高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)配套

2．函数与导数

1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．

对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．

[问题1] 函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是__________________．

2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．

[问题2] 已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝________.

3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．

[问题3] 已知函数f(x)＝ 3x，x≤0，fx－1，x>0，那么f(56)的值为________．

4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

[问题4] f(x)＝lg1－x2|x－2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．

5．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

[问题5] 函数f(x)＝1x的减区间为________________________________________．

6．弄清函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.

“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．

[问题6] 设f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( ) A．(－∞，＋∞)上的减函数

B．(－∞，＋∞)上的增函数

C．(－1,1)上的减函数

D．(－1,1)上的增函数

7．求函数最值(值域)常用的方法

(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．

(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．

(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．

(4)导数法：适合于可导函数．

(5)换元法(特别注意新元的范围)．

(6)分离常数法：适合于一次分式．

[问题7] 函数y＝2x2x＋1(x≥0)的值域为________．

8．函数图象的几种常见变换

(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．

(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．

(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；

②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；

③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．

[问题8] 函数f(x)＝2x＋1x＋1的图象的对称中心是________．

9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝1fx(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.

[问题9] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－1fx，若当2

10．二次函数问题

(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系． (2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．

[问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的取值范围为________．

11．(1)对数运算性质

已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.

则loga(MN)＝logaM＋logaN，

logaMN＝logaM－logaN，

logaMn＝nlogaM，

对数换底公式：logaN＝logbNlogba.

推论：＝nmlogaN；logab＝1logba.

(2)指数函数与对数函数的图象与性质

可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．

[问题11] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________________．

12．幂函数y＝xα(α∈R)

(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．

②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．

③当0

④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．

(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数；②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．

[问题12] 函数f(x)＝x－12x的零点个数为________．

13．函数与方程

(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．

(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．

[问题13] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个区间内必有实数根( )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

14．求导数的方法

(1)基本导数公式：c′＝0 (c为常数)；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝1x；(logax)′＝1xln a(a>0且a≠1)．

(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；

(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．

(3)复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.

如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则

(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.

[问题14] f(x)＝e－2x，则f′(x)＝________.

15．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．

注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．

[问题15] 函数f(x)＝ax3－2x2＋x－1在R上是增函数，则a的取值范围是________．

16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．

[问题16] 函数f(x)＝14x4－13x3的极值点是________．

17．定积分

运用微积分基本定理求定积分ʃbaf(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数，应熟练掌握以下几个公式：

ʃbaxndx＝xn＋1n＋1|ba，

ʃbasin xdx＝－cos x|ba，

ʃbacos xdx＝sin x|ba，

ʃba1xdx＝ln x|ba(b>a>0)， ʃbaaxdx＝axln a|ba.

[问题17] 计算定积分ʃ1－1(x2＋sin x)dx＝________.

易错点1 忽视函数定义域

例1 函数y＝log (x2－5x＋6)的单调递增区间为_____________．

错因分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x2－5x＋6>0.

解析 由x2－5x＋6＞0知{x|x＞3或x＜2}．令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y＝log (x2－5x＋6)的单调增区间为(－∞，2)．

答案 (－∞，2)

易错点2 分段函数意义理解不准确

例2 定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ log21－x，x≤0，fx－1－fx－2，x>0，则f(2 016)的值为( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

错因分析 不理解分段函数的意义，误认为应将x＝2 016，代入log2(1－x)，或者认为得不到f(2 016)的值．

解析 f(2 016)＝f(2 015)－f(2 014)＝f(2 014)－f(2 013)－f(2 014)＝－f(2 013)＝f(2 010)＝f(0)＝0.

答案 B

例3 函数f(x)＝ ax2＋1，x≥0，a2－1eax，x>0在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是________________．

错因分析 只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求．

解析 若函数在R上单调递减，则有 a＜0，a2－1＞0，a2－1e0≥1，解之得a≤－2；若函数在R上单调递增，则有 a＞0，a2－1＞0，a2－1e0≤1，解得1＜a≤2，

故a的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2]．

答案 (－∞，－2]∪(1，2]

易错点3 函数零点求解讨论不全面

例4 函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是( )

A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}

C．(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)

错因分析 解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m＝0的讨论，就会错选C.

解析 当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)＜0，即m＜0.故选B.

答案 B

易错点4 混淆“过点”和“切点”

例5 求过曲线y＝3x－x3上的点(2，－2)的切线方程．

错因分析 混淆过一点的切线和在一点处切线，错误认为(2，－2)一定是切点．

解 设切点为P(x0，y0)，则点P处的切线方程是

y－y0＝(3－3x20)(x－x0)．

∵点A在切线上，

∴－2－y0＝(3－3x20)(2－x0)．①

又∵点P在曲线C上，

∴y0＝3x0－x30.②