综合法与分析法

综合法与分析法知识点总结综合法与分析法是在研究认知过程和解决问题过程中的两种基本方法。

它们在科学研究、管理决策、问题解决等领域中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将从综合法和分析法的基本概念、特点、适用范围、主要方法与应用技巧等方面进行综合分析，并结合具体例子进行具体说明。

一、综合法综合法是指在进行研究分析时，采用多个角度、多种方法进行综合比较，综合研究问题的方法。

综合法的主要特点有：1. 多因素综合：综合法强调多方面、多因素的综合研究。

它可以从不同的角度、不同的层面分析问题，得出综合、全面的结论。

2. 积极开放：综合法强调对各种可能性的积极开放，不固步自封，能够克服单一因素分析的片面性。

3. 统筹兼顾：综合法要求在研究中综合各种看法，避免偏听片信，充分尊重每个因素，统筹兼顾。

综合法的主要方法包括层层分析法、交叉综合法、数字与模型综合等。

在实际应用中，可以通过案例分析、数学模型分析等方法进行具体操作。

例如，在管理决策中，如果要分析一个市场是否具有潜在的发展前景，可以采用综合法。

首先，可以从市场规模、人口结构、经济发展情况等多个角度综合考虑；其次，可以采用数字模型进行综合分析，将不同因素的影响定量化，最终形成综合判断。

二、分析法分析法是通过对现象的分解、逐一研究，从而对复杂问题的本质和规律进行探讨的方法。

分析法的主要特点有：1. 逐一分解：分析法要求对问题进行逐层逐一的分解，从整体到局部，从细微到粗大地深入研究每个问题。

2. 重点着眼：分析法要求对问题的各个方面着重研究，找到问题的关键和症结所在，从而能够深刻理解问题。

3. 系统性：分析法在进行研究时需要具有系统性，从不同的角度对问题进行分析，形成全面、系统的认识。

分析法主要包括逐步分析法、归纳分析法、因果分析法等。

在实际应用中可以通过对数据的分解、对问题的逐步归纳等方法进行具体操作。

举例而言，在生产管理中，如果要分析一个生产环节中出现的问题，可以采用分析法。

综合法、分析法和分析综合法证明一个数学命题，重要的是寻找“条件”（已知）与“结论”（未知）之间的逻辑关系．寻找的方法通常分成正面思考和反面思考两大类．正面思考的方法有综合法、分析法和分析综合法等，反面思考的方法有反证法和同一法等．（一）综合法所谓综合法就是从“已知条件”出发，运用已学过的数学知识（定义、公理、定理等），一步步地进行推理，直至导出“结论”为止．综合法以“结论”为目标，由“已知”推出“可知”，逐步靠拢目标．因例1 如图1-1．已知：α⊥β，b⊥β且bα．求证：b∥α．【分析】由α⊥β和平面与平面垂直的性质定理可知，在α内，作垂直于α与β交线的直线c必垂直于β．从而由b⊥β、c⊥β和直线与平面垂直的性质定理可得，b与c重合或平行．若b与c重合，则bα，与已知条件bα不合；若 b∥c，则 b∥α．【证明】设α∩β=m，在α内作直线c⊥m．【解说】用综合法证明立体几何题，从“已知”过渡到“可知”时，必须注意挖掘几何图形的性质，充分运用性质定理去推证，这是综合法证题的一个规律．例2 如图1-2．已知：在四面体ABCD中，AB⊥DC，AC⊥BD．求证：AD⊥BC．【分析】由AB⊥DC和AC⊥BD可得出什么？注意到CD、BD都在平面BCD内，AB、AC都是这个平面的斜线，这样，已知条件就是平面BCD的两条斜线与该平面内的两条直线分别垂直．因此，由三垂线定理的逆定理可得，两条斜线的射影也分别垂直于这两条直线．于是，作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH，则BH⊥CD，CH⊥BD．从而H是△BDC的垂心，可知DH⊥BC．由DH是AD 在平面BDC内的射影和三垂线定理，可得AD⊥BC．【证明】如图1-2．过A作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH．（二）分析法所谓分析法就是从“结论”入手，去追溯“结论”成立的条件（即在什么条件下“结论”成立），再把所得的条件作为结论，去寻找这个新结论成立的条件．像这样，追根求源，一直追溯到“已知”为止．例3如图1-3．已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1．（1994年全国高考文科、理科试题）【分析】欲证AB1∥平面DBC1，即证AB1平行于平面DBC1内的一条直线．由于D是AC的中点，联想△CAB1的中位线的性质，只需找到B1C的中点E．而由已知易得B1BCC1是矩形，B1C与BC1的交点就是E．【证明】连结B1C、BC1，设B1C∩BC1=E，再连结DE．【解说】在本例的分析中，用分析法作了一番探索后，发现了由“已知”通向“未知”的思维过程，为综合法证明铺平了道路．例4 如图1-4．已知：在四面体ABCD中，AC=BC，AD=BD．求证：AB⊥DC．【分析1】欲证 AB⊥DC，由直线与平面垂直的性质知，需证AB垂直于过DC 的某个平面．因此，需找两条相交直线，它们都垂直于AB，且与DC共面．因AB 是△CAB和△DAB的公共边，问题转化为在AB上是否存在一点M，使AB⊥MC，且AB⊥MD，但这由已知条件CA=CB和DA=DB可知．【证法1】设M是AB的中点，连结MC和MD．【分析2】如图1-5．AB在平面ABD内，CD与这个平面相交．要证AB⊥CD，若CD是平面ABD的斜线，则问题转化为证CD在平面ABD内的射影 DH（CH⊥平面ABD）垂直于AB．因DA=DB，只需证∠ADH=∠BDH．由DA=DB知，只需证AH=BH，这可由CA=CB得出．若CD⊥平面ABD，则易得CD⊥AB．【证法2】（1）当CD不垂直于平面DAB时（如图1-5），过C作CH⊥平面DAB，垂足为H，连结AH、BH、DH．于是，由（1）、（2）可知，CD⊥AB．【解说】这两种证法都需要添置适当的辅助线，而这些辅助线都是在探索“结论”成立的条件中发现的．因此，分析法是立体几何中添置辅助线的一种重要方法．（三）分析综合法综合法由“条件”靠拢“结论”是正向思维，分析法由“结论”追溯“条件”是逆向思维．因此，在思维方法上，这两种方法构成一对矛盾．分析法和综合法是证明数学命题的两种有效方法，在立体几何中都大有用武之地，但是，使用这两种方法要灵活机动，因题制宜，不可拘泥于某一种方法．有的题目，单用一种方法简直到了山穷水尽疑无路的地步，一旦改换另一种方法，思维沿着相反的方向进行，就会出现柳暗花明又一村的美景．因此，一旦把两种方法结合起来，互相穿插使用，便能加快解题速度．这样，分析法和综合法互相配合就产生了分析综合法．这种方法从一个命题的两头（“条件”和“结论”）向中间靠拢，思路清晰，目标明确，思维集中，容易找到问题的突破口，发现解题途径．例5 如图1-6，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．求证：BE=EB1．（1996年全国高考理科试题改编）在平面A1CE内可作EG⊥A1C于G，设AC的中点为F，连BF、FG，【证明】如图1-6．在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C于G，则由截面EA1C⊥侧面A1C，得EG⊥侧面A1C．■设F是AC的中点，连结BF、FG，则由BA=BC，得BF⊥AC．∵平面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1．∴BF∥EG．从而BF、EG确定一个平面，这个平面与侧面A1C的交线为FG．又 BE∥侧面A1C，∴BE∥FG．于是 BE=FG．在△CAA1中，∵FG∥BE，BE∥AA1，∴FG∥AA1．又 F是AC的中点，。

高中数学—综合法与分析法综合法与分析法是高中数学中常用的解题方法。

综合法强调整体把握和综合思考问题，而分析法则注重细致分析和逐步解决问题。

两者有各自的特点和应用场景，在解题过程中可以根据题目的要求和条件选择合适的方法。

综合法是先整体把握问题，然后思考解决方法的一种方法。

在解题过程中，先要明确问题的目标和条件，并将其整合为一个整体。

通过对整体的分析和思考，找出解决问题的关键点和方法。

综合法注重的是整体思考，不仅需要对问题进行全面的分析，还需要将各个条件和要求进行综合考虑，从而制定出解决问题的方案。

在高中数学中，综合法常常用于解决复杂的几何问题以及应用题中。

以解决几何问题为例，综合法的思路一般是先整体观察图形的性质和特点，然后从中找出关键的性质或定理，再利用这些性质或定理进行推理和证明。

通过整体把握，可以避免在解题过程中忽略一些重要的条件或关键点，从而提高解题的准确性和有效性。

分析法是逐步解决问题的一种方法。

分析法注重的是从问题中逐步抽象、归纳和推理，通过分解问题，逐步解决问题的各个部分，从而得到最终的解答。

分析法在高中数学中常常用于解决复杂的代数问题和一些特殊的几何问题。

以解决代数问题为例，分析法的思路一般是从已知条件出发，逐步推导出未知量的表达式或等式。

通过对问题的分析和推理，可以逐步解决问题，将复杂的问题分解为简单的步骤，提高解题的可行性和有效性。

在实际的解题过程中，综合法与分析法通常不是相互排斥的，而是相互补充的。

综合法注重整体把握，可以帮助我们快速了解问题的背景和要求；而分析法则注重细致分析，可以帮助我们逐步解决问题的各个部分。

在解题过程中，我们可以根据具体的情况综合运用这两种方法，选择合适的方法和策略来解决问题。

综合法与分析法在高中数学中的应用是非常广泛的。

通过综合法和分析法的学习和应用，我们可以更好地理解和掌握数学的基本概念和方法，提高解题的能力和水平。

同时，综合法和分析法也是培养我们综合思考和分析问题的能力的重要手段之一、通过不断的练习和实践，我们可以逐步提高综合法和分析法的应用水平，更好地解决数学问题。

综合法与分析法一、教材分析：《综合法与分析法》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．二、教学目标：1、知识与技能：(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．2、过程与方法：(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3、情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．三、教学重点： 综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤。

四、教学难点： 综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题。

五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：本节知识点数学是证明中的一种特别方法，它需要学生具备一定的方向思维，执果索因，具备一定的逻辑推理能力，由于逻辑的转换存在困难，大部分学生对于本节课要学习的证明方法还存在一定逻辑推理上的欠缺，还需要老师逐步讲解和引导。

3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究、讲练结合法七、教学过程一， 1、自主导学： 复习引入回顾不等式：⑴(),02a a b b ≥>+的证明过程；证明：因为222a b a b ab +=+≥=所以2a b +≥=a b =等号成立⑵222a b ab +≥，(,)a b R ∈的证明过程；因为2222()0a b ab a b +-=-≥所以 222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立。

2、合作探究（1）分组探究： 例1．已知 ,,0,a b c ＞且不全相等，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞证明：222,0b c bc a +≥＞，所以22()2a b c abc +≥ ①因为222,0c a ac b +≥＞，所以 22()2b c a abc +≥ ②因为222,0a b ab c +≥＞，所以 22()2c a b abc +≥ ③由于，,,a b c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞（2）教师点拨：观察上述证明方法我们可以得到综合法的概念：所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证明的不等式。

综合法和分析法
一、综合法
1、一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

2、综合法的思维方向是”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的结论成立，故综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法的依据：已知条件以及逻辑推理的基本理论，在推理时要注意：作为依据和出发点的命题一定要正确．
二、分析法
1、 1、一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。

2、分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。

3、用分析法证明的模式：
用分析法证：为了证明命题B为真，这只需证明命题B，为真，从而有……这只需证明命题B：为真，从而有……这只需证明命题A为真．而已知A为真，故B必真．可见分析法是”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。

特别提醒：当命题不知从何人手时，有时可以运用分析法来解决，特别是对
于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．用分析法证明时，往往在最后加上一句步可逆，这无形中就出现了两个问题：①分析法证明过程的每一步不一定”，也没有必要要求”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件；②如果非要”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只适用于证明等价命题了，但是，只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构，明确四种命题之间的关系，那么用分析法证明不等式还是比较方便的。

分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。

分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。

1. 分析法和综合法的概念。

分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。

综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。

分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。

在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。

实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。

如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。

数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。

综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。

如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。

再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。

因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。

2. 分析法和综合法的重要意义。

大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。

综合法与分析法1．综合法 分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

2. 分析法 综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知.一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止，这种证明方法叫做分析法例1：设a ，b ，c 为正实数，求证：32111333≥+++abc cb a ．例2：已知{}n a 是正数组成的数列，11=a ，且点（1,n n a a +）（*N n ∈）在函数12+=x y 的图象上．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足11=b ，n an n b b 21+=+，求证：212++<⋅n n n b b b ．例3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，1)21(-=f 且满足)1,1(,-∈y x ,有)1()()(xy yx f y f x f ++=+．（1）证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；（2）对数列211=x ，2112nn n x x x +=+，求)(n x f ； （3）求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n ．1、,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:234 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++5、已知,,0,0y x y x ≠>>求证.411y x y x+>+6、已知,0>>b a 求证.b a b a ->-12n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2n n a a a a a a a a a +∈=+++≥ 已知且求证:222222,,0,a b b c c a a b c abca b c ++>≥++已知求证:7、已知.0,0>>b a 求证：（1）.4))((11≥++--b a b a（2）.8))()((333322b a b a b a b a ≥+++9、已知c b a ,,都是互不相等的正数，求证.9))((abc ca bc ab c b a >++++10 c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc . 求证:27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ．11（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,求证：222()ab a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-(1(0,)2x ∈)的最小值，指出取最小值时x 的值．反证法练习1. 证明：2,3,1不能为同一等差数列的三项。

2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．基础梳理1．综合法．(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3．分析综合法．(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：P⇒P1→P1⇒P2→…→P n⇒P′⇓Q m⇐Q′←…←Q1⇐Q2←Q⇐Q1基础自测1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B)A．(－∞，lg 6]B．(－∞，2lg 3]C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2xy≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy ≤lg 9，即lg x＋lg y≤2lg 3.故选B.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a”索的因应是(C)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选C.3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝2×3＝6.答案：64．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.答案：(－∞，6]（一）综合法证题的基本步骤(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．（二）分析法证题的步骤以及格式欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．（三）分析综合法的综合应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．1．“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”应用了(B )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法 解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B )A ．综合法B ．分析法C ．比较法D ．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n的大小关系为________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4＞⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 所以a ＋b 2＞a ＋b 2.又因为y ＝lg x 为增函数，所以有m ＞n .答案：m ＞n4．如图，长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，E是BC的中点．(1)求证：直线BB1∥平面D1DE；(2)求证：平面A1AE⊥平面D1DE；(1)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，又∵BB1⊄平面D1DE，DD1⊂平面D1DE，∴直线BB1∥平面D1DE.(2)证明：在长方形ABCD中，∵AB＝AA1＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝ 2.∴AE2＋DE2＝4＝AD2，故AE⊥DE.∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AE⊂平面ACBD，∴DD1⊥AE.又∵DD1∩DE＝D，∴直线AE⊥平面D1DE.而AE⊂平面A1AE，所以平面A1AE⊥平面D1DE.1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋－S k＝24，则k＝(D)2A．8 B．7 C．6 D．52．在三角形中，a为最大边，要想得到三角形为锐角三角形的结论，三边a，b，c应满足说明条件(A)A．a2＜b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：若三角形为锐角三角形，即∠A为锐角，由余弦定理知cos A＝b2＋c2－a22bc＞0，∴b2＋c2－a2＞0.3．设数列{a n}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，S n是{a n}的前n 项和，则(B)A．S4＜S5B．S4＝S5C．S6＞S5D．S6＝S5解析：∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.4．要使3a－3b＜3a－b成立，则a，b应满足的条件是(D)A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0且a＜bD．ab＜0且a＜b或ab>0且a>b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件．3a－3b＜3a－b⇔a－b＋33ab2－33a2b＜a－b⇔3ab2＜3a2b，∴当ab＞0时，有3b＜3a，即b＜a；当ab＜0时，由3b＞3a，即b＞a.所以选D.5．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是(B)A．1 B．2 C．3 D．4解析：①因为a∥b，b∥α⇒a∥α或a⊂α，所以①不正确．②因为a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．③α∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确．④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确． 综上知③，④正确．6．a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是(D )A ．A ＋B ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2ab a ＋b ≥ab解析：特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 不成立．7．函数f (x )＝In 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________．解析：因为f (－x )＝In 1＋x 1－x ＝In ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝In 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以f (－a )＝－f (a )＝－b .答案：－b8．设a ＝3＋7，b ＝2＋6，则a 、b 的大小关系为________．解析：由12＋3＞16＋7，化简得2－3＞7－ 6.从而2＋6＞3＋7，即a ＜b 答案：a ＜b9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________．解析：p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )⎝ ⎛⎭⎪⎫b m ＋d n＝ab ＋nbc m ＋madn＋cd≥ab ＋cd ＋2abcd ∴q 2≥p 2，∴p ≤q . 答案：p ≤q10．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x 2＋mx ＋4＜0⇔m ＜－x －4x，∵y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1，2)上单调递增，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ∈(－5，－4)． ∴m ≤5.答案：(－∞，－5]11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2.代入上式得（a ＋c ）24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．12．如下图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知，EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面ABC 而BC ⊂平面ABC . ∴EF ∥平面ABC . (2)由三棱锥ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱知，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C.CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C.又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.►品味高考1．(2014·安徽高考)设a＝log3 7，b＝21.1，c＝0.83.1，则(B)A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．c＜b＜a D．a＜c＜b解析：∵a＝log3 7，∴1＜a＜2.∵b＝21.1，∴b＞2.∵c＝0.83.1，∴0＜c＜1.故c＜a＜b，选B.π，c＝π－2，则(C) 2．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝log12A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞a解析：因为π＞2，所以a＝log2π＞1.因为π＞1，所以b＝log12π＜0.因为π＞1，所以0＜π－2＜1，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.3．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴ABDE为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD.∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.∴PA⊥CD.又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.。

综合法和分析法课时安排：每章25分钟，共125分钟教学目标：1. 让学生理解综合法和分析法的概念及应用。

2. 培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。

3. 提高学生逻辑思维和判断能力。

教学方法：1. 讲授法：讲解综合法和分析法的原理及运用。

2. 案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解综合法和分析法。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

教学内容：第一章：综合法概述1.1 综合法的定义1.2 综合法的应用领域1.3 综合法的优势和局限性第二章：分析法概述2.1 分析法的定义2.2 分析法的应用领域2.3 分析法的优势和局限性第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 综合法与分析法的区别3.2 综合法与分析法的联系3.3 综合法与分析法在实际应用中的选择第四章：综合法在解决问题中的应用4.1 综合法解决问题的步骤4.2 综合法在案例中的应用4.3 综合法解决问题的注意事项第五章：分析法在解决问题中的应用5.1 分析法解决问题的步骤5.2 分析法在案例中的应用5.3 分析法解决问题的注意事项教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。

2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，检验学生对综合法和分析法的理解程度。

3. 课堂问答：通过提问，了解学生对教学内容的掌握情况。

教学资源：1. PPT课件：展示综合法和分析法的原理、案例及应用。

2. 案例材料：提供实际案例，供学生分析和讨论。

3. 参考书籍：为学生提供更多的学习资料，加深对综合法和分析法的理解。

教学建议：1. 在讲解综合法和分析法时，举例生动、贴近实际，激发学生的兴趣。

2. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。

3. 注重课后作业的布置和批改，及时了解学生对教学内容的掌握情况。

4. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。

第六章：综合法在自然科学中的应用6.1 自然科学中综合法的典型应用案例6.2 综合法在自然科学研究中的作用与意义6.3 综合法在自然科学中的局限性与挑战第七章：分析法在社会科学中的应用7.1 社会科学中分析法的典型应用案例7.2 分析法在社会科学研究中的作用与意义7.3 分析法在社会科学中的局限性与挑战第八章：综合法与分析法在工程领域的应用8.1 工程领域中综合法的应用案例8.2 工程领域中分析法的应用案例8.3 综合法与分析法在工程领域的结合应用第九章：综合法与分析法在医学领域的应用9.1 医学领域中综合法的应用案例9.2 医学领域中分析法的应用案例9.3 综合法与分析法在医学领域的结合应用第十章：综合法与分析法在商业领域的应用10.1 商业领域中综合法的应用案例10.2 商业领域中分析法的应用案例10.3 综合法与分析法在商业领域的结合应用教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。