初二数学二次根式知识点归纳

人教版初二下册数学知识点

二次根式

二次根式是指形如a√b（a≥0）的式子。其中，a被称为系数，b被称为被开方数。

最简二次根式必须同时满足以下三个条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。

同类二次根式是指二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

二次根式有以下几个性质：a²=a（a≥0）；a√b × c√d =

ac√bd（a,b,c,d≥0）；a√b ÷ c√d = a÷c √b÷d（a,b,c,d≥0,c≠0,d≠0）。

二次根式的运算包括因式的外移和内移、加减法、乘除法。在运算过程中，需要将二次根式化为最简二次根式，并合并同类项。

例题：

1、下列哪些式子是二次根式？1)11；3)−x²+2；4)4；5)(−5)²；6)1−a；7)a²−2a+1.答案：1、3、4、5、6.

2、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）(x+5)÷(3−x)；（2）√((x-2)²+1)。答案：（1）x≠3；（2）x∈R。

3、在1) a²+b²；2) x；3) x²-xy；4) 27abc中，最简二次根式是哪个？答案：C。

4、已知y=1−8x+8x⁻¹，求代数式1÷y+2−2y⁻¹的值。答案：4x²-4x+1.

5、已知数a，b，若(a−b)²=b−a，则a≤b。

给定$a=11,b=5$，求$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}$的值。

首先，将$a$和$b$的值代入，得到：$\frac{5^5+1}{2\times11+5(5+11)}$。

计算分子和分母，得到：$\frac{3126}{96}$。

化简分数，得到：$\frac{1043}{32}$。

因此，$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}=\frac{1043}{32}$。

比较数值大小有多种方法，如下所示：

1）根式变形法：当$a>0$且$b>0$时，如果$a>b$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$；如果$a

二 次 根 式 复习课

【知识点汇总】

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

二次根式的定义性质和概念

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若 ，则x叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：

被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

二次根式的性质：

1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是 ，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形势中被开方数不能有分母存在。

2.零的平方根是零，即 ;

3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。

4.无理数可用有理数形式表示, 如: 。

二次根式的几何意义

1、 (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解];

2、 都是非负数;当a≥0时， ;而 中a取值范围是a≥0， 中取值范围是全体实数。

3、c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;

4、逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如

﹙a>0﹚ ， ﹙a<0﹚

﹙a≥0﹚ ， ﹙a<0﹚ 5、 注意: ，即具有双重非负性。

算术平方根

正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

0的算术平方根为0.

开平方运算

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。

化简

化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。

最简二次根式

定义概要(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式)

二次根式化简一般步骤：

①把带分数或小数化成假分数;

二次根式知识点归纳及题型总结

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二次根式知识点归纳和题型归类

一、知识框图

二、知识要点梳理

知识点一、二次根式的主要性质：

1.； 2.； 3.；

4. 积的算术平方根的性质：；

5. 商的算术平方根的性质：.

6.若，则.

知识点二、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2) 注意每一步运算的算理；

(3) 乘法公式的推广：

2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，

3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；

(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0a（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）

1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A、3； B、x； C、12x； D、1x

取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1） （2）121x （3）45xx

(6).

（7）若1)1(xxxx，则x的取值范围是 （8）若1313xxxx，则x的取值范围是 。

3.若13m有意义，则m能取的最小整数值是 ；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

4.当x为何整数时，1110x有最小整数值，这个最小整数值为 。

5. 若20042005aaa，则22004a=_____________；若433xxy，则yx