角平分线的性质

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jz* 角的平分线的性质

一. 根底知识

1．角的平分线的性质

(1)内容

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

(2)书写格式

如下列图，

∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE.

2．角的平分线的判定

(1)内容

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

(2)书写格式

如下列图，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，

∴点P在∠AOB的角平分线上．

3．运用角的平分线的性质解决实际问题

运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．

在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．

运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．

4．运用角的平分线的判定解决实际问题 在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．

解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题 能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．

5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题 .

三角形中的角平分线和中线性质

一、角平分线性质

1. 定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质

1. 定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质

1. 定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用

1. 判断三角形的形状：

（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2. 求解三角形的问题：

（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。 三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：

1. 习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2. 习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

11.3角平分线的性质

1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、

QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是．

2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE==．

3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=．

4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于．

5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为()．

(A)18(B)16(c)14(D)12

6．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是()．

(A)TQ=PQ(B)∠MQT=∠MQP(c)∠QTN=900(D)∠NQT=∠MQT

7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条

射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理．

8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．

9．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．

(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；

(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．

11．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结

论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是()．

CABDABCABCDEFOPABCDE角平分线的性质

【基础知识扫描】

1.三角形中到三边的距离相等的点是( )

A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点

2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AD的平分∠BAC, ∠BAD=20°,则∠B的度数为( )

A. 40° B. 30° C. 60° D. 50°

第2题图 第3题图 第4题图 第6题图

3.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )

A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定

4.如图,AB∥CD,PB平分∠ABC,PC平分∠DCB,则 ∠P=

5.角平分线上的点到 相等.

【能力训练升级】

6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为

7.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=5cm,AC=3cm,则S△ABD︰S△ACD=

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

8.已知∠ABC,M求作一个角,使它等于21∠BAC（要求用尺规作图，并写出作法）;

9.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:BE=CF

【探究创新实践】

10.如图,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D，你能得到哪些结论？并证明你的结论。