综合法和分析法PPT

• (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不 等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 最后得到的充分条件是已知(或已证)的不 等式；
• (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语．
[研一题]
[例 3] 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1.
2.2.1 综合法和分析法
[例 1] 已知 a，b，c>0.求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋ b2＋c2)(a＋b＋c)．
• [分析] 不等式中的a，b，c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论．
• [证明] ∵a2＋b2≥2ab，a>0，b>0， • ∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)． • ∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2. • ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. • 同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2. • 将三式相加得： • 2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2， • ∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)
由基本不等式得a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0， a＋2 c≥ ac>0，又∵a，b，c 是不全相等的正数， ∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc. 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．
• 第二步：转化条件，组织过程．把题目的 已知条件，转化成解题所需要的语言，主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的 语言，清晰的思路．
• 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾 解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一
些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 的选取．
[例 2]
已知
a>0，b>0，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
• [分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件
可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立．
∵(a－b)2≥0
恒成立，∴
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
• [点评] (1)分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论；
＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．
∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
• [点评] 1.综合法证明问题的步骤
• 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析 题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已 知与结论之间的联系与区别，选择相关的 公理、定理、公式、结论，确定恰当的解 题方法．
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
• 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， • 需证c2＋a2＝ac＋b2， • 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B＝
60°，
• 由余弦定理，有 • b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， • 故c2＋a2＝ac＋b2得证． • 综合法： • 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， • ∴B＝60°. • 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， • 得c2＋a2＝ac＋b2， • 等式两边同时加上ab＋bc得 • c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
• [例4] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
• [分析] 条件与结论跨越较大，不易下手， 可考虑用分析法证明；由于分析法是执果 索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分 析法的倒退过程就是综合法．
[证明] 分析法：
[例 5] 如果 a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2 2(a －b)，并指明何时取“＝”号．
• [分析] 先用分析法将所证不等式转化为易 证的等价式子，再用综合法进行证明．
[解析] 因为 a>b，a－b>0，所以欲证 a2＋b2≥2 2(a－b)． 只需证aa2－＋bb2≥2 2. 因为 a>b，所以 a－b>0，又知 ab＝1， 所以aa2－＋bb2＝a2＋b2－a－2abb＋2ab＝(a－a－b)2b＋2 ＝(a－b)＋a－2 b≥2 (a－b)·a－2 b＝2 2. 所以aa2－＋bb2≥2 2，即 a2＋b2≥2 2(a－b)． 当且仅当 a－b＝a－2 b，即 a－b＝ 2时，取等号．
等式两边同除以(a＋b)(b＋c)得，a＋c b＋b＋a c＝1， ∴a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3， 即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
• [点评] 综合法和分析法各有优缺点．从 寻找解题思路来看，综合法由因导果，往 往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索 因，常常根底渐近，有希望成功，就表达 证明过程而论，综合法形式简洁，条理清 晰；分析法叙述繁琐，文辞见长．也就是 说分析法利于思考，综合法宜于表述．因 此，在实际解题时，常常把分析法和综合 法结合起来运用，先以分析法为主导求解 题思路，再用综合法有条理地表述解答或 证明过程．
证明：logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc.
[自主解答]
要证Leabharlann a＋b logx 2＋
logx
b＋c 2
＋logxa＋2 c<logxa
＋
logxb＋logxc， 只需要证明 logx(a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c)<logx(abc)，
由 0<x<1 知，只需证明a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc.