面积是（）A ．422+B ．442+C ．423+D ．443+题型三：棱台的侧面积和表面积7．正四棱台上、下底面边长分别为2cm ，4cm ，侧棱长2cm ，则棱台的侧面积为（）A ．26cm B ．224cm C ．233cm D ．2123cm 8．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.9．已知正四棱台1111ABCD A B C D -上､下底面的边长分别为4､10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.题型四：棱柱的体积10．已知圆柱1OO 及其展开图如图所示，则其体积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．如图，棱锥D A CD ''-体积与长方体ABCD A B C D ''''-体积的比值为（）A ．13B ．14C ．16D ．11212．如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时（如下图2），水面恰好过AC ，BC ，11AC ，11B C 的中点．（1）求容器中水的体积；（2）当容器底面ABC 水平放置时（如图1），求容器内水面的高度．题型五：棱锥的体积13．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的体积是（）A ．123S S S B ．1233S S S C ．12323S S S D ．123223S S S14．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（）A ．12B ．24C ．4D ．3015．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）A ．233B ．23C ．423D ．42题型六：棱台的体积16.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（）A ．8B ．4C ．2D ．2217．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（）A ．62+B ．322+C ．622+D ．618．已知正四棱台两底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为45，（1）求棱台的高.（2）求棱台的表面积.【双基达标】一、单选题16．若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为19．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（）A ．32B ．3C ．62D ．620．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（）A ．103B ．73C ．143D ．1421．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，1AA ⊥底面，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度为弧BC 长度的3倍，且2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．6πC ．112πD ．5π22．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为（）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：223．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为（）A ．4(334)+B ．12(32)+C ．12(231)+D ．3(38)+24．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱14AA =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11AC ，11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，则水面的高为（）A ．2B ．52C ．3D ．7225．河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10cm 的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6cm 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）3cm A ．648B ．324C ．162D ．108【高分突破】一：单选题26．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（）A ．24cmB ．28cmC ．243cm D ．283cm 27．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长为3，则该正四棱锥的体积等于（）A ．43B ．433C ．43D ．428．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即318V r V =-牟方盖差，r 为球的半径，也即正方体的棱长均为2r ，从而计算出343V r π=球，记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差，则V V 方盖差正等于（）A ．2B ．22C ．12D ．2429．已知一个正三棱锥的高为2，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O B O C ''''=，32O A ''=，则此正三棱锥的体积为（）A ．233B ．23C ．36D ．3230．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（）A ．12.5尺､10833立方尺B ．12.5尺､32500立方尺C ．3.125尺､10833立方尺D ．3.125尺､32500立方尺二、多选题31．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是（）A ．正三棱锥高为3B ．正三棱锥的斜高为392C ．正三棱锥的体积为2734D ．正三棱锥的侧面积为939432．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是423+B ．直三棱柱的外接球表面积是8πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置有关D ．1AE EC +的最小值为2233．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，上底面1111D C B A 边长为2，下底面ABCD 边长为4，高为1，则（）A ．该四棱台的侧棱长为3B ．二面角1A BC B --的大小为4πC ．该四棱台的体积为1423D ．1AA 与BC 所成角的余弦值为1334．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．该截角四面体一共有12条棱B ．该截角四面体一共有8个面C ．该截角四面体的表面积为73D ．该截角四面体的体积为23212三、填空题35．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.36．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的体积是12，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BB C C -的体积为______．37．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为3cm ，高为2cm ，内孔直径为1cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__________3cm ．38．如图，三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，记三棱锥111C A B B -体积为1V ，三棱台111ABC A B C -的体积为2V ，则12V V =______．四、解答题39．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m ，底的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？40．如图，某展览馆外墙为正四棱锥的侧面，四个侧面均为底边长为35.4m ，高为27.9m的等腰三角形．试求：(1)展览馆的高度；(2)外墙的面积；(3)该四棱锥的体积．41．如图，正三棱锥（底面是正三角形，侧棱长都相等）P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3．（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积．42．如图，四棱台1111ABCD A B C D -，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且AB =5，11A B =4，110AA =.（1）求四棱台1111ABCD A B C D -的侧面积；（2）求四棱台1111ABCD A B C D -的体积.(台体体积公式()13V S S S S h =++⋅⋅下下上上)43．正棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为4，高为1.求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积.44．某人买了一罐容积为V L ，高为a m 的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m ，c m 的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？45．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（1）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域；（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时x的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S．【答案详解】1．D 【详解】解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长6318C =⨯=，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高4h =，∴棱柱的侧面积72S Ch ==，故选：D 2．A 【解析】求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．【详解】由题意侧棱长为22(35)36-=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A.【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．3．A由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为22915334222骣骣鼢珑+=鼢珑鼢珑桫桫，则这个直棱柱的侧面积为3434530342创=.4．D 【详解】因为四面体ABCD 的各面均为等边三角形，且棱长为2，所以1322322BCDS=⨯⨯⨯=，所以该四面体的表面积443BCDS S ==.故选：D.5．C 【解析】【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【详解】解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：136332⨯⨯=，所以正三棱锥的斜高为：()223323+=，所以这个正三棱锥的侧面积为：136231832⨯⨯⨯=，正三棱锥的底面积为：216sin 60932⨯︒=．所以正三棱锥的表面积为18393273+=故选：C ．6．D 【解析】【分析】先在正四棱锥中由高2PO =，45PAO ∠=︒，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.【详解】依题意，正四棱锥的高PO ⊥底面ABCD ，且45PAO ∠=︒，知PAO 为等腰直角三角形，则侧棱22sin sin 45PO PA PAO ===∠︒，且2AO PO ==，则底面正方形ABCD 的对角线2222AC AO AB ===，得正方形的边长2AB =，从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形；所以底面积为：24AB =；侧面积为：14422sin 60432PABS =⨯⨯⨯⨯︒=故正四棱锥的表面积为：443+．故选：D7．D 【解析】【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．【详解】解：设2a cm =，4b cm =，2=l cm ，可得正四棱台的斜高为22()413()2b a h l cm -'=-=-=，所以棱台的侧面积为21(44)2(24)3123()2S a b h cm '=+=⨯+⨯=．故选：D ．8．棱台的高为439，体积为289.【解析】【分析】根据题意分析该三棱锥为正三棱锥，作出该棱锥的高和斜高，先利用侧面面积等于上、下底面面积之和求出斜高，再利用直角梯形11DOO D 求出高，进而利用体积公式求其体积.【详解】如图所示，在三棱锥111ABC A B C -中，1O 、O 分别是上、下底面的中心，1D 、D 分别是11B C 、BC 的中点，连接1OO 、11A D 、AD 、1DD ，则1O 、O 分别在11A D 、AD 上，则1OO 是三棱锥的高，记为h ，1DD 是等腰梯形11BCC B 的高，也是三棱锥的斜高，记为0h ，所以()001=32+492S h h ⨯⨯=侧；上、下底面面积之和为()221+=2+4sin 60532S S ⨯=下上，由+S S S =下侧上得：09=53h ，即0539h =，又111332323O D =⨯⨯=，13234323OD =⨯⨯=，在直角梯形11DOO D 中，2222111153343()()()939h OO D D OD O D ==--=-=，则三棱锥的体积14328(343343)399V =⨯++⨯⨯=.9．116843+【解析】【分析】首先在等腰梯形11ABB A 中，过A 作11AE B A ⊥于E ，从而得到33AE =，再计算表面积即可.【详解】如图所示：正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,10,6AB A B AA ===，在等腰梯形11ABB A 中，过A 作11AE B A ⊥于E ，则110432A E -==，所以2222116333=-=-=AE AA A E ，所以正四棱台的表面积为2214104(410)331168432++⨯⨯+⨯=+.【点睛】本题主要考查几何体的表面积，属于简单题.10．D 【解析】【分析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为r ，高为h ，根据展开图得422h r ππ=⎧⎨=⎩，则41h r =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积为22144r h πππ=⨯⨯=，故选：D.11．C 【解析】【分析】设',,AB a AD b AA c ===，然后表示出棱锥D A CD ''-体积和长方体的体积，再进行相除可得答案【详解】解：设',,AB a AD b AA c ===，因为''A D ⊥平面'D DC ，所以''111326D A CD A D DC V V abc abc ''--==⨯=，因为ABCD A B C D V abc ''''-=，所以棱锥D A CD ''-体积与长方体ABCD A B C D ''''-体积的比值为16，故选：C12．（1）()333cm ；（2）3cm ．【解析】【分析】（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；（2）设图1中水高度为cm h ，根据水的体积相等得到方程，解得即可；【详解】解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为()22211332sin 601sin 60224S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm 所以水的体积为()3334334V cm =⨯=，（2）设图1中水高度为cm h ，则212sin 60332V h =⨯⨯︒⨯=，解得3h =．所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．13．C 【解析】【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，设三条侧棱长分别为,,a b c ，则123111222S S S ab bc ac =⋅⋅，所以1238abc S S S =，所以三棱锥的体积1231118326V a bc S S S =⋅=⨯12323S S S =.故选：C 14．C 【解析】【分析】求出菱形的面积后可求四棱锥的体积.【详解】所求的体积为11324432⨯⨯⨯⨯=，故选：C.15．C 【解析】【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得AO 、PO 的长，根据椎体体积公式，即可得答案.【详解】如图所示，正四棱锥P ABCD -棱长均为2，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 根据正四棱锥的性质，可得PO ⊥平面ABCD .所以22122AO AB BC =+=，222PO PA AO =-=，所以正四棱锥P ABCD -的体积14222233V =⨯⨯⨯=.故选：C 16．C 【解析】【分析】根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.【详解】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x ，8x ，斜高h '为5x ，则棱台的高h =22(5)(3)x x -=4x ，由棱台的体积公式1()3V S SS S h ''=++得：2224161)31(6444++x x x x ⋅=，解得12x =，棱台的高为h =4x =2.故选：C 17．C 【解析】【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.【详解】依题意，棱台的上底面面积2S '=，下底面面积4S =，高为3h =，故由公式可知，棱台的体积是()()11284362233V S S S S h ''=++=⨯++⨯=+，故选：C.18．（1）2；（2）12320+.【解析】【分析】（1）设1O ､O 分别为上､下底面的中心，连接1OO ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，可得145C CO ∠=，根据各线段的长利用勾股定理即可求高；（2）由棱台的高求出斜高，由梯形的面积公式求出侧面积，与上下底面积求和即可.【详解】（1）因为棱台是正四棱台，所以上下底面都是正方形，因为两底面边长分别为2和4，所以1122AC =，42AC =，如图，设1O ､O 分别为上､下底面的中心，连接1OO ,因为棱台是正四棱台，所以1OO ⊥面ABCD ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，则11//C E O O ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=，因为正四棱台两底面边长分别为2和4，所以1112222C E CE CO EO CO C O ==-=-=-=，所以棱台的高为2，（2）因为正四棱台的高为2，又2sin 45212EF CE =⋅=⨯=，所以斜高222211(2)13C F C E EF =+=+=，所以侧面积为：()124341232⨯+⨯⨯=，底面积为224420⨯+⨯=，所以表面积为：12320+.19．C 【解析】【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为2，高为2，再结合体积公式计算即可.【详解】解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,所以该三棱柱底面棱长为2，高为2，所以该正三棱柱的体积为：1622sin 60222V Sh ==⨯⨯⨯⨯=故选：C 20．C 【解析】【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.【详解】()()111414142333V S S SS h ''=++=++⨯⨯=台.故选：C.21．B 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，即1r =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：B 22．A 【解析】【分析】由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求C A DD '''-及剩余部分的体积，进而求其比例即可.【详解】由图知：13C A DD A DD V C D S'''''-''=⋅⋅，ABCD A B C D A D DA V C D S ''''''-''=⋅，而2A D DA A DD S S''''=，∴剩余部分的体积为53ABCD A B C D C A DD A DD V V C D S '''''''''--''-=⋅，∴棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为1：5.故选：A 23．B 【解析】【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则高为()()22125222BB -⨯==，它的表面积为()16=2622sin 62212324123223S S S π=+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+表面积底面积矩形.故选:B.24．C 【解析】【分析】根据题意，当侧面11AA B B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，利用等体积法可得解.【详解】当侧面11AA B B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形面积为S ，此时水的体积14V S AA S=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，此时水的体积ABC V S h =⋅V 又34ABC S S =V ，43ABC S h S ∴==V 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，等体积法时解题的关键，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．25．B 【解析】【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：V S h =⋅底即可求解.【详解】如图：由正六边形的每个内角为23π，按虚线处折成底面边长为6cm 的正六棱柱，即6AB =，所以1062,tan 60232BE BF BE -====，即正六棱柱的高为23所以正六棱柱体积：136662332422V =⨯⨯⨯⨯⨯=.故选：B 26．D 【解析】【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，所以棱台的斜高为:22312()32--=.所以棱台的侧面积是:1343832+⨯⨯=.故选：D.27．A 【解析】【分析】首先计算正四棱锥的高，再计算体积.【详解】如图，正四棱锥S ABCD -，3SB =，2OB =，则1SO =，则该正四棱锥的体积1422133V =⨯⨯⨯=.故选：A 28．A 【解析】【分析】根据已知条件计算出V 方盖差、V 正，即可得解.【详解】由题意可得3333114418833V r V r r r ππ=-=-⨯⨯=方盖差牟，所有棱长都为r 的正四棱锥的底面对角线长为2r ，高为222222h r r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，23122326V r r r =⨯=正，因此，16232V V =⨯=方盖差正.故选：A.29．A 【解析】【分析】根据32O A ''=的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，再结合题中给出三棱锥的高，进而求得正三棱锥的体积.【详解】因为直观图中O B O C ''''=，32O A ''=，所以在原图中OA 为底面正三角形的高，3OA =，则正三角形边长为2，面积为12332⨯⨯=，又因为正三棱锥高为2，所以其体积为1233233⨯⨯=.故选：A.30．A 【解析】【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．【详解】解：如图所示，正四棱锥P ABCD -的下底边长为三丈，即30AB =尺，高二丈五，即25OO '=尺；截去一段后，得正四棱台ABCD A B C D -''''，且上底边长为10A B ''=尺，所以1102125302POPO⨯'=+'⨯，解得25'12.52PO==，所以该正四棱台的体积是22125(30301010)108333V=⨯⨯+⨯+=（立方尺）．故选：A．31．ABD【解析】【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接,,PF EF PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又9391242PF =-=，333232EF =⨯=，故393344PE =-=,故AB 正确.而正三棱锥的体积为139339344⨯⨯⨯=，侧面积为13993933224⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确.故选：ABD.32．ABD 【解析】【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A ；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=,则3AC =，底面ABC 和111A B C 是等腰三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+32423⨯=+，故A 正确；设底面外接圆半径为r ，即32sin120r =，即1r =，所以直棱柱的外接球半径22112R =+=，直三棱柱的外接球表面积为248S R ππ==，故B 正确；由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱1BB 上的一个动点，∴三棱锥1E AAO -的高为定值12，114AA OS=×3×2＝32，∴1E AA O V -=13×32×12＝312，故C 错误；把侧面11AAC C 和侧面11CC B B 展开在一个平面上，当E 为1BB 的中点时，1AE EC +取最小值，()()22min121122AE EC =++=+，故D 正确．故选：ABD ．33．AB 【解析】【分析】结合正四棱台中的直角梯形、直角三角形根据二面角的定义、体积公式、异面直线所成的角的定义计算．【详解】如图，1B F ⊥平面ABCD 于F ，1B E BC ⊥于E ，则1B F 是的高，1B E 是斜高，显然F 在对角线BD 中，11B F =，114,2AB A B ==，则1(4222)22BF =-=，所以22113BB BF B F =+=，A 正确，直角1B EF 中1B EF ∠是二面角1A BC B --的平面角，1(42)12EF =⨯-=1B F =，所以14B EF π∠=，B 正确；221281(2244)33V =⨯⨯+⨯+=，C 错；//BC AD ，所以BC 与1AA 所成的角为1A AD ∠或其补角．又12B E =，113cos 33B BC ∠==，正四棱台中11A AD B BC ∠=∠，D 错．故选：AB ．34．BCD 【解析】【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB ，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A 错误，B 正确；对于C ，边长为1的正三角形的面积13311224S =⨯⨯⨯=，边长为1的正六边形的面积1333611222S =⨯⨯⨯⨯=，故该截角四面体的表面积为33344=7342S =⨯+⨯，故C 正确；对于D ，棱长为1的正四面体的高22361323h ⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，利用等体积法可得该截角四面体的体积为13613633311232=4331122322312V ⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯，故D 正确.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.35．32【解析】【分析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.【详解】在正四面体中易知，PO 是正棱锥的高，PE 是正棱锥的斜高，2OE =,30OPE ∠=︒,4PE ∴=,1444322侧==S ∴⨯⨯⨯，故答案为：3236．8【解析】【分析】利用等体积法证明四棱锥11P BB C C -的体积与斜三棱柱111ABC A B C -的体积的关系，即可得解.【详解】11111111111111111111233ABC A B C A B C ABC A B C ABC A B C ABC A B C P BB C C A BB C C A V V V V V V V -------==-=-=21283=⨯=故答案为：837．932π-【解析】【分析】利用柱体体积公式分别计算六棱柱和中间空圆柱的体积，相减即得.【详解】六棱柱的体积为：()1633sin 602932⎧⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，圆柱的体积为：2(0.5)22ππ⨯⨯=，所以此六角螺帽毛坯的体积是：393cm 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：932π-.38．17【解析】【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解.【详解】由三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，可得上、下底面的面积比为1:4，设棱台的高为h ，则点B 到111A B C △的距离也为h ，上底面面积为S ，则下底面面积为4S ，则11111111111111317(44)3C A B B B A B C ABC A B C ABC A B C Sh V V V V S S S S ----===++⨯.故答案为：17.39．3.4【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．【详解】如图，连接SE：S 表示塔的顶点，O 表示底面的中心，则SO 是高，设SE 是斜高，在Rt SOE △中，根据勾股定理得22221.5()0.85=1.285(m)2SE SO OE =+=+，所以()()21 1.54 1.285 3.4m 2S =⨯⨯⨯≈正四棱锥侧，答：制造这种塔顶需要铁板约23.4m ．40．(1)21.6m (2)21975.32m (3)39022.752m 【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算棱锥的高；（2）每个侧面均为等腰三角形，从而可得出侧面积；（3）代入棱锥的体积公式计算体积．(1)解：（1）设正四棱锥为P ABCD -，连接,AC BD 交与点O ，连接OP ，则OP 即为正四棱锥为P ABCD -的高，设AB 的中点为M ，连接OM ，PM ，117.7m 2OM AB ∴==，27.9m PM =，2221.6m PO PM OM ∴=-≈，即展览馆的高度为21.6m ；(2)21135.427.9493.83m 22PAB S AB PM ==⨯⨯=，∴展览馆的外墙面积为24493.831975.32m ⨯=；(3)四棱锥的体积231135.421.69022.752m 33ABCD V S PO ==⨯⨯=．41．（1）623+；（2）233【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．求解PO ，再由棱锥体积公式求解．【详解】解：（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD 中，可得22223122PD PB BD =-=-=．∴1222PBC S BC PD ==．正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是233622PBC S =⨯=．正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 6032ABC S =⨯⨯⨯︒=△．则正三棱锥P ABC -的表面积为623+；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．且1333OD AD ==．在Rt POD 中，()22223692233PO PD OD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．∴正三棱锥P ABC -的体积为11692333333ABC S PO ⋅=⨯⨯=．42．（1）9399；（2）613986.【解析】【分析】（1）求出梯形11A B BA 的面积后可得四棱台的侧面积.（2）求出四棱台的高后利用公式可求其体积.【详解】（1）在梯形11A B BA 中，过11,A B 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则54122AE -==，故1139910042A E =-=，故梯形11AB BA 的面积为()1399939945224+⨯=，故四棱台的侧面积为9399493994⨯=.（2）如图，过1A 作1A O ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接EO .因为侧面是全等的等腰梯形，故11A AD A AB ∠=∠，所以O 在DAB ∠的平分线上，故45EAO ∠=︒，因为AB Ì平面ABCD ，故1A O AB ⊥，而1111,A E AB A EAO A ⊥=，故AB ⊥平面1A EO ，而EO ⊂平面1A EO ，故AB EO ⊥.由（1）可得12AE =，故12EO =，所以139913983984442AO =-==，故四棱台的体积为()139861398251645326++⨯⨯=.43．（1）侧棱长为3，侧面的高为5；（2）表面积1685+，体积为163.【解析】【分析】（1）设SO 为正四棱锥S ABCD -的高，则1SO =，作OM BC ⊥，连结,OM OB ，分别在Rt SOD 和Rt SOM ，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，设SO 为正四棱锥S ABCD -的高，则1SO =，作OM BC ⊥，则M 为BC 中点，连结,OM OB ，则,SO OB SO OM ⊥⊥，因为4,2BC BM ==，可得2,22OM OB ==，在Rt SOD 中，22183SB SO OB =+=+=，在Rt SOM 中，225SM SO OM =+=，所以棱锥的侧棱长为3，侧面的高为5.（2）棱锥的表面积为4SBC ABCD S S S =+正方形=1444(45)16852⨯+⨯⨯⨯=+，几何体的体积为1116441333ABCD V S SO =⨯=⨯⨯⨯=正方形.44．3a b c V a++L.【解析】【分析】由题可知当平面1A DE 与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.【详解】如图所示，设直三棱柱的底面面积为S ，则V =aS ,当平面1A DE 与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接11,A B AC ，则。

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积A 级——基础过关练1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A ．4π B ．3π C ．2πD ．π2．一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶8 C ．2∶2D ．2∶43．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8π4．南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1，S 2，则( )A ．如果S 1，S 2总相等，则V 1＝V 2B ．如果S 1＝S 2总相等，则V 1与V 2不一定相等C ．如果V 1＝V 2，则S 1，S 2总相等D ．存在这样一个平面α使S 1＝S 2相等，则V 1＝V 25．用边长分别为2与4的矩形作圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为( ) A ．4πB ．6πC ．6π或8πD ．4π或8π6．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是________．7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．8．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，截下一个棱锥C-A1DD1，求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．B级——能力提升练11．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈－尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？这个问题的答案是(π≈3,1丈＝10尺)()A．2 112B．2 111C．4 224D．4 22212．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1和图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm 2，900 cm 2，高为9 cm ，长方体形凹橹的体积为4 300 cm 3，那么这个斗的体积是( )A ．5 700 cm 3B ．8 100 cm 3C ．10 000 cm 3D ．9 000 cm 313．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．15．降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，现用上口直径为38 cm 、底面直径为24 cm 、深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量．如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，求本次降雨的降水量是多少毫米？(精确到1 mm)16．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？C 级——探索创新练17．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图1，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为( )A ．3B ．2C ．332D ．94参考答案A 级——基础过关练1．【答案】C【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C ．2．【答案】C【解析】∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，∴相似比为1∶2＝2∶2.则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是2∶2.故选C ．3．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.故选B ． 4．【答案】A【解析】由题意可知如果S 1，S 2总相等，则V 1＝V 2.故选A ． 5．【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为2时，圆柱的底面半径是42π＝2π，此时圆柱体积是π×⎝⎛⎭⎫2π2×2＝8π；当母线为4时，圆柱的底面半径是22π＝1π，此时圆柱的体积是π×⎝⎛⎭⎫1π2×4＝4π.综上，所求圆柱的体积是4π或8π.故选D ． 6．【答案】23【解析】因为V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，所以V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23.7．【答案】2【解析】设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr ，解得r ＝1，即直径为2. 8．【答案】168π【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋(R －r )2＝(4r )2＋(3r )2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.9．解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝35×157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．解：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C -A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C -A 1DD 1的体积VC -A 1DD 1＝13·⎝⎛⎭⎫12S h ＝16Sh ， 余下部分体积为Sh -16Sh ＝56Sh .所以棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.B 级——能力提升练11．【答案】A【解析】由已知，圆柱底面圆的周长为48尺，圆柱的高为11尺，∴底面半径r ＝482π＝8(尺)，∴它的体积V ＝11πr 2＝2 112(立方尺)．故选A ． 12．【答案】C【解析】由题意可知这个斗的体积V ＝13×(400＋400×900＋900)×9＋4 300＝10000(cm 3)．故选C ． 13．【答案】262－1【解析】依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 14．【答案】8【解析】如图1为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图2所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.15．解：因为这次降雨的雨水正好是桶深的17，所以水深为17×35＝5(cm)．如图，设水面半径为r cm ，在△ABC 中，AC A ′C ＝CB C ′B ，所以7r －12＝7，r ＝13.所以V 水＝13×(π×122＋π×122×π×132＋π×132)×5＝2 3453π(cm 3)．水桶的上口面积是S ＝π×192＝361π(cm 2)， 所以V 水S ＝2 3453π361π×10≈22(mm)．故此次降雨的降水量约是22 mm.16．解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．设圆柱底面半径为r ， 因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R Hx .所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR Hx 2(0<x <H )．(2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．C 级——探索创新练17．【答案】D【解析】设正三棱柱的底面积为S ，则VABC -A 1B 1C 1＝3S .∵E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点．∴S AEF S ＝14，即S AEF ＝14S .∴S BCEF ＝34S .∴VBCFE -B 1C 1F 1E 1＝3×34S ＝94S .则图1中水面的高度为94.故选D ．。

课时分层作业(一)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的面中,至少有两个面互相平行B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C ．棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高D ．棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形．A [棱柱的面中,有两个底面,所以至少有两个面互相平行,故A 正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面,B 错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高,C 错误．棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面可能是平行四边形,D 错误．]2．如图所表示的几何体中,不是棱锥的为( )A B C DA [结合棱锥的定义可知,A 不符合其定义,故选A.] 3．如图所示,能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2,AB ＝2,B 1C 1＝3,BC ＝4B ．A 1B 1＝1,AB ＝2,B 1C 1＝1.5,BC ＝3,A 1C 1＝2,AC ＝3 C ．A 1B 1＝1,AB ＝2,B 1C 1＝1.5,BC ＝3,A 1C 1＝2,AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1,BC ＝B 1C 1,CA ＝C 1A 1C [根据棱台是由棱锥截成的进行判断．A 中A 1B 1AB ≠ B 1C 1BC ,故A 不正确；B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ,故B 不正确；C中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC,故C 正确；D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱,不是三棱台,故选C.] 4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图所示,A,B,C 是展开图上的三点,在正方体盒子中三角形ABC 的形状为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形B[由题图知,分别连接A,B,C三点,AB,BC,CA是正方体盒子的面对角线,所以△ABC为等边三角形．] 5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为________．A BC DA[两个☆不能并列相邻,B、D错误；两个※不能并列相邻,C错误,故选A.也可通过实物制作检验来判定．]二、填空题6．在正方体上任意选择4个顶点,它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．①③④⑤[在正方体ABCD­A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可以确定：①矩形,如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如A­A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体,如A­CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体,如A­A1DC,所以填①③④⑤.]7．一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为________ cm.12[由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱,又棱柱侧棱长相等,故每条侧棱长为12 cm.]8．所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．7[如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥．图(3)是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个．(1) (2) (3)]三、解答题9．观察图中的几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的．(1) (2) (3)[解]图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成．图(3)是由一个三棱台和一个上底面与三棱台的下底面重合的三棱柱组成．10．如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图,折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形．(3)S△PEF＝12a2,S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2,S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.[等级过关练]1．一个截面经过棱锥各条侧棱的中点,则截得棱台的上、下底面积之比是( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 C[如图,由于A1是SA的中点,则SA1SA＝12＝A1B1AB,故S上底面S下底面＝⎝⎛⎭⎪⎫A1B1AB2＝14.]2．在正五棱柱中,不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线条数有( )A．5 B．6C．8 D．10D[正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面,每个平面可得到正五棱柱的两条对角线,5个平面共可得到10条对角线．]3．用一个平行于底面的平面去截一个几何体,如果截面是三角形,则这个几何体可能是__________．三棱锥、三棱柱、三棱台等(答案不唯一)[用平行于底面的平面去截三棱柱,截面是三角形,用同样的方法去截三棱锥、三棱台,所得截面均为三角形．]4．如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.13[由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.]5．如图所示,已知三棱台ABC­A′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体,并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．[解](1)如图①所示,三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″,多面体是B′C′­BCC″B″.(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A′­ABC,B′­A′BC,C′­A′B′C.①②。

高一数学（必修二）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习题及答案一、单选题1．已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（ ） A ．30B ．15C ．10D ．602．一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（ ）A ．4500元B ．4000元C ．2880元D ．2380元3．过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ） A ．4B ．6C ．203D ．1634．已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示，3O A C B ''''=，C E O A ''''⊥，8OABC S =四边形，//C D y '''轴，2C E ''=，D 为O A ''的三等分点，则四边形OABC 绕y 轴旋转一周形成的空间几何体的体积为（ ）A ．152π3B ．48πC ．38π3D ．12π5．已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，侧面均为腰长为4的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）A ．1015+B ．34C ．201215+D ．686．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）A ．258B ．234C ．222D ．2107．在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（ ） A ．1(0,]6B ．1(0,]3C ．1(0,]2D ．(0,1)8．2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（ ） A 2B ．23C 3D 2 二、多选题9．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ） A 3B 2C 22D 2310．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．若长方体的体积为V ，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为123,,V V V ，则下列选项不正确．．．的是（ ）A ．123V V V V ++=B ．122V V =C ．232V V =D ．36V V =11．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ︒∠=，侧面11AAC C 中心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）A ．直三棱柱侧面积是422+B ．直三棱柱体积是13C ．三棱锥1E AAO -的体积为定值 D ．1AE EC +的最小值为212．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面,//ABCD AB CD ，,O M 分别是,CD PC 的中点，且PO OD DA AB BC ====，记三棱锥,,P OBM M OBC M PAB ---的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．12V V =B ．212V V =C ．13B OMPD V V -= D ．12323P ABCD V V V V -=++三、填空题13．已知平行六面体各棱长均为4，在由顶点P 出发的三条棱上，取1PA =，2PB =，3PC =，则棱锥-P ABC 的体积是该平行六面体体积的______.14．某正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{}3,2，则该棱台的体积为______． 15．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，且2AD BC =，过1A ，C ，D 三点的平面记为α，1BB 与平面α的交点为Q ．则此四棱柱被平面α分成上、下两部分的体积之比为__．16．给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个1234A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（1i =，2，3，4），则该正四面体1234A A A A 的体积为_________．四、解答题17．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O '且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO '和较小的棱锥PO '.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12cm ，小棱锥的底面边长为4cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积.18．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b ).（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且5AB =，113A B =，110AA =(1)求四棱台1111ABCD A B C D -的侧面积； (2)求四棱台1111ABCD A B C D -的体积．20．正三棱柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，求它的表面积．21．棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，正三棱锥S ABC -中，三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，侧棱长是3，底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ，y ，z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z++=，试确定点P 在底面ABC 内的位置.22．正四棱台1111ABCD A B C D -的下底边长3AB =3．（1）求正四棱台的表面积S 表；（2）求1AB 与底面ABCD 所成角的正弦值.参考答案1--8BBCBC CBB9．BCD 10．ACD 11．ACD 12．ACD 13．164147215．117165517．（1）设小棱锥的底面边长为a ，斜高为h ，则大棱锥的底面边长为2a ，斜高为2h ， 所以大棱锥的侧面积为1622122a h ah ⨯⨯⨯=，小棱锥的侧面积为1632a h ah ⨯⨯⨯=， 棱台的侧面积为1239ah ah ah -=，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比12:3:94:1:3ah ah ah =. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm ，所以大棱锥的底面边长为8cm ， 因为大棱锥的侧棱长为12cm 1441682-=， 所以大棱锥的侧面积为2168821922cm 2⨯⨯⨯=， 所以棱台的侧面积为2321442cm 4=， 棱台的上，下底面的面积和为22233646824331203cm +==， 所以棱台的表面积为(231442cm .18．解：（1）如图所示:PO ⊥平面ABCD ，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45︒， 45PAO ∴∠=︒，2PO OA ∴=，1112PO O A =． 分别取AB ，11A B 的中点E ，1E ，连接OE ，11O E ． 则2223()()22b PE b +，22123()()22a PE a +=． ∴斜高113)EE PE PE b a =-=-．∴棱台的侧面积()))2213432S a b b a b a =⨯+-=-侧；（2）棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴22114()2a b EE a b ⨯+⨯=+，2212()a b EE a b +∴=+． 222222111()[]()2()2a b b a abOO EE EO E O a b a b+-∴=---++． 19．（1）设棱台1111ABCD A B C D -是由棱锥P ABCD -截出的，如图，棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥P ABCD -的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等， 设M 是底面ABCD 上AC 与BD 的交点，则M 是AC 的中点也是BD 中点，所以PM AC ⊥，PM BD ⊥，则PM ⊥平面ABCD ，M 正方形ABCD 中心，因此P ABCD -是正棱锥，棱台1111ABCD A B C D -是正棱台，在侧面11BB C C 内过1B 作1B H BC ⊥于点H ，则22153(10)()32B H -=-=， 棱台的侧面积为S 侧＝14(35)3482⨯+⨯=；（2）设N 是1111D C B A 的中心，显然N PM ∈，1MNB B 是直角梯形，2525BM ==，132B N高225232(10)()2222MN =--= 棱台的体积为221982(5533)223V =+⨯+⨯ 20．因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形, 所以有以下两种情况：当2是下底面的周长，4是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为=+2=S S S 表侧底21232324+223⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭当4是下底面的周长，2是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为=+2=S S S 表侧底21438342+223⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭故答案为：238321．（1）在正三棱锥S ABC -中，SA ，SB ，SC 两两垂直且AB =BC =CA ，P 为底面ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，PS ，如图，可将原三棱锥分成三个三棱锥P SAB P SBC P SAC ---,,， 它们的高分别为,,x y z ，由S ABC C SAB P SAB P SBC P SAC V V V V V -----==++， 即2111133(333333)3232x y z ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯+⨯， 得 3.x y z ++=（2）由31113x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，得1116x y z x y z +++++=.又0,0,0x y z >>>，∴1112,2,2x y z x y z +≥+≥+≥，∴1116x y z x y z +++++≥， 当且仅当1x y z ===时取等号.故当1113x y z ++=时，点P 为正三角形ABC 的中心. 22．（1）如图，做该正棱台的轴截面，GNE 中，3,33,90o GN NE GNE ==∠= ， 所以6,30o GE GEN =∠= ，根据对称性，30o QEG ∠= ， 故60,120,o o QEN MPQ ∠=∠= 所以60o MPG ∠= ，3,3,GM MP =∴=正四棱台上底面是一个边长为23的正方形，2222113[(23)(63)(23)(63)]33S ⋅=+⋅表 即111210812108=120+36=40+125233S =+⨯=表（）（） （2）正四棱台中，上下底面均为正方形，且侧棱长相等，1B 在底面的射影为M ， 所以1B M ABCD ⊥面 , 1AB 与底面ABCD 所成角为1B AM ∠ ,1123,6,43MQ B M BQ ==∴=43AQ =146AB =16sin 46B AM ∠=。

棱柱棱锥棱台练习题一、选择题1．以下列图的几何体是 ()A ．五棱锥C．五棱柱B．五棱台D．五面体2．以下命题中，正确的选项是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形3．棱锥侧面是有公共极点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．()A ．3B．4C．5D．64．下面描述中，不是棱锥的几何结构特色的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点[ 答案 ]B5．三棱锥又称周围体，则在周围体A－BCD 中，能够看作棱锥底面的三角形有 ()A ．1 个B．2个C．3个D．4 个[ 答案 ]D6．用一个平面去截四棱锥，不能能获取()A ．棱锥B．棱柱C．棱台D．周围体[ 答案 ]B7．以三棱台的极点为三棱锥的极点，这样能够把一个三棱台分成三棱锥的个数为 ()A ．1B．2C．3D．4[ 答案 ]C[ 解析 ]以下列图，在三棱台ABC－ A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成 3 个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1.8．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A ．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1[ 答案 ]C9．以下列图形经过折叠不能够围成一个棱柱的是()[ 答案 ]B10． (2011－2012·嘉兴高一检测 )以以下列图都是正方体的表面张开图，还原成正方体后，其中两个完满相同的是()A ．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(1)(4)[ 答案 ] B[ 解析 ]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完满相同，而 (1)、(4)则不相同[ 解题提示 ]让其中一个正方体不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．二、填空题11． (1) 图 (1) 中的几何体叫做________， AA1、 BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的 ________．(2)图(2)中的几何体叫做 ________，PA、PB 叫它的 ________，平面 PBC、PCD 叫做它的 ________，平面 ABCD 叫它的 ________．(3)图 (3)中的几何体叫做 ________，它是由棱锥 ________被平行于底面ABCD 的平面 ________截得的． AA′， BB′叫它的__________，平面 BCC′B′、平面 DAA′D′叫它的 ________．[ 答案 ] (1)棱柱侧棱极点(2)棱锥侧棱侧面底面(3)棱台O－ABCD A′B′C′D′侧棱侧面12．一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、 D、E、F，以下列图是此正方体的两种不相同放置，则与 D 面相对的面上的字母是________．[ 答案 ]B[ 解析 ]由图观察可知，该立方体有六个面，与 C 相邻的四个面已给出∴C 的对面为 F，观察第一个图只有两种状况：①A 的对面为 E，D 的对面为 B 或② A 的对面为 B，D 的对面为 E，若是是第二种状况，将第一个图逆时针转一下，应该是第二图，显然不符，∴ D 的对面为B.13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不相同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③水的EFGH 向来为矩形．其中正确的命题序号是________．[ 答案 ]①③[ 解析 ]依照棱柱的定义及结构特色来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分向来有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不相同，水面EFGH 的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．14．五棱柱中，不相同在任何侧面且不相同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．[ 答案 ]10[ 解析 ]在上底面选一个极点，同时在下底选一个极点，且这两个极点不在同一侧面上，这样上底面每个极点对应两条对角线，所以共有 10 条．三、解答题15．判断以下语句的对错．(1)一个棱锥最少有四个面；(2)若是四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，获取的截面三角形和底面三角形相似．[ 解析 ] (1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱能够相等，也可以不相等．(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．16．以以下列图所示的几何体中，所有棱长都相等，解析此几何体的构成？有几个面、几个极点、几条棱？[ 解析 ]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有 8 个面，都是全等的正三角形；有 6 个极点；有 12 条棱．17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图 (1)中截去的是什么几何体？图 (2)中截去一部分，其中 HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完满相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？[ 解析 ]三棱锥五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG长方体18．一个几何体的表面张开平面图如图．(1)该几何体是哪一种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[ 解析 ] (1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．。

一、选择题1. 下列关于棱柱的说法，正确的是：A. 棱柱的侧面都是矩形B. 棱柱的底面可以是任意多边形C. 棱柱的侧面都是平行四边形D. 棱柱的底面边数与侧棱数相等2. 下列关于棱锥的说法，正确的是：A. 棱锥的侧面都是三角形B. 棱锥的底面可以是任意多边形C. 棱锥的侧棱都相等D. 棱锥的顶点到底面的距离都相等3. 下列关于棱台的说法，正确的是：A. 棱台的上、下底面是相似多边形B. 棱台的侧面都是梯形C. 棱台的侧棱都相等D. 棱台的上、下底面边数相同二、填空题1. 一个五棱柱的底面是正五边形，若底面边长为2cm，侧棱长为3cm，则该五棱柱的侧面积是______cm²。

2. 一个正四棱锥的底面边长为4cm，高为3cm，则该正四棱锥的侧面积是______cm²。

3. 一个棱台的上底面边长为3cm，下底面边长为6cm，高为4cm，则该棱台的体积是______cm³。

三、解答题1. 已知一个四棱柱的底面是矩形，底面长为6cm，宽为4cm，侧棱长为5cm，求该四棱柱的表面积和体积。

2. 已知一个正六棱锥的底面边长为4cm，侧面三角形的面积是8cm²，求该正六棱锥的高。

3. 已知一个棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为8cm，高为6cm，求该棱台的侧面积和体积。

4. 在一个正四棱锥中，底面边长为3cm，侧棱长为4cm，求该正四棱锥的斜高。

5. 已知一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm，侧棱长为5cm，求该正三棱台的侧面面积。

四、判断题1. 棱柱的侧棱与底面垂直。

（）2. 棱锥的侧面三角形面积相等。

（）3. 棱台的侧面是梯形，且上下底面中心连线垂直于底面。

（）4. 任何棱柱的侧面积都大于底面积。

（）5. 棱锥的体积与底面积成正比。

（）五、作图题1. 请画出底面为等边三角形的直三棱柱的直观图。

2. 请画出底面为正方形的正四棱锥的直观图，并标出高和斜高。

3. 请画出上底面边长为2cm，下底面边长为4cm，高为3cm的棱台的直观图。