高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)配套

4．数列、不等式

1．已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝ S1 n＝1Sn－Sn－1 n≥2.

由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．

[问题1] 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.

2．等差数列的有关概念及性质

(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．

(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.

(3)等差数列的前n项和：Sn＝na1＋an2，Sn＝na1＋nn－12d.

(4)等差数列的性质

①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n是关于n的二次函数且常数项为0.

②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．

③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.

④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．

[问题2] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为( )

A．15 B．20 C．25 D．30

3．等比数列的有关概念及性质

(1)等比数列的判断方法：定义法an＋1an＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或an＋1an＝anan－1(n≥2)．如一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝56.

(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.

(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q. 易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．

(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.

(5)等比数列的性质

当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a2p.

[问题3] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.

(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.

4．数列求和的方法

(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；

(2)分组求和法；

(3)倒序相加法；

(4)错位相减法；

(5)裂项法；

如：1nn＋1＝1n－1n＋1；1nn＋k＝1k1n－1n＋k.

(6)并项法．

数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．

[问题4] 数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．

5．在求不等式的解集时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．

[问题5] 不等式－3x2＋5x－2>0的解集为________．

6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．

[问题6] 已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的________条件． 7．基本不等式：a＋b2≥ab (a，b>0)

(1)推广： a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a，b>0)．

(2)用法：已知x，y都是正数，则

①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2p；

②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值14s2.

易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．

[问题7] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝1a＋4b的最小值是________．

8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．

[问题8] 设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件 x≥0，y≤x，则|PA|的最小值是________．

易错点1 an与Sn关系不清

例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________．

错因分析 没有注意到an＝Sn－Sn－1成立的条件：n≥2，忽视对n的分类讨论．

解析 当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，

∴an＝ 3，n＝1，2n，n≥2.

答案 an＝ 3，n＝1，2n，n≥2

易错点2 忽视等比数列中q的范围

例2 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列{an}的公比q＝________.

错因分析 没有考虑等比数列求和公式Sn＝a11－qn1－q中q≠1的条件，本题中q＝1恰好符合题目条件．

解析 ①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，

∴S3＋S6＝S9成立．

②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，

得a11－q31－q＋a11－q61－q＝a11－q91－q.

∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.

∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.

答案 1或－1

易错点3 数列最值问题忽略n的限制

例3 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)(910)n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是( )

A．第6项或第7项 B．第7项或第8项

C．第8项或第9项 D．第7项

错因分析 求解数列{an}的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误．

解析 因为an＋1－an＝(n＋3)(910)n＋1－(n＋2)(910)n＝(910)n·7－n10，当n＜7时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞7时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞a10…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.

答案 B

易错点4 裂项法求和搞错剩余项

例4 在数列{an}中，an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1，又bn＝1anan＋1，则数列{bn}的前n项和为( )

A.n2 B.nn＋1 C.2nn＋1 D.4nn＋1

错因分析 裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误：一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的．

解析 由已知得an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1＝1n＋1(1＋2＋…＋n)＝n2，

从而bn＝1anan＋1＝1n2·n＋12＝4(1n－1n＋1)，所以数列{bn}的前n项和为Sn＝4[(1－12)＋(12－13)＋(13－14) ＋…＋(1n－1n＋1)]＝4(1－1n＋1)＝4nn＋1.故选D.

答案 D

易错点5 解不等式时变形不同解

例5 解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.

错因分析 本题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为3x－5≥2(x2＋2x－3)求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解．

解 原不等式可化为3x－5x2＋2x－3－2≥0，

即－2x2－x＋1x2＋2x－3≥0.

整理得2x－1x＋1x－1x＋3≤0，

不等式等价于 2x－1x＋1x－1x＋3≤0，x－1x＋3≠0，

解得－3＜x≤－1或12≤x＜1.

所以原不等式的解集为{x|－3＜x≤－1或12≤x＜1}．

易错点6 忽视基本不等式中等号成立条件

例6 函数y＝x＋1x－1(x≠1)的值域是______________________________________．

错因分析 本题易出现的错误有两个方面：一是不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值；二是利用基本不等式求最值时，忽视式子的取值范围，直接套用基本不等式求最值．如本题易出现：由y＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3，得出y∈[3，＋∞)这一错误结果．

解析 当x＞1时，y＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1

≥2x－1·1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时等号成立；

当x＜1时，－y＝－x＋11－x＝1－x＋11－x－1

≥21－x·11－x－1＝1，即y≤－1，当且仅当1－x＝11－x，即x＝0时等号成立．

所以原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)

1．(2015·重庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( )

A．－1 B．0 C．1 D．6

2．(2015·武汉适应性训练)已知正项等差数列{an}的前20项和为100，那么a6·a15的最大值是( )

A．25 B．50

C．100 D．不存在

3．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2,3a5＝b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an＝3logubn＋v，则u＋v等于( )

A．3 B．6

C．9 D．12

4．(2015·江南十校联考(二))已知数列{an}的通项公式为an＝log3nn＋1(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn＜－4成立的最小自然数n为( )

A．83 B．82 C．81 D．80