2023—2024学年度第二学期第-次月考教学质量监测八年级数学注意事项：1．满分120分，答题时间为120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本次考试设卷面分，答题时，要书写认真，工整．规范美观．一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各式中，是不等式的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列的值是不等式的解的是（ ）A ．B ．0C ．1D ．23．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列判断不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高所在直线的交点D ．三条中线的交点6．综合实践课上，老师要求同学们用无刻度的直尺和圆规画出等腰三角形，两同学给出如下方案：450x +>1x y +=1x -3x =x 321x ->1-3,4,52,3,45,12,13a b >22a b ->-a b >33a b >a b >1122a b-<-a b >22ac bc >,,A B C ABC ABC ABC ABC ACD如图，在中，是上一点．方案①方案②以点为圆心，为半径作圆弧，交于点，连接．分别以点A 和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接．对于方案①和②，下列说法正确的是（ ）A ．①可行，②不可行B ．①不可行，②可行C ．①和②都不可行D ．①和②都可行7．用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）A ．B ．C ．a 与b 相交D ．a 与c 相交8．某厂家生产填色手工风筝，如图，其布面是一等腰三角形，若它的两边长分别是4和9，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．17B ．22C ．17或22D ．无法确定9．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．若，则C ．直角都相等D ．等边三角形的三个内角都相等10．若一个直角三角形的三边长分别为，则以为三边长的三角形是（ ）ABC 90,,BAC AB AC D ∠=︒≠BC C AC BC D AD C 12AC ,M N MN BC D AD a b ⊥r rc b ⊥a c ∥a b∥c b∥22a b =a b=,,a b c ,,(0)ak bk ck k >A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．针角三角形D ．等边三角形11．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．上述三种情形都有可能12．某批电子产品的进价为元/件，售价为元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价（ ）A ．元B ．元C ．元D ．元13．下列结论：①若，则；②若，则；③若m 是有理数，则是非负数．其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14．如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．815．如图，在中，平分．若，则的周长是（ ）A ．6B ．C ．8D ．916．如图，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形.若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为60 2003505%120132.5140142.50a b +<0b a>10m -<<1m m <m m +ABCD ,AD BC CD BC ⊥∥E CD ,AE BE BAD ∠,2,4ABC AD BC ∠==AB ABC 90,,A AB AC BD ∠=︒=,ABC DE BC ∠⊥8BC =DEC 2（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．请用“如果……那么……”的形式，写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：．18．在平面直角坐标系中，一次函数（是常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集是，的解集是．19．如图，在中，边的垂直平分线分别交，，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长是．（1）的长度为 ．（2）若，，则的面积为．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解不等式：，并把解集表示在数轴上．y kx b =+,k b 0k ≠x 0kx b +>kx b n +<ABC AB BC AB E M AC BC AC F N AEF △12BC 45B C ∠+∠=︒4AF =ABC ()()1124663x x --≤+21．如图，，过点作于点，过点作于点．求证：．22．如图，在中，．(1)尺规作图：作的角平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)在（1）的条件下，若，求的长．23．如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，求的度数．24．小明爸爸销售甲、乙两个品牌的羽绒服，11月份售出甲品牌羽绒服12件和乙品牌羽绒服16件，销售额为24800元；12月份售出甲品牌羽绒服30件和品牌羽绒服45件，销售额为66000元．AB CD =AF CE =B BE AC ⊥E D DF AC ⊥F Rt Rt ABE CDF ≌△△ABC 90,30∠=︒∠=︒C A ABC BD 2CD =AC ABC AD BAC ∠CD E EG AD ∥AC F BA G AFG ,80CE EF BAC =∠=︒B ∠(1)甲，乙两个品牌的羽绒服售价各是多少元？(2)小刚爸爸计划从小明爸爸这里给家人购买羽绒服共计7件，若总费用不超过6000元，则小刚爸爸最多可以购买甲品牌羽绒服多少件？25．（1）若关于的方程的解是非负数，求的取值范围．（2）若关于的方程组的解满足，求的取值范围．26．数学课上，何老师提出如下的问题：如图，在等边中，点在边上，点在边的延长线上，且，试确定的形状，并说明理由；如图，过点作，交于点，先证是等边三角形，再证得，从而得出是等腰三角形．完成下面问题：(1)上述思路证明的依据是_________；(2)聪明的小智同学想到另一种不同的思路：过点作交于点．请沿着小智同学的思路，求证：是等腰三角形；(3)在边长为的等边中，点在直线上运动，点在直线上运动，当，且是等腰三角形时，请直接写出的长．x 278k x -=-k ,x y 23,352x y m x y m +=⎧⎨+=+⎩①②2x y -≤m 1ABC E AB D CB AE DB =EDC △2E EF BC ∥AC F AEF △EBD CFE △≌△EDC △EBD CFE △≌△E EF AC ∥BC F EDC △2ABC E AB D BC 4AE DB ==EDC △DE参考答案与解析1．A【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可．【解答】因为是不等式，所以A 符合题意；因为是方程，所以B 不符合题意；因为是代数式，所以C 不符合题意；因为是方程，所以D 不符合题意．故选：A ．2．D【分析】根据一元一次不等式的解法，解不等式，即可求解，本题考查了，解一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法．【解答】解：，得：，故选：．3．B【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】A ． ，故可以构成直角三角形，不符合题意；B ． ，故无法构成直角三角形，符合题意；C ． ，故可以构成直角三角形，不符合题意；D ． ，故可以构成直角三角形，不符合题意．故选：B【点拨】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．4．D【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．【解答】解：A ．若，则，正确，不符合题意；B ．若，则，正确，不符合题意；450x +>1x y +=1x -3x =321x ->1x >D 2223+4=52222+34≠2225+12=132221+=a b >22a b ->-a b >33a b >C ．若，则，正确，不符合题意；D ．若，则当时，，故不正确，符合题意；故选D ．5．A【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【解答】∵小学到三个村庄的距离相等，∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，故选：A ．6．D【分析】本题考查作图−基本作图，作一条线段等于已知线段，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．方案①中，利用作一条线段等于已知线段得出等腰三角形，方案②通过垂直平分线的性质得到等腰三角形．【解答】解：方案①以点为圆心，为半径作圆弧，交于点，连接，则，故能作等腰，方案②的尺规作图是作出了的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点距离相等，也可以作等腰，因此①②均可以．故选：D ．7．D【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即【解答】用反证法时应假设结论不成立，即假设的对立面a 与c 相交．故选：D ．【点拨】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．8．B【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和等腰三角形的性质，解题的关键是注意构成三角形的条件：即三角形两边之和大于第三边，同时满足两边之差小于第三边．分三边为9，9，4与三边为9，4，4时两种情况讨论，看看是否符合构成三角形三边关系的条件，然后求解．【解答】解：分为两种情况：a b >1122a b -<-a b >0c ≠22ac bc >ABC C AC BC D AD CD CA =ACD AC ACD a c ∥①当等腰三角形的三边为9，9，4时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：，②当等腰三角形的三边为9，4，4时，∵，∴不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在，故选B ．9．C【分析】根据逆命题的定义，分别写出每个命题的逆命题，然后判断即可．【解答】A 、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补， 为真命题，该选项不符合题意；B 、逆命题为：若，则，为真命题，该选项不符合题意；C 、逆命题为：相等的角是直角，为假命题，该选项符合题意；D 、逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，为真命题，该选项不符合题意．故选：C【点拨】本题主要考查逆命题、平行线的性质、直角的概念、等边三角形的判定与性质，能写出一个命题的逆命题是解题的关键．10．A【分析】根据勾股定理的逆定理，即可求解，本题考查了，勾股定理的逆定理，解题的关键是：熟练掌握勾股定理的逆定理．【解答】解：∵直角三角形的三边长分别为，∴，∴，∴以为三边长的三角形是直角三角形，故选：A ．11．C【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形．故选：C ．99422++=449+<a b =22a b =,,a b c 222+=a b c ()()()()222222222222ak bk a k b k k a b k c kc +=+=+==,,(0)ak bk ck k >60︒60︒【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握．12．C【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，设这批电子产品降价元，根据题意得，求解即可得到答案．【解答】设这批电子产品降价元．根据题意，得解得所以，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价元．故选：C 13．B【分析】根有理数的加法法则和除法法则、倒数的定义、绝对值的性质进行判断即可．【解答】解：若，∴，或a 、b 异号，且负数的绝对值大，∴或，故①错误；若，则，∴，故②错误；若m 是有理数，当时，∵，∴，当时，则，∴若m 是有理数，则是非负数，故③正确，故选：B ．【点拨】本题考查倒数的定义、理数的加法法则和除法法则、绝对值的性质，熟练掌握有理数的运算法则和绝对值的性质是解题的关键．x ()3502005200x --≥%x ()3502005200x --≥%140x ≤5%1400a b +<a<00b <0ba >0b a<10m -<<11m<-1m m>0m ≤0m ≥0m m +=0m >()20m m m m +=>m m +14．C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确合理添加辅助线是解决本题的关键．利用角平分线的性质定理可作辅助线：过点E 作于点E ，证明，即可解决问题．【解答】解：过点E 作于点E ，则∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，同理可证：，∴，∴，故选：C ．15．C【分析】此题主要考查角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，首先根据，是的平分线，，得出，，然后判定，得出，，即可得出的周长．【解答】解：∵，是的平分线，，∴，，在和中，EF AB ⊥DAE FAE △≌△BFE BCE ≌EF AB ⊥90EFA EFB ∠=∠=︒,AD BC CD BC ⊥∥90D Ð=°D EFA ∠=∠AE DAB ∠DAE DAF ∠=∠AE AE =DAE FAE △≌△2AD AF ==BFE BCE ≌4BF BC ==246AB =+=90A ∠=︒BD ABC ∠DE BC ⊥90A BED ∠=∠=︒ABD EBD ∠=∠ABD EBD ≌AB BE =DA DE =DEC 90A ∠=︒BD ABC ∠DE BC ⊥90A BED ∠=∠=︒ABD EBD ∠=∠ABD EBD，∴，∴，，∴的周长，故选C ．16．A【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．【解答】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，A BED ABD EBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABD EBD ≌AB BE =DA DE =DEC 8DE DC EC AD DC EC AC CE AB EC BE EC BC =++=++=+=+=+==∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，以此类推：A 6B 6=32B 1A 2=32．故选A.【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．17．如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形【分析】本题主要考查逆命题，先用“如果……那么……”的形式将“直角三角形的两个锐角互余”表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余，根据逆命题的定义，即可求得答案．【解答】解：“直角三角形的两个锐角互余”用“如果……那么……”的形式表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余，逆命题为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．故答案为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．18． 【分析】本题主要考查了一次函数图像与一元一次不等式的知识，结合函数图像即可求出答案．【解答】解：根据函数图像可知：当时，，当时，，故答案为：，．19． 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，根据，即可求得的长度，求得，结合勾股定理即可求得，，过点作的垂线，交于点，可求得的长度．【解答】∵为线段的垂直平分线，∴．同理可得，∴的周长．1x >-3x <-1x >-0y kx b =+>3x <-y kx b n =+<1x >-3x <-12725BC EB EF FC AE AF EF =++=++BC 90EAF ∠=︒5EF =3AE =A BC BC D AD EM AB AE EB =AF FC =BC EB EF FC AE AF EF ABC =++=++=△12=∵，∴．同理可得．∵，∴，．∴．∵，，∴．∵，∴．∴，．过点作的垂线，交于点．∵，∴．∴．故答案为：；20．，见解析【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可．【解答】解：，，，，AE EB =B BAE ∠=∠C FAC ∠=∠45B C ∠+∠=︒45BAE FAC ∠+∠=︒()180135BAC B C ∠=︒-∠+∠=︒()90EAF BAC BAE FAC ∠=∠-∠+∠=︒4AF =12AE AF EF ++=8AE EF =-222EF AE AF =+()22816EF EF =-+5EF =3AE =A BC BC D 1122AEF S AE AF EF AD == △125AD =111272122255ABC S BC AD ==⨯⨯= △127252x ≥-()()1124663x x --≤+()()2426x x --≤+24212x x -+≤+48x -≤．不等式的解集在数轴上表示如下：21．见解析【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明．【解答】证明：，，．，，，．在和中，．22．(1)见解析(2)【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的作法，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化．（1）根据角平分线的作法作图即可；（2）根据三角形内角和求出，根据角平分线得出，继而利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边求出，，继而可得结果．【解答】（1）如图，即为所求．（2），．2x ≥-HL 90AEB CFD ∠=∠=︒AE CF =HL Rt Rt ABE CDF ≌△△BE AC ⊥ DF AC ⊥90AEB CFD ∴∠=∠=︒AF CE = AF AE EF =+CE CF EF =+AE CF ∴=Rt ABE △Rt CDF △AB CD AE CF =⎧⎨=⎩，，()Rt Rt HL ABE CDF ∴≌△△6AC =ABC ∠30ABD CBD ∠=∠=︒AD BD =12CD BD =BD 90,30C A ∠=︒∠=︒ 60ABC ∴∠=︒平分，，．在中，，则，，．23．(1)见解析(2)【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理．（1）结合角平分线的性质，根据平行线的性质得到，然后等量代换可知，故是等腰三角形；（2）根据等边对等角可得，结合（1）可得，再根据角平分线及三角形的内角和定理即可求解．【解答】（1）解：证明：平分，．，，，，是等腰三角形．（2），．，．平分，，．BD Q ABC ∠30ABD CBD ∴∠=∠=︒AD BD ∴=Rt BCD 24BD CD ==4AD =2CD = 36AC CD ∴===60B ∠︒,BAD G CAD AFG ∠=∠∠=∠G AFG ∠=∠AFG CFE C ∠=∠C CAD ∠=∠AD BAC ∠BAD CAD ∴∠=∠EG AD ∥,BAD G CAD AFG ∴∠=∠∠=∠A G G F ∴∠=∠AF AG ∴=AFG ∴ CE EF = CFE C ∴∠=∠,AFG CFE AFG CAD ∠=∠∠=∠ C CAD ∴∠=∠80,BAC AD ∠︒= BAC ∠40C CAD ∴∠=∠=︒18060B BAC C ∴∠=︒-∠-∠=︒24．(1)甲品牌羽线服的售价为1000元，乙品牌羽线服的售价为800元(2)小刚爸爸最多可以购买甲品牌羽线服2件【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，对于（1），根据销售额相等列出方程组，并求出解；对于（2），根据购买两种羽绒服的费用和列出不等式，求出解集可得答案．【解答】（1）解：设甲品牌羽线服的售价为元，乙品牌羽线服的售价为元．依题意，得，解得答：甲品牌羽线服的售价为1000元，乙品牌羽线服的售价为800元．（2）解：设小刚爸爸购买甲品牌羽线服件．根据题意，得，解不等式，得．答：小刚爸爸最多可以购买甲品牌羽线服2件．25．（1）；（2）【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组，准确熟练进行计算是解题的关键．（1）求出方程的解，根据题意得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可；（2）首先解不等式利用m 表示出x 和y 的值，然后根据列不等式求得的范围．【解答】解：（1）由，解得．关于的方程的解是非负数，，即，解得，的取值范围是．（2）由，得．将代入①，得．，6000≤x y 121624800304566000x y x y +=⎧⎨+=⎩1000,800.x y =⎧⎨=⎩a ()100080076000a a +-≤2a ≤4k ≥-4m ≤2x y -≤278k x -=-827k x +=x 278k x -=-8207k +∴≥820k +≥4k ≥-k ∴4k ≥-23⨯-⨯②①4y m =-4y m =-26x m =-2x y -≤，即，解得．26．(1)；(2)见解析；(3)的长为【分析】（）过点作，交于点，根据平行线的性质证明是等边三角形，根据性质证明，根据求证即可；（）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质即可求证；（）分两种情况讨论即可求解；本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】（1）过点作，交于点，∵是等边三角形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，，∴，∴，故答案为：（或边角边）．（2）证明：如图1，过点作交于点．()2642m m ∴---≤3102m -≤4m ≤SAS DE 1E EF BC ∥AC F AEF △AE DB EF ==SAS 23E EF BC ∥AC F ABC 60ABC ACB A ∠=∠=∠=︒AB AC=60ABC AEF AFE ACB A ∠=∠=∠=∠=∠=︒AEF △AE DB EF ==120DBE EFC ∠=∠=︒AB AE AC AF -==BE FC =()SAS EBD CFE ≌SAS E EF AC ∥BC F图1是等边三角形，，又，，是等边三角形，，．，．，．在和中，，，，是等腰三角形．（3）分两种情况．①如图，过点作于点，过点作于点，则．ABC 60,ABC ACB A AB AC BC ∴∠=∠=∠=︒==EF AC ∥60,60BEF A BFE ACB ∴∠=∠=︒∠=∠=︒BEF ∴ BE EF BF ∴==AE CF ∴=AE BD = BD CF ∴=60ABC BFE ∠=∠=︒ 120DBE EFC ∴∠=∠=︒DEB CEF △BE FE DBE CFE BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEB CEF ∴ ≌DE EC ∴=EDC ∴△A AM BC ⊥M E EN BC ⊥N AM EN ∥是等边三角形，．，，，，．，为的中点，．，．，．在和中，，又，ABC 2AB BC AC ∴===AM BC ⊥ 112BM CM BC ∴===AM ∴===2,4BC DB == 2,4BC DB == 6DC ∴=,DE CE EN BC =⊥ N ∴CD 132CN DN DC ∴===2,4AB AE == 2AB BE ∴==,EN DC AM BC ⊥⊥ 90AMB ENB ∴∠=∠=︒ABM EBN △,,,ABM EBN AMB ENB AB BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AMB ENB ∴ ≌EN AM ∴==3DN = DE ∴=②如图，过点作于点，过点作于点，则．是等边三角形，，，，，，，，为的中点，，，，，，又，，综上所述，的长为A AM BC⊥M E EN BC⊥N AM EN∥ABC2AB BC AC∴===AM BC⊥112BM CM BC∴===2BC=4DB=2DC∴=DE CE=N∴CD112CN DN DC∴===3BN BC CN∴=+=2AB=4AE=6BE∴=EN∴=1DN=Q EN BC⊥DE∴===DE。
