天体运动中的三星问题、拉格朗日点(较难)

“双星”及“三星”问题宇宙中，因天体间的相互作用而呈现出诸如双星、三星及多星系统组成的自然天文现象，天体之间相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

现代实验观测表明，在天体运动中，将两颗彼此距离较近而绕同一点做圆周运动的行星称为双星模型。

而三星等多星模型则是指彼此相互依存和相互作用且围绕某一点作圆周运动的行星。

多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程。

由于多星间的引力和运动情况特殊性，从而产生了很多有趣的天文现象。

一、“双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

4.“双星”问题的分析思路质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径 r1 ，r2；周期T1，T2 ；角速度ω1，ω2 线速度V1 V2；周期相同：（参考同轴转动问题） T1=T2角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2向心力相同：Fn1=Fn2（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r1：r2=m2：m1m1ω2r1=m2ω2r2m1r1=m2r2 r1:r2=m2:m1线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导） V1:V2=m2:m1V1=ωr1 V2=ωr2双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的倍，则此时圆周运动的周期为（）A. B.C. D.设两颗恒星的质量分别为和，两颗恒星的运行半径分别为和，两恒星之间的距离，两恒星运动时都是由它们之间的万有引力提供向心力，即，，联立得两恒星的质量和，故，当质量和变为原来的k倍，距离变为原来倍时，两恒星做圆周运动的周期，B项正确.二、“三星”问题有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

邓峰关于拉格朗日点的全新解法Lagrange, Joseph Louis 1736-1813 拉格朗日:法国(原是意大利人，叫Giuseppe Luigi Lagrangia ，生于都灵，搬到了巴黎并成为了法国公民)数学家、天文学家,在天体力学体系中作出了杰出的贡献。

图1 拉格朗日点图2拉格朗日点是拉格朗日于１７７２年推导证明的，也被称为太空中的天平点。

它存在于两个大的天体之间，由于受到两个天体的重力影响，位于这一点上的小型物体可以相对保持平衡，不需要动力推进以抵挡引力作用。

１９０６年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。

在每个由两大天体构成的系统中，按推论有５个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。

每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角形。

每两大天体中有５个拉格朗日点。

但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。

每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角形。

（如图 1）如图2所示，假设大质量天体质量为M ，小质量天体质量为m ，拉格朗日点处的更小质量的天体质量为m 0；大小天体间距设为r ，其到二天体为系统的质心处的距离分别为r M 、r m ；两天体到拉格朗日处天体的距离分别为r 1和r 2；二天体对拉格朗日处天体的万有引力分别设为F M 和F m ；以L 4点为坐标原点，过该点和质心C 建立正交直角坐标系，设两个个万有引力与x 轴的夹角分别为α和β，设L 4点到质心C 的距离为r c ；证明L 4点位于与M 和m 天体构成的正三角形的顶点处。

1、由质心定理可求出：r ）m M m （r M +=；r ）mM M（r m +=2、此三星系统角速度相等，设为ω，研究大质量天体，则有：22M 2r ）m M m （M Mr r GMm ωω+==；解得：32r）m G(M +=ω① 3、将F M 、F m ，沿x 、y 方向正交分解可得：F M cos ɑ=F m cos β② F M sin ɑ+F m sin β=F 向③；其中F M =210r GMm ；F m =220r Gmm ；F 向=m 0r C ω2=m 0r C3r ）m G(M +将上述各物理量代入③式可得：210r GMm sin ɑ+220r Gmm sin β=m 0r C3r ）m G(M +④； 4、由②式知：210r GMm cos ɑ=220r Gmm cos β，可得:21r M cos ɑ=22r m cos β⑤5、从二天体位置处做垂直于y 轴的两条辅助线段，并假定y 轴与二天体连线的夹角为θ。

五个拉格朗日点之定义如下：L1在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间。

例如一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。

但是这忽略了地球的万有引力对其产生的拉力的影响。

如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加了这个物体的轨道周期。

物体距地球越近，这种影响就越大。

在L1点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。

太阳及日光层探测仪（SOHO）[1]即在日-地系统的L1点上运行。

L2在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。

例如：相似的影响发生在地球的另一侧。

一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长。

地球引力对其的拉力减小了物体的轨道周期。

在L2点，轨道周期变得与地球的相等。

L 2通常用于放置空间天文台。

因为L2的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。

威尔金森微波各向异性探测器已经在日-地系统的L2点上运行。

詹姆斯韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的L2点上。

嫦娥二号北京时间2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距离地球约150万公里远的、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道。

L3在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。

例如：第三个拉格朗日点，L3，位于太阳的另一侧，与太阳的距离略小于地球与太阳的距离，但是位于地球轨道的外部，这个看上去矛盾的表述是因为地球公转轨道的中心（严格来说是焦点）是太阳与地球的共同质心，尽管对于日地系统来说共同质心在太阳内部，太阳同时也在围绕这个共同质心转动，所以这种状态成为可能。

一些科幻小说和漫画会在L3点创造一个“反地球”。

L4L4点受两天体重力的合力指向系统的质心在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。

此点稳定的原因在于，它到两大物体的距离相等，其对两物体分别的引力之比，正好等于两大物体的质量之比。

与拉格朗日点有关的天体问题的一般解法作者：任孝有来源：《学校教育研究》2019年第16期拉格朗日點（Lagrangian points ）指在两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点，于1772年由法国数学家拉格朗日推算得出。

1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。

处于拉格朗日点的物体，向心力由两个大天体提供，且与其中一个大天体的角速度相同。

下面分析高中阶段与之相关的典型物理问题。

例题1. 探测器在月球背面着陆的难度要比在月球正面着陆大很多，其主要的原因在于：由于月球的遮挡，着陆前探测器将无法和地球之间实现通讯。

2018年5月，我国发射了一颗名为“鹊桥”的中继卫星，在地球和月球背面的探测器之间搭了一个“桥”，从而有效地解决了通讯的问题。

为了实现通讯和节约能量，“鹊桥”的理想位置就是围绕“地-月”系统的一个拉格朗日点运动，如图所示。

所谓“地-月”系统的拉格朗日点是指空间中的某个点，在该点放置一个质量很小的天体，该天体仅在地球和月球的万有引力作用下保持与地球和月球的相对位置不变。

小结：对于单一中心天体的高轨低速在这种情境下不再成立了，反而变成了高轨高线速度，与双星问题中的线速度关系类似。

两种情况下，两星相同的都是角度，不同的是双星中向心力相同，因质量不同，导致半径不同;而空间站与月球则是因实际提供向心力的个数不同，导致不同半径同样的角速度。

分析加速度大小时，要结合两物体的共同点即控制变量后再去展开比较。

由以上分析，可以看到，力与运动的分析是根本，这种科学的思维方法要在教学中反复体现，学生最终的习得需要一个长期的过程。

教学过程提倡学生思维的开放，但对于已经非常成熟的科学思维，学生必须掌握，而且能熟练、规范的应用，能够准确阐述自己的观点。

之后，才是个人的自我创造，思路开放;不能凭感觉解决对某个甚至某些问题，觉得以后就可以这样去思考，去运用，而无视其适用的边界和解决问题的低效。

第七单元第4节宇宙航行：多星问题及拉格朗日点双星系统问题宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。

在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。

这种结构叫做双星双星系统特点1．两颗星都做匀速圆周运动，且与旋转中心总在同一直线上2．F向、ω、T均相等轨道半径之和等于双星间距离3．半径之比等于质量反比，即质量大的半径小r1 r2=m2m1r1=m2m1+m2L r2=m1m1+m2L4．注意：引力距离与轨道半径的区别三星系统问题1．三星系统——“二绕一”三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，则：ω、T均相等Gm2 r2+Gm2(2r)2=m4π2T2r2．三星系统——“三角形”三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同，设每个星体质量均为mGm2 L2•2cos30°=m4π2T2r其中，r=L2cos30°题型五：四星系统问题1．正方形：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动2．三角形：有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动题型六：拉格朗日点一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止【例1】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。

【例2】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。

某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互作用的万有引力作用下绕二者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。

由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为（ ）A ．4π2r 2(r−r 1)GT 2B ．4π2r 13GT 2C ．4π2r 3GT 2D ．4π2r 2r 1GT 2【例3】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者的连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．（1）可见星A所受暗星B的引力F A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．【例4】如图所示，科学家设想在拉格朗日点L建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，拉格朗日点L位于地球和月球连线上，处在该点的空间站在地球和月亮引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．以v1、ω1、a1分别表示近地卫星的线速度、角速度、向心加速度的大小，以v2、ω2，a2分别表示该空间站的线速度、角速度、向心加速度的大小，以v3、ω3、a3分别表示月亮的线速度、角速度、向心加速度的大小．则正确的是（）A．v1＞v3＞v2B．ω1＞ω2＝ω3C．a1＞a2＞a3D．a1＞a3＞a21．2017年10月16日晚，全球天文学界联合发布一项重大发现：人类首次直接探测到了双中子星并合产生的引力波及其伴随的电磁信号。

万有引力定律与航天的几种问题处理方法多星问题1. 双星问题：在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星。

其特点如下：靠彼此的万有引力提供圆周运动的向心力；绕二者连线上的某一点做圆周运动的周期相同；二者的距离大小不变。

2. 三星问题：三星系统是指宇宙中一些离其他恒星较远的三颗星，它们在相互的万有引力的作用下绕同一中心位置运转。

例：1. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）A.23k n TB.k n 3TC.kn 2T D.k n T2. 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的圆轨道上运行。

另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设每个星体的质量均为， (1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？3. 两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两重心联线上的某点为圆心，做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起。

设两天体的质量分别为m 1和m 2，则它们的轨道半径之比R m1:R m2= ；速度之比v m1:v m2= 。

4. 如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为1m 和2m ，相距为l ，万有引力常量为G ，求：（1）双星转动的中心位置；（2）转动周期。

◆ 贺飞鸿、丛 越/文三体文明存在吗？在距离地球4光年之外的半人马座上，有一个由三颗恒星和一颗行星所组成的恒星系统。

这三颗恒星的质量以及彼此之间的距离基本相等，在互相的引力作用下，它们的运行轨迹几乎不可预测。

但三颗恒星的光和热在其行星上孕育了一种高级智慧文明——三体文明。

由于三颗恒星运行轨道不稳定，无法计算，三体行星上便出现了两种纪年方法：恒纪元和乱纪元。

当行星围绕着三颗恒星中的某一颗恒星运行时，温度适宜，这便是恒纪元，只有在恒纪元，三体人才能繁衍生息，发展文明；当行星同时受到三颗恒星的引力作用时，温度可能极冷也可能极热，这便是乱纪元，乱纪元时候，三体智慧生命只能进入休眠状态以保存自己，即便如此，乱纪元也已经让他们的文明百余次毁灭于大火或冰冻中。

三体世界本来拥有12颗行星，但在漫长的时间里有11颗被恒星吞噬，三体人居住的第12颗行星也即将被恒星吞噬。

他们终于明白三体问题不可解，只有飞向宇宙寻找新家园，才能让三体文明持续下去。

终于有一天，三体人探知到了地球的存在，认定地球是一个他们可以长久居住的乐土。

于是，三体人的星际舰队便以相当于光速的十分之一的速度向地球进发。

地球人也通过望远镜探知到了三体舰队的存在，地球陷入一片恐慌之中……以上是我国当代知名科幻作家刘慈欣科幻小说《三体》中的内容。

最近几年来，《三体》系列红遍大江南北，被视为中国科幻文学的里程碑之作。

伴随着《三体》小说的热销，三体问题也为众多的读者所熟知。

刘慈欣在小说里构造出了一个复杂而迷人的宇宙体系，但是，这样一个忽然很规律、忽然很紊乱的三体系统在宇宙中是不存在的，即使存在，也会很快崩溃。

所谓的行星，要么飞离恒星要么飞向恒星。

如果要像三体中说的那样时近时远，还能让一个文明产生，几乎是完全不可能的。

不过，小说中提到三体问题，倒还真是人类科学家数百年来面临的一个巨大难题。

难倒牛顿的世纪难题自从牛顿提出万有引力定律以来，人们就很容易计算出宇宙中两个天体在引力作用下的运动情况，得到天体的运行轨道。

“双星”及“三星”问题宇宙中，因天体间的相互作用而呈现出诸如双星、三星及多星系统组成的自然天文现象，天体之间相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

现代实验观测表明，在天体运动中，将两颗彼此距离较近而绕同一点做圆周运动的行星称为双星模型。

而三星等多星模型则是指彼此相互依存和相互作用且围绕某一点作圆周运动的行星。

多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程。

由于多星间的引力和运动情况特殊性，从而产生了很多有趣的天文现象。

一、“双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

4.“双星”问题的分析思路质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径 r1 ，r2；周期T1，T2 ；角速度ω1，ω2 线速度V1 V2；周期相同：（参考同轴转动问题） T1=T2角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2向心力相同：Fn1=Fn2（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r1：r2=m2：m1m1ω2r1=m2ω2r2m1r1=m2r2 r1:r2=m2:m1线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导） V1:V2=m2:m1V1=ωr1 V2=ωr2双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的倍，则此时圆周运动的周期为（）A. B.C. D.设两颗恒星的质量分别为和，两颗恒星的运行半径分别为和，两恒星之间的距离，两恒星运动时都是由它们之间的万有引力提供向心力，即，，联立得两恒星的质量和，故，当质量和变为原来的k倍，距离变为原来倍时，两恒星做圆周运动的周期，B项正确.二、“三星”问题有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

天体运动中的“三星一线”问题与行星的“凌日、冲日、合日”现象在万有引力与航天的教学中，有一类涉及天体追及的“三星一线”问题，常常让学生感到困惑。

这种问题的求解决方法类似于直线运动中的追及问题，关键是要找出天体转过程角度θ、角速度ω(或周期T)和时间t等物理量之间的关系。

[例1]、如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则( )A．经过时间t＝T1＋T2，两行星再次相距最近 B．经过时间t＝，两行星再次相距最近C．经过时间t＝，两行星相距最远 D．经过时间t＝，两行星相距最远解析：A、B两行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由，得，r A<r B，故ωA>ωB，即A比B转动得快。

此刻M、A、B三星一线，下一次要相距最近，M、A、B也必须共线，且A、B在M的同侧。

假设两次时间为t，此过程中B转过θ弧度，如图2所示，则A转过的弧度为θ+2π，即（ωA-ωB）t=2π。

而，所以，解得。

要使A、B相距最远，M、A、B也必须共线，且A、B在M的两侧。

此过程中，若B转过的角度为θ，则A转过的角度为θ+π，如图3所示，（ωA-ωB）t=2π，所以，解得。

故B、C选项是正确的。

在真实的宇宙中，天体运动时会因出现上述题目中的情况而发生特殊的天文现象。

例如太阳系，从中心向外依次有水、金、地、火、木、土、天王、海王八大行星。

地球为参考，可将除地球外的七大行星分为地内行星（水星、金星），和地外行星（火星、木星、土星、天王星、海王星）。

如果地球和地内行星出现如图2实线所示情形（B为地球，A为地内行星），就会发生所谓的“凌日”现象。

其特点是太阳、地内行星和地球三星共线，地内行星和地球处在太阳的同侧。

此时，地内行星挡住部分从太阳射出，沿直线向地球传播光线。

如果过地内行星足够大，完全挡住太阳，地球上将会出现日食。

然而，由于地球看到的水星和金星都远小于太阳，所以发生凌日现象时，我们只能看到太阳表面上有一个如图4所示的缓慢移动的小黑点。

三体问题拉格朗日类特解
我们要找三体问题中的拉格朗日特解。

三体问题是一个经典的力学问题，描述了三个质点在万有引力作用下的运动。

为了简化问题，我们通常使用拉格朗日方法来找到系统的特解。

假设三个质点的位置分别为 r1, r2 和 r3，并且它们的质量分别为 m1, m2
和 m3。

根据牛顿的万有引力定律，任意两个质点之间的力 F 可以用以下公式表示：F = G (m1 m2) / r1 - r2^2
其中 G 是万有引力常数。

拉格朗日方法是一种用于找到多体问题的特解的方法。

在这个问题中，我们需要找到满足以下条件的特解：
1. 系统总动量为零（即Σ p_i = 0）。

2. 系统总角动量为零（即Σ (r_i × p_i) = 0）。

3. 系统的能量 E 是常数。

现在我们要来解这个问题，找出满足这些条件的特解。

计算结果为： [{E: , J: [[, , ], [, , ], [, , ]]}]
所以，三体问题的拉格朗日特解为：能量 E = ，角动量矩阵 J = [[, , ], [, , ], [, , ]]。

地球拉格朗日点（最新版）目录1.拉格朗日点的定义和概念2.拉格朗日点的发现和命名3.拉格朗日点的特点和应用4.我国对拉格朗日点的研究和探索正文拉格朗日点是指在两个天体之间，由于它们的引力作用达到平衡，使得第三个天体能够在这个点上保持相对稳定的位置。

这个点是由 18 世纪意大利数学家拉格朗日提出的，因此得名拉格朗日点。

拉格朗日点的发现和命名可以追溯到 1772 年，当时拉格朗日正在研究两个天体之间的引力平衡问题。

他提出了五个特殊的点，即现在的拉格朗日点。

这五个点分别位于两个天体连线上的三个位置和它们的对称位置。

其中，L1、L2、L3 三个点分别位于天体 A 和天体 B 的连线上，且分别距离天体 A 和天体 B 的距离相等。

而 L4 和 L5 则位于天体 A 和天体B 的连线上，且分别距离两个天体的距离之比为 2:1。

拉格朗日点的特点和应用非常广泛。

首先，由于拉格朗日点能够保持相对稳定的位置，因此被广泛应用于空间探测。

例如，我国的嫦娥一号、嫦娥二号等探测器就是利用拉格朗日点进行轨道设计的。

此外，拉格朗日点还具有观测优势，因为在这个点上，可以同时观测到两个天体，且观测角度相对固定。

我国对拉格朗日点的研究和探索始于 20 世纪 90 年代。

当时，我国的空间科学家们开始着手研究如何利用拉格朗日点进行空间探测。

2007 年，我国的嫦娥一号成功实现了对月球的环绕探测，这标志着我国在拉格朗日点研究方面取得了重大突破。

此后，我国的嫦娥二号、嫦娥三号等探测器也相继利用拉格朗日点进行了轨道设计。

总之，拉格朗日点是天体力学中的一个重要概念，它的发现和应用使人类对天体运动有了更深入的认识。

太空停车埸——太阳系里的拉格朗日点我们在地面上行车，习惯于找一小块平地放心地停车，因为平地上停车不担心脱刹后游走。

如果能找到一块小凹地，将车停在凹地底部，更不用担心车子脱刹后会被大风“推走“。

斜坡上不能停车，道理很简单，因为那里随时都有可能滑走。

如下图中的小球，在A、B点都可以保持静止，但放在B位是最稳定。

＜地面上的两种安全停车位＞由此联想到太空中飞行的火箭，是否也能找到一块A类“平地“或B类“凹地”用于停泊，休息一下，甚或作些检修、“加油”之类时的服务，太空里能找到这样的停车点吗？众所周知，看似虚无的太空，其实充满星体伸出来的“万有引力”，它象一张无形的网，无时无刻都在牵拉着飞行中的火箭，火箭要么顺着引方向飞过去，要么保持一定的垂向速度，用飞弧形路线产生的惯性离心力来平衡引力，保持椭圆或抛物轨道飞行状态，似乎永远找不到不受万有引力牵拉的停泊点。

当周围有多个星体同时作用于飞行体时，空间会出现一种特殊区域，在那里，各星球的引力相互抵消（达到平衡），出现类似于地面上的“小平台”那样的小区域，也会出现“引力势”呈现低凹区的特殊点，这些点正是我们要寻找的“太空停车场”。

天文学称它为拉格朗日点。

下图表示在太阳和地球共同作用下，形成的五个特殊点，通常称为地日系拉格朗日点。

＜地日系拉格朗日L1～L5点＞十七世纪中叶，牛顿揭示了万有引力规律，紧接着，另一位法国数学家拉格朗日（1736－1813）在思考宇宙中“三体引力场”问题时，发现方程组在简化条件下可得到五个“特解”。

简化条件是：三个天体同处于同一个平面，相对位置固定，其中有一个小天体，忽略它对另两大天体的作用力，这样会求出五个力的平衡点（即上图的L1～L5），太阳系里每个行星都与太阳有相对固定的位置关系，所以轨道平面上都有5个平衡点，这里所说的平衡，是指两个大天体的引力和小天体随大天体系统同步公转的惯性力三者的矢量平衡。

我们的地球和月亮组成了“地月系”，在嫦娥登月工程中就曾成功地利用了月背的L2点，驻畄了鹊桥通讯卫星，携助嫦娥月背着陆立了大功。

剖析宇宙中的双星、三星模型（答题时间：30分钟）1. 经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。

如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。

则可知（）A. m1：m2做圆周运动的角速度之比为2：3B. m1：m2做圆周运动的线速度之比为3：2C. m1做圆周运动的半径为D. m2做圆周运动的半径为L2. 月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。

据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（）A. 1：6400B. 1：80C. 80：1D. 6400：13. 在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

则下列说法不正确的是．．．．．（）A. 两颗星有相同的角速度B. 两颗星的旋转半径与质量成反比C. 两颗星的加速度与质量成反比D. 两颗星的线速度与质量成正比4. 某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。

根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中（）A. 双星做圆周运动的角速度不断减小B. 双星做圆周运动的角速度不断增大C. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径渐小D. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大5. 如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，最新观测表明“罗盘座T星”距离太阳系只有3260光年，比天文学家此前认为的距离要近得多。

“拉格朗日点”的理论推导摘 要：在由一个大天体和一个小天体构成的系统中，在它们的轨道平面内存在这样的5个点，使得在这5个点上的质量可忽略的星尘或飞行器在两个天体的万有引力的作用下运动的过程中与两个天体保持相对静止，这样的点称为“拉格朗日点”。

下面将用数学中向量的理论对“拉格朗日点”进行理论推导。

关键词：拉格朗日点；万有引力；向量0 引 言如图1所示，1767年数学家欧拉推算出了拉格朗日点中的L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日又推算出了另外两个点L4、L5【1】。

美国普林斯顿大学的物理学教授杰拉尔德·基钦·奥尼尔提出在地月系统中的拉格朗日点上建造太空城的方案【2】。

2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，嫦娥二号在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距离地球约150万公里远、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道【3】。

图1【4】拉格朗日点中较难理解的是L4、L5点，这两个点分别与两个天体构成等边三角形。

对拉格朗日点的推导有说明的文献也很少。

如参考文献【2】的对于拉格朗日L4点的推导运用了复杂的几何知识。

下面将用简单的向量的方法去推导拉格朗日L4、L5点，并简要说明L1、L2、L3点的存在性。

1 推导过程1.1 L4、L5点的推导图2第 1 页 （共 4 页）S JOCR1⃗⃗⃗⃗⃗ R2⃗⃗⃗⃗⃗ R3⃗⃗⃗⃗⃗ 恒星如图2，我们以太阳系中的恒星太阳（Sun ）和最大的行星木星（Jupiter ）为例，设相对它们质量可忽略不计的航天器c 位于拉格朗日点上。

设太阳质量为M ，木星质量为m ，太空城市质量为u ，系统的质心为O ，mS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =R1⃗⃗⃗⃗⃗ ，mJ ⃗⃗⃗⃗⃗ =R2⃗⃗⃗⃗⃗ ，mO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =R3⃗⃗⃗⃗⃗ ，三个向量的长度分别为R1,R2,R3.设|SJ|=R ，由数学分析中的质心求法可得|OS|=R·mM+m ，|OJ|=R·MM+m由于三个物体相对静止，故它们绕质心旋转的角速度相同，设其为ω，并设万有引力常数为G 。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。