密云区2020年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷及参考答案

2020年北京密云县第二中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则(A) 都有 (B) 都有(C) 使得f(m0+3)=0 (D) 使得f(m0+3)<0参考答案：A由可知，且。

即是方程的一个根，当时，。

由，得，设方程的另外一个根为，则，即，由可得，所以，由抛物线的图象可知，，选A.2. 设函数若是奇函数，则的值是（A）（B）（C）（D）参考答案：D因为函数是奇函数，所以，选D.3. 已知，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据二倍角余弦公式可求得，根据诱导公式可得结果.【详解】由题意得：本题正确选项：C4. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意首先构造奇函数，然后利用奇函数的性质求解函数值即可．【详解】由题意可得：是奇函数，则：，∴，即：，∴．故选：D【点睛】本题考查了奇函数的性质及其应用，函数值的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5. 为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个长度单位B．向右平行移动个长度单位C．向左平行移动1个长度单位D．向右平行移动1个长度单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x图象向左平移单位，即可，故选：A．6. 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是（A）(1，2) （B）(e，＋∞)（C）(2，3) （D）(，1)和(3，4)参考答案：C略7. 已知函数，若函数为奇函数，则实数为（）A. B. C. D.参考答案：8. 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若,且,则.B．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//βC．若，则D．若，则参考答案：D9. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A由得，因此，函数周期为2.因函数至少6个零点，可转化成与两函数图象交点至少有6个，需对底数进行分类讨论.当时：得，即.当时：得，即.所以取值范围是.10. 设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．2 C．D．0参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，则参考答案：略12. 已知数列中，满足，且，则，．参考答案：13. 已知矩形ABCD的边AB=2，AD=1，则__________.参考答案：414. 的展开式中，的系数等于40，则等于 .参考答案：【知识点】二项式定理.J3【答案解析】1 解析：解：因为展开式中的项为【思路点拨】根据题意写出特定项，直接求出a的值.15. 若圆与圆外切,则的最大值为________参考答案：16. 已知，向量与的夹角为，，则等于______．参考答案：略17. 已知过抛物线＜的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2,则|BF|= .参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A. {0,1} B. 2{|1}x x = C. 2{|0}x x > D. R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D. ln ||y x = 3. 已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是 A ．22x y >B ．11x y>C ．11()()33x y >D ．332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ． 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为C.D. 6.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=g b a a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若51()82f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．13ω=，24ϕ11π=-B ．23ω=，12ϕπ= C ．13ω=，24ϕ7π= D ．23ω=，12ϕ11π=-9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 AB ．2C． D．10. 已知函数()f x 的定义域为 ，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且 ，都有 ；② ；③是偶函数；若，，(2020)c f =，则 ，， 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．C ．D ．第9题图11主视图1俯视图2二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．抛物线2()y mx m =为常数过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．13. 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______． 14. 在ABC V 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC V 的最大内角的余弦值为_________，ABC V 的面积为_______．15. 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈；④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥． （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小．17.（本小题满分15分） 已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当π[0,]2x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．18.（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(0,1600]、(1600,3200]、(3200,4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银C 1 ABC A 1B 1第16题图D(800,1600] (1600,2400] (2400,3200] (4000,4800] (3200,4000] 消费金额/元 人数卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）． 以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．19.（本小题满分14分）已知椭圆：过点(1,2P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.（本小题满分14分）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。

密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是（ ） A. {0,1}B. 2{|1}x x =C. 2{|0}x x >D. R2.在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ） A. sin y x =B. cos y x =C. ||y x x =D.ln ||y x =3.已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. 22x y >B.11x y> C. 11()()33x y>D.332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =（ ） A. 16B. 8C. 4D. 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为（ ）A.B.C.D.6.已知平面向量a r 和b r ，则“||||b a b =-r rr ”是“1()02b a a -⋅=r r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<．若5182f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A. 13ω=，24ϕ11π=-B. 23ω=，12πϕ= C. 13ω=，724πϕ=D. 23ω=，12ϕ11π=-9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）B. 2C.D. 10.已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；②(8)()f x f x += ； ③(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c b a <<二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线2(y mx m =为常数)过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12.在61()x x+展开式中，常数项为________.(用数字作答)13.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()211n S n n n *=-∈N ，则1a=_________，n S 的最小值为_______．14.在ABC V 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC V 的最大内角的余弦值为_________，ABC V 的面积为_______．15.已知集合{}22,,A a a x y x Z y Z ==-∈∈．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A Î； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.（1）证明：1DC BC ⊥； （2）求二面角11A BD C --的大小.17.已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+- ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当[0,]2x π∈时，关于x 的不等式()f x m ≥，求实数M 的取值范围． 18.某健身机构统计了去年该机构所有消费者消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2 人，求至少有1 位消费者，其去年的消费金额超过4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在预计去年消费金额在(](]3200,4800内的消费者1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(]都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800 元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2，则可获得200 元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，设它的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B，且满足12AB F =． （Ⅰ）求椭圆C 标准方程和离心率；（Ⅰ）过点6,05Q ⎛⎫-⎪⎝⎭作不与y 轴垂直直线交椭圆C 于M 、N （异于点A ）两点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由． 20.已知函数()ln f x x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.设n 为正整数，集合A =12{|(,,,)n t t t αα=L ，{0,1}k t ∈，1k =，2，L ，}n ．对于集合A 中任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．的的的。

2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形1．（2020▪丰台高三二模）下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x=（B ）1sin 2y x= （C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x=2.（2020▪房山高三二模）函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（A ）1 （B ）2 （C ）π（D ）2π3.（2020▪海淀二模）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（A ）sin(2)6x π+（C ）cos2x （B ）2sin(2)3x π+（D ）cos2x-4．（2020▪密云高三二模）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则A ．，B ．，C ．，D ．，5.（2020▪朝阳高三二模）已知函数()sin(2)6f x x π=-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于512π（，0）中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称（C ）函数()f x 在区间ππ（-，）内又4个零点 （D ）函数()f x 在区间[,0]2π-上单调递增6. （2020▪东城高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 (A)135平方米 (B)270平方米 (C)540平方米 (D)1080平方米7.（2020▪海淀二模）在△ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π8．（2020▪西城高三二模）在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）359. （2020▪丰台高三二模）在△ABC 中，3AC =，BC =2AB =，则AB 边上的高等于（A ）（B（C（D ）3210.（2020▪房山高三二模）在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =1 （A ）（B ）（C ）（D ）11.（2020▪朝阳高三二模）圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC ∠)为26.5°,夏至正午太阳高度角(即ADC ∠)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB 的长)为a ，则表高(即AC 的长)为（A ）sin532sin 47a（B ）2sin 47sin 53a（C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a（D ）sin 26.5sin73.5sin 47a12. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在锐角ABC 中,若2,3,6a b A π===,则cosB =(A)3413. （2020▪丰台高三二模） 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α=________．14．（2020▪西城高三二模）设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为________；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为_________．15.（2020▪东城高三二模）已知1cos 23α=，则()22πcos ()2cos π2αα+--的值为________. 16.（2020▪东城高三二模）从下列四个条件①a =；②π6C =；③cos B =；④b =件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的c 的值为 ____.17.（2020▪昌平高三二模） 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上.若， 则________ ；_____ .18.（2020▪密云高三二模） 在中，三边长分别为，，，则的最大内角的余弦值为_________，的面积为_______．19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知函数()()0,0,02f x Asin x A πωϕωϕ⎪=>⎛⎫ ⎝+><⎭<同时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为π;②最大值为2;③()01f =-;④06f π⎛⎫-⎪⎝⎭= .(Ⅰ)给出函数()f x 的解析式,并说明理由;(Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间.20.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）在中，（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，,求的面积. 21.（2020▪密云高三二模）（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式_______，求实数 的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形参考答案1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.B 10.C 11.D 12.C;13. 14. ， 15.-1 16. ①③④，，或者②③④， 17. ，18. ，19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则.这与矛盾，故不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④.………………2分由条件①，得，又因为，所以.………………4分由条件②，得.………………5分由条件④，得，又因为，所以.所以.………………8分（Ⅱ）由，，………………10分得，………………12分所以函数的单调递增区间为，.………………14分（注：单调区间写成开区间亦可.）20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，因为，所以……………..2分因为，所以所以……………..4分因为，所以. ……………..6分（Ⅱ）因为，，由余弦定理可得. ……………..8分所以……………..12分所以. ……………..14分21.（本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为==．所以函数的最小正周期．因为函数的的单调增区间为，所以，解得．所以函数数的的单调增区间为，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即．因为，所以．故当，即时，取得最大值，且最大值为．所以．若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．。

2020年北京各区高三二模数学分类汇编----圆锥曲线一、选填问题：1.（2020海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）10答案 B2.（2020海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）答案22144x y -=3.（2020密云二模）.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为A.2 B.4 C.2 D.4答案A4.（2020密云二模）已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C5.(2020东城二模)双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为(A) (B) (C)2 答案B6.（2020顺义二模）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为 （A ）4（B ）2（C ）1（D ）12答案 C7. （2020顺义二模）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是____________. 答案 1a =±8. （2020顺义二模）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3:2l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤； 其中，正确结论的序号是_____________. 答案 ②③9.（2020丰台二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A （B ）2（C ）（D ）4答案D10.（2020西城二模）.焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( A) 24x y = ( B) 24y x = ( C) 28x y = ( D) 28y x =答案D11.（2020西城二模）圆224210x y x y ++-+= 截x 轴所得弦的长度等于( A)2 ( B) ( C) ( D)4 答案 B12.（2020西城二模）.能说明“若m ( n +2)≠0,则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m , n 的值是 .答案答案不唯一. 如3m =，1n =13.（2020昌平二模）已知点P 是双曲线22:14y C x -=的一条渐近线(0)y kx k =>上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横．坐标为（A ） （B （C ）± （D ）答案 A14.（2020昌平二模）已知点M 在抛物线24y x =上，若以点M 为圆心的圆与x 轴和其准线l 都相切，则点M 到其顶点O 的距离为__ .15.（2020丰台二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .答案y =16. （2020丰台二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（A （B（C ）2（D 答案C17. （2020朝阳二模）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y （D ）22(1)(1)2+++=x y答案A18. （2002朝阳二模）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A ）4 （B ）5（C ）6（D ）8 答案A19. （2020朝阳二模）已知双曲线C 的焦点为1(0,2)F ，2(0,2)F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是________；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F △的面积为________．答案2；20. （2020房山二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ． 答案 321.（2020房山二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是，△MOF （O 为坐标原点）的面积为 ． 答案12；14二、解答题部分：22.（2020海淀二模）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.答案解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直.设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++.即222814(,)4141k k C k k --++. 又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+.由1,2.y kxy=+⎧⎨=⎩得1,2.xky⎧=⎪⎨⎪=⎩所以点M的坐标为1(,2)k.所以22131k kk+==.所以1213344k k kk⋅=-⋅=-.23.（2020西城二模）答案解：（Ⅰ）由题意，得1b=，3ca=. ………………2分又因为222a b c=+，………………3分所以2a=，3c=.故椭圆E的方程为2214xy+=. ………………5分（Ⅱ）(2,0)A-，(2,0)B.设0000(,)(0)D x y x y≠，则2214xy+=. ………………6分所以直线CD的方程为011yy xx-=+，………………7分令0y=，得点P的坐标为0(,0)1xy-. ………………8分设(,)Q QQ x y，由4OP OQ⋅=u u u r u u u r，得04(1)Qyxx-=（显然2Qx≠）.……9分直线AD的方程为0(2)2yy xx=++，………………10分将Q x代入，得00000(442)(2)Qy y xyx x-+=+，即00000004(1)(442)(,)(2)y y y xQx x x--++.………………11分故直线BQ 的斜率存在，且000000(442)2(2)(442)Q BQ Q y y y x k x x y x -+==-+-- …… 12分200002000022424y y x y x x y y -+=--- 20000200002214242y y x y y x y y -+==---. ………… 13分 又因为直线BC 的斜率12BC k =-，所以BC BQ k k =，即,,C B Q 三点共线. ……………… 14分24.（2020昌平二模）（本小题15分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆M 与y 轴交于,A B 两点(A 在下方)，且||4AB =．过点(0,1)G 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点（不与A 重合）． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． 答案解：（Ⅰ）由题意得222524,,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ …………….3分即椭圆的方程为22154x y +=． …………….5分 （Ⅱ）法一由题意，直线l 的斜率存在. 当0k =时，直线l 的方程为1y =.代入椭圆方程有2x =±.则(22C D -.所以22AC AD k k ====所以12.5AC AD k k ⋅==- …………….8分当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+．由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….9分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k +=-=-++． …………10分 又(0,2)A -， 所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分 因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k -+-+++=+=+=---+即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分 法二设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+． …………….6分由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….7分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k+=-=-++． …………….9分 又(0,2)A -， 所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k -+-+++=+=+=---+即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分25.(2020东城二模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上． 答案（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分 （Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-= ， 所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>．所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=． 因为线段PQ 的中点为M ,所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B ,所以00(,1)AM x y =+uuu r ，00(1,)BM x y =-uuu r．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuu r 2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++ 322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>，所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 26.（2020密云二模）已知椭圆：过点(1,2P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由． 答案（Ⅰ）解：根据题意得22222131,42,6.a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⨯⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率е=（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为设直线的方程为：65x ty =-，联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得221264(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+．又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++ =0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o 90MAN ∠=是定值．27.（2020丰台二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r ,,求λμ+的取值范围.答案解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=． 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1) 2(1)121k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分28. （2020朝阳二模）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b的离心率为2，且椭圆C经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1=x 交于点Q ，设λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB (λ，)μ∈R ，求证：λμ+为定值．答案解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ab c a 得22=b ，24=a ． 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ．由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k 设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x 1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k 22228064881612-+--=+k k k k 0=， 所以0λμ+=.……………14分29（2020顺义二模）（本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线,AP AQ 分别与直线4x =相交于点,M N .求证：以MN 为直径的圆恒过点F .解：（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分 （II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x + 同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r 又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r -------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++ =222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分30. （2020房山二模）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为原点，点P 在椭圆C 上，点Q 和点P 关于x 轴对称，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：P ，M 两点的横坐标之积等于4，并求OM 的取值范围．答案（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.依题意，2a =，12c a =. 得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -.点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩得42x m n y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m . 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m ⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.。

2020-2021学年北京市⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析北京市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= ．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（⽤数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= ．②记Sn三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂⾜为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的⽅程及离⼼率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表⽰x1，x2，x3，…，x n中的最⼤值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最⼩值；（Ⅲ）?k∈N*，求d n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分⼦分母同时乘以1+i，直接利⽤复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的⼏何量，然后求解双曲线的渐近线⽅程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线⽅程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可⾏域如图，联⽴，解得A（），化⽬标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最⼤，z有最⼩值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成⽴，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不成⽴，若α⊥β，b?β，b⊥α不⼀定成⽴．故选：A．5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的⽐例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△=ADO=，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△==，解得DE==2．ADO∵DE⊥BC，∴BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC?BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满⾜条件，退出循环，从⽽可得判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运⾏过程，得S=0，i=1满⾜条件，执⾏循环体，S=2，i=2满⾜条件，执⾏循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满⾜条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利⽤函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成⽴；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∴满⾜不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在⼏何中的应⽤．【分析】根据题意找出使得λ+µ最⼤的顶点C，根据向量加法的平⾏四边形法则可作出平⾏四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的⼏何意义便可得出，这样由平⾯向量基本定理即可求出λ+µ的最⼤值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平⾏四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+µ最⼤；作平⾏四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；⼜；∴；即λ+µ的最⼤值为．故选C．⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等⽐数列的通项公式；等⽐数列的前n项和．【分析】根据等⽐数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】求出极坐标⽅程的普通⽅程，利⽤点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通⽅程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利⽤正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体为三棱锥．AC⊥侧⾯PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为三棱锥，AC⊥侧⾯PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（⽤数字作答）【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= 1512 ．②记Sn【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：②a1当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满⾜条件．∴a=．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），②a1∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三⾓函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利⽤周期公式可求ω，⼜函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，⼜结合范围﹣＜x0＜，从⽽可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利⽤正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本⼩题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，⼜∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，⼜|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，⼜∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利⽤均值与⽅差的定义分别求出甲、⼄两校新⽣的数学成绩的均值与⽅差，从⽽得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差⼩于⼄校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差．（2）设事件D=“从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++?=，因此，从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平⾯所成的⾓；直线与平⾯平⾏的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平⾯BC1D，由线⾯平⾏的性质得出AB1∥EF；。

2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线1.（2020▪海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）102．（2020▪西城高三二模）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =-（C ）1y =（D ）1y =-3．（2020▪西城高三二模）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞4.（2020▪东城高三二模）双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C的离心率为(C) 2 5.（2020▪朝阳高三二模）圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（A ）22(1)1y +-=（x-1） （B ）22(1)1y ++=（x+1） （C ）22(1)2y +-=（x-1） （D ）22(1)2y ++=（x+1） 6.（2020▪朝阳高三二模）直线l 过抛物线22x y=的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点1122(,),(,).A x yB x y 若123x x +=，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5（C ）6 （D ）87. （2020▪西城高三（下）6月模拟）焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)24x y =(B)24y x =(C)28x y =(D)28y x =8. （2020▪西城高三（下）6月模拟）圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于(A)2(B)(C)(D)49.（2020▪昌平高三二模）已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横．坐标为（A ） （B ） （C ） （D ）10．（2020▪丰台高三二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A ）2（B ）2（C ）22（D ）411.（2020▪房山高三二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点(1,3)，则该双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2（D ）512.（2020▪密云高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为A. B. C. D.13．（2020▪密云高三二模）已知圆，若点P 在圆上，并且点P 到直线的距离为，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．414.（2020▪海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）15. （2020▪丰台高三二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为_______.16．（2020▪丰台高三二模）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________．17．（2020▪西城高三二模）若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.（2020▪朝阳高三二模）已知双曲线C 的焦点为12(0,2),(0,2),F F -实轴长为2，则双曲线C 的离心率是；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12,FQ F Q ⊥则12QF F V 的面积为19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）能说明“若()20m n +≠,则方程2212mn yx+=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_______ 20.（2020▪昌平高三二模）已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_______ .21.（2020▪昌平高三二模）曲线C :,点在曲线上．给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上的点的横坐标的取值范围是；③若,，则存在点,使△的面积大于.其中，所有正确结论的序号是________．22.（2020▪房山高三二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ．23.（2020▪房山高三二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是_______，△MOF （O 为坐标原点）的面积为 ． 24．（2020▪密云高三二模）抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为_______.25.（2020▪海淀二模）（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.26．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．27.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上．28.（2020▪朝阳高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点 （I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 与直线1x =交于点Q ,设,(,),AP PB AQ QB R λμλμ==∈u u u r u u u r u u u r u u u r求证：λμ+为定值.29. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10yE a b x a b+=>>经过点()0,1C ,离心率为2.O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设,A B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点(不在坐标轴上),直线CD 交x 轴于点,P Q 为直线AD 上一点,且OP OQ 4=u u u r u u u rg ,求证:,,C B Q 三点共线.30.（2020▪昌平高三二模）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．31. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 4.过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.32.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）．已知椭圆C的两个顶点分别为(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为1A ，(2,0)2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围．33.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线参考答案1.B2.D3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.A 10.D 11.C 12.A 13.C;14. 15. 16. ②③④ 17. 18. ；19. 答案不唯一. 如， 20. 21. ①② 22. 3 23. ；24.25.（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩， 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直. 设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++. 即222814(,)4141k k C k k --++.又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-. 26．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分 从而223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-u u u r ，(3,3)FQ =u u u r ，故0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，即90PFQ ∠=o ．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAF NxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分 令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分 同理可得222(4,)2y Q x -．………………12分所以112(3,)2y FP x =-u u u r ，222(3,)2y FQ x =-u u u r ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--u u u r u u u r212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=o ．综上，90PFQ ∠=o .………………14分 27.（本小题14分）（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-=，所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>． 所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=．因为线段PQ 的中点为M , 所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B , 所以00(,1)AM x y =+uuu r，00(1,)BM x y =-uuur ．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuur2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>， 所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 28.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c a b c a 得22=b ，24=a ．所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ． 由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k ．设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k22228064881612-+--=+k k k k 0=，所以0λμ+=.……………14分29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得，.………………2分又因为，………………3分 所以，.故椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ），.设，则.………………6分所以直线的方程为，………………7分令，得点的坐标为.………………8分设，由，得（显然）.……9分 直线的方程为，………………10分将代入，得，即. ………………11分故直线的斜率存在，且……12分.…………13分又因为直线的斜率，所以，即三点共线.………………14分30.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得解得…………….3分即椭圆的方程为．…………….5分（Ⅱ）法一由题意，直线的斜率存在.当时，直线的方程为.代入椭圆方程有.则.所以所以…………….8分当时，则直线的方程为．由，得.…………….9分设，，则．…………10分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分法二设直线的斜率为，则直线的方程为．…………….6分由，得.…………….7分设，，则．…………….9分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分31.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．………3分（Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,． 联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞．………7分 （Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,,所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,. 同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分32.（本小题14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 依题意，2a =，12c a =.得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -. 点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩ 得42x m ny m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m. 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.33.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得解得所以椭圆的方程为，离心率．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为．设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．方法二（1）当直线垂直于轴时解得与的坐标为．由点，易证．（2）当直线斜率存在时设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．。

局二试题密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6、选择题：本大题共 符合题目要求的一项. 10小题,每小题 共40分.在每小题列出的四个选项中 ，选出1.已知集合M {x A. {0,1}R|x> 0} , N 一- 2 _ B. {x|x 2 1} 则在下列集合中符合条件的集合N 可能是■2…C. {x|x 2 0}D.2.在下列函数中, 定义域为实数集的偶函数为 A. y sin x B . y cosx C. y x|x| D.y ln|x|3.已知x 则下列各不等式中一定成立的是C. D.3x 3 y 24.已知函数 f (x)满足 f(x 1)2f(x)，且 f(5)3f⑶ 4,则B.C. 4D.5.已知双曲线 1(a 0)的一条渐近线方程为x 2y 0,则其离心率为A 技f\. 2B.476.已知平面向量a 和b,则" |b| |a b|” 是“ (bA.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2a 母B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件0”的2 7.已知圆C ：x 2 - (y 1) 2, 若点P 在圆C 上, 并且点p 到直线y x的距离为华则满足条件的点 P 的个数为 C.1 -sin( x 且f (x)的最小正周期大于2 ,则 8 .设函数f(x) ), ..5 1 •若叩；，官°，82824 B. 12 C.24D.129.某-棱锥的-视图如图所示，则该-棱锥中最长的棱长为A .厄B . 2C.2也D.2^3第9题图10.已知函数f (x)的定义域为R,且满足下列三个条件：①对任意的为总乏丘［4.8］，且工］芋厘，都有; --------- 了―;—A；②;③F=/(X-4)是偶函数；若” 5 = , c f (2020)，贝U气奴r的大小关系正确的是A . a b C B. h < a <c C. D . c <a 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11 .抛物线y2mx(m为常数)过点(1,1),则抛物线的焦点坐标为1.6 _ . ........... ...........................................12.在(X -)的展开式中，常数项为 .(用数字作答).13.已知&是数列{a n}的前n项和，且& n2 11n(n N*)，则a〔=, &的最小值为.14.在VAB C中，三边长分别为 a 4 , b 5 , c 6,则VAB C的最大内角的余弦值为, VABC的面积为.15.已知集合A {a|a x2 y2,x Z,y Z}.给出如下四个结论：① 2 A,且3 A;②如果B {b|b 2m 1,m N*}，那么B A；③如果C {c|c 2n 2,n N*}，那么对于c C,则有c A；那么a1a2A.④如果a1 A, a2A,其中，正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. (本小题满分14分)1…如图，直二梭柱 ABC A 1B 1C 1 中，AC BC — AA), D 是棱AR 的中点，DC i BD .(I)证明：DC 1 BC ;(口)求二面角 A 1 BD 。

2020届高三数学下学期二模试题（含解析）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果.【详解】因为，所以其在复平面内对应的点为位于第二象限.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型.2. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令且即可求解.【详解】由题意得：得且，所以函数的定义域为，故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3. 如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误；对于选项B，当时，a2＞b2＞c2错误；对于选项C，当a=1，b=0，时，a+c＞2b错误；对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4. 圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 圆心为，满足，即圆心在直线，代入，即成立，正确；B. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；C. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；D. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5. 直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.【详解】由题意得，由抛物线的定义知：，故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6. 设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若，则，即，，即，所以，数列为递减数列，充分性成立；必要性：若为递减数列，则，即，，则，必要性成立.因此，“”是“为递减数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 已知函数则下列四个结论中正确是（）A. 函数的图象关于中心对称B. 函数图象关于直线对称C. 函数在区间内有4个零点D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得答案.【详解】A. ，错误；B. ，错误；C. 当时，函数，当，，，时，，正确；D. 由，得单调递增区间为，令，所以在区间上不单调递增，错误.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.【详解】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，，所以,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.9. 在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】设，，然后选取为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为的函数，由函数知识得最大值．【详解】设，，则，，∴，∵，∴时，取得最大值5．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．10. 设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）成立，那么称函数在D上具有性质业．现有函数：①; ②; ③; ④．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】对各个选项分别加以判断：根据性质的函数定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.【详解】①的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，其定义域上具有性质的函数；②定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）不恒成立，例如，，不存在唯一的，故②不是定义域上具有性质的函数；③定义域为，值域为，而且是单调递增函数，所以对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，，其定义域上具有性质的函数；④定义域为，函数的值域为，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在，使得（m为常数）恒成立，但不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数；所以①和③是定义域上具有性质的函数；故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质的含义，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知平面向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】，，若，则，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.12. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】由二项式展开式通项有，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为，∴当时，常数项，故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题；13. 某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．【答案】12【解析】【分析】先根据三视图判断其直观图，再利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】根据三视图可知其对应的直观图如下：下底面是等腰梯形，，，高为3，侧棱平面ABCD，，故体积.故答案为：12.14. 已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是______；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】易得，，再结合，可知，然后由求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为，设点，分别求出和，根据列出方程，求出x 的值，然后可得点到y轴的距离，，最后计算的面积.【详解】易知，，所以，又，，所以；所以双曲线的方程为：，其中经过一、三象限的渐近线方程为，故可设点，所以，，因为，所以，即，解之得：，所以点到y轴的距离为，又，所以：.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.15. 颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i 种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】②④【解析】【分析】先根据题意分析得直线的斜率越大，颗粒物过滤效率越小，再看图逐一分析结论即可.【详解】依题意，，知直线的斜率越大，颗粒物过滤效率越小. 看图分析如下：在第1种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最大，故最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最小，故最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线斜率大于斜率，，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，斜率大于直线，斜率，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确.故答案为：②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知是公差为d的等差数列，其前n项和为，且，___________．若存在正整数n，使得有最小值．（Ⅰ）求的通项公式;（Ⅱ）求的最小值．从①，②，③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】分别选择①②③，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可．【详解】解：①时，根据题意得，1−（−1）＝2d，解得d＝1，（Ⅰ）;（Ⅱ）所以当n＝3或4时，＝−6.②时，根据题意得，（Ⅰ）（Ⅱ），所以当n＝4时，＝−16，③时，根据题意得，（Ⅰ）；（Ⅱ），此时没有最小值．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，关键是利用等差数列求和公式的函数性质来解题，属于基础题.17. 如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且．（1）求证：平面；（2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；（3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）答案见详解；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】(1) 由和，利用线面垂直的判定定理即证结论；(2)先根据等体积法计算点B到平面ADE的距离d，再利用正弦等于即得结果；(3) 先取DC，AB上点N，G使得CN=BG=1，证明平面MNG 平面ADE，即得平面ADE，.【详解】解：（1）证明：正方形中，，又，，平面，所以平面；（2）设直线BD与平面ADE所成角为，点B到平面ADE的距离d，则.依题意，，由（1）知平面，得平面平面，故点E到平面的距离，中，，又，故根据等体积法，得，即，故，故直线BD与平面ADE所成角的正弦值是；（3），平面，平面，平面，又平面平面，平面，.分别取DC，AB上点N，G，使得CN=BG=1，又，故四边形CNGB是平行四边形，，又NG在平面ADE 外，BC在平面ADE内，平面ADE，取DC中点H，则DH=EF=2，又，故四边形EFDH是平行四边形，，又，M是CF的中点，故MN是中位线，，又MN在平面ADE外，DE在平面ADE内，平面ADE，因为MN，NG相交于平面MNG内，所以平面MNG平面ADE，又平面MNG，故此时平面ADE，.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.18. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如下的频率分布直方图：（I）求a的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为．有同学认为，你认为正确吗？说明理由．【答案】（I）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）不正确，理由见解析.【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a的值（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在和的无人驾驶汽车数量，的所有可能取值为，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.（Ⅲ）由于样本具有随机性，故，是随机变量，受抽样结果的影响，这种说法不正确.【详解】（I）由题意可知:，所以；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，有题意可知：的所有可能取值为，，，所以的分布列为所以的数学期望为.（Ⅲ）这种说法不正确，理由如下：由于样本具有随机性，故，是随机变量，受抽样结果的影响.因此有可能更接近，也有可能更接近，所以不恒成立，所以这种说法不正确.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率得，由椭圆过一点．得，两者结合可解得，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程后可得，由，，把用表示，然后计算并代入即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意，解得，∴椭圆方程为；（Ⅱ）易知直线斜率存在，设其方程为，设，由，消元整理得，∴，，把代入得，即，由，得，，由，得，，∴，∴为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得，把它代入题中需求的量化简可得结论．20. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线的斜率为1.（ⅰ）求a的值；（ⅱ）证明：函数在区间内有唯一极值点；（2）当时，证明：对任意，.【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把代入导函数中使其值等于零，可求出a的值；（ⅱ）令，则，可得在上的单调性，也是在上的单调性，而，，，所以存在唯一的是的变号零点，故函数在区间内有唯一极值点；（2）由（1）可知，在内单调递增，在内单调递减，当时，，，所以分两类讨论：（i）若，易证在内单调递增，，符合题意，（ii）若，可得在区间内有且只有一个零点，记为，而函数在内单调递增，在内单调递减，可得，符合题意.【详解】（1）（ⅰ）因为，所以.因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，即，故.经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可知，.设，则.令，又，得.当时，﹔当时，，所以在内单调递增，在内单调递减.又，，，因此，当时，，即，此时在区间上无极值点；当时，有唯一解，即有唯一解，且易知当时，，当时，，故此时在区间内有唯一极大值点.综上可知，函数在区间内有唯一极值点.（2）因为，设，则.令，又，得.且当时，﹔当时，，所以在内单调递增，在内单调递减.当时，，，.（i）当，即时，.此时函数在内单调递增，﹔（ii）当，即时，因为，，所以，在内恒成立，而在区间内有且只有一个零点，记为，则函数在内单调递增，在内单调递减.又因为，，所以此时.由（i）（ii）可知，当时，对任意，总有.【点睛】此题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.21. 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．（I）若，，写出，的值;（Ⅱ）求的最大值;（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．【答案】（1），；（2）4；（3），或.【解析】【分析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值；（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，故，所以，设，则是的因数，所以是的因数，且是的因数，因为，所以，因为是的因数，所以，因为是的因数，所以是的因数，因为，所以，所以或，故，或，所以当取到最大值4时，故，或.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质2020届高三数学下学期二模试题（含解析）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果.【详解】因为，所以其在复平面内对应的点为位于第二象限.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型.2. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令且即可求解.【详解】由题意得：得且，所以函数的定义域为，故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3. 如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误；对于选项B，当时，a2＞b2＞c2错误；对于选项C，当a=1，b=0，时，a+c＞2b错误；对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4. 圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 圆心为，满足，即圆心在直线，代入，即成立，正确；B. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；C. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；D. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5. 直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.【详解】由题意得，由抛物线的定义知：，故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6. 设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若，则，即，，即，所以，数列为递减数列，充分性成立；必要性：若为递减数列，则，即，，则，必要性成立.因此，“”是“为递减数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属7. 已知函数则下列四个结论中正确是（）A. 函数的图象关于中心对称B. 函数图象关于直线对称C. 函数在区间内有4个零点D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得答案.【详解】A. ，错误；B. ，错误；C. 当时，函数，当，，，时，，正确；D. 由，得单调递增区间为，令，所以在区间上不单调递增，错误.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.【详解】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，，所以,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.9. 在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】设，，然后选取为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为的函数，由函数知识得最大值．【详解】设，，则，，∴，∵，∴时，取得最大值5．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．10. 设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）成立，那么称函数在D上具有性质业．现有函数：①; ②; ③; ④．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】对各个选项分别加以判断：根据性质的函数定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.【详解】①的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，其定义域上具有性质的函数；②定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）不恒成立，例如，，不存在唯一的，故②不是定义域上具有性质的函数；③定义域为，值域为，而且是单调递增函数，所以对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，，其定义域上具有性质的函数；④定义域为，函数的值域为，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在，使得（m为常数）恒成立，但不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数；所以①和③是定义域上具有性质的函数；故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质的含义，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知平面向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】，，。

2020届北京市密云区高三第二学期第二次阶段性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是（ ）A ．{0,1}B ．2{|1}x x =C ．2{|0}x x >D ．R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．||y x x =D ．ln ||y x = 3．已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ）A ．22x y >B ．11x y >C ．11()()33x y >D ．332x y -+> 4．已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．25．已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为（ ）A B ．4 C ．2 D ．46．已知平面向量a r 和b r ，则“||||b a b =-r r r ”是“1()02b a a -⋅=r r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<．若5182f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．13ω=，24ϕ11π=- B ．23ω=，12πϕ= C ．13ω=，724πϕ= D ．23ω=，12ϕ11π=- 9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）AB ．2 C．D．10．已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件：①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ； ②(8)()f x f x += ；③(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a << 11．抛物线2(y mx m =为常数)过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x +的展开式中，常数项为________.(用数字作答)13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()211n S n n n *=-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______．14．在ABC V 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC V 的最大内角的余弦值为_________，ABC V 的面积为_______．15．已知集合{}22,,A a a x y x Z y Z ==-∈∈．给出如下四个结论：①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A Î；④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈．其中，正确结论的序号是__________．16．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.（1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.17．已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+- ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间和最小正周期； （Ⅱ）若当[0,]2x π∈时，关于x 的不等式()f x m ≥，求实数M 的取值范围．18．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在(] 0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(]1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(] 3200,4800内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭，设它的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，且满足12AB F =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6,05Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭作不与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M 、N （异于点A ）两点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由．20．已知函数()ln f x x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）设函数1()()a h x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21．设n 为正整数，集合A =12{|(,,,)n t t t αα=L ，{0,1}k t ∈，1k =，2，L ，}n ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ． （Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．参考答案1．A【解析】【分析】根据集合间的包含关系进行判断即可.【详解】因为N M ⊆，所以集合N 是集合M 的子集对A 项，{0,1}{|0}x x ⊆∈R ≥，故A 正确；对B 项，{}2{|1}1,1N x x ===-，由于1{|0}x x -∉∈R ≥，则2{|1}x x =不是{|0}x x ∈R ≥的子集，故B 错误；对C 项，由于21{|0}x x -∈>，1{|0}x x -∉∈R ≥，则2{|0}x x >不是{|0}x x ∈R ≥的子集，故C 错误；对D 项，由于1,1{|0}R x x -∈-∉∈R ≥，则R 不是{|0}x x ∈R ≥的子集，故D 错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域，即可得出答案.【详解】对A 项，令()sin f x x =，定义域为R ，()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，则函数sin y x =为奇函数，故A 错误；对B 项，令()cos f x x =，定义域为R ，()cos()cos ()f x x x f x -=-==，则函数cos y x =为偶函数，故B 正确；对C 项，令()||f x x x =，(1)1(1)1f f -=-≠=，则函数||y x x =不是偶函数，故C 错误；对D 项，ln ||y x =的定义域为{|0}x x ≠，故D 错误；故选：B【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题.3．D【解析】【分析】取特殊值排除A ，B 选项，利用指数函数的性质判断C 选项，利用指数函数的性质结合基本不等式，从而判断D 选项.【详解】对A 项，取1,2x y =-=-，则2214x y =<=，故A 错误；对B 项，取11,2x y ==，则1112x y =<=，故B 错误； 对C 项，1()3x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，x y >，1133x y ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对D 项，()3x g x =Q 在R 上单调递增，x y >，33x y ∴>则3333x y y y --+>+，332y y -+≥=，当且仅当0y =时取等号即332x y -+>，故D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查了根据已知条件判断所给不等式是否成立，涉及了指数函数性质的应用，属于中档题4．B【解析】【分析】根据(1)2()f x f x +=可得()5f ,()3f 与()4f 的关系,进而求得关于()4f 的表达式求解即可.【详解】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =. 故选：B【点睛】 本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.5．A【解析】【分析】根据渐近线方程得出4a =，结合离心率公式求解即可.【详解】20x y +=可化为12y x =- 12=，解得4a =则e == 故选：A【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了双曲线性质的应用，属于中档题. 6．C【解析】【分析】||||b a b =-r r r 两边平方得出22()b a b =-r r r ，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭r r r ，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-r r r r r r22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r r r则“||||b a b =-r r r ”是“1()02b a a -⋅=r r r ”的充分必要条件 故选：C【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.7．C【解析】【分析】设()00,P x y ，根据点到直线的距离公式得出22000021x y x y +-=，再结合点P 在圆C 上，得出2200021x y y +-=，联立两式，求解方程组，即可得出答案.【详解】设()00,P x y ，由点P 到直线y x =2= 两边平方整理得到22000021x y x y +-=①()00,x y Q 在圆C 上，()220012x y ∴+-=，即2200021x y y +-=② 联立①②得()0010y x -=解得00y =或01x =当00y =时，由①②可得201x =，解得01x =或01x =-，即(1,0)P 或(1,0)P -当01x =时，由①②可得20020y y -=，解得00y =或02y =，即(1,0)P 或()1,2P综上，满足条件的点P 的个数为3个故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题. 8．B【解析】【分析】 由5182f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得52()82k k Z ππωϕπ+=+∈，由08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得()118k k Z πωϕπ''+=∈，联立方程组得出()24233k k ω'=-+-，由周期公式得出01ω<<，从而得到2k k '-的范围，进而得出ω的值，再由52()82k k Z ππωϕπ+=+∈得出ϕ. 【详解】由5182f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得52()82k k Z ππωϕπ+=+∈①由08f 11π⎛⎫=⎪⎝⎭，得()118k k Z πωϕπ''+=∈② 由①②可得()24233k k ω'=-+- 因为最小正周期22T ππω=>，所以01ω<<，则()2402133k k '<-+-< 即15224k k '<-<，因为2k k Z '-∈，所以21k k '-=，所以23ω=又||ϕπ<，将23ω=代入①得12πϕ= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质得出正弦型函数的解析式，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】根据三视图画出原图，并由此计算出最长的棱长. 【详解】由三视图画出原图如下图所示几何体A BCD -，由三视图可知平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，F 是BD 的中点，所以AF BD ⊥，根据面面垂直的性质定理可知AF ⊥平面BCD，且1AF =.作CE BD ⊥，交DB 的延长线于E ，根据三视图可知CE =1BE =，1BF FD ==，所以AB AD ===2BD =，2BC ==，CD ===AC ==所以最长的棱长为CD =故选：D【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】由已知条件可知()f x 在[]4,8上单调递增，周期为8，对称轴为4x =.则()7a f =，()5b f =，()4c f =，再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解：由①知，()f x 在[]4,8上单调递增；由②知，()f x 的周期为8； 由③知，()f x 的对称轴为4x =；则()()()717a f f f =-==，()()()()1183835b f f f f =-==-=，()()202025284c f f =-⨯=，因为457<<，由函数的单调性可知，c b a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质. 11．1(,0)4- 【解析】 【分析】将已知点代入抛物线方程求出m 的值，再将原方程转化为抛物线标准方程，求出p 的值，判断焦点位置，最后可得抛物线的焦点坐标. 【详解】将点(1,1)-代入抛物线2y mx =，解得1m =-, ∴抛物线方程为2122y x x =-=-⨯， ∴12p =，焦点在x 负半轴上, ∴抛物线的焦点坐标为1(,0)4-.故答案为：1(,0)4-. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线方程，通过抛物线方程求抛物线的焦点坐标，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题. 12．20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =. 故答案为：20. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 13．10- 30- 【解析】 【分析】由11a S =可求得1a 的值，利用二次函数的基本性质可求得n S 的最小值. 【详解】()211n S n n n *=-∈N Q ，211111110a S ∴==-⨯=-.22111211124n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭Q ，所以，当5n =或6时，n S 取得最小值30-. 故答案为：10-；30-. 【点睛】本题考查利用n S 求1a ，同时也考查了利用二次函数的基本性质求n S 的最值，考查计算能力，属于基础题.14．18 4【解析】 【分析】由题意可得ABC V 的最大内角为C ，再根据余弦定理即可求出cos C ，由同角的平方关系可求出sin C ，再根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵4a =，5b =，6c =，∴ABC V 的最大内角为C ，其余弦值222cos 2a b c C ab+-=16253612458+-==⨯⨯， ∵0C π<<，∴sin 8C ==，∴ABC V 的面积in 12s S ab C =1452=⨯⨯=故答案为：18 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及其应用，属于基础题． 15．①②④． 【解析】 【分析】①：举例子可证3A ∈，由()()a x y x y =+-的性质可知，其结果为奇数或能被4整除的偶数，即可判断2A ∉；②由()22211,m m m m N *-=--∈可得B A ⊆；③当2n =时，6c =由①可得6A ∉；④设22221112221212,,,,,a x y a x y x x y y Z =-=-∈，则由()()221212122211a x x y y x y x a y A =+-+∈.【详解】解：①：()()a x y x y =+-，由,x y x y +-的奇偶一致，若同为奇数，a 此时为奇数； 若同为偶数，a 此时为偶数，且能被4整除，因此2A ∉.当2,1x y ==时，223x y -=，所以3A ∈.综上所述，①正确.②：因为()22211,m m m m N *-=--∈，所以21m A -∈，即B A ⊆，则②正确. ③：假设③正确，则对于n *∈N ，()()22x y x n y +=+-成立，当2n =时，226n +=， 由①知，a 为奇数或能被4整除的数，因此6A ∉，故③错误；④：设22221112221212,,,,,a x y a x y x x y y Z =-=-∈，则()()2222112122x y x a y a --=()()()()()()2222221212122112121221x x y y x y x y x x y y x y x y A =+--=+-+∈，即12a a A ∈，所以④正确. 故答案为: ①②④. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了运算求解能力和化归思想.16．（1）见解析；（2）030【解析】【分析】【详解】试题分析：（I）易证DC1⊥BD,再根据勾股定理证DC1⊥DC,从而可证得DC1⊥平面DCB,得到DC1⊥BC.(II)求二面角关键是作出二面角的平面角，取A1B1的中点为M，连结C1M、DM,证明∠C1DM 是A1−BD−C1的平面角即可.（Ⅰ）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D是AA1的中点，∴ DC = DC1又AC=12AA1，∴ DC12 + DC2 =CC12，∴ DC1⊥DC又DC1⊥BD，且DC1∩DC=D，∴ DC1⊥平面DCB．∴ DC1⊥BC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DC1⊥BC，又CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1∴ BC⊥平面CDC1，∵ B1C1∥BC ∴B1C1⊥平面CDC1∴ B1C1⊥A1C1，△A1C1B1为等腰直角三角形取A1B1的中点为M，连结C1M、DM∵直棱柱的底面A1B1C1⊥侧面AB1，C1M⊥A1B1∴ C1M⊥平面AB1，C1M⊥BD．由（Ⅰ）知，DC1⊥平面DCB，∴DC1⊥BD又C1M∩DC1=C1，∴BD⊥平面C1MD ，MD⊥BD∴∠C1DM是A1−BD−C1的平面角．在Rt △C 1MD 中，C 1A 1C 1，111C D ==， ∴sin ∠C 1DM=11C M C D =12， ∴∠C 1DM=30o ∴二面角A 1−BD−C 1的大小为30o ．考点：本小题主要考查了线线，线面，面面之间的垂直与平行关系，以及二面角等知识. 点评：掌握线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是求解空间的角与距离的关键.求角的步骤为：一作，二证，三指，四求. 17．（Ⅰ）[,],36k k k Z ππππ-++∈，T π=；（Ⅱ）1m ≤-．【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数()f x 进行化简，进而得到单调递增区间，再利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最小值，结合正弦函数的定义域求出()f x 的最小值，即可知m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）解：因为22(cos cos sin f x x x x x +-=)22n 2πsin(6cos 2x x x ++=所以，函数()f x 的最小正周期T π=，因为函数sin y x =的的单调增区间为ππ[2π,2π],22k k k -++∈Z ，所以，222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈, 解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数数()f x 的的单调增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈,（Ⅱ）解：由题意可知，若当[0,]2x π∈时，关于x 的不等式()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤ 因为[0,]2x π∈，所以72666x πππ≤+≤故当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值，此时最小值为()12f π=-，所以，1m ≤- 【点睛】本题考查两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，属于简单题,一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心 18．（1）1933（2）预计方案2投资较少.详见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解。

密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A. {0,1} B. 2{|1}x x = C. 2{|0}x x > D. R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D. ln ||y x =3. 已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是A ．22x y >B ．11x y> C ．11()()33x y >D ．332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8 C ．4 D ． 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为 A.52 B.174 C. 32 D. 1546.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=g b a a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为22，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若51()82f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．13ω=，24ϕ11π=-B ．23ω=，12ϕπ= C ．13ω=，24ϕ7π= D ．23ω=，12ϕ11π=-9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为1A ．2B ．2C ．22D ．2310. 已知函数()f x 的定义域为 ，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且，都有；② ；③ 是偶函数；若，，(2020)c f =，则 ，， 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．C ．D ．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．抛物线2()y mx m =为常数过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．13. 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______．14. 在ABC V 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC V 的最大内角的余弦值为_________，ABC V 的面积为_______．15. 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.16.（本小题满分14分）C 1A 1B 1如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥． （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小．17.（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当π[0,]2x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．18.（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(0,1600]、(1600,3200]、(3200,4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．19.（本小题满分14分） 已知椭圆：过点3(1,)2P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，(800,1600] 40 30 20 10 0[0,800](1600,2400] (2400,3200] (4000,4800](3200,4000] 820253584消费金额/元人数上顶点为，且满足．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.（本小题满分14分）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷参考答案 2020.6一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDBACCBDD二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．1(,0)4- 12．20 13．10-；30- 14．18；157415. ①②④． 备注：（1）若小题有两问，第一问3分，第二问2分；（2）第15题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案0分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．因为112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，所以ADC ∆和11A DC ∆均为等腰直角三角形．所以o1145ADC A DC ∠=∠=． 因此o190C DC ∠=，即1C D DC ⊥． 因为1DC BD ⊥，BD DC D =I ， 所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，，，1(0,0,2)C ， 所以1(0,0,1)A D =-u u u u r ，1(1,1,2)A B =--u u u r ，1(1,0,1)C D =-u u u u r ，1(0,1,2)C B =-u u u r． 设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，由1100.A D AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r，m m 得020.z x y z -=⎧⎨-+-=⎩， 令1x =，则(1,1,0)=m ．设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，由1100.C D C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r ，n n 得020.x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则(1,2,1)=n ．则有1112013cos ,.||||226⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅⨯m n m n m n因为二面角1A BD C --为锐角，C 1ABC A 1 B 1第16题图DDC 1 AB C A 1 B 1第16题图zxy所以二面角1A BD C --的大小为π6． 17. （本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为22()=23sin cos cos sin f x x x x x +-=3sin 2cos 2x x + =π2sin(2)6x +．所以函数()f x 的最小正周期πT =． 因为函数sin y x =的的单调增区间为ππ[2π,2π],22k k k -++∈Z ， 所以πππ2π22π,262k x k k -+++∈Z ≤≤， 解得ππππ,36k x k k -++∈Z ≤≤．所以函数数()f x 的的单调增区间为ππ[π,π],36k k k -++∈Z ，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π()26f =．所以2m ≤．若选择②由题意可知，不等式()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为π()12f =-．所以1m -≤．18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.由图可知，去年消费金额在(3200,4000]内的有8人，在(4000,4800]内的有4人， 消费金额超过3200元的“健身达人”共有 8+4=12（人），从这12人中抽取2人，共有212C 种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112844C C C +种不同方法．所以，()P A =11284421219=33C C C C +． （Ⅱ）解：方案1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为820257100+⨯=，25352515100+⨯=，12253100⨯=， 按照方案1奖励的总金额为1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．方案2 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为121525C P C ==，所以03012133323281(0)()()()()5555125P C C η==+=， 21233236(200)()()55125P C η===， 3033328(300)()()55125P C η===． 所以η的分布列为：数学期望为81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额为2(28602123)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=（元），因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2222222131,4152,6.a b a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⨯⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率3е2=．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为． 设直线的方程为：65x ty =-， 联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得221264(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． B AM N Qxy显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+．又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++=0所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，所以1'()1,0f x x x=->，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．所以切线方程为1y =．（Ⅱ）解：1()ln 0ah x x a x x a x+=-+>∈R ，，． 所以221(1)(1)'()10a a x x a h x x x x x ++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>． （1）当10a +≤，即a ≤-1时因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >．此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：x(0,1)a +1a +(1,)a ++∞'()h x − 0 + ()h x↘极小值↗所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++，即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =L 成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====L L ， 11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=L L ，对于任意的2,3,,k n =L ，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====L L L ．所以01n A A A A =U UL U ．高三数学试题参考答案 第11页共11页 假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-L ）中，不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =L ；对于1,2,,1k n =-L ，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈L ，且10k n x x +===L ；n n e A ∈． 令01{,,,}n B e e e =L ，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．。

密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A.{0,1} B.2{|1}x x = C. 2{|0}x x > D. R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D.ln ||y x =3.已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是A ．22x y >B ．11x y> C ．11()()33x y > D ．332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8 C ．4 D ． 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为6.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=g b a a ”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若51()82f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．13ω=，24ϕ11π=-B ．23ω=，12ϕπ= C ．13ω=，24ϕ7π= D ．23ω=，12ϕ11π=-9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 AB ．2 C． D．10.已知函数()f x 的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，且，都有；②；③是偶函数；若，，(2020)c f =，则，，的大小关系正确的是 A ．a b c <<B ．C ．D ．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．抛物线2()y mx m =为常数过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．13.已知n S是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______．14. 在ABC V 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC V 的最大内角的余弦值为_________，ABC V 的面积为_______．15. 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．第9题图11主视图1俯视图2三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥．（Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小．17.（本小题满分15分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当π[0,]2x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥_______，求实数的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．18.（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率； （Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(0,1600]、(1600,3200]、(3200,4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案： 方案按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员C 1 A BC A 1B 1第16题图D(800,1600] (1600,2400] (2400,3200] (4000,4800](3200,4000] 消费金额/元人数均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．19.（本小题满分14分）已知椭圆：过点P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.（本小题满分14分）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷参考答案 2020.6一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．1(,0)4- 12．20 13．10-；30- 14．18 15. ①②④． 备注：（1）若小题有两问，第一问3分，第二问2分；（2）第15题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案0分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．因为112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，所以ADC ∆和11A DC ∆均为等腰直角三角形．所以o1145ADC A DC ∠=∠=．因此o190C DC ∠=，即1C D DC ⊥．因为1DC BD ⊥，BD DC D =I ， 所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，，，1(0,0,2)C ， C 1ABC A 1 B 1所以1(0,0,1)A D =-u u u u r ，1(1,1,2)A B =--u u u r ，1(1,0,1)C D =-u u u u r ，1(0,1,2)C B =-u u u r ． 设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，由1100.A D AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r，m m 得020.z x y z -=⎧⎨-+-=⎩， 令1x =，则(1,1,0)=m ．设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，由1100.C D C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r ，n n 得020.x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则(1,2,1)=n ．则有cos ,||||⋅<>===⋅m n m n m n因为二面角1A BD C --为锐角， 所以二面角1A BD C --的大小为π6． 17. （本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为22(cos cos sin f x x x x x +-2cos 2x x + =π2sin(2)6x +．所以函数()f x 的最小正周期πT =． 因为函数sin y x =的的单调增区间为ππ[2π,2π],22k k k -++∈Z ， 所以πππ2π22π,262k x k k -+++∈Z ≤≤， 解得ππππ,36k x k k -++∈Z ≤≤．所以函数数()f x 的的单调增区间为ππ[π,π],36k k k -++∈Z ，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π()26f =．所以2m ≤．若选择②由题意可知，不等式()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为π()12f =-．所以1m -≤．18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.由图可知，去年消费金额在(3200,4000]内的有8人，在(4000,4800]内的有4人，消费金额超过3200元的“健身达人”共有 8+4=12（人），从这12人中抽取2人，共有212C 种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112844C C C +种不同方法．所以，()P A =11284421219=33C C C C +． （Ⅱ）解：方案1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为820257100+⨯=，25352515100+⨯=，12253100⨯=， 按照方案1奖励的总金额为1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．方案2 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为121525C P C ==，所以03012133323281(0)()()()()5555125P C C η==+=， 21233236(200)()()55125P C η===， 3033328(300)()()55125P C η===． 所以η的分布列为：数学期望为81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额为2(28602123)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=（元），因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得22222131,42,6.a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⨯⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率е=（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线设直线的方程为：65x ty =-， 联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2212(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0所以AM AN ⊥u u u u r u u u r，即o 90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o 90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+．又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++=0所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，所以1'()1,0f x x x=->，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．所以切线方程为1y =．（Ⅱ）解：1()ln 0ah x x a x x a x+=-+>∈R ，，． 所以221(1)(1)'()10a a x x a h x x x x x++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>． （1）当10a +≤，即a ≤-1时因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >．此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，高三数学第二次阶段性测试试题第11页共11页当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++，即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =L 成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====L L ， 11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=L L ，对于任意的2,3,,k n =L ，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====L L L ．所以01n A A A A =U UL U ．假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-L ）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =L ；对于1,2,,1k n =-L ，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈L ，且10k n x x +===L ；n n e A ∈． 令01{,,,}n B e e e =L ，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．。

2020北京各区高三二模数学分类汇编—数列与创新压轴题1．（2020▪丰台高三二模） 已知数列的前项和，则（A ）3（B ）（C ）（D ）2.（2020▪海淀二模）数列中，，，. 若其前项和为，则_______.3. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在等差数列中,若,则;使得数列前项的和取到最大值的.4（2020▪昌平高三二模）设是等差数列，且，，则数列的前n 项和．5．（2020▪丰台高三二模） 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年. 6.（2020▪密云高三二模） 已知是数列{}的前n 项和，且，则=_________，的最小值为_______．7.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为.又，且，是否存在大于的正整数,使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

8．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）{}n a n 2n S n n =-23a a +=678{}n a 12a =12n n a a +=*n N Îk 126k ={}n a 12516,1a a a +==1a ={}n a n n S n ={}n a d n n S 540S =1k 1k S S =k 14a =2d =-从①前项和，②，③且这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列中，，_______，其中． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，其中，且，求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 9.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知为等比数列，其前项和为，且满足，.为等差数列，其前项和为，如图____，的图象经过,两个点．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若存在正整数，使得，求的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A. {0,1} B. 2{|1}x x = C. 2{|0}x x > D. R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D. ln ||y x =3. 已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是A ．22x y >B ．11x y>C ．11()()33x y >D ．332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8 C ．4 D ． 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为C. D.6.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为，则满足条件的点P 的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若51()82f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．13ω=，24ϕ11π=-B ．23ω=，12ϕπ= C ．13ω=，24ϕ7π= D ．23ω=，12ϕ11π=-9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 A ．2 B ．2C ．22D ．2310. 已知函数()f x 的定义域为 ，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且，都有；② ；③ 是偶函数；若，，(2020)c f =，则 ，， 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．C ．D ．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．抛物线2()y mx m =为常数过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．13. 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______．14. 在ABC 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC 的最大内角的余弦值为_________，ABC 的面积为_______．15. 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．第9题图3111主视图1俯视图2三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥．（Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小．17.（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当π[0,]2x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．18.（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率； （Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(0,1600]、(1600,3200]、(3200,4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案： 方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员C 1 A BC A 1B 1第16题图D(800,1600] 40 30 20 10 0(1600,2400] (2400,3200] (4000,4800](3200,4000] 820253584消费金额/元人数均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．19.（本小题满分14分）已知椭圆：过点P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.（本小题满分14分）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷参考答案 2020.6一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDBACCBDD二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．1(,0)4- 12．20 13．10-；30- 14．18；157415. ①②④． 备注：（1）若小题有两问，第一问3分，第二问2分；（2）第15题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案0分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．因为112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，所以ADC ∆和11A DC ∆均为等腰直角三角形．所以o1145ADC A DC ∠=∠=． 因此o190C DC ∠=，即1C D DC ⊥． 因为1DC BD ⊥，BDDC D =，所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ．因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，，，1(0,0,2)C ， C 1ABC A 1 B 1第16题图DDC 1AB C A 1 B 1第16题图zx y所以1(0,0,1)A D =-，1(1,1,2)A B =--，1(1,0,1)C D =-，1(0,1,2)C B =-． 设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，由1100.A D AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，m m 得020.z x y z -=⎧⎨-+-=⎩，令1x =，则(1,1,0)=m ．设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，由1100.C D C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得020.x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则(1,2,1)=n ．则有cos ,||||⋅<>===⋅m n m n m n因为二面角1A BD C --为锐角， 所以二面角1A BD C --的大小为π6． 17. （本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为22(cos cos sin f x x x x x +-2cos 2x x + =π2sin(2)6x +．所以函数()f x 的最小正周期πT =． 因为函数sin y x =的的单调增区间为ππ[2π,2π],22k k k -++∈Z ， 所以πππ2π22π,262k x k k -+++∈Z ≤≤， 解得ππππ,36k x k k -++∈Z ≤≤．所以函数数()f x 的的单调增区间为ππ[π,π],36k k k -++∈Z ，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π()26f =．所以2m ≤．若选择②由题意可知，不等式()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为π()12f =-．所以1m -≤．18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.由图可知，去年消费金额在(3200,4000]内的有8人，在(4000,4800]内的有4人，消费金额超过3200元的“健身达人”共有 8+4=12（人），从这12人中抽取2人，共有212C 种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112844C C C +种不同方法．所以，()P A =11284421219=33C C C C +． （Ⅱ）解：方案1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为820257100+⨯=，25352515100+⨯=，12253100⨯=， 按照方案1奖励的总金额为1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．方案2 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为121525C P C ==，所以03012133323281(0)()()()()5555125P C C η==+=， 21233236(200)()()55125P C η===，3033328(300)()()55125P C η===．所以η的分布列为：数学期望为81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额为2(28602123)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=（元），因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2222222131,4152,6.a b a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⨯⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率3е2=．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为． 设直线的方程为：65x ty =-， 联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得221264(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+，22(2,)AN x y =+． 所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++B AM N Qxy12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0所以AM AN ⊥，即o90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+．又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+，22(2,)AN x y =+． 所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++=0所以AM AN ⊥，即o90MAN ∠=是定值．20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，所以1'()1,0f x x x=->，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．所以切线方程为1y =．（Ⅱ）解：1()ln 0ah x x a x x a x+=-+>∈R ，，． 所以221(1)(1)'()10a a x x a h x x x x x++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>． （1）当10a +≤，即a ≤-1时因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >．此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，高三数学第二次阶段性测试试题 第11页共11页当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++，即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====，11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=，对于任意的2,3,,k n =，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====．所以01n A A A A =．假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =；对于1,2,,1k n =-，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈，且10k n x x +===；n n e A ∈．令01{,,,}n B e e e =，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．。

2020届高三数学下学期阶段性测试（二模）试题（含解析）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2.若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．3.在下列函数中，值域为的偶函数是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，故为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，的定义域为，且，所以为偶函数，由于，所以的值域为，符合题意.对于C选项，，故的值域不为.对于D选项，的定义域为，且，所以为奇函数，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题. 4.若等差数列的前项和为，且，，则的值为（）．A. 21B. 63C. 13D. 84【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为，，所以，解可得，，，则．故选：B．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．5.若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（）A. p＜1B. p＞1C. p＜2D. p＞2【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.【详解】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．故选：D．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.6.已知，且则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项.【详解】取，则，所以A选项错误.取，则，所以B选项错误.由于在上递减，而，所以，故C选项正确.取，则，所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．8.设是向量，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.【详解】当时，，推不出当时，，则即“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.9.溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数运算以及的定义求得此时胃酸的值.【详解】依题意.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10.如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足．A. B. C. D.【答案】A【解析】由恰好是线段的两个三等分点，求得的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得的值，即可求解.【详解】由题意知，且恰好是线段的两个三等分点，所以，，把代入函数，即，解得，把代入函数，即，即得，所以.故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是，则_______.【答案】由题意，根据复数的表示可知，所以．12.在中，，，，则__________ ；____________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），可求C的值，进而根据正弦定理可得a的值．【详解】∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cosC，∵C∈（0，π），∴C，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：，解得：a．故答案为，．【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中应用，考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的最小值为_________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b），（1）＝；（2）当点P在BC上时，＝2；当点P在AD上时，设P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2；当点P在CD上时，设点P（，1）（0＜＜2）＝（2,0）（－1，1）＝2－2，因为0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即综上可知，的最小值为－2.故答案为-2.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.14.已知函数给出下列结论：①在上有最小值，无最大值；②设则为偶函数；③在上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】【分析】①利用导函数进行判断；②根据奇偶性的定义进行判断. ③利用函数图像进行判断.【详解】①，由于，所以，所以在上递减，所以在上有最小值，无最大值，故①正确.②，依题意，由于，所以不是偶函数，故②错误.③，令得，画出和在区间上的图像如下图所示，由图可知和在区间上的图像有两个交点，则在上有两个零点，故③正确.故答案为：①③【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：疏散乘客时间（）则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________.【答案】D【解析】【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号.【详解】同时开放，需要秒；同时开放，需要秒；所以疏散比快.同时开放，需要秒；同时开放，需要秒；所以疏散比快.同时开放，需要秒；同时开放，需要秒，所以疏散比快.同时开放，需要秒；同时开放，需要秒，所以疏散比快.综上所述，D疏散最快.故答案为：D【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.三、解答题16.已知函数，______，求在的值域.从①若，的最小值为；②两条相邻对称轴之间的距离为；③若，的最小值为．这三个条件中任选一个，补充上面问题中并作答．【答案】【解析】【分析】根据三个条件求得半周期，由此求得，进而求得在上的值域.【详解】由于.所以，①②③任选一个作为条件，均可以得到的半周期为，则.所以，.由于，，所以，即的值域为.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题.17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（I）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；（II）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（III）记该市26个景点的交通平均得分为安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）【答案】（I）；（II）分布列见解析，期望为；（III）【解析】【分析】（I）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望.（III）根据两种得分的数据离散程度进行判断.【详解】（I）由图可知，交通得分前名的景点中，安全得分大于分的景点有个，所以从交通得分前名的景点中任取个，求其安全得分都大于分的概率为.（II）结合两个图可知，景点总分排名前的的景点中，安全得分不大于分的景点有个，所以的可能取值为..所以的分布列为:所以.（III）由图可知，个景点中，交通得分全部在分以上，主要集中在分附近，安全得分主要集中在分附近，且分一下的景点接近一半，故.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题.18.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（1）由条件中，平面平面，结合线面垂直的性质定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据题意计算是否存在点满足要求解析：(Ⅰ)证明:在直三棱柱中,平面ABC,故,由平面平面,且平面平面,所以平面,又⊂平面,所以(Ⅱ)证明:在直三棱柱中,平面ABC,所以,,又,所以,如图建立空间直角坐标系,根据已知条件可得,,,,,,所以,,设平面的法向量为,由即令,则,,于是,平面的法向量为设,,则,若直线DP与平面成角为,则,计算得出,故不存在这样的点.点睛：方法总结：由面面垂直线面垂直线线垂直，这里需要用到垂直的性质定理进行证明，难度不大，但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相关知识，计算法向量然后再求解19.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；（3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）最大值，最小值为；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）由可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程；（2）由，可得，所以在区间上单调递增，从而可得最值；（3）当时，.设，，分析可知在区间上单调递减，且，，所以存在唯一的，使，即，结合函数单调性可得解.试题解析：（1）当时，，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以．当时，，，所以.所以在区间上单调递增．因此在区间上的最大值为，最小值为. （3）当时，设，，因为，,所以.所以在区间上单调递减．因为，，所以存在唯一，使，即.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．因为，，又因为方程在区间上有唯一解，所以.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20.已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到，利用定义得到，即可求解椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，根据直线方程，求解的坐标，可得，利用，求得的值，即可得到弦长为定值．试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为，且．因为，所以，，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）证明：由题意可知，两点与点不重合．因为，两点关于原点对称，所以设，，．设以为直径的圆与直线交于两点，所以．直线：．当时，，所以．直线：．当时，，所以．所以，，因为，所以，所以．因为，即，，所以，所以．所以，，所以．所以以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知项数为的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.（I）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II）若为的“伴随数列”，证明：；（III）已知数列存在“伴随数列”且求的最大值.【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）详见解析；（III）.【解析】【分析】（I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II）利用差比较法判断出的单调性，由此证得结论成立.（III）利用累加法、放缩法求得关于的不等式，由此求得的最大值.【详解】（I）不存在.理由如下：因为，所以数列不存在“伴随数列”.（II）因为，又因为，所以，所以，即，所以成立.（III），都有，因为，，所以，所以.因为，所以.而，即，所以，故.由于，经验证可知.所以的最大值为.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.2020届高三数学下学期阶段性测试（二模）试题（含解析）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2.若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．3.在下列函数中，值域为的偶函数是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，故为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，的定义域为，且，所以为偶函数，由于，所以的值域为，符合题意.对于C选项，，故的值域不为.对于D选项，的定义域为，且，所以为奇函数，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题.4.若等差数列的前项和为，且，，则的值为（）．A. 21B. 63C. 13D. 84【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为，，所以，解可得，，，则．故选：B．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．5.若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（）A. p＜1B. p＞1C. p＜2D. p＞2【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.【详解】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．故选：D．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.6.已知，且则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项.【详解】取，则，所以A选项错误.取，则，所以B选项错误.由于在上递减，而，所以，故C选项正确.取，则，所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．8.设是向量，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.【详解】当时，，推不出当时，，则即“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.9.溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数运算以及的定义求得此时胃酸的值.【详解】依题意.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10.如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由恰好是线段的两个三等分点，求得的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得的值，即可求解.【详解】由题意知，且恰好是线段的两个三等分点，所以，，把代入函数，即，解得，把代入函数，即，即得，所以.故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是，则_______.【答案】【解析】由题意，根据复数的表示可知，所以．12.在中，，，，则__________ ；____________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），可求C的值，进而根据正弦定理可得a的值．【详解】∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cosC，∵C∈（0，π），∴C，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：，解得：a．故答案为，．【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中应用，考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的最小值为_________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b），（1）＝；（2）当点P在BC上时，＝2；当点P在AD上时，设P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2；当点P在CD上时，设点P（，1）（0＜＜2）＝（2,0）（－1，1）＝2－2，因为0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即综上可知，的最小值为－2.故答案为-2.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.14.已知函数给出下列结论：①在上有最小值，无最大值；②设则为偶函数；③在上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】【分析】①利用导函数进行判断；②根据奇偶性的定义进行判断. ③利用函数图像进行判断.【详解】①，由于，所以，所以在上递减，所以在上有最小值，无最大值，故①正确.②，依题意，由于，所以不是偶函数，故②错误.③，令得，画出和在区间上的图像如下图所示，由图可知和在区间上的图像有两个交点，则在上有两个零点，故③正确.故答案为：①③【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：疏散乘客时间（）则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________.【答案】D【解析】【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号.【详解】同时开放，需要秒；同时开放，需要秒；所以疏散比快.同时开放，需要秒；同时开放，需要秒；所以疏散比快.同时开放，需要秒；同时开放，需要秒，所以疏散比快.同时开放，需要秒；同时开放，需要秒，所以疏散比快.综上所述，D疏散最快.故答案为：D【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.三、解答题16.已知函数，______，求在的值域.从①若，的最小值为；②两条相邻对称轴之间的距离为；③若，的最小值为．这三个条件中任选一个，补充上面问题中并作答．【答案】【解析】【分析】根据三个条件求得半周期，由此求得，进而求得在上的值域.【详解】由于.所以，①②③任选一个作为条件，均可以得到的半周期为，则.所以，.由于，，所以，即的值域为.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题.17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（I）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；（II）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（III）记该市26个景点的交通平均得分为安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）【答案】（I）；（II）分布列见解析，期望为；（III）【解析】【分析】（I）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望.（III）根据两种得分的数据离散程度进行判断.【详解】（I）由图可知，交通得分前名的景点中，安全得分大于分的景点有个，所以从交通得分前名的景点中任取个，求其安全得分都大于分的概率为.（II）结合两个图可知，景点总分排名前的的景点中，安全得分不大于分的景点有个，所以的可能取值为..所以的分布列为:。