2010年华约自主招生数学试题及详解

2010年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）

数学部分

一、选择题

1．设复数2()1aiwi，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（ ）

（A）32 （B）12 （C）12 （D）32

2．设向量,ab，满足||||1,ababm，则||atb()tR的最小值为（ ）

（A）2 （B）21m （C）1 （D）21m

3．已知平面α//平面β，直线,mn，点,,AmBnAB与平面α的夹角为4，ABn，AB与m的夹角为3，则m与n的夹角为（ ）．

（A）n/3 （B）n/4 （C）n/6 （D）n/8

4．正四棱锥P-ABCD中，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A-B1CD1与P-ABCD的体积之比11ABCDPABCDVV（ ）．

（A）1:6 （B）1:5 （C）1：4 （D）1:3

5．在ABC中，三边长,,abc，满足3acb，

则tantan22AC的值为（ ）

（A）15 （B）14 （C）12 （D）23

6．如图，ABC的两条高线,ADBE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则OFG与GAH面积之比为（ ）

（A）1:4 （B）1:3 （C）2:5 （D）1:2

7．设()e(0)axfxa．过点(,0)Pa且平行于y轴的直线与曲线:()Cyfx的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则PQR的面积的最小值是（ ）

（A）1 （B）2e2 （C）e2 （D）2e4

8．设双曲线2212:(2,0)4xyCkaka，椭圆2222:14xyCa．若2C的短轴长与1C的实轴长的比值等于2C的离心率，则1C在2C的一条准线上截得线段的长为（ ）

（A）22k （B）2 （C）44k （D）4

9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（ ）

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

10．设定点ABCD、、、是以O点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线OA为轴满足条件()BC的旋转，用表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用表示空间以l为轴的180°旋转．设表示变换的复合，先作，再作。则可以表示为（ ）

（A） （B） （C） （D）

二、解答题

11．在ABC中，已知22sincos212ABC，外接圆半径2R．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求ABC面积的最大值．

12．设ABCD、、、为抛物线24xy上不同的四点，,AD关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为12,dd，已知122ddAD．

（Ⅰ）判断ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；

（Ⅱ）若ABC的面积为240，求点A的坐标及直线BC的方程．

13．（Ⅰ）正四棱锥的体积23V，求正四棱锥的表面积的最小值；

（Ⅱ）一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值．

14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AAAaaa的比例为:2:uvw(0,0,0,2uvwuvw且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．

（Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；

（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15．设函数()1xmfxx，且存在函数1(,0)2statbta，满足2121()tsfts．

（Ⅰ）证明：存在函数()(0),tscsds满足2121()stfst；

（Ⅱ）设113,(),1,2,.nnxxfxn证明：1123nnx．

2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案

一、选择题

ADBCC ABDBD

二、解答题

11．解：（Ⅰ）由22sincos212ABC得

22cos1cos2,2CC

所以2cos(2cos1).C

即22coscos10CC

(2cos1)(cos1)0CC

因为C为ABC内角

所cos10C，

1cos2C，

.3C

（Ⅱ）32sin423.2cRC

又由余弦定理得2222cos,cababC，

即2212,abab

又222,ababababab，

所以12.ab

有133sin1233,244ABCSabCab，

当且仅当ab即ABC为等边三角形时，

ABC的面积取得最大值33.

12．解：（Ⅰ）设222001122111(,),(,),(,),444AxxBxxCxx

则2001(,)4Dxx

由'12yx可知的斜率01,2kx 因此可以设直线BC方程为01.2yxxb

把214yx代入，整理得20240,xxxb

所以1202xxx

因为,ABAC都不平行于y轴，

所以直线,ABAC斜率之和为

22221020120102011()()44(2)0ABACxxxxkkxxxxxxx

可知直线,ABAC的倾角互补，而AD平行于x轴，

所以AD平分.CAB

作,,,DEABDFACEF为垂足

则ADEADF可得DEDF

由已知2DEDFAD，

可得2,DEAD，所以45DAEDAF

所以90,CABABC为直角三角形

（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为

22000011(),,44yxxxyxxx

把214yx分别代入，得

22220000440,440,xxxxxxxx

所以00222,222.ABxACx

由已知可知1240,2ABAC，

所以20184240,2x解得8,x，

所以(8,16)A或(8,16)A

当取(8,16)A时，求得(4,4)B，又BC斜率014,2x， 所以直线BC方程为44(4)yx,即4120.xy

同理，当取(8,16)A时，直线BC方程为4120.xy

13．解：（Ⅰ）设正四棱锥的底面正方形的边长为2a，高为h．则正四棱锥的体积

242.33Vah

正四棱锥的表面积2224().Saaah

从而33229SSV2238()(11()).ahha

令2(),hta设31()(11),0ftttt

则22(11)'()(221).21tfttttt

令'()0,ft解得8.t

当08t时，'()0,ft当8t时，'()0.ft

()ft当8t时取得最小值(8)8f

正四棱锥的表面积的最小值为4.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为

可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。

14、解：（Ⅰ）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为AA，Aa，aa的概率如下表：

父本、母本的基因型式 相应情况

出现的概率 子一代基因

为AA的概率 子一代基因

为Aa的概率 子一代基因

为aa的概率

父AA母AA 2u 1 0 0

父AA母Aa 2uv 12 12 0

父AA母aa uw 0 1 0

父Aa母AA 2uv 12 12 0

父Aa母Aa 24v 14 12 14

父Aa母aa 2vw 0 12 12 父aa母AA uw 0 1 0

父aa母Aa 2vw 0 12 12

父aa母aa 2w 0 0 1

子一代的基因型式为AA的概率为

22211111224()224puuvuvvuv.

由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为

23()pvw.

子一代的基因型式为Aa的概率为

222111112124212222222()puvuwuvvvwuwvwuvuwvvw…

2()().uvvw

若记puv，qvw，则0p，0q， 1pq，子一代三种基因型式：AA，Aa，aa的比例为22:2:ppqq.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子二代的基因型式为AA，Aa，aa的比例为22:2:，其中

2ppq，2pqq.

由1pq，可得p，q.

故子二代三种基因型式AA，Aa，aa的比例为22:2:ppqq，与子一代基因型式的比例相同.

15解：（Ⅰ）令2121()tsfts，代入satb化简得

2(4)[(4)3](1)0amtbmatb

由于等式对所有12t成立，可知

10(4)30(4)0bbmaam

解得1,4,3bma