现代数学家厄尔迪斯：波沙

费米—狄拉克分布和玻色—爱因斯坦分布的简单推导费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布最为基础和重要的模型。

它们都具有广泛的应用，可用于描述大量自然现象和事件的情况。

费米—狄拉克分布是早期的数学研究的结果，它是由俄国科学家费米和狄拉克合著的。

它表示大量自然现象和事件的分布是以不断变化的指数函数形式发生的，这就是“指数定律”。

当事件发生的频率并不经常发生，而其几率却很大时，便可以用费米—狄拉克分布来进行描述。

例如，地震的最大震级分布可以用费米—狄拉克分布来描述。

而玻色-爱因斯坦分布可以用来描述大量不断变化的量子物理现象，它定义为量子间的相对不确定性，它的形态是以正态分布的形式发生的。

玻色-爱因斯坦分布可以用来描述多种量子现象，例如，电子的空间分布或几率分布可以用玻色-爱因斯坦分布来表示。

总体而言，费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布中最为重要的模型，它们各自具有不同的特点，可以用来描述大量自然现象和量子现象。

见缝插针学英语和数学科技造福人类，改变农村！互联网时代最伟大的数学家和哲学家罗马征服了希腊，但希腊的science and knowledge却征服了世界。

数学是理解万物之源，是描绘自然和社会的语言模式。

苏格拉底：认识你自己。

高斯：学习欧拉的著作，乃是认识数学的最好工具。

拉普拉斯：读读欧拉，他是我们大家的老师。

波利亚：坦率地告诉人们引导他作出发明的思路。

《无穷小分析引论》是欧拉著作中最杰出的。

外尔：今天的学生从欧拉的《无穷小分析引论》中所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的。

高斯：数学是科学的女皇，数论是数学的女皇。

陈省身：只要醒着，你就必须思考数学。

丘赛夺冠、互联网成才、专注、今日事今日毕。

成核心重要成员，不需要成第一名。

认识自己，认识别人，认识国家，认识地球，认识宇宙。

左手论语，右手苏格拉底。

左手苏格拉底，右手欧几里德。

志在哲学家和数学家，做大学问干大事。

苏格拉底：认识你自己。

专注自己，提高自己。

笛卡尔：我思故我在。

读过去方知未来，读他国方知己国，读他心方知己心。

孔子《论语》修心（心态）：王阳明：心外无物，格物致知，知行合一。

无欲则刚。

安逸和幸福，对我来说从来不是目的。

——爱因斯坦安逸使人堕落，我们要学会拒绝安逸，主动、勇敢地去磨练自己，使自己能够经受住生活的磨难和挫折！我的字典里没有“不可能”——拿破仑只有对胜利包邮必得之心，不给自己任何借口，才能最大限度发挥出自己的实力。

书不可不成诵，或在马上，或在中夜不寝时，咏其文，思其义，所得多矣。

——司马光。

司马光编《资治通鉴》，历经19年，一丝不苟。

为了早早起床，睡觉前喝满一肚子水，天天早早地起床读书。

他坚持把所读的书都被诵下来，反复咀嚼和思考，坚持不懈。

成功的人不是依靠盲目的勤奋，而是需要找到一种适合自己的学习方法，才能事半功倍。

修身（运动）：修胃（饮食）：修语（语言）：修数（数学）：心理哲学：We choose go to the moon, not because they are easy, because they are hard. 格心外之物（名利器物欲），致良知。

科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。

隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。

或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。

然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。

直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。

无理数发展简史一、引言无理数是数学中的重要概念，它是指不能表示为两个整数的比值的数。

无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，随着数学的发展，无理数的研究逐渐深入。

本文将以历史的角度，介绍无理数的发展简史。

二、古希腊时期的无理数概念在古希腊时期，数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边长的平方等于两直角边长的平方之和。

然而，毕达哥拉斯学派发现了一个问题，即根号2的值不能表示为两个整数的比值。

这个发现打破了他们对数的理解，揭示了无理数的存在。

三、欧几里得的无理数证明欧几里得是古希腊时期最著名的数学家之一，他在《几何原本》中给出了对根号2无理性的证明。

他假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值。

然后，通过推理和逻辑推导，欧几里得得出矛盾的结论，证明了根号2是无理数。

四、无理数的发展与应用1. 无理数的推广在欧几里得之后，数学家们开始研究更多的无理数。

例如，勾股定理的推广引入了三角函数和无理数的概念。

同时，无理数的概念也逐渐扩展到其他领域，如开方、对数等。

2. 无理数的近似计算在无理数的研究中，人们发现了一些无理数的近似计算方法。

例如，阿基米德使用逐步逼近法计算圆周率的值，这是无理数的一个重要应用。

3. 无理数与数学基础理论无理数的研究对数学基础理论的发展产生了重要影响。

例如，无理数的存在性证明为数学基础理论提供了坚实的基础，为后续数学研究的发展奠定了基础。

五、现代无理数的研究随着数学的发展，无理数的研究进入了现代阶段。

现代数学家通过使用更高级的工具和方法，对无理数进行了更深入的研究。

例如，利用数学分析和集合论的方法，人们对无理数的性质进行了深入的探索。

六、结论无理数作为数学中重要的概念，经历了漫长的发展历程。

从古希腊时期的发现，到欧几里得的证明，再到现代数学家的研究，无理数的发展始终伴有着数学的进步。

无理数的研究不仅推动了数学理论的发展，还为其他科学领域的研究提供了重要基础。

西方数学史上的瑰宝————几个著名数学家的简单介绍数学是人类发展史上的一颗璀璨明珠，在西方国家，数学的发展举世瞩目，其成就让数学进入了一个巅峰状态，这当中功劳少不了数学家们的热情与辛勤劳作。

往下给大家介绍几个具有代表性的著名数学家。

欧几里德埃及的亚历山大城，是地中海南岸的重要海港，经过托勒密王（Ｐｔｏｌｅｍｙ希腊，埃及国王）苦心经营，逐渐成为新的希腊文化的渊薮，希腊本土这时已经退居次要地位。

欧几里德（Ｅｕｃｌｉｄ约公元前３３０－２７５）就生活在这个时代。

欧几里德早期在雅典接受教育。

他博览群书，汲取了前人积累起来的大量的几何知识，终于成为一位几何大家。

成名之后，受托勒密王邀请，来到亚历山大教学。

他是一位温良敦厚的教育家，对于有志数学之士，总是循循善诱地教导，但反对在学习上不肯刻苦钻研，投机取巧的作风。

据说有一位学生，才开始学习第一个命题，就问欧几里德，学习几何学之后有什么报偿。

欧几里德说：给他三个金币，因为他想在学习中获利。

欧几里德的重大功绩是编写了《几何原本》。

从来没有一本教科书，象《几何原本》这样长期占据着几何学教科书的头把交椅。

从１４８２年出现活字印刷以来，《几何原本》竟然印刷了一千版以上。

而在此之前，它的手抄本统御几何学达一千八百年之久。

欧几里德的影响是如此深远，以至于欧几里德和几何学变成了同义语。

《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理方法建立起演绎的数学体系的最早典范。

这部著作给后人以极大的启发，不仅由此引出了公理化演绎的结构方法，给数学以及其他自然科学以典范的作用，而且由于其中第五公设的不可证明性质，引发了非欧几何的出现。

无疑，欧几里德是希腊几何的集大成者，在整个数学史上树立了丰碑。

高斯高斯(1777-1855)是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。

高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。

他幼年时就表现出超人的数学天才。

解读2013年诺贝尔物理学奖：何为希格斯粒子2013年10月08日19:16 新浪科技微博我有话说(1,060人参与)2013年诺贝尔物理学奖揭晓。

新浪科技讯10月8日讯 2013年诺贝尔物理学奖授予彼得·W·希格斯(Peter W. Higgs) 和弗朗索瓦·恩格勒(Francois Englert)，以表彰他们对希格斯玻色子(又称“上帝粒子”)所做的预测。

那么，到底什么是希格斯玻色子呢？希格斯粒子是一种亚原子粒子，也就是说，理论上认为它应当是构成宇宙的最基本组成部件之一。

但是它仍然有待实验观测证实。

科学家们提出的物理学标准模型预言了这种粒子的存在，其作用是解释为何其它粒子会拥有质量。

根据这一理论，在宇宙大爆炸之后，一种看不见的力，即希格斯场和与之相对应的粒子——希格斯-玻色子一同形成。

正是这个场赋予其它基本粒子以质量的属性。

为何这一粒子如此重要？希格斯场赋予整个宇宙中其它粒子以质量的方式可以用游泳者在水池中受到的水的阻力来做比喻。

如果粒子没有质量，它们便可以在宇宙中以光速前进，因为质量的本质便是对物体改变其速度的制约性。

这种粒子最早是什么时候被提出来的？有关这一粒子的理论最早是在1964年由6位物理学家共同提出来的，其中就包括英国爱丁堡的皮特•希格斯教授。

他们当时提出这一粒子的目的就是为了解释质量的起源。

理论上，这一粒子的存在将正好补全描述整个宇宙如何运行的物理学标准模型的缺陷，因此它便显得尤其重要。

如何对其进行搜寻？欧洲核子中心的大型强子对撞机(LHC)是人类有史以来建造的最强大的粒子加速器，它的工作原理是将两束质子流以接近光速的速度迎头相撞，在此过程中得到其它粒子。

在1989年至2000年之间，科学家们也曾使用同样位于欧洲核子中心的另一台加速器LEP进行搜寻工作，而由于经费不足被关停之前，美国的Tevatron加速器也进行过对这一神秘粒子的搜寻工作。

科学家们如何能知道自己究竟是否发现了这样的粒子呢？如果在LHC加速器中进行的数以十亿计的对撞实验中真的产生了希格斯-玻色子，根据预测，它应当是不稳定的，会迅速衰变为更加稳定，质量更小的粒子。

布尔迪厄与场域理论 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020布尔迪厄与场域布尔迪厄是继福柯之后, 法国又一具有世界影响的社会学大师,他和英国的吉登斯、德国的哈贝马斯一起被认为是当前欧洲社会学界的三大代表人物, 他的思想和著述在国际学界广受重视， 20 世纪90 年代中期以来, 也引起了我国社会学者的注意。

布迪厄称得上学术杂家, 他的社会学中融入了人类学、教育学、哲学、艺术、语言学、历史、文化学等诸学科的内容, 可谓包容丰富、错综复杂。

一般认为, 场域理论是他的基本理论, 在其社会学思想体系中占有最重要的地位。

布尔迪厄是享誉世界的法国社会学家，他在1990年出版《实践的逻辑》一书中，提出了他最关心的理论问题：在人为地分裂社会科学的对立之中，最根本也是最要命的是主观主义和客观主义的对立，这种对立导致了绝大部分的社会学家只选上述两元对立的其一。

为了化解上述两元对立，布尔迪厄提出了场域、惯习和实践的概念，并且用场域和惯习来解释实践。

场域的概念与特征场域是布尔迪厄社会学理论中的核心概念之一，他这样定义场域：“从分析的角度来看，一个场域可以被定义为在各种位置之间存在的客观关系的一个网络，或一个架构。

正是在这些位置的存在和他们强加于占据特定位置的行动者或机构之上的决定性因素之中，这些位置得到了客观的界定，其根据是这些位置在不同类型的权利或资本（占有这些权利就意味着把持了在这一场域中利害攸关的专门利润的得益权）的分配结构中实际的和潜在的处境，以及它们与其他位置之间的客观关系（支配关系、屈从关系、结构上的同源关系等）。

”在布尔迪厄看来，场域有其自身的特征。

首先场域是一个永恒斗争的场所。

其次，场域具有相对自主性。

任何一个场域，其发生发展都经过了一个为自己的自主性而斗争的历程，这也是摆脱政治、经济等外部因素控制的过程，在此过程中，场域自身的逻辑逐渐获得独立性，也就是成为支配场域中一切行动者及其实践活动的逻辑。

微积分的历史与意义
微积分是一门关于极限、导数、积分和级数等概念的数学学科，广泛应用于自然科学、工程、经济学和社会科学中。

微积分的发
展历程可以追溯到古希腊时期，但直到17世纪，这门学科才得到
广泛发展和应用，成为现代数学的重要组成部分。

古希腊的微积分
在古希腊时期，一些重要的微积分概念已经出现，例如Eudoxus在寻找球体积的问题中使用了“无穷小量”概念，而Archimedes则在计算圆的弧长和面积时，利用了无限小量的概念。

但由于古希腊时期逻辑推理的强调，微积分的概念并未得到严格
系统化和发展。

牛顿和莱布尼兹的微积分
17世纪，牛顿和莱布尼兹分别独立地发明了微积分。

牛顿的微
积分主要集中在力学领域，而莱布尼兹的微积分则更注重于数学
基础和通用性。

两位数学家以不同的方法发明了微积分，用以解
决当时科学和工程领域中的一些重要问题。

由此，微积分得到了
广泛的应用。

微积分在现代数学中的意义
微积分是现代数学中不可或缺的部分，它不仅为其他领域提供
了数学基础，也是从数学基础理论角度研究其他学科的工具。

例如，微积分为物理学和工程学提供了重要的方法，使研究者能够
对物体的运动和现象进行建模和探究。

微积分还提供了一种解决
优化问题的方法，广泛应用于经济学和管理学领域，使得研究者
能够更好地分析和解释市场和公司的行为。

总结
微积分的发展历程始于古希腊时期，但直到17世纪，微积分
才得到广泛应用和系统化发展。

微积分为其他领域提供了数学基
础和工具，对现代数学的发展和科学的进步起着至关重要的作用。

无理数发展简史无理数是数学中的一个重要概念，它起源于古希腊时期的数学研究。

无理数的发展历程可以追溯到公元前5世纪的希腊，经过了数学家们长期的努力和不断的探索，最终在19世纪得到了完善和系统的发展。

本文将从五个方面对无理数的发展历程进行阐述。

引言概述：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，它的小数部分是无限不循环的。

无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过了众多数学家的努力和探索，最终在19世纪得到了完善和系统的发展。

正文内容：1. 古希腊时期的无理数研究1.1. 古希腊数学家的发现古希腊数学家毕达哥拉斯和他的学派最早对无理数进行了研究，他们发现了一些不能表示为有理数的长度，例如斜边长为1的等边直角三角形的边长。

这些数被称为无理数。

1.2. 毕达哥拉斯学派的反对然而，毕达哥拉斯学派坚信一切可以表示为两个整数比值的长度，因此他们反对无理数的存在。

这导致了一场关于无理数的争论，最终以毕达哥拉斯学派失败告终。

2. 无理数的进一步研究2.1. 欧几里得的贡献欧几里得是古希腊时期的一位著名数学家，他在《几何原本》中提出了无理数的概念，并证明了无理数的存在。

他通过几何方法证明了勾股定理中直角边的长度是无理数。

2.2. 狄利克雷的无理数理论19世纪的数学家狄利克雷进一步发展了无理数的理论。

他提出了狄利克雷切割法，通过将实数集分割成两个部分，使得无理数可以用有理数逼近。

这一理论为无理数的研究提供了重要的工具。

2.3. 康托尔的集合论康托尔是19世纪末20世纪初的一位杰出数学家，他的集合论为无理数的研究提供了新的视角。

他发展了无穷集合的理论，将无理数看作是实数集合中的一个子集，进一步深化了对无理数的理解。

总结：无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，经过了数学家们长期的努力和不断的探索，最终在19世纪得到了完善和系统的发展。

从古希腊数学家的发现，到欧几里得和狄利克雷的贡献，再到康托尔的集合论，无理数的研究逐渐深入，为数学的发展做出了重要贡献。

现代数学家厄尔迪斯：波沙
匈牙利现代数学家厄尔迪斯说过这样一句名言：数学家就是将咖啡变为定理的机器。

他就曾经发现过这样的机器。

有一次厄尔迪斯听说本国有个9岁的神童叫波沙，他便专程到布达佩斯去看他。

见面后，他问波沙：从1、2、3100中任意取51个不相同的数，其中必有两个互质，这是为什么？
波沙正在喝咖啡，他用汤匙在杯子里搅了几下，然后就轻松地回答了这个看似简单却又难以回答的问题：将1、2、3100分成50个组，每组两个相邻的数为1，2|3，4||99，100|。

如果每组中各取一个数，那么至多只能取出50个数。

因此如果取出51个数，那么必有一组的两个数都被取出。

而每两个相邻的自然数互质，因此取出的51个数中必有两个数互质。

厄尔迪斯又问：从1、2、3100中最多可以取出几个不同的数，使得每个数都不是另一个数的倍数？
波沙毫不犹豫地回答：可取50个不同的数。

这是为什么呢？你能举个例子吗？
如果取出的数大于50的话，即51、5299、100，那么每个数都不是另一个数倍数，这是因为51的2倍已经超过100了。

厄尔迪斯肯定了波沙的回答，并认为这个孩子前途无量。

果然，波沙后来成了一位著名的数学家。

数学家波沙童年的故事
王冠
【期刊名称】《数学小灵通（5-6年级）》
【年(卷),期】2012(000)007
【摘要】匈牙利现代数学家厄尔迪斯说过这样一句名言：＂数学家就是将咖啡变为定理的机器。

＂他就曾经发现过这样的＂机器＂。

【总页数】1页(P61)
【作者】王冠
【作者单位】江苏省射阳县新洋农场中心小学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.波浪作用下沙波的运动速度和沙波床面的底沙输移 [J], 赵冲久;秦崇仁
2.南海北部沙波区海底强流的内波特征及其对沙波运动的影响 [J], 夏华永;刘愉强;杨阳
3.网格嵌套技术在模拟海底沙波运移中的应用Ⅱ——南海北部沙波运移 [J], 江文滨;林缅;李勇;范奉鑫;闫军
4.HPLC-DAD法检测马波沙星片中\r马波沙星氧化物的研究 [J], 赵晶晶
5.国家二类新兽药马波沙星及马波沙星注射液 [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

保罗·厄多斯 (Paul Erdos)数学家故事保罗·厄多斯出生前，有两个姊姊相继去逝。

这个因素造成厄多斯受双亲的百般呵护。

他第一次显露数学天份是在19____年，当时他4岁，还不会写数目字，但是会心算。

他轻描淡写的说：;当时我已经会3位数乘4位数的乘法了。

;但是他认为这不算什么，他最喜欢回想的是，那时候他告诉母亲：;你如果把100减去250，会得到比零小150的数。

;在这之前，还没有人告诉过他负数的观念。

他很高兴地说：;这完全是我自己发现的。

;厄多斯的父母都是匈牙利的高中数学教师，所以在他上学前，已经吸收了不少知识。

上学后他并不太能适应学校的教育方式，而正当俄罗斯军队攻打奥-匈联军的时期，他的父亲被捕囚禁在西伯利亚六年。

母亲将厄多斯带离开学校，在家亲自教导他。

地理学家估计地球的年龄是45亿年，而当他还年少时，人们估计地球的年龄为20亿年。

于是在叙述自己生平的演讲时，他就免不了要幽默的戏说一场;前25亿年的数学生涯;。

17岁时，他进入布达佩斯的沛兹马尼?沛塔大学就读，第二年完成第一篇论文，证明;任何整数n与2n之间，一定有个质数存在;。

19____年获得博士学位，到曼彻斯特与修得博士学位的同伴继续深造。

那时候，他转而研究极艰涩难懂的─;组合数学;﹝Combinatorics﹞。

过去数十年的岁月，大众对于保罗?厄多斯的成就一无所知，甚至本世纪任何一位数学家的所作所为，也无人留意过；这似乎很奇怪，至少是不太公平。

这是一件值得注意的数学矛盾，无论这个世界如何地漠视他，数学家的投入仍然为大众提供了解世界的最佳工具。

但保罗?厄多斯从不忧虑这些，他太专注于自己的学说研究，而无暇顾及其最终效益。

目前，组合数学或许是数学中发展最快的，其中有一些部份要归功于厄多斯的先驱领导。

让别人来替他说明他的研究结果如何应用吧。

后19____年代匈牙利的局势明显地不可能让有犹太血统的个人回到国内，所以厄多斯来到美国。

无理数发展简史引言概述：无理数是数学中一个重要的概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的实数。

无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，随着数学的发展，无理数的概念逐渐被完善和扩展。

本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历史。

一、古希腊时期1.1 毕达哥拉斯学派的发现毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要学派之一。

在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派成员发现了无理数的存在。

他们通过对勾股定理的研究，发现了不能表示为整数比值的边长关系，从而确立了无理数的概念。

1.2 伊壁鸠鲁学派的质疑伊壁鸠鲁学派是古希腊哲学的一支。

该学派对毕达哥拉斯学派的无理数概念提出了质疑。

他们认为无理数是不存在的，一切都可以用有理数表示。

这一争论持续了一段时间，直到欧几里得给出了无理数存在的证明，才解决了这一争议。

1.3 欧几里得的证明欧几里得是古希腊数学家，他在《几何原本》中给出了无理数存在的证明。

他通过反证法证明了不能用有理数表示的线段存在，从而证明了无理数的存在。

欧几里得的证明为无理数的研究奠定了基础。

二、中世纪的发展2.1 无理数的被遗忘在中世纪，无理数的概念被遗忘了一段时间。

由于宗教和哲学的影响，数学的发展受到了限制，无理数的研究停滞不前。

2.2 无理数的重新发现到了16世纪，无理数的概念重新被人们关注。

意大利数学家维埃塔在《无理数的存在》一书中重新提出了无理数的概念，并给出了更加严谨的证明。

这使得无理数的研究重新得到了推动。

2.3 无理数的应用随着无理数概念的重新被接受，人们开始发现无理数在数学中的广泛应用。

无理数在几何、代数等领域中起着重要作用，为数学的发展带来了新的动力。

三、无理数的扩展3.1 无理数的无限性无理数的一个重要特点是无限性。

无理数的小数表示无限不循环，这使得无理数的研究更加复杂和有趣。

3.2 无理数的无穷性无理数的无穷性是指无理数的小数位数无限多。

这使得无理数可以无限接近任何有理数，为数学中的近似计算提供了便利。

无理数发展简史无理数是数学中的一个重要概念，它是指不能用有理数表示的数。

无理数的发展历史可以追溯到古希腊时代，经过数学家们的不懈努力和探索，无理数逐渐被人们所接受和理解。

本文将从古希腊时代开始，逐步介绍无理数的发展简史。

一、古希腊时代1.1 比较理性数和无理数的概念在古希腊时代，数学家们开始研究数的性质，发现有些数可以用整数表示，称为理性数，而有些数无法用整数表示，称为无理数。

1.2 毕达哥拉斯定理的启示毕达哥拉斯定理揭示了勾股定理的重要性，同时也暗示了无理数的存在，因为在直角三角形中存在不能用有理数表示的斜边长度。

1.3 毕达哥拉斯学派对无理数的拒绝毕达哥拉斯学派坚持一切可以用有理数表示，对无理数的存在持怀疑态度，甚至认为无理数是不可接受的。

二、欧几里德时代2.1 欧几里德的《几何原本》欧几里德在其著作中系统地阐述了几何学的基本概念，同时也涉及到了无理数的概念，为后人的研究提供了基础。

2.2 无理数的几何意义欧几里德通过几何方法探讨了无理数的性质，认为无理数是存在的，虽然无法用有理数表示，但在几何上有其独特的意义。

2.3 欧几里德的贡献欧几里德的《几何原本》对无理数的发展起到了重要的推动作用，为后人的研究奠定了基础。

三、十六世纪至十七世纪3.1 费马和无理数费马在研究数论时，发现了一些无法用有理数表示的数，这些数被称为费马数，成为无理数研究的重要对象。

3.2 无理数的符号表示十七世纪，数学家们开始使用符号表示无理数，如π表示圆周率，e表示自然对数的底数，这些符号为无理数的研究提供了便利。

3.3 无理数的性质研究数学家们逐渐深入研究无理数的性质，发现了无理数与有理数之间的关系，为数学的发展提供了新的思路。

四、十八世纪至十九世纪4.1 连分数与无理数十八世纪，连分数的研究为无理数的表示提供了新的方法，使人们更好地理解了无理数的性质。

4.2 代数学与无理数十九世纪，代数学的发展为无理数的研究提供了新的视角，通过代数方法研究无理数的性质，推动了数学的发展。

波萨——匈牙利数学神童故事一个匈牙利数学家小时的故事路易·波萨（Louis Pósa）是匈牙利的年青数学家，1988年时约40岁．他在14岁时就已能够发表有相当深度的数学论文．大学还没有读完，就已获得科学博士的头衔．他的妈妈是一个数学家．小时他受母亲的影响，很爱思考问题．母亲看他对数学有兴趣，也鼓励他在这方面发展．她给他一些数学游戏，或数学玩具启发他独立思考问题．在母亲的循循善诱之下，他在读小学时已经自己拿高中的数学书来看了．真正训练他成为一个数学家的是匈牙利鼎鼎有名的大数学家保罗·厄多斯（P.ErdÖs）．厄多斯在数论、图论等数学分支有很深入的研究，他把一生献给数学，从来没有想到结婚，只和自己的母亲为伴，他经常离开自己的祖国到外国去作研究和演讲．在东欧国家里像厄多斯能这样随意离开自己的国家进出西方世界的数学家并不太多．他到处以数学会友，他在数学方面的多产，以及在解决问题上有巧妙的方法，使他在世界数学界上享有甚高的声誉．对于他的祖国来讲，他重要的贡献不单是在数学的研究，而是他一回到自己的国家就专心致志地培养年青一代的数学家，告诉他们外国目前数学家注意的问题，扩大他们的视野．我这里要讲他怎么样发现路易·波萨的才能的故事．有一次他从国外回来后，听到朋友讲起有一个很聪明的小东西，在小学能解决许多困难的数学问题，于是就登门拜访这小鬼的家庭．波萨的家人很高兴请厄多斯教授共进晚餐．在喝汤的时候，厄多斯想考一考坐在他旁边的12岁小孩的能力，于是就问他这样的一个问题：“如果你手头上有n＋1个整数，而这些整数是小于或等于2n，那么你一定会有一对数是互素的．你知道这是什么原因吗？”这小鬼不到半分钟的思考，就很快给出这个问题的解答．他的解答又是那么巧妙，使得厄多斯教授叹服．认为这是一个难得的“英才”，应该好好地培养．厄多斯以后系统地教这小鬼数学，不到两年的时间波萨就成为一个“小数学家”了，而且发现在图论一些深湛的定理．波萨怎样解决厄多斯提的问题对于许多离开学校很久的读者，我想做一点解释厄多斯提出的问题．首先我们解释：一对数是互素是什么意思？我们知道如果把自然数1，2，3，4，5，…照大小排起来，从2开始像2，3，5，7，11，13，17，19，23，…，等数都有这样特别的性质：除1和本身以外，再找不到比它小的数能整除它．具有这样特殊性质的数我们称它为素数（Prime number）．我们小学时不是学习过把整数因子分解吗？那就是把整数用素数的乘积来表示．例如50＝2×5×5，108＝2×2×3×3×3＝22×33．两个自然数称为互素（Coprime），如果把它们表示成素数乘积时，找不到它们有公共的素因数．例如{8，11}一对数是互素．10和108不是互素，因为它们有公共的素因数2．现在让我们来理解厄多斯的问题．先对一些特殊的情况来考虑：当n＝2时，我们手头上有3个整数，这些整数是小于或等于4，可以选出的只是{2，3，4}，不包含1，很明显的看出{2，3}或{3，4}是互素的．n＝3时，在小于或等于6的整数找4个整数组（不要包含1），可能找出的有{2，3，4，5}，{2，3，4，6}，{3，4，5，6}，{2，4，5，6} 等等．你一个个检查一定会在每组中找出最少一对互素的数．可以看出随着n增大时，构造n＋1个不同数的数组的个数就会增加很大．如果我们是这样一个一个地对这些数组来检查证明，这真会成为：“吾生也有涯，而数无涯”，那时候皓首不但穷尽不了，最后真是要“呜呼哀哉”了！如果读者中有人说：“我有苦干和拚命干的精神！”我还是要劝他不要用这样的苦干法，应该学会“巧干”，这才是最重要的．不然的话，人家小孩子用不到半分钟就解决了的问题，而我们苦干再加上拚命干却花一生还没法子解决，这不是太浪费生命吗？我现在准备介绍波萨对这问题的解法．可是我希望读者先自己想想看怎么样解决这问题．如果你能找到和下面不同的解决方法，请来信告诉我．如果你花过一些时间还想不出，那么就请读下去，你这时就会欣赏波萨解决方法的巧妙，而最重要的你会学懂“鸽笼原理”，说不定以后你成为业余数学家或者专业数学家还会用到这个原理呢！波萨是这样考虑问题：取n个盒子，在第一个盒子我们放1和2，在第二个盒子我们放3和4，第三个盒子是放5和6，依此类推直到第n个盒子放2n－1和2n这两个数．现在我们在n个盒子里随意抽出n＋1个数．我们马上看到一定有一个盒子是被抽空的．因此在这n＋1个数中曾有两个数是连续数，很明显的连续数是互素的．因此这问题就解决了！你说这个解法是不是很容易明白又非常巧妙呢？！感谢您的阅读，祝您生活愉快。