《圆》新定义专题培优训练

九年级数学下册2023年中考专题培优训练圆的认识一、单选题1、下列命题的逆命题为假的有（）A．对顶角是相等的角B．对应角相等的三角形是全等三角形C．平行四边形是两组对边互相平行的图形D．等圆是半径相等的圆2、计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为2，当任务完成的百分比为m时，弦AB的长度记为d（m）．下列描述正确的是（ ）A．d（25%）＝2B．当m＞50%时，d（m）＞4C．当m1＜m2时，d（m1）＜d（m2）D．当m1+m2＝100%时，d（m1）＝d（m2）3、已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（）A ．24B ．27C ．30D ．335、已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ）,,A B C O A ．若半径平分弦．则四边形是平行四边形OB AC OABC B ．若四边形是平行四边形．则OABC 120ABC ∠=︒C ．若．则弦平分半径120ABC ∠=︒AC OBD ．若弦平分半径．则半径平分弦AC OB OB AC6、如图，是的外接圆，，若扇形OBC （图中阴影部分）正O ABC 22.5,8ABO ACO BC ∠=∠=︒=好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ）A B ．C D 7、如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC 、BC 为直径作半圆，其中M ，N 分别是AC 、BC 为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P ，Q ．若AC BC MP+NQ ＝7，AC+BC ＝26，则AB 的长是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．208、如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过A B C AB 点，，则的值为（ ）C D cos ADC ∠A B C ．D 23二、填空题1、如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，，∠B ＝116°，则∠D 的度数为______度．AC AE =2、如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O 在水面上方，且被水面截得的弦AB 长为8米，半径为5米，则圆心O 到水面AB 的距离为O _______米．3、如图，点为半圆的中点，是直径，点D 是半圆上一点，、交于点E ，若，C AB AC BD 2AD =，则______， _______．6BD =AC =CD =4、如图，圆内4个正方形的边长均为2a ，若点A ，B ，C ，D ，E 在同一条直线上，点E ，F ，G 在同一个圆上，则此圆的半径为．5、如图，在圆的内接△ABC 中，，，于点D ，则________°．AB AC = 100BC =︒BD AC ⊥DBC ∠=6、如图，以y 轴上的点P 为圆心，过坐标原点O 的⊙P 与平行于y 轴的直线交于M ，N 两点．若点M 的坐标是，则点N 坐标为___________．()21，-三、解答题1、如图，为的直径，是弦，且于点E ．连接、、．AC O BD AC BD ⊥AB OB BC(1)求证：；CBO ABD ∠=∠(2)若，求弦的长．4cm,16cm AE CE ==BD2、如图，在圆O 中，弦AB ＝8，点C 在圆O 上（C 与A ，B 不重合），连接CA 、CB ，过点O 分别作OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，垂足分别是点D 、E（1）求线段DE 的长；（2）点O 到AB 的距离为3，求圆O 的半径．3、圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为的中点，为拱门最高点，圆心18AB =C AB D 在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．O CD 27CD =4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．5、如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：．AF BD。

人教版九年级数学上册《圆》培优检测试题（含答案）一．选择题1．如图，△ABC内接于⊙O中，AB＝AC，＝60°，则∠B＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．216°B．270°C．288°D．300°3．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A．10 B．8 C．5 D．35．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD＝130°，那么∠B的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A． cm B．3cm C． cm D．2cm9．下列说法正确的个数（）①近似数32.6×102精确到十分位：②在，，﹣||中，最小的数是③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个纯角”⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点A．1 B．2 C．3D．410．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC与圆O相切于点D，AB经过圆心O，且与圆交于点E，连接BD，若AC＝3CD＝3，则BD的长为（）A．3 B．2C．D．2二．填空题11．如图，⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，CD＝8，则弦AC的长为．12．如图，直尺三角尺都和⊙O相切，∠A＝60°，点B是切点，且AB＝8c m，则⊙O的半径为cm．13．如图，正五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，则的长为．14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是．15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．16．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC 于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为BM的中点时，BC的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为．三．解答题18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）证明：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．19．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点．PA切⊙O于点A．连接OP交⊙O于点D，作AB上OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC＝9，AB＝6，求图中阴影部分的面积．20．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．（1）求证：点D为的中点；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．23．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．24．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．（1）求证：CE＝AE；（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝，则DE的长为．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，＝60°，∴∠B＝∠C，∠A＝30°，∴∠B＝（180°﹣30°）＝75°；故选：D．2．解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，圆锥的底面圆的半径＝＝3，根据题意得2π×3＝，解得n＝216．即该圆锥侧面展开图的圆心角为216°．故选：A．3．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠C＝∠BAC＝30°，∴∠ADB＝∠C＝30°，故选：B．4．解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，∴OC2＝PC2+OP2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．5．解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，∵∠B ＝60°，E 为BC 的中点，∴CE ＝BE ＝3＝CF ，△ABC 是等边三角形，AB ∥CD ，∵∠B ＝60°，∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，由勾股定理得：AE ＝＝3，∴S △AEB ＝S △AEC ＝×6×3×＝4.5＝S △AFC ，∴阴影部分的面积S ＝S △AEC +S △AFC ﹣S 扇形CEF ＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π， 故选：A ．6．解：∵∠BOD ＝130°，∴∠AOD ＝50°，又∵AC ∥OD ，∴∠A ＝∠AOD ＝50°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°，∴∠B ＝90°﹣50°＝40°．故选：B ．7．解：∵在▱ABCD 中，∠A ＝2∠B ，∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵∠C ＝∠A ＝120°，⊙C 的半径为3，∴图中阴影部分的面积是：＝3π，故选：C．8．解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠PAO＝90°，在直角△APO中，OA＝＝2，∵AB⊥OP，∴AD＝BD，∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠PAO＝90°，∵∠AOP＝∠DOA，∴△APO∽△DAO，∴＝，即＝，解得：AD＝3（cm），∴BD＝3cm．故选：B．9．解：①近似数32.6×102精确到十位，故本说法错误；②在，，﹣||中，最小的数是﹣（﹣2）2，故本说法错误；③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+，故本说法错误；④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至少有两个纯角”，故本说法错误；⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故本说法正确；故选：A．10．解：连接OD，如图，∵AC与圆O相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ODA＝90°，∵∠C＝90°，∴OD∥BC，∵＝＝3，∴AO＝2OB，∴AO＝2OD，∴sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC＝×3＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝＝2．故选：B．二．填空题11．解：如图，连接OA，并反向延长OA交CD于点E，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，即∠CEO＝90°，∵CD＝8，∴CE＝DE＝CD＝4，连接OC，则OC＝OA＝5，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，∴AE＝AO+OE＝8，则AC＝．故答案为：4．12．解：设圆O与直尺相切于B点，连接OE、OA、OB，设三角尺与⊙O的切点为E，∵AC、AB都是⊙O的切线，切点分别是E、B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC，∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm，由勾股定理得：OB＝＝＝8（cm），即⊙O的半径是8cm．故答案是：8．13．解：如图，连接OA，OE．∵ABCDE是正五边形，∴∠AOE＝＝72°，∴的长＝＝，故答案为．14．解：作OD⊥AB于D，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，BD＝AD，则OD＝OA×cos∠AOD＝3×＝，AD＝OA×sin∠AOD，∴AB＝2AD＝3，∴图中阴影部面积＝﹣×3×＝3π﹣，故答案为：3π﹣．15．解：∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵BO＝CO，∴AB＝2OD＝2×2＝4，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝90°，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，∵EA⊥BD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝4，∴DC＝AD＝4，∴BC＝＝＝4．故答案为：4．16．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵＝，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，故答为135．（2）如图作MH⊥AB于M，连接AM，OM，OM交AC于F．∵AB是直径，∴∠AMB＝90°∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝40，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AM＝2，BM＝4，∵•AM•BM＝•AB•MH，∴MH＝＝，∴OH＝＝＝，∴OM ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴BC ＝2OF ，∵∠OHM ＝∠OFA ＝90°，∠AOF ＝∠MOH ，OA ＝OM ，∴△OAF ≌△OMH （AAS ），∴OF ＝OH ＝，∴BC ＝2OF ＝故答案为．17．解：过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA 1B 是菱形，∴OA ＝AA 1＝1，∠A 1AC ＝∠AOB ＝60°，∴A 1C ＝，AC ＝，∴OC ＝OA +AC ＝，在Rt △OA 1C 中，OA 1＝＝，∵∠OA 2C ＝∠B 1A 2O ＝30°，∠A 3A 2O ＝120°，∴∠A 3A 2B 1＝90°，∴∠A 2B 1A 3＝60°，∴B 1A 3＝2，A 2A 3＝3，∴OA 3＝OB 1+B 1A 3＝3＝（）3∴菱形OA 2A 3B 2的边长＝3＝（）2， 设B 1A 3的中点为O 1，连接O 1A 2，O 1B 2，于是求得，O 1A 2＝O 1B 2＝O 1B 1＝＝（）1，∴过点B 1，B 2，A 2的圆的圆心坐标为O 1（0，2），∵菱形OA 3A 4B 3的边长为3＝（）3，∴OA 4＝9＝（）4， 设B 2A 4的中点为O 2，连接O 2A 3，O 2B 3，同理可得，O 2A 3＝O 2B 3＝O 2B 2＝3＝（）2，∴过点B 2，B 3，A 3的圆的圆心坐标为O 2（﹣3，3），…以此类推，菱形菱形OA 2019A 2020B 2019的边长为（）2019，OA 2020＝（）2020， 设B 2018A 2020的中点为O 2018，连接O 2018A 2019，O 2018B 2019，求得，O 2018A 2019＝O 2018B 2019＝O 2018B 2018＝（）2018， ∴点O 2018是过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心， ∵2018÷12＝168…2，∴点O 2018在射线OB 2上，则点O 2018的坐标为（﹣（）2018，（）2019），即过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为（﹣（）2018，（）2019），故答案为：（﹣（）2018，（）2019）．三．解答题18．（1）证明：如图1，连接OD ，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BE，AD，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴A B＝3AE，CE＝4AE，∴＝2，∴，∵∠DFC＝∠AEB＝90°，∴DF∥BE，∴△DFC∽△BEC，∵CF＝6，∴DF＝3，∵AB是直径，∴AD⊥BC，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝∠ADC＝90°，∠DAF＝∠FDC，∴△ADF∽△DCF，∴，∴DF2＝AF•FC，∴，∴AF＝3．19．（1）证明：连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC＝BC，∴OP垂直平分AB，∴AP＝BP，∵OA＝OB，OP＝OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO＝∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC +∠OBC ＝∠OBC +∠BOC ＝90°，∴∠PBC ＝∠BOC ，∴△PBC ∽△BOC ，∴＝∴OC ＝＝＝3，∴在Rt △OCB 中，OB ＝＝＝6，tan ∠COB ＝＝＝，∴∠COB ＝60°，∴S △OPB ＝×OP ×BC ＝×（9+3）×3＝18，S 扇DOB ＝＝6π，∴S 阴影＝S △OPB ﹣S 扇DOB ＝18﹣6π．20．解：（1）证明：∵AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠ODB ＝∠OBD ，∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠ODB ＝∠OBD ，即∠ABD ＝∠CAB ；（2）连接BC ．∵AB 是⊙O 的两条直径，∴∠ACB ＝90°，∵CE 为⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°，∵B 是OE 的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝4，∴OB＝4，即⊙O的半径为4．21．（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠BOD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值为5．22．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．23．（1）证明：连接FO，∵CN＝AC，∴∠CAN＝∠CNA，∵AC∥ME，∴∠CAN＝∠MFN，∵∠CAN＝∠FNM，∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，∵CD⊥AB，∴∠HAN+∠HNA＝90°，∵AO＝FO，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，∴EM是圆O的切线；（2）解：连接OC，∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，解得：r＝，∴圆O的直径为25；（3）∵CH＝DH＝12，∴CD＝24，∵AC：CD＝5：8，∴CN＝AC＝15，∴DN＝24﹣15＝9，∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，∴△FND∽△CNA，∴，∵AN＝3，∴，∴FN＝．24．证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，∵∠ABE＝∠ACE∴∠CAD＝∠ACE∴CE＝AE（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；理由如下：如图，连接OE∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE∴△AOE≌△EOC（SSS）∴∠AOE＝∠COE，∵∠ABC＝60°∴∠AOC＝120°∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC∴△AOE，△COE都是等边三角形∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，∴四边形AOCE是菱形故答案为：60°②如图，过点C作CN⊥AD于N，∵AE＝，AB＝，∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD ∴AN＝DN在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，∴EN＝∴AN＝AE+EN＝＝DN∴DE＝DN+EN＝故答案为：人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)一、选择题1.下列语句中,正确的是( )A.长度相等的弧是等弧;等弧对等弦B.在同一平面上的三点确定一个圆C.直径是弦;半圆是劣弧D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等答案 D 选项A中,长度相等的弧不一定是等弧,故A错误;选项B中,不在同一直线上的三点确定一个圆,故B错误;选项C中,直径是圆中最长的弦,半圆既不是优弧也不是劣弧,故C 错误;选项D中,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,故D正确.故选D.2.如图,已知☉O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是( )A.6B.5C.4D.3答案 B 过O作OC⊥AB于C,由垂径定理得AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理得OC==5.故选B.3.如图,△ABC内接于☉O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )A.80°B.100°C.110°D.130°答案 D 连接OC,如图所示,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=100°.∵∠1+∠BOC=360°,∴∠1=260°,∵∠A=∠1,∴∠A=130°.故选D.4.如图,四边形ABCD内接于☉O,已知∠ADC=140°,则∠AOC的大小是( )A.80°B.100°C.60°D.40°答案 A 因为∠ADC=140°,所以∠ABC=180°-∠ADC=40°,所以∠AOC=2∠ABC=80°.5.如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,☉O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6,若☉O2绕点P按顺时针方向旋转360°,则在旋转过程中,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( )A.3次B.4次C.5次D.6次答案 B 当☉O2与AD相切且位于AD上方时,有一个交点;当☉O2与AD相切且位于AD下方时,有一个交点;与BC相切时与AD情况相同,所以共出现4次,故选B.6.如图,直径AB为12的半圆绕点A逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B',则图中阴影部分的面积是( )A.12πB.24πC.6πD.36π答案 B 因为以AB为直径的半圆绕点A逆时针旋转60°得到以AB'为直径的半圆,故S半圆AB'=S半圆AB,则S阴影=S扇形BAB'+S半圆AB'-S半圆AB=S扇形BAB'===24π,故选B.7.如图,已知线段OA交☉O于点B,且OB=AB,点P是☉O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案A连接OP,根据题意知,当OP⊥AP时,∠OAP的取值最大.在Rt△AOP 中,∵OP=OB,OB=AB,∴AO=2OP,∴∠OAP=30°.故选A.8.如图,直线AB与☉O相切于点A,弦CD∥AB,E,F为圆上的两点,且∠CDE=∠ADF.若☉O的半径为,CD=4,则弦EF的长为( )A.4B.2C.5D.6答案 B 连接OA,并反向延长交CD于点H,连接OC,∵直线AB与☉O相切于点A,∴OA⊥AB,∵弦CD∥AB,∴OH⊥CD,∴CH=CD=×4=2,∵☉O的半径为,∴OA=OC=,∴OH==,∴AH=OA+OH=+=4,∴AC==2.∵∠CDE=∠ADF,∴=,∴=,∴EF=AC=2.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,☉P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被☉P截得的弦AB的长为4,则a的值是( )A.4B.3+C.3D.3+答案B作如图所示的辅助线,易得OC=CD=3,AP=3,AE=2,故PE=DE==1,PD=,故a=PC=DC+PD=3+.10.如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连接PA、PB,则△PAB面积的最大值是( )A.8B.12C.D.答案 C 如图,平移AB使其与☉C相切于P,此时P点距离AB最远,即△PAB的面积最大,连接AC,连接PC并延长交AB于H.因为PC是☉C的半径,MN∥AB,所以PH⊥AB.∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,-3),则AB=5.∵S△ABC=·BC·AO=·AB·CH,∴CH=,∴PH=1+=,∴△PAB面积的最大值是×5×=,故选C.二、填空题11.“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”,这个命题用反证法证明应假设.答案三角形中三个内角都小于60°解析第一步应假设结论不成立,即三角形中三个内角都小于60°.12.如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图,若∠AOB=120°,弧AB的长为12πcm,则该圆锥的侧面积为cm2.答案108π解析圆锥的侧面积就是所给扇形的面积,设扇形的半径为r cm,∵弧AB的长为12πcm,∴πr=12π,解得r=18,∴S=πr2=π×182=108π(cm2).另解:S=rl=×18×12π=108π(cm2).13.如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形= cm2.答案4解析由题意可知扇形的周长为8cm.因为半径r=2cm,所以弧长l=8-2×2=4(cm),所以S扇形=l·r=×4×2=4(cm2).14.如图,点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则☉O的直径的长是.答案解析连接AC,∵点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=90°,AC是直径,∵AD=3,CD=2,∴AC==,即☉O直径的长是.15.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,外圆的半径OC⊥AB于D,测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为cm.答案50cm解析如图,连接OA,设半径为r cm,∵CD=10cm,AB=60cm,∴AD=AB=30cm,OD=(r-10)cm,∴r2=(r-10)2+302,解得r=50.∴这个车轮的外圆半径是50cm.16.如图,两个同心圆,大圆的半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是.答案8<AB≤10解析如图,当AB经过圆心时最长,此时AB=2×5=10.当AB与小圆相切于D时,利用勾股定理可得AD=4.利用垂径定理可得AB=8.根据直线与圆的位置关系可得,若大圆的弦AB与小圆相交,则8<AB≤10.17.如图,在平面直角坐标系中,直线l经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点M在x 轴上,☉M半径为2,☉M与直线l相交于A、B两点,若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为.答案(2,0)或(-2,0)解析过点M作MC⊥l,垂足为C,∵△MAB是等腰直角三角形,∴MA=MB,且∠BAM=∠ABM=45°.∵MC⊥l,∴∠BAM=∠CMA=45°,∴AC=CM.在Rt△ACM中,∵AC2+CM2=AM2,即2CM2=4,∴CM=.在Rt△OCM中,∠COM=30°,∴CM=OM,∴OM=2CM=2,∴M(2,0).根据对称性知,若点M在x轴负半轴上,则点M(-2,0)也满足条件.18.如图24-5-16,在☉O中,AB是直径,点D是☉O上一点,点C是的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q.连接AC.关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心,其中正确结论是(只需填写序号).答案②③解析如图,连接OD,∵DG是☉O的切线,∴∠GDO=90°.∴∠GDP+∠ADO=90°.在Rt△APE中,∠OAD+∠APE=90°,∵AO=DO,∴∠OAD=∠ADO.∴∠APE=∠GPD=∠GDP,∴GP=GD.结论②正确.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAQ+∠AQC=90°.∵点C是的中点,∴∠CAQ=∠ABC.又∵∠ABC+∠BCE=90°.∴∠AQC=∠BCE,∴PC=PQ.∵∠ACP+∠BCE=90°,∠AQC+∠CAP=90°,∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP,∴AP=CP=PQ,∴点P是△ACQ的外心.所以结论③正确.由于不能确定∠BAD与∠ABC的关系,所以结论①不一定正确.故答案是②③.三、解答题19.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上,MD恰好经过圆心O,连接MB. (1)若CD=16,BE=4,求☉O的直径;(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.答案(1)∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=16,∴DE=CD=8.∵BE=4,∴OE=OB-BE=OD-4.在Rt△OED中,OE2+ED2=OD2,∴(OD-4)2+82=OD2,解得OD=10.∴☉O的直径是20.(2)∵弦CD⊥AB,∴∠OED=90°.∴∠EOD+∠D=90°.∵∠M=∠D,∠EOD=2∠M,∴∠BOD+∠D=2∠M+∠D=90°.∴∠D=30°.20.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的☉O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).答案(1)证明:连接OD.∵BC是☉O的切线,D为切点,∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC,∴OD∥AC,∴∠ADO=∠CAD.又∵OD=OA,∴∠ADO=∠OAD,∴∠CAD=∠OAD,即AD平分∠BAC.(2)连接OE,ED.∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE为等边三角形,∴∠AOE=60°,∴∠ADE=30°.又∵∠OAD=∠BAC=30°,∴∠ADE=∠OAD,∴ED∥AO,∴S△AED=S△OED,∠OED=∠AOE=60°,∵OE=OD,∴△ODE为等边三角形,∴∠DOE=60°,∴阴影部分的面积=S扇形ODE==π.21.如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE为☉O的切线;(3)若☉O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.答案(1)证明:连接AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,又BD=CD,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC.(2)证明:连接OD,∵点O、D分别是AB、BC的中点,∴OD∥AC,又DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE为☉O的切线.(3)由AB=AC,∠BAC=60°知,△ABC是等边三角形.∵☉O的半径为5,∴AB=BC=10,CD=BC=5.又∵∠C=60°,∴∠CDE=30°,∴CE=CD=.∴DE===.22.如图①,AB为☉O的直径,点P是直径AB上任意一点,过点P作弦CD⊥AB,过点B的直线与线段AD的延长线交于点F,且∠F=∠ABC.(1)若CD=2,BP=4,求☉O的半径;(2)求证:直线BF是☉O的切线;(3)当点P与点O重合时,过点A作☉O的切线交线段BC的延长线于点E,在其他条件不变的情况下,判断四边形AEBF是什么特殊的四边形,请在图②中补全图形并证明你的结论.答案(1)∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,CD=2,∴CP=PD=CD=.又∵BP=4,CD⊥AB,∴BC===.设☉O的半径为x,则OP=4-x,连接OC,∵CD⊥AB,∴OC2=OP2+CP2,∴x2=(4-x)2+()2,解得x=.即☉O的半径为.(2)证明:∵CD⊥AB,∴∠C+∠ABC=90°,∵∠F=∠ABC,∠C=∠A,∴∠A+∠F=90°,即∠ABF=90°,又AB为直径,∴直线BF是☉O的切线.(3)四边形AEBF为平行四边形,证明如下:∵AE为切线,BF为切线,AB为直径,∴∠EAB=∠ABF=90°,∴AE∥BF.∵CD⊥AB,OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=45°.∵∠F=∠ABC,∴∠F=45°.∵∠ABF=90°,∴∠BAF=45°,∴∠BAF=∠ABC=45°,∴AF∥BE.又∵AE∥BF,∴四边形AEBF为平行四边形.人教版九年级数学上册第23章旋转单元练习卷含答案一、单选题1.已知点与点关于坐标原点对称，则实数a、b的值是A. ，B. ，C. ，D. ，2.观察下图，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（）A. B. C. D.3.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A. B. C. D.4.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A. 106°B. 146°C. 148°D. 156°6.如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是( )A. B. C. D.7.如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 48.已知点P1（a，3）与P2（﹣5，﹣3）关于原点对称，则a的值为（）A. 5B. 3C. 4D. -5二、填空题9.在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是________．10.我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．________②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．________（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是________ ．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形11.在下列图案中可以用平移得到的是________（填代号）．12.如图是奥迪汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看作是左边的圆环经过________得到的．13.将一个自然数旋转180°后，可以发现一个有趣的现象，有的自然数旋转后还是自然数．例如，808，旋转180°后仍是808．又如169旋转180°后是691．而有的旋转180°后就不是自然数了，如37．试写一个五位数，使旋转180°后仍等于本身的五位数________．（数字不得完全相同）14.如图，在平面直角坐标系中，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________.15.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为________ ．三、解答题16.如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标．17.找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．18.如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）四、作图题19.如图，阴影部分是由4个小正方形组成的一个直角图形，请用三种方法分别在下图方格内添涂黑一个小正方形，使涂黑后整个图形的阴影部分成为轴对称图，并画出其对称轴．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】点与点关于坐标原点对称，实数a、b的值是：，．故答案为：D【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可求出a、b的值。

第4题 第5题 第6题第1题 第2题 第3题圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20︒，∠DAC ＝30︒， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 12∠BAC ＝100︒）2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100︒，则∠BAD ＝ . （50︒）3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20︒，∠BDC ＝30︒，则 ∠BAD ＝ . （∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40︒＋60︒＝100︒）解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60︒， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120︒）5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70︒， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360︒－∠ADC －∠AOC ＝150︒）6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90︒，∠ADC ＝25︒，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25︒）解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆.第10题 第11题 第12题第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ .答案：7、45︒； 8、30︒； 9、22.5︒； 10、40︒； 11、150︒； 12、110︒ 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30︒， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题）解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！第1题 第2题 第3题圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30︒，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90︒， ∵∠BED ＝30︒，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60︒∴∠OAC ＝30︒，OC ＝ 12 OA ＝2，则AC ＝23，因此AB ＝43.2、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝12 AB=3∴OE ＝22534-=，则CE ＝5＋4＝9 ∴BC ＝2293310+=3、如图，⊙O 的半径为25，弦AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8，CD ＝6，则OP ＝ . 略解：如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，连接OB ，OD. 则BE ＝12 AB ＝4，DF ＝12 CD ＝3，且OB ＝OD ＝25OE ＝22(25)42-=，OF ＝22(25)311-=又AB ⊥CD ，则四边形OEPF 是矩形，则OP ＝222(11)15+=4、如图，在⊙O 内，如果OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60︒，则⊙O 的半径为 . 略解：如图，过点O 作OD ⊥AB ，连接OB ，则AD ＝12 AB ＝4，因此，BD ＝8，OD ＝43∴OB ＝22(43)847+=.第4题 第5题 第6题5、如图，正△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，∠DCA ＝15︒，CD ＝10，则BC ＝ 略解：如图，连接OC ，OD ，则∠ODC ＝∠OCD∵△ABC 为等边三角形，则∠OCA ＝∠OCE ＝30︒，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45︒ ∴△OCD 是等腰三角形，则OC ＝52 过点O 作OE ⊥BC ，则BC ＝2CE ＝566、如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为AB 的中点，E 为OB 上一点，∠AEC ＝60︒，CE 的延 长线交⊙O 于点D ，则CD ＝ 略解：如图，连接OC ，则OC ＝2∵C 为AB 的中点，则OC ⊥AB ，又∠AEC ＝60︒，∴∠OCE ＝30︒ 如图，过点O 作OF ⊥CD ，则OF ＝12 OC ＝1，CF ＝3，∴CD ＝2CF ＝237、如图，A 地测得台风中心在城正西方向300千米的B 处， 并以每小时107千米的速度沿北偏东60︒的BF 方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？解：如图，过点A 作AC ⊥BF 交于点C ，∵∠ABF ＝30︒，则AC ＝12 AB ＝150<200，因此A 地会受到这次台风影响；如图，以A 为圆心200千米为半径作⊙A 交BF 于D 、E 两点，连接AD ， 则DE ＝2CD ＝2222001501007-=， 所以受影响的时间为100710710÷=（时）圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求CD 的长. 解：如图，连接AB ，BD ，在CB 的延长线上截取BE ＝AC ，连接DE ∵∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD 又∠CAD ＝∠EBD ，AC ＝BE ∴△CAD ≌△EBD （SAS ） ∴CD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE∵AB 为⊙O 的直径，则∠ACB ＝∠ADB ＝90︒∴BC ＝221068-=；∠ADC ＋∠CDB ＝∠CDB ＋∠BDE ＝90︒，即∠CDE ＝90︒ ∴△CDE 是等腰直角三角形且CE ＝14，∴CD ＝722、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的中点，M 、D 分别是CB 及AB 延长线上一点，且 MA ＝MD ，若CM ＝2，求BD 的长.解：如图，连接AC ，则AC ＝BC ，∠C ＝90︒，即△ABC 是等腰直角三角形 过点M 作MN ∥AD ，则∠NMA ＝∠MAD则△CMN 也是等腰直角三角形，则MN ＝2CM ＝2 ∴∠ANC ＝∠MBD ＝135︒，又MA ＝MD ，∴∠D ＝∠NMA ＝∠MAD ∴△AMN ≌△BMD （AAS ） ∴BD ＝MN ＝23、如图，AB 为⊙O 的直径，点N 是半圆的中点，点C 为AN 上一点，NC ＝3. 求BC －AC 的值.解：如图，连接AN ，BN ，则△ABN 是等腰直角三角形 在BC 上截取BD ＝AC ，连接DN ∵AN ＝BN ，∠CAN ＝∠DBN ，AC ＝BD ∴△ACN ≌△BDN （SAS ）∴CN ＝DN ，∠CNA ＝∠DNB ，∴∠CND ＝∠CNA ＋∠AND ＝∠ADN ＋∠DNB ＝90︒，即△CND 是等腰直角三角形 ∴CD ＝2NC ＝6，∴BC －AC ＝BC －BD ＝CD ＝64、如图，点A 、B 、C 为⊙O 上三点，AC BC =，点M 为BC 上一点，CE ⊥AM 于E ， AE ＝5，ME ＝3，求BM 的长.解：如图，在AM 上截取AN ＝BM ，连接CN ，CM. ∵AC BC =，∴AC ＝BC ，又∠A ＝∠B ∴△ACN ≌△BCM （SAS ） ∴CN ＝CM ，又CE ⊥AM ∴NE ＝ME ＝3， ∴BM ＝AN ＝AE －NE ＝25、如图，在⊙O 中，P 为BAC 的中点，PD ⊥CD ，CD 交⊙O 于A ，若AC ＝3，AD ＝1， 求AB 的长.解：如图，连接BP 、CP ，则BP ＝CP ，∠B ＝∠C 过点P 作PE ⊥AB 于点E ，又PD ⊥CD ∴∠BEP ＝∠CDP ∴△BEP ≌△CDP （AAS ） ∴BE ＝CD ＝3+1＝4，PE ＝PD连接AP ，则Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），则AE ＝AD ＝1 ∴AB ＝AE+BE ＝56、如图，AB 是O 的直径，MN 是弦，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F ，AB ＝10，MN ＝8. 求BF －AE 的值.解：∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，则AE ∥BF ，∴∠A ＝∠B如图，延长EO 交BF 于点G ， 则∠AOE ＝∠BOG ，AO ＝BO∴△AOE ≌△BOG （AAS ），则OE ＝OG 过点O 作OH ⊥MN ，FG ＝2OH ，HN ＝4连接ON ，则ON ＝5，OH ＝22543-=，则BG －AE ＝FG ＝6.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60︒， 求BNBC的值. 解：如图，连接AB ，则AB 为直径，∴∠BNA ＝90︒ 连接AN ，则BN ＝AN ，则△ABN 是等腰直角三角形∴BN ＝22AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60︒， ∴BC ＝32AB ， ∴BN BC ＝63（方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解）2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，若AD ＝22，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，则∠ADE ＝90︒ 又AC ⊥BD ，则∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90︒ ∴∠DAC ＝∠EDB ，则CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，则AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE ＝2AD ＝4，即⊙O 的半径为23、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45︒， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F.（1）求证：CE ＝EF ；（2）若DF ＝2，EF ＝4，求AC. （1）证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45︒，则△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，则∠CAE ＝∠ECB如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，则四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90︒ ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，则∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG （AAS ），则CE ＝CG ＝EF （2）略解：AC ＝CD ＝2246213+=.4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. （1）求证：AF ＝CF ；（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长 （1）证：如图，延长CD 交⊙O 于点G ，连接AC ∵直径AB ⊥CG ，则AG AC CE == ∴∠CAE ＝∠ACG ，则AF ＝CF（2）解：如图，连接OC 交AE 于点H ，则OC ⊥AE ，EH ＝AH ＝12 AE=4∴ OH ＝22543-=，则CH ＝5－3＝2 设HF ＝x ，则CF ＝AF ＝4－x 则2222(4)x x +=-，∴32x =，即HF ＝32∴EF ＝1125、如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD. （1）求证：AD ＝AN ；（2）若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径. （1）证：∵CD ⊥AB ，AM ⊥BC∴∠C ＋∠CNM ＝∠C ＋∠B ＝90︒ ∴∠B ＝∠CNM ，又∠B ＝∠D ，∠AND ＝∠CNM ∴∠D ＝∠AND ，即AD ＝AN （2）解：∵直径CD ⊥弦AB ，则AE ＝22 又AN ＝AD ，则NE ＝ED如图，连接OA ，设OE ＝x ，则NE ＝ED ＝1x + ∴OA ＝OD ＝21x +∴222(22)(21)x x +=+，则1x = ∴⊙O 的半径OA ＝3圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，求证：∠AOD ＋∠BOC ＝180︒. 证：如图，连接AC ，∵AB ⊥CD ，则∠CAB ＋∠ACD ＝90︒ 又∠AOD ＝2∠ACD ，∠BOC ＝2∠BAC ∴∠AOD ＋∠BOC ＝180︒.2、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若⊙O 的半径为R ，求证：AC 2＋BD 2＝4R 2. 证：∵AB ⊥CD ，则∠CAB ＋∠ACD ＝90︒ 如图，作直径AM ，连接CM 则∠ACM ＝∠ACD ＋∠DCM ＝90︒∴∠CAB ＝∠DCM ， ∴BC DM = ∴CM BD =， ∴CM ＝BD ∵AC 2＋CM 2＝AM 2 ∴AC 2＋BD 2＝4R 2.3、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若点M 为AC 的中点，求证ME ⊥BD. 证：如图，连接ME ，并延长交BD 于点F ∵AB ⊥CD ，且点M 为AC 的中点 ∴ME 为Rt △AEC 斜边上的中线 ∴AM ＝ME∴∠A ＝∠AEM ＝∠BEF 又∠B ＝∠C ，∠A ＋∠C ＝90︒ ∴∠BEF ＋∠B ＝90︒，即∠BFE ＝90︒ ∴ME ⊥BD.4、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若ON ⊥BD 于N ，求证：ON ＝12AC. 证：如图，作直径BF ，连接DF ， 则DF ⊥BD ，又ON ⊥BD ， ∴ON ∥FD ，又OB ＝OF ∴ON ＝12DF 连接AF ，则AF ⊥AB ，又CD ⊥AB ∴AF ∥CD∴AC FD =，则AC ＝FD ∴ON ＝12AC 5、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若AC ＝BD ，ON ⊥BD 于N ，OM ⊥AC 于M. （1）求证：ME //ON ；（2）求证：四边形OMEN 为菱形. 证：（1）如图，延长ME 交OD 于点F ∵OM ⊥AC ，则点M 为AC 的中点∵ AB ⊥CD ，则ME 为Rt △ACE的斜边上中线 ∴AM ＝EM ，∴∠A ＝∠AEM ＝∠BEF 又∠B ＝∠C ，∠A ＋∠C ＝90︒ ∴∠B ＋∠BEF ＝90︒，则∠BFE ＝90︒ ∴MF ⊥BD ，又ON ⊥BD ∴MF ∥ON（2）由（1）知MF ∥ON ，同理可证OM ∥NE ， ∴四边形OMEN 是平行四边形 ∵AC ＝BD ，∴OM ＝ON ∴四边形OMEN 为菱形.圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝90︒. 求证：CA ＋CB ＝2CD.证：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC （SAS ） ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝45︒∴△CDE 是等腰直角三角形，则CA ＋CB ＝CE ＝2CD.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120︒，求CA+CBCD 的值.解：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC （SAS ） ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝60︒ ∴△CDE 是等边三角形∴CD ＝CE ＝CA ＋BC ，即CA+CBCD＝13、如图，过O 、M (1,1)的动圆⊙1O 交y 轴、x 轴于点A 、B ，求OA ＋OB 的值. 解：如图，过点M 作ME y ⊥轴，MF ⊥x 轴，连AM 、BM 由M （1，1）知：四边形OFME 是正方形 ∴OE ＝OF ＝4，EM ＝FM ，又∠MBF ＝∠MAE ， ∴△AEM ≌△BFM （AAS ），则AE ＝BF ∴OA ＋OB ＝AE ＋OE ＋OF －BF ＝8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝90︒. 求证：（1）PA PB =；（2）AC －BC ＝2PC. 证：（1）如图，连接AP ，则∠PCQ ＝∠PAB 又∠PCQ ＝∠PCA ，则∠PAB ＝∠PCA ∴PA PB =（2）连接BP ，由（1）得，PA ＝PB在AC 上截取AD ＝BC ，连PD ，又∠PAD ＝∠PBC ∴△PAD ≌△PBC （SAS ），则PD ＝PC又∠PCD ＝45︒，则∴PCD 是等腰直角三角形，∴AC －BC ＝CD ＝2PC. 5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝120︒. 求BC －AC PC的值.解：如图，在BC 上截取BD ＝AC ，连AP 、BP 、DP ∵∠PCB ＝∠PCQ ＝∠PBA ∴AP ＝BP ，又∠CAP ＝∠DBP ∴△CAP ≌△DBP （SAS ），则CP＝DP 又∠ACB ＝120︒，∴∠PCD ＝30︒， ∴BC －AC PC ＝ CD PC＝36、如图，A (4,0)，B (0,4)，⊙1O 经过A 、B 、O 三点，点 这P 为OA 上动点（异于O 、A ）. 求PB －PAPO的值.解：如图，在BP 上截取BC ＝AP ∵A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4 又∠OAP ＝∠OBC ∴△OAP ≌△OBC （SAS ）∴OC ＝OP ，且∠COP ＝∠AOB ＝90︒，则PB －PA PO ＝ PCPO＝2.第6题一 切线与一个圆 答案：1、70︒；2、20︒；3、80︒；4、120︒；5、130︒；6、45︒1、如图，AD 切⊙O 于A ，BC 为直径，若∠ACB ＝20︒，则∠CAD ＝ .2、如图，AP 切⊙O 于P ，PB 过圆心，B 在⊙O 上，若∠ABP ＝35︒，则∠APB ＝ .3、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为ACB 上一点，若∠BCA ＝50︒，则∠APB ＝ .4、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为AB 上一点， 若∠BCA ＝150︒，则∠APB ＝ .5、如图，点O 是△ABC 的内切圆的的圆心，若 ∠BAC ＝80︒，则∠BOC ＝ .6、如图，PA 切⊙O 于A ，若PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于D ，则∠ADP ＝ . （设元，列方程）二 切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于D 、E ，小圆的DE 的度数为110︒， 则大圆的BC 的度数为 .8、如图，⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且点O 1在⊙O 2上，若∠D ＝110︒，则∠C ＝ 9、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于D ，AB 过点D ，若∠AO 2D ＝100︒，C 为优弧BD 上任一点， 则∠DCB ＝ . 答案：7、140︒；8、40︒；9、50︒（过点D 作两圆的切线）第1题 第2题 第3题 第4题第5题第7题 第8题 第9题1、如图，在⊙O 的内接△ACB 中，∠ABC ＝30︒，AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于 点D ，若⊙O 的半径为1，BD //OC ，则CD ＝ . （CD ＝33）2、如图△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，过点A 的切线与OC 的延长线交于D ，∠BAC ＝75︒， CD ＝3，则AD ＝ . （AD ＝3）3、如图，⊙O 为△BCD 的外接圆，过点C 的切线交BD 的延长线于A ，∠ACB ＝75︒，∠ABC ＝45︒，则 CD DB的值为 . （CDDB ＝2）4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DC 交AB 于E ，过C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于M ， 若AB ＝4，∠ADC ＝45︒，∠M ＝75︒，则CD ＝ . （CD ＝23）5、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于B ，AD ⊥BD 于D ，AD 交⊙O 于E ，⊙O 的半径为1，则AE ＝ . （AE ＝1）6、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，BC ＝5，⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ，若⊙O 的 半径为2，则△ABC 的周长为 . （C ＝30）7、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝12，BC ＝16，点O 在AB 上，⊙O 与BC 相切于D ， 连接AD ，则BD ＝ . （示：过D 作DE ⊥AB ，设CD ＝DE ＝x ，BD ＝10）解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题第7题圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥BE 于D. （1）判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长. 解：（1）DC 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接OC ，BC ，则∠ABC ＝∠CBD ＝∠OCB ∴OC ∥BD ，又CD ⊥BE ∴OC ⊥CD ，又OC 为⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线（2）如图，过O 作OF ⊥BD ，则四边形OFDC 是矩形，且BE ＝EF ∴OF ＝CD ＝3，DF ＝OC ＝5，∴EF ＝BF ＝22534-=，∴DE ＝DF －EF ＝12、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线 BF 交AD 的延长线于点F. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求DF 的长. （1）证：显然，∠CAD ＝∠OAD ＝∠ODA ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 半径 ∴DE 为⊙O 的切线（2）解：如图，过点O 作OG ⊥AC ，则OGDE 是矩形，即OG ＝DE ＝3，DE ＝OD ＝5 ∴AG ＝22534-=，则AE ＝5＋4＝9，∴2293310+= 连接BD ，则BD ⊥AD ，∴BD ＝2210(310)10-=设DF ＝x ，则22(10)x +＝BF ＝22(310)10x +-，∴DF ＝103x =.3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于E ，DA 平分∠BDE. （1）求证：AE 是⊙O 的切线； （2）若AE ＝2，DE ＝1，求CD 的长.（1）证：如图，连接OA ，则∠ADE ＝∠ADO ＝∠OAD ∴OA ∥CD ，又AE ⊥CD ∴OA ⊥AE ，又OA 为⊙O 的半径 ∴AE 是⊙O 的切线（2）解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，则CD ＝2DF ，且四边形OFEA 是矩形 ∴EF ＝OA ＝OD ，OF ＝AE ＝2 设DF ＝x ，则OD ＝EF ＝1x + ∴2222(1)x x +=+，∴ 1.5x = ∴CD ＝2CF ＝23x =4、如图，AE 是⊙O 的直径，DF 切⊙O 于B ，AD ⊥DF 于D ，EF ⊥DF 于F. （1）求证：EF ＋AD ＝AE ；（2）若EF ＝1，DF ＝4，求四边形ADFE 的周长. （1）证：如图，连接CE ，则四边形CDFE 是矩形 连接OB 交CE 于点G ， ∵DF 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥DF ，OB ⊥CE∴BG ＝CD ＝EF ，OG ∥AC ，又AO ＝OE ∴AC ＝2OG∴EF ＋AD ＝AC ＋CD ＋EF ＝2OG ＋2BG ＝2OB ＝AE. （2）解：显然CE ＝DF ＝4，CD ＝EF ＝1设AC ＝x ，则AD ＝1x +，AE ＝2x +∴2224(2)x x +=+，则3x =，则AC ＝3，AD ＝4，AE ＝5 ∴四边形CDFE 的周长为14.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理1、如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC ＝BC，AC＝12 OB.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝45︒，OC＝2，求弦CD的长. （1）证：∵OC＝OB，∴AC为OAB的OB边上的中线，又AC＝12OB∴△OAB是直角三角形，且∠OAB＝90︒，又OA为⊙O的半径∴AB是⊙O的切线（2）解：显然，OA＝OC＝AC，即△OAC是等边三角形∴∠AOC＝60︒，∴∠D＝30︒如图，过点A作AE⊥CD于点E，∵∠ACD＝45︒，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝22AC＝22OC＝2，DE＝3AE＝6∴CD＝62+2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，点M在PB上，且OM//AP，MN⊥AP于N.（1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O的半径3r=，PA＝9，求OM的长.（1）证：如图，连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥AP，又MN⊥AP∴OA∥MN，又OM//AP，∴四边形OANM是矩形，即OM＝AN（2）解：如图，连接OB，∵PB、PA为⊙O的切线∴∠OBM＝∠MNP＝90︒，PB＝PA＝9∵OM//AP，∴∠OMB＝∠P，又OB＝OA＝MN，∴△OBM≌△MNP（AAS）∴OM＝PM，则32＋OM2＝（9－OM）2，∴OM＝53、如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线， E 为切点，连接CE 交AB 于F.（1）求证：DE ＝DF ；（2）连接AE ，若OF ＝1，BF ＝3，求DE 的长. （1）证：如图，连接OE ∵PE 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥DE ，又OC ⊥AB∴∠C ＋∠CFO ＝∠OEF ＋∠DEF ＝90︒ 又∠C ＝∠OCF ，∠CFO ＝∠DFE ∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF （2）解：显然，OE ＝OB ＝OF ＋BF ＝4设BD ＝x ，则DE ＝DF ＝3x +，OD ＝4x + ∴222(3)4(4)x x ++=+，∴x =4.5 ∴DE ＝7.54、如图，正方形ABCO 的顶点分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切于F ， 已知A (0,8)，求圆心M 的坐标. 解：如图，连接FM 交延长交AB 于点E ∵⊙M 与x 轴相切，即OC 是⊙M 的切线∴EF ⊥OC ，又四边形ABCO 是正方形 ∴EF ⊥AB ，又A （0，8）即AB ＝EM ＝OA ＝8 ∴ AE ＝4设MF ＝AM ＝x ，则EM ＝8－x∴2224(8)x x +-=，∴5x =，即MF ＝5 ∴点M 的坐标为（－4，5）圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD为⊙O的直径，A为BC的中点，AD交BC于E，过D作⊙O的切线，交BC的延长线于F. （1）求证：DF＝EF；（2）若AE＝2，DE＝4，求DB的长.（1）证：如图，连接AB∴∠BAD＝∠BDF＝90︒∴∠ABC＋∠AEB＝∠ADB＋∠FDE＝90︒又∠ABC＝∠ADB，∠AEB＝∠DEF∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝EF（2）解：如图，过点F作FG⊥ED，则EG＝GD＝2＝AE ，又∠BAE＝∠FGE＝90︒，∠AEB＝∠GEF，∴△ABE≌△GFE（ASA），∴BE＝EF，即DE为R△BDF的斜边上中线∴DF＝EF＝DE＝4，BF＝8，则BD＝432、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O的一点，OC⊥AD，CF⊥DB于F.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若BF＝1，DB＝3，求⊙O的半径.（1）证：∵AB为⊙O的直径Array∴DF⊥AD，又OC⊥AD∴OC∥DF，又CF⊥DB∴OC⊥CF，又OC为⊙O的半径∴CF为⊙O的切线（2）解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，则BE＝DE＝1.5，EF＝2.5又OC⊥CF，CF⊥EF∴四边形OCFE是矩形∴⊙O有半径OC＝EF＝2.53、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC ＝OD ； （2）过D 作DM 切⊙O 于M ，若AB ＝2，DM ＝22，求⊙O 的半径. （1）证：如图，连接OA 、OB ，则OA ＝OB ∴∠OAB ＝∠OBA ∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90︒ ∴∠OAD ＝∠OBC ∴△OAD ≌△OBC （SAS ） ∴OC ＝OD（2）解：如图，连接OM 、BD ，则OM ⊥DM ，且BD ＝2AB ＝22＝DM 又OM ＝OB ，OD ＝OD ，△ODM ≌△ODB （SSS ） ∴OB ⊥BD ，又∠ABD ＝45︒∴∠OAB ＝45︒，即△OAB 是等腰直角三角形 ∴OA ＝22AB ＝2 4、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. （1）求证：AD ＝BD ；（2）弦CE 交BD 于M ，若3ABCBCMS S=，求BD CE. （1）略证：连接CD ，则CD ⊥AB又AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，∴AD ＝BD （2）解：如图，连接BE ，过A 作AN ⊥CE 于N ， ∵3ABCBCMSS=，∴2ACMBCMSS=∴AN ＝2BE∵∠CAN ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∠ANC ＝∠CEB ∴△ANC ≌△CEB （AAS ） ∴BE ＝CN ，CE ＝AN设CN ＝BE ＝x ，则CE ＝AN ＝BE ＝2x ， ∴BC ＝5x ，∴AB ＝2BC ＝10x ，即BD ＝102x ∴BD CE ＝104.圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ，与边AC 交于E ， 过D 作DF ⊥AC 于F.（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝5，AB ＝5，求AE 的长. （1）证：如图，连接AD ，OD ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB ＝AC ，OA ＝OB ∴∠EAD ＝∠DAB ＝∠ADO ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的直径 ∴DF 为⊙O 的切线（2）解：∵∠EAD ＝∠DAB ，∴BD ＝DE ＝5，又AB ＝5，∴AD ＝225(5)25-= ∵DF ×AC ＝AD ×CD ，∴DF ＝2，CF ＝EF ＝52(5)21-=，∴AE ＝5－2＝3 2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以边AB 为直径作⊙O ，交BC 于D ，过D 作DE ⊥AE. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OC ，若∠CAB ＝120︒，求 DEOC的值. （1）证：如图，连接AD ，OD ，则AD ⊥BC 又AB ＝AC ，∴CD ＝BD ，又AO ＝OB ∴OD ∥AC ，又DE ⊥AE∴OD ⊥DF ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图，过点O 作OF ⊥BD 于F ，则BD ＝2BF ∵AB ＝AC ，∠CAB ＝120︒，∴∠B ＝30︒ 设OF ＝x ，则BF ＝3x ，OB ＝2x ，∴AC ＝AB ＝4x ，CD ＝BD ＝23x ，则CF ＝33x由勾股定理，得OC ＝27x ，由面积法，得DE ＝3x ，∴DE OC＝2114.3、如图，AB ＝AC ，点O 在AB 上，⊙O 过点B ，分别交BC 于D 、AB 于E ，DF ⊥AC. （1）证：DF 为⊙O 的切线；（2）若AC 切⊙O 于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AC. （1）证：如图，连接OD ，∵ AB ＝AC ，OB ＝OD ∴∠B ＝∠C ＝∠ODB ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DF 为⊙O 的切线（2）解：如图，连接OG ，∵AC 为⊙O 的切线∴OG ⊥AC ，又OD ⊥DF ，DF ⊥AC ，OG ＝OD ∴四边形ODFG 是正方形，即OB ＝OG ＝GF ＝3 设AG ＝x ，则AB ＝AC ＝4x +，则AO ＝1x + ∴2323(1)x x +=+，∴4x =，则AC ＝84、如图，CD 是⊙O 的弦，A 为CD 的中点，E 为CD 延长线上一点，EG 切⊙O 于G. （1）求证：KG ＝GE ；（2）若AC //EG ，DK CK ＝ 35 ，AK ＝210，求⊙O 的半径.（1）证：如图，连接OG ，OA 交CD 于点F ∵A 为CD 的中点，EG 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥CD ，OG ⊥GE∴∠OAG ＋∠AKF ＝∠OGA ＋∠EGK 又∠OAG ＝∠OGA ，∠AKF ＝∠EKG ∴∠EGK ＝∠EKG ∴KG ＝GE（2）解：∵AC ∥EG ，∴∠CAK ＝∠EGK ，又∠EGK ＝∠EKG ＝∠CKA ∴∠CAK ＝∠CKA ，∴CA ＝CK设CK ＝CA ＝5x ，则DK ＝3x ，∴CD ＝8x ，CF ＝4x ，EG ＝x ∴AF ＝22(5)(4)3x x x -=在Rt △AFK 中，222(3)(210)x x +=，∴2x =∴CE ＝8，AE ＝6，设⊙O 的半径为R ，则R 2＝82＋（R －6）2，∴R ＝253圆的培优专题13——圆与三角形的内心1、如图，AB 是⊙O 的直径，AC CE =，点M 为BC 上一点，且CM ＝AC.（1）求证：M 为△ABE 的内心；（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求△BEM 的面积. （1）证：如图，连接CE ，则AC ＝CE ＝CM ∴∠CME ＝∠CEM ，∠CEA ＝∠CBE ∴∠CBE ＋∠BEM ＝∠CEA ＋∠AEM ∴∠AEM ＝∠BEM ，又∠ABC ＝∠CBE ∴点M 为△ABE 的内心.（2）解：如图，过点M 作MN ⊥BE 于点N ，则MN 为△ABE 的内切圆的半径. ∵AB ＝10，AE ＝8，则BE ＝221086-=∴MN ＝681022+-=， ★★ MN ＝2a b c +-＝aba b c++＝2 ∴BME 的面积为12×6×2＝6.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 点M 是△ABC 的内心. （1）求证：BC ＝2DM ；（2）若DM ＝52，AB ＝8，求OM 的长. （1）证：如图，连接BD ，CD ， ∵BC 为直径，AD 平分∠BAC ∴BD ＝CD ，∠BDC ＝90︒， ∴BC ＝2CD连接CM ，则∠ACM ＝∠BCM ，∠DAC ＝∠BCD∴∠DMC ＝∠ACM ＋∠DAC ＝∠BCM ＋∠BCD ＝∠DCM ， ∴DM ＝CD ，即BC ＝2DM（2）解：显然，BC ＝2DM ＝10，AB ＝8，则AC ＝6，且∠MAE ＝45︒如图，过M 作ME ⊥BC 于点N ，作MF ⊥AC 于点F ，则ME ＝MF ＝AF ＝2 ∴ CF ＝CE ＝4，则OE ＝1 ∴OM ＝22215+=.3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，I 是△ABD 的内心，DI 的延长线交⊙O 于N.（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE ＝4，CE ＝2，求⊙O 的半径和IN 的长. （1）证：∵D 是BC 的中点，OA ＝OD ∴∠CAD ＝∠DAO ＝∠ADO ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AB ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线.（2）解：如图，过点O 作OF ⊥AC ，则AF ＝CF ∵DE ⊥AB ，OD ⊥DE∴四边形ODEF 是矩形，则OF ＝DE ＝4设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OD ＝EF ＝R ，AF ＝CF ＝R －2 ∴（R －2）2＋42 ＝R 2，∴R ＝5，∴AB ＝10，如图，连接BI ，AN ，BN ，则IN ＝BN ＝AN ＝52 ★4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，I 是△ABC 的内心，⊙O 交AB 于E ，BE 为⊙O 的直径. （1）求证：AI 与⊙O 相切；（2）若BC ＝6，AB ＝5，求⊙O 的半径. （1）证：如图，延长AI 交BC 于点D ，则AD ⊥BC ， 连接OI ，则∠OIB ＝∠OBI ＝∠OBD ∴OI ∥BC ，又AD ⊥BC ∴AD ⊥OI ，又OI 为⊙O 的半径 ∴AI 与⊙O 相切（2）显然BD ＝3，AB ＝5，则AD ＝4如图，过点I 作IF ⊥AB 于点F ，则BF ＝BD ＝3，AF ＝2，IF ＝ID ， 设IF ＝ID ＝x ，则AI ＝4x -，∴2222(4)x x +=-，则IF ＝32x =设O 的半径为R ，则OF ＝3－R ，∴（3－R ）2＋（32 ）2 ＝R 2，∴R ＝158圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图，点P 是等边△ABC 外接圆BC 上的一个动点，求证PA ＝PB ＋PC. 证：如图，在AP 上截取PD ＝PC ，连接CD∵△ABC 是等边三角形，∠ABC ＝∠ACB ＝60︒ ∴∠DPC ＝∠ABC ＝60︒∴△PCD 是等边三角形，即CD ＝PC ∵∠ACD ＋∠BCD ＝∠BCP ＋∠BCD ＝60︒ ∴∠ACD ＝∠BCP ，又AC ＝BC ∴△ACD ≌△BCP （SAS ） ∴AD ＝BP∴PA ＝AD ＋DP ＝PB ＋PC.2、已知弦AD ⊥BD ，且AB ＝2，点C 在圆上，CD ＝1，直线AD 、BC 交于点E. （1）如图1，若点E 在⊙O 外，求∠AEB 的度数； （2）如图2，若C 、D 两点在⊙O 上运动，CD 的 长度不变，点E 在⊙O 内，求∠AEB 的度数. 解：（1）如图－1，连接OC ，OD ∵AD ⊥BD∴AB 为⊙O 的直径，且AB ＝2∴CD ＝OC ＝OD ＝1，即△OCD 是等边三角形 ∴∠COD ＝60︒∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒∴∠AEB ＝60︒ （2）如图－2，连接OC ，OD同理可得：∠ACD ＝60︒， ∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒又∠ADB ＝90︒，∴∠AED ＝120︒图－1图－23、已知直线l 经过⊙O 的圆心O ，且交⊙O 于A 、B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30︒，点 P 是直线l 上一个动点（与O 不重合），直线CP 与⊙O 交于Q ，且QP ＝QO. （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，求∠OCP 的度数； （2）如图2，当点P 在线段OA 的延长线上时，求∠OCP 的度数； （3）如图3，当点P 在线段OB 的延长上时，求∠OCP 的度数. 解：（1）如图－1，设∠OCP ＝x ∵OC ＝OQ ，则∠OQP ＝x 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒ ∴∠OCP ＝40x =︒（2）如图－2，设∠COQ ＝x ， 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ 又OC ＝OQ∴∠OQP ＝∠OCQ ＝60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴∠COQ ＝20x =︒ ∴∠OCP ＝100︒ （3）如图－3，设∠QPO ＝x∴QP ＝PO ，则∠QOP ＝∠QPO ＝x ∴OC ＝OQ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ∴230x x +=︒ ∴∠QPO ＝x ＝10︒ ∴∠OCP ＝20︒图－1图－2图－3圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。

第4题 第5题第6题第1题 第2题 第3题BAD ＝. （BAD ＝BAC ＋CAD ＝40＋60＝100）∠∠∠∠︒︒︒ （ABC ＝ADC ＝25）∠∠︒第7题第8题第9题第10题第11题第12题第1题 第2题 第3题∴BC ＝2293310+=第4题 第5题 第6题过点O 作OE BC ，则BC ＝2CE ＝⊥566、如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为的中点，E 为OB 上一点，AEC ＝，CE 的延»AB ∠60︒＝，∴CD ＝2CF ＝323处，方向移地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求AC，连接DE∠︒∠90︒＝290︒延长线上一点，且1180︒＝.的斜边上中线，连DE，AD，BD2CB＝CE＝CD.，AD，BD轴于点A、B，求OA＋OB的值.AM、BM∠PBC DP第1题第2题第3题第4题»第5题（设元，列方程）第6题第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题于D.OCBOAD，且四边形OFEA是矩形是等边三角形是等腰直角三角形，，PA＝9，求OM的长.4、如图，正方形ABCO 的顶点分别在轴、轴上，以AB 为弦的⊙M 与轴相切于F ，y x x已知A ，求圆心M 的坐标.(0,8)解：如图，连接FM 交延长交AB 于点E∵⊙M 与轴相切，即OC 是⊙M 的切线x ∴EF OC ，⊥又四边形ABCO 是正方形∴EF AB ，⊥又A （0，8）即AB ＝EM ＝OA ＝8∴ AE ＝4设MF ＝AM ＝，则EM ＝8－x x∴，∴，即MF ＝52224(8)x x +-=5x = ∴点M 的坐标为（－4，5）圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD 为⊙O 的直径，A 为的中点，AD 交BC 于E ，过D 作⊙O 的切线，交»BCBC的延长线于F. （1）求证：DF ＝EF ；（2）若AE ＝2，DE ＝4，求DB 的长.（1）证：如图，连接AB∵BD 为⊙O 的直径，DF 为⊙O 的切线∴BAD ＝BDF ＝90∠∠︒∴ABC ＋AEB ＝ADB ＋FDE ＝90∠∠∠∠︒又ABC ＝ADB ，AEB ＝DEF ∠∠∠∠ ∴DFE ＝DEF ，∴DE ＝EF∠∠（2）解：如图，过点F 作FG ED ，则EG ＝GD ＝2＝AE ，⊥又BAE ＝FGE ＝90，AEB ＝GEF ，∠∠︒∠∠∴△ABE ≌△GFE （ASA ）， ∴BE ＝EF ，即DE 为R △BDF 的斜边上中线BD，∠＝CEB ，∠120︒，若CAB＝，求的值.＝2BF的半径为5，AE＝8，求△BEM的面积.8，求OM的长.BCD∠BCD＝DCM，，AF＝2，IF＝ID，图－1图－2又AOC ＝，QP ＝QO ∠30︒ ∴QOP ＝QPO ＝∠∠30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒∴OCP ＝∠40x =︒（2）如图－2，设COQ ＝， ∠x 又AOC ＝，QP ＝QO ∠30︒ ∴QOP ＝QPO ＝∠∠30x +︒ 又OC ＝OQ∴OQP ＝OCQ ＝∠∠60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴COQ ＝∠20x =︒∴OCP ＝∠100︒（3）如图－3，设QPO ＝∠x ∴QP ＝PO ，则QOP ＝QPO ＝∠∠x ∴OC ＝OQ∴OCQ ＝OQC ＝∠∠2x ∴230x x +=︒ ∴QPO ＝＝10∠x ︒∴OCP ＝20∠︒圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。

人教版九年级上册第二十四章《圆》培优练习卷（含答案）一．选择题1．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣63．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2πB．3πC．4πD．π4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．7D．127．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣168．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE ＝3，则EG的长为（）A．B．C．D．9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）A．8cm B．6cm C．3cm D．4cm10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）A．8.5 B．5C．4D．11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）A．24πB．20πC．18πD．6π12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，CD＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．18．在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为．三．解答题19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在弧BC上，BD、AC的延长线交于点K，连接AD，交BC于点E，连接CD（1）求证：∠AKB﹣∠BCD＝45°；（2）若DC＝DB，求证：BC＝2CK．参考答案一．选择题1．解：侧面积是：πr2＝×π×82＝32π，底面圆半径为：，底面积＝π×42＝16π，故圆锥的全面积是：32π+16π＝48π．故选：A．2．解：连接OD，交CB于点F，连接BD，∵＝，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∴OF＝DF，∴BF∥DE，∴OB＝BE＝6∴CF＝FB＝OB•cos30°＝6×＝3，在Rt△POD中，OF＝DF，∴PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP＝CF﹣PF＝3﹣3．故选：B．3．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB＝360°×＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，弧BC的长为＝2π．故选：A．4．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．6．解：连接DO，EO，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD ＝CE ，BD ＝BF ＝3，AF ＝AE ＝4 又∵∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形，又∵EO ＝DO ，∴矩形OECD 是正方形，设EO ＝x ，则EC ＝CD ＝x ，在Rt △ABC 中BC 2+AC 2＝AB 2故（x +2）2+（x +3）2＝52，解得：x ＝1，∴BC ＝3，AC ＝4，∴S △ABC ＝×3×4＝6，故选：A ．7．解：连接OA 、OB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB ＝90°，∠O AB ＝45°，∴OA ＝AB cos45°＝4×＝2，所以阴影部分的面积＝S ⊙O ﹣S 正方形ABCD ＝π×（2）2﹣4×4＝8π﹣16． 故选：B ．8．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝OA＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，AC⊥EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r＝AE＝3，∴r＝∴OI＝，∴CI＝OC﹣OI＝，∵EF⊥AC，∠BCA＝45°∴∠IGC＝∠BCI＝45°∴CI＝GI＝∴EG＝EI﹣GI＝故选：B．9．解：设圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝8π，解得r＝4，所以这个的圆锥的高＝＝3（cm）．故选：C．10．解：延长CD到E，使得DE＝BC，连接AE，如右图所示，∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝90°，∵ACD＝45°，BC＝DE＝8，CD＝4，∴∠ACE＝45°，CE＝12，∴AC＝AE＝6，故选：D．11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，∴S＝﹣＝﹣＝18π．阴影故选：C．12．解：连接OE交BD于F，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，OA＝OD＝1，而CD＝1，∴四边形ODCE和四边形ABEO都是正方形，∴BE＝1，∠DOE＝∠BEO＝90°∵∠BFE＝∠DFO，OD＝BE，∴△ODF≌△EBF（AAS），∴S△ODF ＝S△EBF，∴阴影部分的面积＝S扇形EOD＝＝．故选：C．二．填空题13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm，∴＝5π，解得：n＝150故答案为150°．14．解：连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣． 15．解：连接OC 交AB 于E ．∵C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∵∠BAO ＝20°，∴∠AOE ＝70°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝55°，∴∠CAB ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝35°，故答案为35°．16．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB 、BC 、CD 、AD ，则四边形ABCD 是正方形，连接OB ，如图所示：则正方形ABCD 的对角线＝2OA ＝4，OA ⊥OB ，OA ＝OB ＝2，∴AB ＝2，过点O 作ON ⊥AB 于N ，则NA ＝AB ＝， ∴圆的半径为，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为：4π．17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝12π，解得：n＝120，故答案为：120．18．解：连结AB、BC，如图，∵A点坐标为（a，a），∴点A在直线y＝x上，作BH⊥直线y＝x于H，∵∠AOB＝45°，∴△BOH为等腰直角三角形，∴BH＝OB＝2，∵直线AC与⊙B相切，切点为C，∴BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝，当AB最小时，AC的值最小，而点A在H点时，AB最小，此时AB＝BH＝2，∴AC的最小值为＝＝．故答案为．三．解答题（共7小题）19．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．20．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．21．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OC∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝22．解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH＝2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OM．（2）证明：连接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOM＝60°，∴∠OBM＝30°，∴OB＝2OM＝AH＝AO，即AH＝AO．24．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠FDE，∴DF＝EF．25．解：（1）如图1，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵点C是的中点，∴AC＝BC，则△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，设∠CBK＝∠DAC＝α，则∠DAB＝∠DCB＝45°﹣α，∠AK B＝90°﹣α，∴∠AKB﹣∠BCD＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；（2）过点C作CH⊥AD，∵∠CDH＝∠CBA＝45°，∴则△CHD是等腰直角三角形，∴CD＝CH，∵CD＝DB，∴CH＝DB，在△EBD和△EHC中，∴△EBD≌△EHC（AAS），∴CE＝BE＝BC，在△ACE和△BCK中，∴△ACE≌△BCK（ASA），∴CK＝CE＝BE＝BC，即BC＝2CK．人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷（含解析）一．选择题1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣63．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2πB．3πC．4πD．π4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．7D．127．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣168．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE＝3，则EG的长为（）A．B．C．D．9．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）A．B．πC．50 D．50π10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）A．8.5 B．5C．4D．11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）A．24πB．20πC．18πD．6π12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，C D＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．18．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．三．解答题19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点．（1）求证：∠ACD＝∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．参考答案一．选择题1．解：圆锥的侧面积＝×2π×1×3＝3π，故选：B ．2．解：连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，∵＝，∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°，∴∠ABD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴OD ⊥FB ，∴OF ＝DF ，∴BF ∥DE ，∴OB ＝BE ＝6∴CF ＝FB ＝OB •cos30°＝6×＝3，在Rt △POD 中，OF ＝DF ，∴PF ＝DO ＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP ＝CF ﹣PF ＝3﹣3． 故选：B ．3．解：∵ABCDEF 为正六边形，∴∠COB ＝360°×＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝6，弧BC的长为＝2π．故选：A．4．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．6．解：连接DO，EO，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD ＝CE ，BD ＝BF ＝3，AF ＝AE ＝4又∵∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形，又∵EO ＝DO ，∴矩形OECD 是正方形，设EO ＝x ，则EC ＝CD ＝x ，在Rt △ABC 中BC 2+AC 2＝AB 2故（x +2）2+（x +3）2＝52，解得：x ＝1，∴BC ＝3，AC ＝4，∴S △ABC ＝×3×4＝6，故选：A ．7．解：连接OA 、OB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB ＝90°，∠OAB ＝45°，∴OA ＝AB cos45°＝4×＝2，所以阴影部分的面积＝S ⊙O ﹣S 正方形ABCD ＝π×（2）2﹣4×4＝8π﹣16． 故选：B ．8．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝OA＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，AC⊥EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r＝AE＝3，∴r＝∴OI＝，∴CI＝OC﹣OI＝，∵EF⊥AC，∠BCA＝45°∴∠IGC＝∠BCI＝45°∴CI＝GI＝∴EG＝EI﹣GI＝故选：B．9．解：圆锥的侧面积＝•5•5＝．故选：A．10．解：延长CD到E，使得DE＝BC，连接AE，如右图所示，∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝90°，∵ACD＝45°，BC＝DE＝8，CD＝4，∴∠ACE＝45°，CE＝12，∴AC＝AE＝6，故选：D．11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，＝﹣＝﹣＝18π．∴S阴影故选：C．12．解：连接OE交BD于F，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，OA＝OD＝1，而CD ＝1，∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形，∴BE ＝1，∠DOE ＝∠BEO ＝90°∵∠BFE ＝∠DFO ， OD ＝BE ，∴△ODF ≌△EBF （AAS ），∴S △ODF ＝S △EBF ，∴阴影部分的面积＝S 扇形EOD ＝＝．故选：C ．二．填空题（共6小题）13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm ，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm ，∴＝5π，解得：n ＝150故答案为150°．14．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．15．解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．16．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连接OB，如图所示：则正方形ABCD的对角线＝2OA＝4，O A⊥OB，OA＝OB＝2，∴AB＝2，过点O作ON⊥AB于N，则NA＝AB＝，∴圆的半径为，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为：4π．17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝12π，解得：n＝120，故答案为：120．18．解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．三．解答题（共7小题）19．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．20．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．21．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵O C∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝22．解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH＝2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OM．（2）证明：连接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOM＝60°，∴∠OBM＝30°，∴OB＝2OM＝AH＝AO，即AH＝AO．24．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠DEF，∴DF＝EF．25．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠DEC＝∠B，∴∠ACD＝∠DEC．（2）证明：连结OE∵E为BD弧的中点．∴∠DCE＝∠BCE，∵OC＝OE，∴∠BCE＝∠OEC，∴∠DCE＝∠OEC，∴OE∥CD，∴△POE∽△PCD，∴＝，∵PB＝BO，DE＝2∴PB＝BO＝OC∴＝＝，∴＝，∴PE＝4．人教版九上数学第二十四章圆单元测试卷一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°3．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°4．在⊙O中，∠AOB＝120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（）A．9+3B．12+6C．18+3D．18+67．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（）A．2B．4 C．4D．4π8．如图，AD是⊙O的弦，过点O作AD的垂线，垂足为点C，交⊙O于点F，过点A作⊙O的切线，交OF的延长线于点E．若CO＝1，AD＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣πB．2﹣πC．4﹣πD．2﹣π9．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．2 C．D．10．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B，C，G，H都在⊙O的直径上，正方形ABCD 的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上，顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC＝1，GH＝2，则正方形PCGQ的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．1011．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣12．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．6 C．3D．2二．填空题13．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝度．14．边长为4的正六边形内接于⊙M，则⊙M的半径是．。

六年级数学上册《圆》专项培优提升卷及解析知识点一、圆一、圆的相关概念1、定义：圆是平面上的一种曲线图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，圆心一般用字母O表示，圆心决定圆的位置。

3、半径和直径半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母r表示直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母d表示半径与直径的关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半用字母表示为：，用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2注意：（1）在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等（2）在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径（3）半径（直径）决定圆的大小4、用圆规画圆（步骤）：第一步：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（定半径）；第二步：把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上（定圆心）；第三步：把装有铅笔芯的一只脚旋转一周，就画出一个圆二、正方形、长方形与圆的关系1、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

2、在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

【精准突破】圆的周长1.圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长，直径的长短决定圆周长的大小。

2.圆周率的意义：圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

π≈3.141596535……，计算时通常取π≈3.14.3.圆的周长计算公式：如果用C表示周长，那么或，后面跟长度单位：米，厘米等。

4.圆的周长计算公式的应用（1）已知圆的半径，求圆的周长：（2）已知圆的直径，求圆的周长：（3）已知圆的周长，求圆的半径：（4）已知圆的周长，求圆的直径：5.半圆的周长等于圆周长的一半加上直径的长，即：，圆的面积1. 圆的面积：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。

2. 圆的面积计算公式：如果用S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式是：，后面跟面积单位： 平方米，平方厘米等。

【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题24.1圆（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•大荔县期末）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．√3cm2．（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种3．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（）A．42°B．29°C．21°D．20°4．（2022秋•郧西县期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．5πD．13π5．（2022秋•广水市期中）下列说法正确的是（）A．直径是弦，弦是直径B．半圆是弧C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径D．直径的长度是半径的2倍6．（2022春•莘县期末）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2021春•阳谷县期末）已知AB是⊙O的弦，⊙O的半径为r，下列关系式一定成立的是（）A．AB＞r B．AB＜r C．AB＜2r D．AB≤2r̂上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，8．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为AB若CD＝OA，∠O＝72°，则∠A的度数为（）A．35°B．52.5°C．70°D．72°9．（2021秋•莱阳市期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与̂）向右水平拉直（保持M端不动），根据该周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（MN古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D10．（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（）A．3√5B．4√5C．13D．2√10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•夏邑县期中）下列说法中正确的有（填序号）．①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆．12．（2022秋•新罗区校级期中）如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为cm．13．（2022秋•通榆县期中）如图，在⊙O中，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外，若OA＝3，OC＝5，则OB的长度可能为（写出一个即可）．14．（2022秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为．15．（2021秋•延平区校级月考）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为．16．（2022•望花区模拟）如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．上述说法正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设AB＝4cm，作出满足下列要求的图形（1）到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；（2）到点A的距离小于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形；（3）到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形．18．（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．19．（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．20．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．21．（2021秋•东台市月考）如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为BĈ上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．22．（2021秋•赣榆区校级月考）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．23．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝；③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝；…④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n＝；（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积S n与大圆的面积S的关系是：S n＝S．。

2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》1．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F 为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．2．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．3．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．4．感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．5．已知：AB是⊙O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，∠F＝∠BAD；（1）求EF与AC的位置关系．（2）连接CE交⊙O于G，连接BD，若2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，求证：AC＝CE．（3）在（2）的条件下，延长AB、EF交于K，EK＝2AC，AK＝10，△AEK的面积＝18，求线段EK的长度．6．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．7．（2019秋•如皋市期中）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若∠BAO＝30°，CD＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若点P在上运动，设点P到直线BC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．8．如图：已知△ADC内接于⊙ O，AO是 ⊙O的半径．点E是CD上一点，连接AE，∠DAE ＝∠CAO．（1）求证：AE⊥CD；（2）如图2，延长AO交CD于点G，交 ⊙O于点B，过B作BF⊥CD于F．求证：CF＝DE；（3）如图3，M是弧CD的中点，连接CM交AB于点H，连接AM交CD于点N，连接DM．若CN＝DM，AD＝，tan∠CGB＝，求 ⊙O的半径．9．已知，如图△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，BD＜DC，过点A、D、C三点的⊙O交AB于点F，点E在上，连接DF、AE、DE、CE．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．如图1，在⊙O中，弦AB与半径OC交于点E，连接AC、OB，∠BOE＝2∠OEB．（1）求证：AC＝EC；（2）如图2，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，垂足为M，连接CB，求证：CD＝CB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DO并延长DO交AB于点F，连接CF、BD，过点M 作MP⊥DB于点P，交DF于点Q，连接OP，若∠DFC＝90°，QO＝1时，求线段OP的长度．11．已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为弧AC上一点，连接BE．（1）如图1，求证：∠CEB＝∠DEB；（2）如图2，若弦CD经过圆心O，过点A作AF⊥AE交DE于，求证：CE＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交ED、EB于点H、G，连接BF，若CG＝2，AH＝3，求BF的长．12．已知，△ABC内接于 O，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点D．（1）如图1，求证：AD⊥BC；（2）如图2，过点B作AC的垂线，交AD于点E，交⊙O于点F，垂足为点G，连接CF，求证：CF+FG＝BG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为弧AC上一点，弧PF＝弧CF，连接PA、PB、PC，PB 交AD于点M，交AC于点N，若PB＝16，PC＝10，求△AMN的面积．13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB 边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP．①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数；②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．14．如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交⊙O于点F，连接CF：（1）如图1，求证：∠ECB＝∠F+90°；（2）如图2，连接CD，延长BA交CE于点H，当OD⊥BC、HA＝HE时，求证：AB＝CE；（3）如图3，在（2）的条件K在EF上，EH＝FK，S△ADO＝，求WE的长．15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦且与AB交于点E（E不与O重合），CE ＝DE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G．（1）如图1，求证：∠CFD＝2∠BAD；（2）如图2，过点B作BN⊥CF于点N，交⊙O于点M，求证：FN＝CN+DF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求线段PN的长．参考答案1．（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．2．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．3．解：（1）①PA+PB＝PC，理由如下：∵线段PC经过点O，∴PC是⊙O的直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴PA＝PC，PB＝PC，∴PA+PB＝PC；②PA+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝PA，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠PAB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴PA+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠PAD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵PA平分∠FAC，∴∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．4．（1）①证明：如图1中，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠AB D＝90°，∴△ABD为“类直角三角形”．②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°，∴∠ABE+2∠A＝90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∴CE＝＝，（2）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝6，AB＝10，∴BD＝＝＝8，①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，∴∠CAD+∠DAF＝180°，∴C，A，F共线，∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF，∴△FAB∽△FBC，∴＝，即＝，∴AC＝．②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，∴∠C+2∠ABC＝90°，∵∠CAD＝∠CBF，∠C＝∠C，∴△DAC∽△FBC，∴＝，即＝，∴CD＝（AC+6），在Rt△ADC中，[（ac+6）]2+62＝AC2，∴AC＝或﹣6（舍弃），综上所述，当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．5．解：（1）如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，且∠F＝∠BAD，∴∠HCD+∠F＝90°，∴∠H＝90°，∴AC⊥EF；（2）如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，∵2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，且∠HCD＝∠CAE+∠ADC，∴∠CAE+∠ADC＝2∠CAE+∠DAG，∴∠ADC＝∠CAE+∠DAG，且∠AGC＝∠ADC，且∠AGC＝∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG＝∠GAD+∠AEC，∴∠AEC＝∠CAE，∴AC＝CE；（3）如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，∵∠H＝∠AMK＝90°，∠AEH＝∠MEF，∴∠HAE＝∠MKE，且∠HAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠MKE，∵PA⊥AE，∠HAE＝∠CEA，∴∠CPA＝∠CAP，∴PC＝AC，且AC＝CE，∴PE＝2AC，且EK＝2AC，∴PE＝EK，且∠PAE＝∠KME＝90°，∠CEA＝∠MKE，∴△PAE≌△EMK（AAS）∴AE＝MK，∵AK＝10，△AEK的面积＝18，∴AK×EN＝×10×EN＝18， AE×MK＝×AE2＝18，∴EN＝，AE＝6，∴AN＝＝＝，∴KN＝AK﹣AN＝，∴EK＝＝＝2．6．（1）证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴＝3，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，∴CD＝＝＝3．7．解：（1）连结OB，如图，∵AB、CD是⊙O的切线，∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，∴∠ABO＝∠ACD＝90°，∵∠BAO＝30°，∴AD＝2CD＝2BD，∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，∴OB＝AB＝2，即⊙O的半径为2；（2）∵∠BAO＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点P到直线BC的距离为x，∴△PBC的面积为×2×x＝x，弓形BC的面积＝扇形COB的面积﹣△COB的面积＝＝2，∴y＝x+2，当点P到BC的垂线经过圆心O时，其值最大，即2+3，∴自变量x的取值范围是0≤x≤2+3．8．（1）证明：如图1中，延长AO交⊙O于M，连接CM．∵AM是直径，∴∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠M＝90°，∵∠CAO＝∠DAE，∠D＝∠M，∴∠DAE+∠D＝90°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥CD．（2）证明：如图2中，连接BC，延长AE交⊙O于H，连接DH．∵∠CAO＝∠DAE，∴＝，∴DH＝BC，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°＝∠ACB，∴∠ACD+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACD＝∠CBF，∵∠H＝∠ACD，∴∠H＝∠CBF，∵∠DEH＝∠BFC＝90°，∴△BFC≌△HED（AAS），∴CF＝DE．（3）解：如图3中，作GM⊥AD于M，作NJ⊥AB于J，连接BC．∵∠CGB＝∠AGE，AE⊥CD，∴tan∠CGB＝tan∠AGE＝＝，设AE＝4k，EG＝3k，则AG＝5k，∵＝，∴DM＝CM，∠DAM＝∠MAC，∵CN＝DM，∠ACN＝∠AMD，∴△ACN≌△AMD（AAS），∴AN＝AD，∵AE⊥DN，∴DE＝EN，∠DAE＝∠NAE＝∠CAB＝∠MAB，∵NE⊥AE，NJ⊥AB，∴NE＝NJ，∵＝＝＝＝，∴EN＝EG＝k，∴DN＝k，DG＝k，∴AD＝＝＝k，∵•AD•GM＝•DG•AE，∴GM＝＝，∴AM＝＝＝k，∵∠GAM＝∠CAE，∠AMG＝∠AEC＝90°，∴△AEC∽△AMG，∴＝，∴＝，∴AC＝k，∵△ACB∽△AED，∴＝，∴＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．9．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝∠C，∵四边形AFDC是圆内接四边形，∴∠AFD+∠C＝∠BFD+∠AFD＝180°，∴∠BFD＝∠C，∴∠BFD＝∠B，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；（2）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，则四边形ABDE是平行四边形是假命题；∵＝，∴DE＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠E，∴∠B＝∠E，﹣＝﹣，∴＝，∴AE＝CD＞BD，但四边形ABDE不是平行四边形，∴“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．（1）证明：如图1中，延长CO交⊙O于T，连接BT．∵OT＝OB，∴∠T＝∠OBT，∵∠EOB＝∠T+∠OBT＝2∠T，∠EOB＝2∠OEB＝2∠AEC，∴∠T＝∠AEC，∵∠A＝∠T，∴∠A＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）证明：如图2中，作OH⊥BC于H，OF⊥CD于F．∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，∵∠EOB＝2∠OEB＝2∠CEM，∴∠COH＝∠CEM，∴∠CEM+∠OCF＝90°，∠OCH+∠OCH＝90°，∴∠OCH＝∠OCF，∵OF⊥CD，OH⊥CB，∴OF＝OH，∵OC＝OC，∠OFC＝∠OHC＝90°，∴Rt△COF≌Rt△COH（HL），∴CF＝CH，∵DF＝CF，CH＝BH，∴CD＝CB．（3）延长CO交BD于T，连接TF，TM．∵CD＝CB，∠DCO＝∠BCO，∴CT⊥BD，DT＝BT，∵OC＝OD，∴∠FDC＝∠TCD，∵∠DFC＝∠CTD＝90°，CD＝DC，∴△CDT≌△DCF（AAS），∴DT＝CF，∠TDC＝∠FCD，DF＝CT，∴∠TDF＝∠FCT，∵△TDF≌△FCT（SAS），∴∠DFT＝∠CTF，∵∠DOC＝∠FOT，∴∠OCD＝∠OTF，∴CD∥TF，∴∠BTF＝∠BDC＝∠FCM，∵CF＝BT，∠CMF＝∠TFB，∴△CMF≌△TFB（AAS），∴FT＝CM，∴四边形FTMC是平行四边形，∴TE＝EC，EM＝EF，∵DF＝CT，OD＝OC，∴OT＝OF，∴∠OTF＝∠OFT，∵∠OTF+∠FET＝90°，∠OFT+∠OFE＝90°，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF＝OT，∵OE∥MO，EF＝EM，∴OQ＝OF＝1，∴ET＝EC＝2，∴OD＝OC＝3，∴DQ＝2，∵QP∥OT，∴＝＝，∴＝＝，∴PQ＝，∴DP＝＝＝，DT＝2，∴PT＝DT﹣DP＝2﹣＝，∴OP＝＝＝．11．解：（1）如图1中，∵CD⊥AB，AB是直径，∴＝，∠CEB＝∠DEB．（2）如图2中，连接AC、AD，∵AB⊥CD，OC＝OD，∴AC＝AD，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵AE⊥AF，∠EAF＝∠AOD＝45°，∴∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠FAD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴CE＝DF．（3）过点A作AS⊥CE交CE的延长线于S，AT⊥ED于T，过点E作EN⊥AC于N．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠DEG＝90°，∠SEA+∠CEB＝90°，∵∠CEG＝∠DEG，∴∠AES＝∠AED，∵AS⊥ES，AT⊥ET，∴AS＝AT，∴＝＝，∴＝，同法可证＝∴，设HG＝x，，∴x＝1，∴AC＝6，tan∠ECA＝，tan∠EAC＝，AE＝，EF＝，BE＝BF＝＝＝．12．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴＝，∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC．（2）如图2中，设BF交AD于H，连接CH．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴HB＝HC，∵BF⊥AC，∴∠AGH＝∠BDH＝90°，∴∠HAG+∠AHG＝90°，∠DBH+∠BHD＝90°，∵∠AHG＝∠BHD，∴∠HAG＝∠DBH，∵∠GAF＝∠DBH，∴∠GAF＝∠GAH，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠AHG＝∠AFG，∴AH＝AF，∵AC⊥FH，∴GH＝FG，∴CH＝CF＝BH，∴BG＝BH+GH＝CF+FG．（3）如图3中，作MK⊥AB于K，MJ⊥AC于J．∵＝，∴∠PBF＝∠CBF，∴∠PBC＝2∠PBF＝2∠CAD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝2∠DAC，∴∠CBP＝∠CPB，∴CB＝CP＝10，∵∠BCN＝∠CBA＝∠CBN+∠ABN，∠CNB＝∠ABN+∠BAN，∠BAN＝∠CBN，∴∠BCN＝∠BNC，∴BN＝BC＝10，∵PB＝16，∴PN＝16﹣10＝6，∵∠BCN＝∠BCA，∠CBN＝∠CAB，∴△CBN∽△CAB，∴＝，设CN＝x，∴＝，∴AC＝，∵∠ABN＝∠PCN，∠ANB＝∠PNC，∴△ANB∽△PNC，可得AN•NC＝BN•PN，∴（﹣x）＝10×6，∴x＝2（负根已经舍弃），∴CN＝2，AC＝AB＝5，AN＝3，在Rt△ADC中，AD＝＝＝15，∴S△ABC＝•AD•BC＝75，∵AN：CN＝3：2，∴S△ABN＝×75＝45，∵MJ⊥AC，MK⊥AB，∠MAB＝∠MAC，∴MJ＝MK，∴＝＝＝＝∴S△AMN＝×45＝．13．（1）证明：如图1中，连接OC．∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵OD垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝∠OCD＝30°，∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（AAS），∴OD＝OB，∴AC是⊙O的切线．（2）①解：如图1中，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴BD＝DC＝AD，∵∠DCB＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠BDP＝60°．②解：如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ．∵BE＝4，∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1，∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°，∴BC＝OB＝2，∴JC＝＝＝，∵QP＝QB，JO＝JB，∴JQ＝OP＝1，∵CQ≥JC﹣JQ，∴CQ≥﹣1，∴CQ的最小值为﹣1．14．解：（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC ∴∠OCB＝∠B∵＝∴∠F＝∠B∴∠OCB＝∠F∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE∴∠OCE＝90°∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE∴∠ECB＝∠F+90°；（2）证明：如图2，过点C作CG⊥EF于G，连接BF，则∠CGE＝∠CGD＝90° ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD∵OD⊥BC∴BD＝CD在△BDF和△CDG中，∴△BDF≌△CDG（AAS）∴BF＝CG∵HA＝HE∴∠EAH＝∠E∵∠BAF＝∠EAH∴∠BAF＝∠E在△ABF和△ECG中，∴△ABF≌△ECG（AAS）∴AB＝CE；（3）如图3，过点C作CG⊥EF于G，连接AC，OC，OF，BF，由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC∵AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠ABC+∠OAC∴∠ECA＝∠ABC∴△ABD≌△ECA（ASA）∴BD＝AC∵BD＝CD∴AC＝CD∴△ACD为等腰直角三角形∴∠ADC＝45°∴∠EDF＝45°∴△DEF是等腰直角三角形设FK＝a，BF＝b，则DF＝b，BD＝CD＝AC＝b，AD＝AC＝2b，BC＝2b，∵BD＝CD，OA＝OB∴OD＝AC＝b，∵∠BDO＝90°∴OB＝＝＝b∴AB＝CE＝b∵S△ADO＝，∴S△BOD＝S△COD＝，S△BOC＝1∴BC•OD＝1，即×2b×b＝1∴b＝1∴AB＝CE＝，BF＝1，AC＝，BC＝2∴AF＝＝＝3过点C作CT⊥AB于T，则CT＝＝＝，∴OT＝＝＝，∵tan∠COH＝＝，∴CH•OT＝CT•OC，即： CH＝×∴CH＝，∵EH＝FK＝a，∴CH＝CE﹣EH＝﹣a，∴﹣a＝，解得：a＝，∴FK＝，EH＝，∵△AEH∽△AFO∴＝，即AE•OA＝AF•EH，AE×＝3×，∴AE＝2，EK＝AE+AF﹣FK＝2+3﹣＝过W作WR⊥EF于R，易证：△BFK∽△WRK∴＝＝＝，设KR＝m，WR＝2m∵＝tan∠WER＝tan∠BAF＝＝∴＝，即ER＝6m，∴EK＝7m＝，解得：m＝∴ER＝6×＝，WR＝2×＝∴WE＝＝＝．15．（1）证明：如图1中，连接AC．∵AB是⊙O直径，CE＝DE，∴AB⊥CD，∴，∴∠BAC＝∠BAD，∵∠CFD＝∠CAD，∴∠CFD＝2∠BAD．（2）如图2中，连接BC，BD，在FC上截取FK＝FD，连接BK．∵，∴BC＝BD，∠B FD＝∠BFK，∵FK＝FD，FB＝FB，∴△BFD≌△BFK（SAS），∴BK＝BD，∴BC＝BK，∵BN⊥CK，∴CN＝NK，∴FN＝FK+KN＝DF+CN．（3）如图3中，连接AC，AF．∵HE＝BE，∴设HE＝16a，EB＝27a，由题意知点H是△ACD重心，∴AH＝32a，AE＝48a，连接BD，由射影定理知DE2＝AE•EB，解得DE＝36a，∵AD＝10，DE＝36a，AE＝48a，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得a＝，∴DE＝6，EB＝，AE＝8，CE＝6，CB＝，HE＝，∴tan∠QCD＝＝，∵EB＝，∴CR＝4，∴tan∠QCD＝，∴CN＝，∵tan∠ACE＝＝，∴tan∠ACQ＝＝，∴AK＝10×＝，则CQ＝2CK＝，∵CN＝，∴NQ＝，在Rt△PNQ中，∠PNQ＝90°，tan∠Q＝＝，∴NP＝NQ×＝．。

圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。

因为圆是一个特殊对称图形，而同学们往往考虑不周，丢掉另一种情况，造成失分较多，现将圆中无图两解或多解试题列举如下，供同学们参考：答案：60°或120°2、若AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB＝2，AC＝2，AD＝1，则∠CAD＝.答案：15°或105°3、在直径为50cm的⊙O中，弦AB＝40cm，弦CD＝48cm，且A B∥CD，则AB与CD之间的距离是.答案：22cm或8cm4、已知P点到⊙O的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙O的半径为.答案：4cm或2cm5、相交两圆的公共弦长为6cm，两圆的半径分别为32，5，则这两圆的圆心距等于 .答案：7cm或1 cm6、点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP＝3cm，在过点P的所有弦中长度为整数的弦一共有条.答案：4条7、已知⊙O的半径为5cm，弦AB＝8，P为AB上一动点，且OP长为整数，满足条件的P点有个.答案：5个8、⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B＝90°那么∠AO2B的度数是.答案：135°或459、从不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线交⊙O于B、C，且A B·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径等于.答案：241或610、已知⊙O的半径为5cm，AB是弦，P是直线AB上的一点，PA＝3cm，AB＝8cm，则tan∠OPB的值为.3答案：3或711、已知PA、PB是⊙O的两条切线，点C是⊙O上异于A、B的一点，过C点切线交PA、PB于D、E两点，若∠APB＝400，则∠DOE＝.答案：70°或110°12、已知等腰△ABC内接于⊙O，底边BC＝8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长AB ＝ .答案：25cm 或45cm13、在△ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则R 的取值范围 .答案：R ＝2.4或3<R ≦414、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 .答案：外离或内含15、在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 .答案：10或816、已知⊙O 1和⊙O 2仅有一条公切线，⊙O 1半径为3cm ，且O 1O 2＝5cm,则⊙O 2的半径等于 .答案：2cm 或8cm17、已知⊙O 上有A 、B 、C 三点，若弦AC 的长恰好等于⊙O 的半径，则∠ABC ＝ .答案：30︒或150︒18、已知⊙O 的半径是5cm ，P 是直线l 上的一点，且OP ＝5cm ，那么直线l 与⊙O 的位置关系是 . 答案：相交或相切19、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，且△ABC 的面积为12cm 2，则△ABC 外接圆的半径为 .答案：625cm 或 825cm 20、AB 、AC 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于A 、B 的一动点，则∠BPC＝ .答案：65°或115°。

九年级数学培优《圆》专题训练（一）
九年级数学培优《圆》专题训练（二）
九年级数学培优《圆》专题训练（三）
九年级数学培优《圆》专题训练（四）
九年级数学培优《圆》专题训练（五）
九年级数学培优《圆》专题训练（六）
九年级数学培优《圆》专题训练（七）
九年级数学培优《圆》专题训练（八）
九年级数学培优《圆》专题训练（九）
九年级数学培优《圆》专题训练（十）
九年级数学培优《圆》专题训练（十一）
九年级数学培优《圆》专题训练（十二）
九年级数学培优《圆》专题训练（十三）
九年级数学培优《圆》专题训练（三十）
九年级数学培优《圆》专题训练（三十一）
九年级数学培优《圆》专题训练（三十二）
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一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36πA 解析：A【分析】以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=， 所以圆锥的侧面积165152ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．2．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（ ）A ．434B ．3C ．438D ．3解析：A【分析】 以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，则DCM CAB ≅△△，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】解：以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，∵60DCA MCB ==∠∠，∴DCM ACB =∠∠，∵DC=AC ，MC=BC ，∴DCM CAB ≅△△（SAS ），∴DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232+，此时面积为：434+故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D 的位置是解题的关键． 3．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（ ）A ．54°B ．30°C ．36°D ．60°C解析：C【分析】 根据圆周角定理求出∠AOB ，根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO ，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵∠ACB ＝54°，∴圆心角∠AOB ＝2∠ACB ＝108°，∵OB ＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝12（180°﹣∠AOB ）＝36°， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB 的度数是解此题的关键．4．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（ ）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136πB 解析：B【分析】 在Rt △ABC 中，由勾股定理求AB ，观察图形可知，线段AB 扫过的图形为扇形，旋转角为90°，根据扇形面积公式求解．【详解】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB=22223213AC BC +=+=，由图形可知，线段AB 扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB 扫过的图形面积=()229013n 13=3603604AB ⨯=πππ． 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用，关键是理解题意，明确线段AB 扫过的图形是90°的扇形，难度一般．5．如图，A 、B 、C 三点在O 上，D 是CB 延长线上的一点，40ABD ∠=︒，那么AOC ∠的度数为（ ）．A ．80°B ．70°C ．50°D ．40°A解析：A【分析】作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，如图，先利用邻补角计算出∠ABC=140°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠E=40°，然后根据圆周角定理得到∠AOC 的度数．【详解】解：作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，∵∠ABD=40°，∴∠ABC=180°-40°=140°，∵∠AEC+∠ABC=180°，∴∠E=40°，∴∠AOC=2∠AEC=2×40°=80°．故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，35ADB ∠=︒．则AOC ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．55︒C ．70︒D ．65︒C解析：C【分析】 根据圆周角定理可得270AOB ADB ∠=∠=︒，再利用垂径定理即可求解．【详解】解：连接OB ，∵35ADB ∠=︒，∴270AOB ADB ∠=∠=︒，∵OA BC ⊥，∴AB AC =，∴70AOC AOB ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、同弧所对的圆心角相等，掌握圆的基本性质定理是解题的关键．7．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．75°B解析：B【分析】 连接AO ，BO ，OE 由切线的性质可得90PAO PBO ︒∠=∠=，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数.【详解】如图，连接AO ，BO ，OE ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴∠PAO =∠PBO =90∘，∵60APB ∠=︒，∴36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒，∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠ACO =∠ECO ，∠DBO =∠DEO ，∴∠AOC =∠EOC ，∠EOD =∠BOD ，∴1602COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=∠=︒， 故选B.【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD 的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒D解析：D【分析】 连接AC ，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC ，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点，∴∠BAC=12∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．9．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．2B．1 C．2 D．22A解析：A【分析】过B作关于直线MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，由轴对称的性质可知AB′即为PA+PB的最小值，由同弧所对的圆心角和圆周角的性质可知∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，由对称的性质可知∠B′ON＝∠BON＝30°，即可求出∠AOB′的度数，再由等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点P，且PA+PB的最小值＝AB′，∵∠AMN＝30°，OA=OM，∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON＝12∠AON＝12×60°＝30°，由对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝2OA＝2×1＝2，即PA+PB的最小值＝2．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解答此题的关键是根据题意作出辅助线、构造出直角三角形，利用勾股定理求解．10．如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（）A．2 B．121313C．4 D．5A解析：A【分析】易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝12AB＝3，OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝12AB＝3，OD22AD+OA224+3＝5，∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P 点的运动轨迹，找出DP 长的最小值时的位置是解题的关键．二、填空题11．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是______．36°【分析】根据圆周角定理可得再利用等腰三角形的性质即可求解【详解】解：∵∴∵∴故答案为：36°【点睛】本题考查圆周角定理掌握圆周角定理是解题的关键解析：36°【分析】根据圆周角定理可得2108AOB ACB ∠=∠=︒，再利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵54ACB ∠=︒，∴2108AOB ACB ∠=∠=︒，∵OA OB =， ∴()1180362ABO BAO AOB ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：36°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．12．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=即可求得【详解】解：∵S 扇形=∴r2==3∴r=（负值舍去）故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形= 3【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=2360n r π 即可求得． 【详解】解：∵S 扇形=2360n r π， ∴r 2=360360 120S n πππ==3，∴r=3（负值舍去）， 故答案为：3．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=2360n r π． 13．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，64A ∠=︒，则OBC ∠=______°．26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC 的度数【详解】解：∵∠A=64°∴∠BOC=2∠A=128°∵OB=OC ∴∠OBC=∠解析：26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC 的度数．【详解】解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=128°，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC=12（180°-128°）=26°． 故答案为26．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．【分析】如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 由正六边形推出为等边三角形进而求出OGPG 的长度即可求得P 点坐标【详解】解：如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 则∵多边形为正六边形∴∵∴ 解析：()3,33 【分析】 如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，由正六边形OABCDE 推出OPA 为等边三角形，进而求出OG 、PG 的长度即可求得P 点坐标.【详解】解：如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，则90OGP ∠=︒， ∵多边形OABCDE 为正六边形，∴60OPA ∠=︒，∵PO PA =， ∴OPA 为等边三角形，又∵PG ⊥OA ，∴PG 平分OPA ∠，∴30OPG ∠=︒，又∵OA=6，∴11163222OG OP OA ===⨯=， ∴由勾股定理得：22226333PG OP OG =-=-=，∴P 的坐标是()3,33，故答案为：()3,33【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.15．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点结合公式求出即可【详解】解：为的内心故答案是：120【点睛】注意此题中的结论：若是内心则熟记公式可简化计算解析：120【分析】 根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合公式1902BOC A ∠=+∠︒求出即可． 【详解】解：60A ∠=︒，O 为ABC ∆的内心， 1190906012022BOC A ， 故答案是：120．【点睛】注意此题中的结论：若O 是内心，则1902BOC A ∠=+∠︒．熟记公式可简化计算． 16．如图，AB AC 、分别为O 的内接正方形、内接正三角形的边，BC 是圆内接正n 边形的一边，则n 的值为_______________________．【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出进而得出即可得出n 的值【详解】解：如图所示连接AOBOCO ∵ABAC 分别为⊙O 的内接正方形内接正三边形的一边∴∴∴故答案为：12【点睛】此题主要考查了正多边形 解析：12【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出360904AOB ︒∠==︒，3603120AOC ==︒∠︒，进而得出30BOC ∠=︒，即可得出n 的值．【详解】解：如图所示，连接AO ，BO ，CO ．∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正方形、内接正三边形的一边， ∴360904AOB ︒∠==︒，3603120AOC ==︒∠︒， ∴30BOC ∠=︒，∴3601230n ︒==︒， 故答案为：12．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出30BOC ∠=︒是解题关键． 17．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB 然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA 与∠CED 再在△CDE 中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠解析：105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA 与∠CED ，再在△CDE 中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵AB BC CD ==，∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，∵∠BEC ＝130°，∴∠BCA ＝∠CBD ＝25°，∠CED ＝50°，∴∠CDB ＝25°，∴∠ACD ＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 18．如图，AB 是O 的直径，O 交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的有______（填序号） ①AD BC ⊥；②EDA B ∠=∠；③12OA AC =；④DE 是O 的切线． ①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°可得①进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB 连接OD 然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解【详解】解：∵是的直径∴∠ADB=90°∴AD ⊥BC 故① 解析：①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB ，连接OD ，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径， ∴∠ADB=90°，∴AD ⊥BC ，故①正确；∵点D 是BC 的中点，∴AC=AB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠B=∠C ，∠CAD=∠BAD ，∵DE ⊥AC ，∠CDA=90°，∴∠EDA+∠EAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴EDA C ∠=∠，∴EDA B ∠=∠，故②正确；∵12OA AB =， ∴12OA AC =，故③正确； 连接OD ，如图所示：∵OD=OA ，∴∠ADO=∠DAO ，∴∠ADO=∠EAD ，∴∠ADO+∠EDA=90°，∴ED 是⊙O 的切线，故④正确；∴正确的有①②③④；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．19．如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA PB +的最小值为_______．【分析】作点A 的对称点根据中位线可知最小时P 正好在上在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得再利用勾股定理即可求解【详解】如图作点关于的垂线交圆与连接交于点连接则此时的值最小∵∴∵点是的中点∴∵关于 2【分析】作点A 的对称点，根据中位线可知PA PA =' ，PA PB +最小时P 正好在A B '上，在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得90AOB ∠'=︒，再利用勾股定理即可求解．【详解】如图，作点A 关于MN 的垂线交圆与A ' ，连接A B ' 交MN 于点P ，连接AP OB OA OA '、、、 ，则此时AP BP + 的值最小A B =' ，∵30AMN ∠=︒，∴60AON ∠=︒，∵点B 是AN 的中点，∴30BON ∠=︒ ，∵A A '、 关于MN 对称，∴60AON AON ∠'=∠=︒，∴306090AOB ∠'=︒+︒=︒，又∵112122OA OB MN '===⨯=， 在RT A OB '△中∴221+1=2A B '=，即AP BP + 的值最小=2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂直平分线定理、勾股定理等．在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．本题是与圆有关的将军饮马模型．20．如图，已知空间站A 与星球B 距离为a ，信号飞船C 在星球B 附近沿圆形轨道行驶，B ，C 之间的距离为b ．数据S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最小值________． a-b 【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可【详解】解：空间站A 与星球B 飞船C 在同一直线上时S 取到最小值a-b 故答案解析：a-b【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点，到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可．【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值a-b．故答案为：a-b．【点睛】本题考查了圆外一点到圆的最大距离和最短距离，最大距离和最短距离都在过圆心的直线上．属于基础知识．三、解答题21．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠AOD＝50°．（1）求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，①求弦AB的长；②求劣弧AB的长．解析：（1）25°；（2）①8；②25 9π【分析】（1）由垂径定理，可知AD BD=，再由圆周角定理求得∠DEB的度数．（2）①由勾股定理可得AC=4，由垂径定理可知，AC＝BC＝12AB＝4，即可求解；②根据弧长公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵OD⊥AB，∴AD BD=，∴∠AOD＝∠BOD∴∠DEB＝12∠AOD＝12×50°＝25°．（2）①∵OC＝3，OA＝5，∴AC＝4，∵OD⊥AB，∴12AD BD AB==，∴AC ＝BC ＝12AB ＝4， ∴AB ＝8； ②∵∠AOD ＝50°，AD BD =，∴∠AOB ＝100°，∵OA ＝5，∴AB 的长＝1005251801809n r πππ⨯==． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，勾股定理及弧长公式．解答关键是应用垂径定理求得AC ＝BC ＝12AB ＝4． 22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，E 是AB 上一点，30AEO DAC ∠=∠=︒，连接BD ．（1）求证：OAE CDB △≌△；（2）连接DE ，若DE AB ⊥，2OA =，求BC 的长．解析：（1）见解析；（2）277. 【分析】(1)借助同圆中，同弧上的圆周角相等，利用AAS 证明全等；(2) 过O 作OH AB ⊥，利用三角形全等，勾股定理，建立一元二次方程求解即可.【详解】解：（1）证明：∵AC 是O 的直径，∴90ADC ∠=︒．∵30CAD ∠=︒，∴2AC CD =．∵2AC OA =，∴OA CD =．∵BC BC =，CD CD =，∴EAO CDB ∠=∠，CAD CBD ∠=∠．∵AEO DAC ∠=∠，∴AEO CBD ∠=∠．∴OAE CDB △≌△；（2）解：连接DE ，过O 作OH AB ⊥于H ，∴AH HB =．∵AO OC =，∴2BC OH =．设OH x =，∵30OEA CAD ∠=∠=︒， ∴3HE x =．由（1）知OAE CDB △≌△，∴AE DB =．∵AD AD =，∴60ABD ACD ∠=∠=︒．∵DE AB ⊥，∴30BDE ∠=︒．∴2DB BE =，AE DB =．∴2AE BE =．设AH HB y ==， 则3AE y x =+，3BE y x =-． ∴()323y x y x =． ∴33y x =．在Rt OAH 中，2OA =，33AH x =，OH x =，222OH AH OA +=，()222332x x +=． 解得177x =，277x =-（舍去）．∴77OH =． ∴2727BC OH ==． 【点睛】本题考查了圆周角的性质，垂径定理，勾股定理，方程思想，熟练运用圆周角定理，作辅助线，构造垂径定理是解题的关键.23．如图，AB 为O 的弦，,C D 是直线AB 上两点，且AC BD =，求证：C D ∠=∠．解析：见解析【分析】过O 作OH ⊥AB 于H ，则AH =BH ；再根据线段的和差关系可得：CH =DH ，即OH 是CD 的线段垂直平分线，所以OC =OD ，继而即可求证结论．【详解】证明：如图过点O 作OH ⊥AB ，于点H ．∵AB 为O 的弦，∴AH ＝BH又∵AC ＝BD∴AC ＋AH ＝BD ＋BH ，即CH DH =又OH ⊥AB ，∴OC ＝OD ，∴∠C ＝∠D ．【点睛】本题考查了垂径定理，解答本题的关键是作辅助线，利用垂径定理和线段垂直平分线的性质证明OC =OD ．24．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°．（1）作∠ABC 的角平分线交AC 于点P ，以点P 为圆心，PA 长为半径作⊙P ，则⊙P 与BC 的位置关系是 ．（2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求⊙P 的面积．解析：（1）相切；（2）94π 【分析】 （1）先利用角平分线的性质得到点P 到BC 的距离等于PA ，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．（2）由全等三角形的性质，先求出CD=2，由勾股定理求出AC=4，再利用勾股定理求出PD 的长度即可．【详解】解：（1）作PD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图：∵PB 平分∠ABC ，∴点P 到BC 的距离等于PA ，∴PA=PD ，∴BC 为⊙P 的切线．故答案为：相切．（2）由（1）可知，易得△ABP ≌△DBP ，∴BD=AB=3，∴CD=5-3=2，∵在直角△ABC 中，由勾股定理，得22534AC =-=，设PA PD r ==，∴4PC r =-，在直角△PDC 中，由勾股定理，则()22242r r -=+， 解得：32r =， ∴圆的面积为：223924S r πππ==•=()．本题考查了圆的定义，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．25．如图，AB是圆的直径，且AD//OC，求证：CD BC=．解析：证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC或者OD都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC=．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化．26．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB关于绕着点O逆时针旋转180°得到的△OA1B1，并写出点B1的坐标；（2）点A旋转到点A1所经过的路径长为__________（结果保留π）．解析：（1）作图见解析，B1（-4，-2）；（2）4π．（1）将点A 和点B 分别绕点O 逆时针旋转90°后所得对应点，再顺次连接即可得； （2）根据弧长公式计算可得．【详解】解：（1）∴△OA 1B 1即为所求作三角形，如图，点B 1（-4，-2）．（2）∵OA ＝4，∠1AOA ＝180°，∴点A 旋转到点A 1所经过的路径长为 1804180π⋅=4π． 【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，及弧长公式．27．如图，BC 是圆O 的直径，AD 垂直BC 于D ，弧AB=弧AF ，BF 与AD 交于E ，求证：（1）AE BE =（2）若A ，F 把半圆三等分，12BC =，求AD 的长．解析：（1）见解析；（2）33【分析】 （1）连接AC ，则∠BAC=90°，进而证得∠C=∠BAE ，由弧AB=弧AF 证得∠C=∠ABF ，则∠ABE=∠BAE ，根据等腰三角形的等角对等边证得结论；（2）由A ，F 把半圆三等分可得∠ACB=30°，再由BC=12和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=6，由勾股定理求得AC=63=AC AD 的长．【详解】（1）证明：连AC ，如图，∵BC 为直径，则90BAC ∠=︒，90C ABC ∴∠+∠=︒，90BAE ABC ∴∠+∠=︒，C BAE ∴∠=∠，由弧AB=弧AF ，可得C ABF ∠=∠，ABE BAE ∴∠=∠，AE BE ∴=；（2）∵A ，F 把半圆三等分，30ACB ∴∠=︒，在直角三角形ABC 中，12BC =，则162AB BC ==，363AC AB ==， 在直角三角形ADC 中，1332AD AC ==， 所以33AD =．【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的基本知识和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答的关键．28．如图，在33⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，圆过格点A ，B ，请作出圆心O ；（2）在图2中，⊙O 的两条弦AB CD =，请作一个45圆周角．解析：（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）如图3，连接AN 、BM ，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．【详解】（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，∴AN 、BM 是直径，∴直径交点O 就是圆心．（2）如图4，连接BC 、AD 、BD∵AB=CD ，∴AB CD =，∴ADB CBD ∠=∠，又∵AC CA =，∴ABC CDA ∠=∠，∴ABD CDB ∠=∠，又∵90BED ∠=︒，∴45ABD CDB ∠=∠=︒，故连接BD ，则45BDC ∠=︒．【点睛】本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．。

九年级数学培优《圆》专题训练（一）1.凰在同一平面内与已知点O的距离等于3cm的所有点组成的图形是______________ ________ 下列说法正确的是＜）. —九直径是眩,弦是直径 B.过圆心的线段是直径U恻中彘戋的弦是直径D直径只有一条下列说法*①半■是龍‘②弧是半圆：③圆中的弧分为优弧和劣弧.其中正确的个数有（A.0 R 15.6. 如图，点C在以AH为直径的半圆上，O为圆心】ZA-20\则ZB0C9于（hA* 20°Bl 30* C, 40* D. 50"如图，AB 是®O的直径，点C、D 柱0O上，ZBOC=110\ AD//OC. JMZAOD 的度JR为（A, 70* R 60°C, 50* D- 40°如图，在AABC中，AB为OO的宜径，ZB-60\ ZC-70\则"OD的度数是（A. 80° a 90* C. 100* D. 120"如图* OA是©O的半径，AB是孩* ZCAB=45\ 04 = 8,刚AE= .)+).9. A第4题图D第5題图DB第6题图如图，已知OA、是0O的两条半径，C. D分别为OA.OB上一点, 求证：AD^BC.如图*已知同心ISO,大岡的半径AO. EO分别交小圆于C, D,求证’16如图，已知AE为@0的直径，C为圆周上一点，求证：ZACB = 90\第7题團2.C. 2maw wi幵<gw“jy JIL如图，AB. AC是©O的两条弦，且AB = AC.求证:AO±BC.12.如图，在©O中，AE为©0的弦，C、D是直线AB±两点，AC=BD9求证：OC=OD.13.如图，CD是OO的直径，A为DC延长线上一点，AE交©0于连0E, ZA-20\ AB=OC, 求ZDOE的度数•14.如图，AAZ3C和ZSABD都为直角△.且ZC=ZD=90°・求证:A. B. C. D四点在同-个圆上.15.如图，点P为0O外一点，PO及延长线分别交OO于久B,过点P作一直线交©0于M. N （界于A. B）.短合建iKSta—九年级数学培优《圆》专题训练（二）乙垂直于弦的直径（一）垂傥定理1-下列说进正确的是（>,A.平分弦的直径垂直于強B垂直于弦的直线必过圜心c.垂宜于弦的直径平分弦 a 平分崔的立径率分弦所对的弧2.如图.巳知直径AfN丄菠九E,垂足为G 下列结论「®AC=BC,rf***②AN= BN$ AM-BMi④人,其中正确的个数为（A. 1 K 2 C. 3 D. 43.已知④0的半轻为5em,国心O到弦的距离为4cm, Ijfl弦AB长为（A. 8cm K 12cmC. $cmD. 10cm4.如图，在半径为5的©O中，若弦AB=S,则△AOB的面积为（九24 BL 16 C. 12 D. 85・已知OO的半径为4,赠垂靑平分这条半径的弦长是（）.A. 273 K 473 C. 3 6 4乩如图*已知AB为®O的直径，H AB=15cm t孩CD丄AB于OA=3 J 5, mCD长为（A. 3cm B”C 12cm D.NA B7.已知©O的半径为5cm,弦AB长仇m,Gtm24cm则弦AB屮点到劣弧中点的距离是B8.如图，是两同心調中大围的弦，交小圆于GD曲点，求证；AC=BD,9.如图，在0O中*直径AB丄號ED, E为垂足，AJET-4,B10.如图，©O的两条弦AB、CD互相垂宜，垂足为E,且AB=CD, CE=1, ED=3,求。