第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.

第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。

与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。

则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2

█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)

（4.23） 其中仍为常数，而相应的特征方程为
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：