第一章 定解问题

§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。

2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。

方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。

方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。

例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。

质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。

§1.3 定解条件。

一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。

例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。

第一章 绪论定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+=1=，3121x x x--=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+-以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x =二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210x y z ++-=等等根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算一、引例例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意1d 2(1)d 2(2)x y x x y =⎧=⎪⎨⎪=⎩由（1）得2d y x x =⎰，即2y x C =+ （3）把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式00220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s ts v t s ===⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩（）把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t ==-+ （6）把式（6）两端再积分一次，得2120.2s t C t C =-++（7）,这里12C C 、都是任意常数. 把条件020t v==代入式（6）得120C =. 把条件00t s ==代入式（7）得20C =.把12,C C 的值代入式（6）及式（7）得0.420v t =-+（8）20.220s t t =-+（9）在式（8）中令0v =，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间20500.4t ==（s ） 再把50t =代入式（9），得到列车在制动阶段行驶的路程s =20.2502050-⨯+⨯ = 500 (m). 二、微分方程的基本概念微分方程：联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式.例如d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =-，224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =- 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程. 224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.一阶常微分方程的一般形式为：(,,)0F x y y '=称为一阶隐式方程(,)y f x y '=称为一阶显式方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为微分形式的一阶方程n 阶隐式方程的一般形式为()(,,,,)0n F x y y y '=L （*）n 阶显式方程的一般形式为 ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=L高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程.如果（*）的左端为(),,n y y y'L 及的一次有理整式，则称（*）为n 阶线性微分方程，否则是非线性微分方程. 例如：22d y dy y t dt dt+= 是二阶非线性微分方程，而22d 0.4 d s t =-是一个二阶的线性微分方程.微分方程的解：代入微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫做该微分方程的解.确切地说，设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，(),(),(),,()0n F x x 'x x ϕϕϕ⎡⎤=⎣⎦L ，那么函数()y x ϕ=就叫做微分方程()(,,,,)0n F x y y'y =L 在区间I 上的解. 称(,)()0x y y x ϕΦ=-=为（*）的隐式解.例如：2y x C =+叫做微分方程d 2d y x x=的解，则2y x C -=或20y x C --=叫做微分方程d 2d y x x=的隐式解 通解：把含有n 个独立的任意常数12,,,n c c c L 的解12(,,,,)n y x c c c ϕ=L 称为方程（*）的通解.（如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.）定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题.初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.例如0x x =时，0y y =，0y'y'=.一般写成00x x y y ==，00x x y y =''= 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.例如求微分方程(,)y'f x y =满足初始条件00x x y y ==的特解的问题，记为00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩ 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 例如例1中21y x =+是式（1）的特解.一般地，初值问题为()(1)(1)(1)000000(,,,,)0(),(),,()n n n F x y y y y x y y x y y x y --'⎧=⎪⎨'===⎪⎩L L 定义：一阶微分方程(,)dy f x y dx=的解()y x ϕ=是Oxy 平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程的通解(,)y x c ϕ=对应于Oxy 平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件00()y x y =的特解就是通过点00(,)x y 的一条积分曲线.定义：设函数(,)f x y 的定义域为D ，在D 内每一点(,)x y 处，画上一小线段，使其斜率恰好为(,)f x y ，将这种带有小线段的区域D 称为由方程所规定的方向场.在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程的等斜线方程为(,)f x y k =例（P28习题7）：微分方程22234'x y y xy -=，证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.证：设:(),[,]L y f x x a b =∈是微分方程的一条积分曲线，则满足22234['()]()(),[,]x f x f x xf x x a b -=∈ 而L 关于(0,0)成中心对称曲线':()(),[,],[,]L y f x F x x b a x a b =--=∈---∈， 所以有'()'()F x f x =-, [,]x b a ∈--当[,]x b a ∈--,[,]x a b -∈,可知22234()['()]()()x f x f x xf x ----=--即 22234['()]()()x F x F x xF x -=所以()F x 满足微分方程，故()F x 为微分方程的积分曲线.并且相对于L 关于原点(0,0)成中心对称曲线.三、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具.该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用.300多年前， Newton 与Leibniz 奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念. 1676年微分方程最早出现在Leibniz 写给Newton 的一封信中，常微分方程的发展主要分为三个阶段：1.初期发展期17世纪中期到18世纪末期，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 代表人物莱布尼兹（德1646-1716）、牛顿（英1642-1727）2.基本理论奠定期19世纪初期到19世纪末期,主要研究解的定性理论与稳定性问题.代表人柯西Cauchy （法1789-1857）、刘维尔Liouville （法1809-1882）3.现代理论发展期19世纪末期-现在，进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.代表人物庞加莱Poincare（法1854-1912）、李雅普诺夫Lyapunov（俄1857-1918）。

第一章． 波动方程§1 方程的导出。

定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。

由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。

由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。

同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。

利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。

2本征（特征）值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。

这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。

求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。

量子力学中的本征值问题经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。

任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。

而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。

每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。

3分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，而变系数偏微分方程则不一定。

2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量分离的解。

6分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。

这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。

713非齐次方程—有界弦的受迫振动考虑有界弦的受迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。

()()()()()()()()()()()[]()2,,0,,0,0,0,,0, 0,0,,0. 0,tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+∈∈∞⎪⎪==≥⎨⎪==∈⎪⎩分离变量法处理问题的程序1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进行处理。

课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。

该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。

故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。

如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。

本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。

其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。

第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。

《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。

所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。

对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。

因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。

本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。

近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。

常微分⽅程第⼀章第⼀章⼀阶微分⽅程1.1学习⽬标：1. 理解微分⽅程有关的基本概念, 如微分⽅程、⽅程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分⽅程的三种主要⽅法: 解析⽅法, 定性⽅法和数值⽅法.2. 掌握变量分离法，⽤变量替换将某些⽅程转化为变量分离⽅程, 掌握⼀阶线性⽅程的猜测检验法, 常数变易法和积分因⼦法,灵活运⽤这些⽅法求解相应⽅程, 理解和掌握⼀阶线性⽅程的通解结构和性质.3. 能够⼤致描述给定⼀阶微分⽅程的斜率场, 通过给定的斜率场描述⽅程解的定性性质; 理解和掌握欧拉⽅法, 能够利⽤欧拉⽅法做简单的近似计算.4. 理解和掌握⼀阶微分⽅程初值问题解的存在唯⼀性定理, 能够利⽤存在唯⼀性定理判别⽅程解的存在性与唯⼀性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解⾃治⽅程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定⾃治⽅程的相线, 判断平衡点类型进⽽定性分析满⾜不同初始条件解的渐近⾏为.6. 理解和掌握⼀阶单参数微分⽅程族的分歧概念, 掌握发⽣分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分⽅程族的分歧图解, 利⽤分歧图解分析解的渐近⾏为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建⽴与实际问题相应的常微分⽅程模型, 并能够灵活运⽤本章知识进⾏模型的各种分析.1.2基本知识： (⼀) 基本概念1. 什么是微分⽅程:联系着⾃变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（⼀般是指等式），称之为微分⽅程. 2. 常微分⽅程和偏微分⽅程:(1) 如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程,例如 )(22t f cy dt dy b dt y d =++, 0)(2=++y dtdyt dt dy .(2) 如果在微分⽅程中，⾃变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分⽅程为偏微分⽅程. 例如 0222222=??+??+??zTy T x T , t T x T ??=??422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的⽅程或微分⽅程均指常微分⽅程. 3. 微分⽅程的阶数: 微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶导数的阶数. 例如，)(22t f cy dt dyb dty d =++ 是⼆阶常微分⽅程； 0222222=??+??+??zTy T x T 与t T x T ??=??422是⼆阶偏微分⽅程. 4. n 阶常微分⽅程的⼀般形式：(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=,这⾥(,,,...,)n n dy d y F t y dt dt 是,,,...,n n dy d y t y dt dt 的已知函数，⽽且⼀定含有n n d y dt的项；y 是未知函数，t 是⾃变量. 5. 线性与⾮线性：（1）如果⽅程(,,,...,)0n n dy d y F t y dt dt =的左端是y 及,...,n n dy d ydt dt的⼀次有理式，则称(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=为n 阶线性微分⽅程. （2）⼀般n 阶线性微分⽅程具有形式：1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a t a t a t y f t dt dt dt---++++= 这⾥1()a t ,…, ()n a t ,()f t 是t 的已知函数.（3）不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程. （4）举例：⽅程)(22t f cy dt dyb dt y d =++是⼆阶线性微分⽅程；⽅程0sin 22=+φφl gdtd 是⼆阶⾮线性微分⽅程；⽅程0)(2=++y dtdy t dt dy 是⼀阶⾮线性微分⽅程. 6. 解和隐式解：如果将函数()y t ?=代⼊⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=后，能使它变为恒等式，则称函数()y t ?=为⽅程的解. 如果关系式,0t yΦ=（）决定的隐函数()y t ?=是⽅程的解，则称,0t yΦ=（）为⽅程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n 个独⽴的任意常数n c c c ,...,,21的解 12(,,,...,)n y t c c c ?=称为n 阶⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的通解. 其中解对常数的独⽴性是指，对?及其 1n -阶导数11,...,n n d d dt dt--关于n 个常数 n c c c ,...,,21的雅可⽐⾏列式不为0, 即 1212(1)(1)(1)120n n n n n nc c c c c c c c c ?---??????'''??????≠??????L L M M L M L.为了确定微分⽅程⼀个特定的解，通常给出这个解所必须满⾜的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件, n 阶微分⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的初始条件是指如下的n 个条件： 1(1)(1)00001,,...,n n n dy d y t t y y y y dt dt---====，，这⾥(1)(1)0000,,,...,n t y y y -是给定的n+1个常数. 求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满⾜初始条件的解称为微分⽅程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(⼆) 解析⽅法1．变量分离⽅程形如()()dyf t y dt=的⽅程为变量分离⽅程，其中(),()f t y ?分别为,t y 的连续函数.⽅程解法如下：若()0y ?≠，则()()()()dyf t dt y dyf t dt cy ??==+??上式确定⽅程的隐式通解. 如果存在0y ，使得()00y ?=，则0y y =也是⽅程的解. 2. 可化为变量分离⽅程的⽅程(1) 齐次⽅程形如 ()dy yg dt t=的⽅程为齐次⽅程，()g u 为u 的连续函数. 解法如下：做变量替换y u t =，即y ut =，有dy dut u dt dt=+，从⽽原⽅程变为()du t u g u dt +=，整理有()du g u udt t-=，此为变量分离⽅程，可求解. (2) 形如111222a tb yc dy dt a t b y c ++=++的⽅程, 其中121212,,,,a a b b c c , 为常数. ●111222a b c k a b c ===的情形. 此时⽅程化为,dyk dt=可解得y kt c =+. ●11220,a b a b =即1122a bk a b ==的情形: 令 22,u a t b y =+ 则有 122222ku c du dya b a b dt dt u c +=+=++ 此为变量分离⽅程. ●11220a b a b ≠的情形对120c c ==的情况, 直接做变量替换y u t =. 当12,c c 不全为零, 求 11122200a t b y c a t b y c ++=??++=?的解为t y αβ=??=?. 令 T t Y y αβ=-??=-?, 则⽅程组化为112200a T bY a T b Y +=??+=?. 原⽅程化为12()a T bY dY Yg dT a T bY T+==+的齐次⽅程可求解. 3．⼀阶线性微分⽅程(1) ⼀般形式：()()()0dya tb t yc t dt++=，若()0a t ≠，则可写成()()dyP t y Q t dt=+的形式. (2) ⼀阶齐次线性微分⽅程：()dyP t y dt =，通解为(),P t dt ce c ? 为任意常数.(3) ⼀阶⾮齐次线性微分⽅程：()()dyP t y Q t dt=+，()0Q t ≠.(4) 齐次线性微分⽅程的性质性质1 必有零解 0y =;性质2 通解等于任意常数c 与⼀个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分⽅程的解. (5) ⾮齐次线性微分⽅程的性质性质1 没有零解;性质2 ⾮齐次⽅程的解加上对应齐次⽅程的解仍为⾮齐次⽅程的解; 性质3 任意两个⾮齐次⽅程的解的差是相应齐次⽅程的解.(6) ⼀阶⾮齐次线性微分⽅程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 ()P t 为常数, 此时⽅程为()dyay Q t dt=+, a 为常数. 对应齐次⽅程的通解为atce , 只需再求⼀个特解, 这时根据()Q t 为特定的函数,可猜测不同的形式特解. 事实上, 当()BtQ t Ae =, ,A B 为给定常数, 且B a ≠时可设待定特解为BtCe , ⽽当B a =时, 可设特解形式为BtCte , 后代⼊⽅程可确定待定常数C . 当()Q t 为cos ,sin At At 或它们的线性组合时, 其中A 为给定常数. 这时可设待定特解为cos sin B At C At +代⼊⽅程后确定,B C 的值. 当()Q t 具有多项式形式1011n n n n a t a t a t a --++++L , 其中01,,n a a a L 为给定常数且00a ≠, 这时可设待定特解为1011n n n n b t b t b t b --++++L 代⼊⽅程可求得,0,1,,i b i n = L 的值. 对于()Q t 有上述⼏种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令()()P t dty c t e ?=，代⼊⽅程，求出()c t 后可求得通解为()()(())P t dtP t dty e Q t e dt c -?=+.(iii) 积分因⼦法: ⽅程改写为()()dyP t y Q t dt-=, 将()P t dt e µ-?=, 乘⽅程两端得 ()()()()()P t dt P t dtP t dt dy e e P t y Q t e dt---?-= 即 ()()()()P t dtP t dt d ye Q t e dt--?=, 从⽽通解为 ()()()P t dt P t dt ye Q t e dt c --?? =+?，即 ()()(())P t dt P t dt y e Q t e dt c -??= +?.注意, ⾮齐次线性微分⽅程通解的结构是: ⾮齐次线性微分⽅程的通解等于其对应的齐次线性微分⽅程的通解加上⾮齐次线性微分⽅程的⼀个特解.4. 伯努利(Bernoulli)⽅程. 形如()()n dyP t y Q t y dt=+的⽅程, 其中 n 是常数且0,1,(),()n P t Q t ≠ 是连续函数, 称为伯努利⽅程. 伯努利⽅程可通过变量替换 1nz y-=化为(1)()(1)()dyn P t z n Q t dt=-+-, 这是关于未知函数z 的线性⽅程, 可求其通解.(三) 定性⽅法与数值⽅法：1. 斜率场：⼀阶微分⽅程(,)dyf t y dt =的解()y t ?=代表ty 平⾯上的⼀条曲线，称之为微分⽅程的积分曲线. 微分⽅程(,)dyf t y dt=的通解()y t ?=，c 对应于ty 平⾯上的⼀族曲线，称之为微分⽅程的积分曲线族. 满⾜初始条件00()y t y =的特解就是通过点00(,)t y 的⼀条积分曲线. ⽅程(,)dy f t y dt =的积分曲线上的每⼀点(,)t y 处的切线斜率dydt刚好等于函数(,)f t y 在这点的值. 也就是，积分曲线的每⼀点(,)t y 以及这点上的切线斜率dydt恒满⾜⽅程；反之，如果在⼀条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数(,)f t y 在这点的值，则这⼀条曲线就是⽅程的积分曲线. 这样，可以⽤(,)f t y 在ty 平⾯的某个区域D 内定义过各点的⼩线段，其斜率为(,)f t y ，⼀般称这样的⼩线段为斜率标记. ⽽对ty 平⾯上D 内任⼀点(,)t y , 有这样⼀个⼩线段与之对应, 这样在D 内形成⼀个⽅向场, 称为斜率场. 斜率场是⼏何直观上描述解的常⽤⽅法2. 欧拉⽅法：求微分⽅程初值问题00(,)()dyf t y dty t y== 的解，可以从初始条件00()y t y =出发，按照⼀定的步长t ? 依照某种⽅法逐步计算微分⽅程的近似解()n n y y t =, 这⾥0n t t n t =+?这样求出的解称为数值解. 利⽤欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+? =+?,可求初值问题的近似解，这种⽅法称为欧拉⽅法.欧拉⽅法具有⼀阶误差精度 .如果我们先⽤欧拉公式求出近似解,再利⽤梯形公式进⾏校正, 得到的近似解将具有2阶误差精度,具体为预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+?,校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++?, 这种⽅法称为改进的欧拉⽅法.(四) 解的存在性、唯⼀性及解对初值的连续相依性1. 利普希茨（lipschitz ）条件: 函数(,)f t y 称为在区域2D ?R 内关于y 满⾜利普希茨条件，是指如果存在常数0L >，使得不等式1212(,)(,)f t y f t y L y y -≤-对于所有的12(,),(,)t y t y D ∈都成⽴, 其中L 称为利普希茨常数. 2. 基本定理(1) 解的存在性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << < 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y== 的解. (2) 解的唯⼀性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <且关于y 满⾜利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈并且12(),()y t y t 是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==在区间00(,)t t εε-+内的两个解，那么对任意的00(,)t t t εε∈-+,12()()y t y t =,即解是唯⼀的.注记1: 存在性定理和唯⼀性定理结合在⼀起称为初值问题解的存在唯⼀性定理，叙述如下：设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << < 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y== 的唯⼀解. 因⽽当我们判断初值问题解的存在唯⼀性时，要检查(,)f t y 需要满⾜的条件.注记2: 由于利普希茨条件较难检验，常⽤(,)f t y 在2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ ≤≤ ≤≤R上对y 有连续偏导数来代替. 事实上，如果在D 上y f ??存在且连续，则yf在D 上有界. 设在D 上L yf≤??, 这时 2121212(,())(,)(,)f t y y y f t y f t y y y yθ?+--=-?21y y L -≤,其中 12(,),(,),01t y t y D θ∈ <<. 但反过来满⾜利普希茨条件的函数(,)f t y 不⼀定有偏导数存在. 例如(,)||f t y y = 在任何区域内都满⾜利普希茨条件，但它在0y =处没有导数.(3) 解对初值的连续相依性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ?=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==在区间00(,)t h t h -+内的解，其中 0h >,那么，对任意给定的0>ε，必能找到正数(,)0h δδε=>，使得当2220000t t y y δ-+-<（）（）时，初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==的解00(,,)y t t y ?=在区间00(,)t h t h -+内也有定义，并且0000|(,,),,|,t t y x t y ??ε-<（） 00(,)t t h t h ∈-+. (4) 解对初值的连续性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ?=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==的解, 那么00(,,)t t y ?作为00,,t t y 的三元函数在它存在的范围内是连续的.3. 初值问题的适定性当⼀个微分⽅程初值问题的解存在, 唯⼀并且解连续的依赖于初始条件时, 我们称该问题是适定的. 那么, 对于常微分⽅程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==, 只要在00(,)t y 所在的区域内,(,)f t y 连续并且关于y 满⾜利普希茨条件, 则该初值问题是适定的.(五) ⾃治⽅程的平衡点与相线1. ⾃治⽅程当⼀阶微分⽅程(,)dy f t y dt =的右端项只是y 的函数⽽与⾃变量t ⽆关, 即()dy f y dt=时, 称为⾃治⽅程.2. 平衡解与平衡点对⾃治⽅程()dyf y dt=⽽⾔, 若()0f y =有解0y y =, 则称 0()y t y ≡是⽅程的平衡解, ⽽点0y 称为⽅程的⼀个平衡点. 3. 相线相线是仅仅对⾃治⽅程()dyf y dt=⽽⾔的⼀种简化的斜率场. ⾃治⽅程的斜率场在⽔平直线上的斜率标记是⼀样的, 这样只要知道⼀条竖直直线上的斜率标记,我们就可以知道整个斜率场. 因⽽, 在⼀个竖直的直线上, 我们⽤向上的箭头表⽰正的导数, ⽤向下的箭头表⽰负的导数. 对于导数为零的点, ⽤实⼼圆点来标记它, 则形成该⾃治⽅程的相线. 4. 画相线的基本步骤 (1) 画出y -线(竖直线),(2) 找到并在y -线上标记平衡点,不连续点或定义域外的点 (3) 找到()0f y >的区间, 在这些区间上画上向上的箭头, (4) 找到()0f y <的区间, 在这些区间上画上向下的箭头.5. 初值问题0(),(0)dyf y y y dt= =解的渐近⾏为 (1) 趋向于平衡点, 如01()(1),2f y y y y =- =;(2) 在⽆限时间内趋于⽆穷, 如0(),1f y y y = =;(3) 在有限时间内趋于⽆穷(爆破), 如20(),1f y y y = =;(4) 在有限时间内停⽌(导数趋于⽆穷), 如 01(),1f y y y=- =. 6. 平衡点的分类对于⾃治⽅程()dyf y dt=, 如果()f y 在(,)-∞+∞ 内连续, 那么它的解当t 增加时要么(在有限或⽆限时间⾥)趋于+∞或-∞, 要么渐近趋于平衡点. 因⽽,平衡点在⾃治⽅程的研究中起着重要的作⽤. (1) 汇对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都渐近趋于0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为汇, 它是稳定的. (2) 源对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都远离0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为源,它是不稳定的. (3) 结点既不是源也不是汇的平衡点, 我们称之为结点,它也是不稳定的. 7. 判断平衡点类型的线性化⽅法 1. 如果0y 是⾃治⽅程()dyf y dt=的⼀个平衡点, 即0()0f y =, 那么 (1) 0y 是源当且仅当()f y 在0y 附近严格单调增加; (2) 0y 是汇当且仅当()f y 在0y 附近严格单调递减. 2. (线性化定理) 如果0y 是⾃治⽅程()dyf y dt=的⼀个平衡点, 即0()0f y =, 并且()f y 是连续可微的, 那么 (1) 若0()0f y '> 则0y 是源; (2) 若0()0f y '<, 则0y 是汇;(3) 若0()0f y '=, 则需要进⼀步的信息决定其类型.(六) 分歧⼀阶微分⽅程解的渐近⾏为随参数变化发⽣了类型的变化, 我们称之为分歧现象(或分⽀, 分叉).1. 分歧发⽣的条件对于单参数微分⽅程族()(,)dyf y f y dtµµ==, 0µµ=是⼀个分歧值的必要条件是: 存在平衡点0y , 使得 0000(,)(,)0ff y y yµµ?==?. 这样我们要找分歧点可以通过求解⽅程组 (,)0(,)0f y fy y µµ=??=?, 得到解 00(,)y µ,0µ为可能的分歧值, ⽽0y 是可能发⽣分歧的平衡点. 2. 分歧图解与分歧类型分歧图解是y µ 平⾯上⽅程在分歧值附近的所有相线的图, ⽤以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化. (1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当µ从左到右经过分歧值0µ时, ⽅程的平衡点从两个变为⼀个再变为不存在, 这种分歧⼀般称之为鞍结点分歧. 这类分歧图解在分歧值附近是抛物线的形状(2) 在分歧图解(图1-2)中,当µ从右到左经过分歧值0µ=时, ⽅程的平衡点由三个变为⼀个, 这种分歧⼀般称之为⾳叉分歧.图 1-1 鞍结点分歧图 1-2 ⾳叉分歧图 1-3 跨越分歧图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当0µ= 时, ⽅程有⼀个平衡点; 当0µ≠ 时, ⽅程有两个平衡点. 0µ=是⼀个分歧值. 虽然在分歧值的两侧⽅程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变. 当0µ> 时, 0y =是⼀个汇,它是稳定的; 当0µ<时, 0y =是⼀个源,它是不稳定的.这类分歧⼀般称为跨越分歧.(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当 µ从左到右变化时,相应的⽅程平衡点依次由⼀个变为两个,三个,两个再变回⼀个, 这种分歧⼀般称之为复合分歧.(七) ⼀阶微分⽅程的应⽤1. 增长和衰减问题设 ()S t 为正在增长或衰减的某研究对象的总量. 如果假设它随时间的变化率dS dt与当前数⽬成正⽐, 其⽐例系数为 k , 则有dS kS dt =, 或 0dS kS dt-=. 设()S t 可微, 因⽽是连续函数. Malthus ⼈⼝模型满⾜上述微分⽅程, 虽然对⼈⼝问题,()S t 是离散的, 只能取整数值, 但该模型系统在⼀定情况下提供了很好的近似对某⼀⽣物种群进⾏研究时, 该⽣物种群的增长往往受资源和环境的限制, 引进参量N , 称为最⼤承载量, ⽤以表⽰⾃然资源和环境条件所能容纳的最⼤数量, 并且假定（1）当基数很⼩时，增长率与当前数成正⽐；（2）当基数很⼤，达到资源和环境不能承受的时候，数量开始减少，即增长率为负的.此时⽅程可改写为(1)dS Sk S dt N=-, 称为具有增长率k 和最⼤承载量N 的Logistic 模型，该模型最早由荷兰⽣物学家 Verhulst在1838年提出.2. 温度问题⽜顿冷却定律(亦适应于加热的情况)说明物体的温度随时间的变化率与物体所处的周围环境的温差成正⽐, 设 T 是物体的温度, T 是所处环境的温度, 那么物体温度随时间的变化率为dTdt, ⽜顿冷却定律可表⽰为 ()dTk T T dt=--, 其中k 是正的⽐例系数, ⽽负号表⽰在冷却过程中, 物体温度 T ⼤于周围环境温度T , 变化率0dT dt <. 在加热过程中0dT dt>, 此时T T <. 3. 稀释问题⼀容器最初容纳0V 升盐⽔溶液, 其中含盐 a 克. 每升含盐 b 克的盐⽔溶液以e 升/分的速度注⼊,同时, 搅拌均匀的溶液以f 升/分的速度流出, 问在任何时刻 t , 容器中的含盐量.设Q 为任何时刻容器中的含盐量. Q 的变化率dQdt等于盐的注⼊率减去流出率. 盐的注⼊率是 be 克/分. 要决定流出率, ⾸先计算在时刻t , 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积0V 加上注⼊的体积 et 后减去流出的体积ft . 因此, 在任⼀时刻t , 盐⽔的体积是 0V et ft +-. 在任何时刻的浓度是0Q V et ft +-, 由此得流出率为 0QfV et ft+-/分.于是得到微分⽅程0dQ Qf be dt V et ft =-+-, 即 0dQ fQ be dt V et ft+=+-, 这是⼀个⼀阶线性⽅程.4. 电路⼀个简单的 RC 回路是包含有电阻R (欧姆), 电容C (法拉)和电源V (伏特),如图1-5.图1-5 RC 电路图1-6 RL 电路由电路学知识，C 的电压()v t 与电阻R 的电压之和应为电源的电压()V t . 电路中的电流I (安培)为 ()dQ dCv t dv I Cdt dt dt ===, 其中 Q 为电量从⽽R 处的电压为 dvRI RC dt=, 由此我们可以建⽴RC 电路的模型如下：()dv RC v V t dt +=, 即 ()dv V t vdt RC-=. 对于⼀个包含有电阻R (欧姆), 电感L (亨利)和电源V (伏特)的RL 回路,如图1-6. 电路中的电流应满⾜的基本⽅程为 dI R VI dt L L+=.(⼋) 种群⽣态学中的模型设()y t 表⽰⼀个⽣物种群的数量, t 为时间, 最简单的种群模型是 Malthus 模型dyky dt=. Malthus 模型的解()(0)kty t y e =预测了种群数量的指数增长.由于种群数量⼤的时候，对资源的竞争加剧，因此单位增长率会随种群数⽬增⼤⽽减⼩，因此更为合理的假设是()dyyf y dt = (*) 这⾥()f y 是单位增长率，因为dy dt 为增长率，y 是种群数量, ⽽()/dyf y y dt=. 当考虑种群数量的变化时.对()f y ⽽⾔, 其代数形式并不重要, ⽽关键是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进⾏⼤致分类:(1) 若()f y 在[0,)+∞上是递减的，称(*)为 Logistic 型； (2) 若()f y 在[0,)+∞上是先增后减的，称(*)为 Allee 效应型；(3) 若()f y 在[0,)+∞上是递减再递增最后递减的，称(*)为 Hysteresis 型.1.3典型例题：例1考虑微分⽅程3220dyy y y dt=--, 问 (1) y 为何值时, ()y t 将保持不变?(2) y 为何值时, ()y t 将增加?(3) y 为何值时, ()y t 将减少?解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt<时, ()y t 将减少. 由3220dyy y y dt=--知,(1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 例2假定在鄱阳湖中⼀种鱼类的数量()S t 随时间的变化按Logistic 模型增长, 增长率为k , 最⼤承载量为N , 即有(1)dS Sk S dt N=-. 如果每年要从湖中捕获⼀定量的鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量的三分之⼀? (3) 捕获量与总量的平⽅根成正⽐?解: (1)(1)10dS Sk S dt N =--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--.(3) (1)dS Sk S l S dt N=--, 其中 l 是捕获量与总量平⽅根的⽐例系数.例3求解⽅程dy tdt y=- 解：变量分离得 ydt tdy =-.两边积分 22222y t c =-+. 通解为 22t y c +=, c 为任意正常数.例4求解⽅程231dy y dx xy x y+=+ 解：变量分离得221(1)ydy dxy x x =++, 两边积分2221()1(1)1ydy dx xdx y x x x x ==-+++.即22111ln(1)ln ||ln(1)22y x x c +=-++, 1c 为任意常数, 整理得222(1)(1)y x cx ++=, 12c c e =为任意正的常数.例5求解⽅程tan dy yxy dx x -=. 解: 将⽅程改写为 tan dy y ydx x x=+, 这是齐次⽅程,做变量替换yu x =，即y ux =，有dy du x u dx dx=+，从⽽原⽅程变为tan dux u u u dx+=+ 即tan du udx x=利⽤分离变量法求得 sin u cx =, 代回原变量得通解为sin ycx x =, c 为任意常数例6 求解⽅程22dyx y x y dx=+-.解: ⽅程改写为2sgn 1()dy y y x dx x x=+?- 令u=y x ，则y ux =，从⽽2sgn 1du x u u x u dx+=+?- 当210u -≠时，2sgn 1du xdx xu =-, arcsin sgn ln u x x c =?+, 即 arcsinsgn ln yx x c x=?+, c 为任意常数．此外，还有解210u -=，即22y x =．例7求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- 解: 解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=?的解为12x y =??=?. 令 12X x Y y =-??=-? , 则原⽅程化为 dY X Y dX X Y -=+.令 Y u X =,则可化为变量分离⽅程 21,12dX u du X u u +=-- 解得 222Y XY X c --=, 代回原变量有22262y xy x y x c +---=, c 为任意常数. 例8求解⽅程2()dyy b t dt-=, 其中 (1) 2()1b t t t =++, (2) 4()tb t e = (3) 2()3tb t e = (4) ()cos3b t t =(5) 422()3cos31t t b t e e t t t =+++++解: 对应齐次⽅程的通解为 2ty ce =, 下⾯⽤猜测-检验法求特解(1) 设 21y At Bt C =++ 代⼊221dyy t t dt-=++, 有 2222()1At B At Bt C t t +-++=++解得 1,1,12A B C =- =- =-, 从⽽21112y t t =---, 原⽅程的通解为 22112ty ce t t =---, c 为任意常数. (2) 设 42ty Ae = 代⼊ 42t dy y e dt-=, 有44442t t t Ae Ae e -=解得 12A =, 从⽽4212ty e =, 原⽅程的通解为 2412tt y ce e =+, c 为任意常数.(3) 不能设2tAe 形式的特解, 因为它是相应齐次⽅程的解,不可能是⾮齐次⽅程的解,设 23ty Ate = 代⼊22t dyy e dt-=, 有 2222223t t t t Ate Ae Ate e +-=解得 3A =, 从⽽233ty te =, 原⽅程的通解为2223(3)t t ty ce te c t e =+=+, c 为任意常数.(4) 设 4cos3sin 3y A t B t =+ 代⼊2cos3dyy t dt-=, 有 3sin33cos32(cos3sin3)cos3A t B t A t B t t -+-+=有 2310320A B A B -+-=??--=?, 解得 23,1313A B =- =,从⽽423cos3sin 31313y t t =-+, 原⽅程的通解为 223cos3sin 31313ty ce t t =-+, c 为任意常数.(5) 根据叠加原理, 由前⾯4个⼩题知⽅程有特解422512313cos3sin 31213132t t y e te t t t t =+-+---原⽅程的通解为242212313cos3sin 31213132t t t y ce e te t t t t =++-+---,c 为任意常数.例9求⽅程22dy y dx x y =-的通解. 解: 将⽅程改写为222dx x y x y dy y y-==-. 求齐次线性微分⽅程2dx x dy y=, 得通解为2x cy =. (常数变易法) 令 2()x c y y =代⼊原⽅程得()1,()ln ||dc y c y y c dy y=- =-+, 从⽽可得原⽅程的通解为2(ln ||)x y y c =-+, c 为任意常数.例10 求⽅程26dy yty dt t=-的通解. 解: 此为 2n =的伯努利⽅程. 令 1z y -=可得6dz z t dt t=-+，此为线性⽅程可求通解为 268c t z t =-+, 代回原变量得2618c t y t =-+, 即688t t c y -=, c 为任意常数. 此外, 原⽅程还有解0y =. 例11 ⽤积分因⼦法求解⽅程32(1)1dy y t dt t =+++. 解: ⽅程改写为 32(1)1dy y t dt t -=++, 积分因⼦为 221()(1)dtt t e t µ- -+?==+,乘⽅程两端得 23(1)2(1)1dyt t y t dt--+-+=+, 即2(1)1d t y t dt -+=+, 有 421(1)(1)2y t c t =+++, c 为任意常数.例12 若()f t 连续且0()()10tf t f s ds t = , ≠?, 试求函数()f t 的⼀般表达式.解: 设0()()tF t f s ds =?, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dFFFdF dt dt= =, 得 2()2,()2F t t c F t t c =+ =±+, ⼜(0)0F =, 得0c =. 从⽽ ()2F t t =±,进⽽ 1()()2f t F t t'==±. 例13 求具有性质 ()()()1()()y t y s y t s y t y s ++=- 的函数 ()y t , 已知(0)y '存在.解: ⾸先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-,化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义。