角平分线的性质

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一. 根底知识

1．角的平分线的性质

(1)内容

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

(2)书写格式

如下列图，

∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE.

2．角的平分线的判定

(1)内容

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

(2)书写格式

如下列图，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，

∴点P在∠AOB的角平分线上．

3．运用角的平分线的性质解决实际问题

运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．

在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．

运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．

4．运用角的平分线的判定解决实际问题 在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．

解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题 能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．

5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题 .

三角形中的角平分线和中线性质

一、角平分线性质

1. 定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质

1. 定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质

1. 定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用

1. 判断三角形的形状：

（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2. 求解三角形的问题：

（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。 三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：

1. 习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2. 习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

初中数学 角平分线有哪些全等性质

角平分线的全等性质指的是，在两个全等的角中，它们的角平分线也是全等的。下面是关于角平分线的全等性质的详细介绍：

设有两个全等的角AOB和COD，其中∠AOB∠∠COD。

性质一：角平分线的长度相等

两个全等的角中，它们的角平分线的长度相等。具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD和角COD的角平分线CE的长度相等，即AD ∠ CE。

性质二：角平分线的夹角相等

两个全等的角中，它们的角平分线之间的夹角也相等。具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD和角COD的角平分线CE之间的夹角∠DAE ∠ ∠CED。

性质三：角平分线与角的对应边垂直

两个全等的角中，它们的角平分线与角的对应边垂直。具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD与边AB垂直，角COD的角平分线CE与边CD垂直。

性质四：角平分线分割角的对应边成相等的线段

两个全等的角中，它们的角平分线将角的对应边分割成相等的线段。具体来说，如果∠AOB∠∠COD，则角AOB的角平分线AD将边AB分割成相等的线段，即AD = DB；角COD的角平分线CE将边CD分割成相等的线段，即CE = DE。

需要注意的是，在使用角平分线的全等性质时，要确保已知条件满足两个角全等的要求，并进行合理的推理和比较。只有在满足两个角全等的条件下，我们才能得出角平分线的全等性质。

角平分线的全等性质在几何证明中经常被用来推导和证明其他角的性质，如垂直角、等腰三角形等。通过合理运用这些性质，我们可以更好地理解和应用角平分线的概念。

角平分线的定义

◎ 角平分线的定义的定义

角的平分线的定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

◎ 角平分线的定义的知识扩展

1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

◎ 角平分线的定义的特性

角平分线的性质：

角平分线上的点，到角两边的距离相等

定理：

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

逆定理：

到角两边的距离相等的点在角平分线上。

◎ 角平分线的定义的教学目标

1、理解角平分线的意义。

2、熟练掌握角平分线的三种表示方法。

3、初步培养学生运用类比的方法研究问题的意识。

◎ 角平分线的定义的考试要求

能力要求：理解

课时要求：40

考试频率：常考

分值比重：3