高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮
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高考中档大题规范练
(一)三角函数与平面向量
1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sin x，cos x)，x∈0，π2.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．
2．(2015·福建)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．
(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.
①求实数m的取值范围；
②证明：cos(α－β)＝2m25－1.
3．(2015·湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．
(1)证明：B－A＝π2；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
4.如图，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
5．已知函数f(x)＝cos x(sin x－3cos x)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A2)＝－32，a＝3，b＋c＝23，求△ABC的面积．
答案精析
高考中档大题规范练
(一)三角函数与平面向量
1．解 (1)因为m＝22，－22，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即22sin x－22cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cosπ3＝12，
即22sin x－22cos x＝12，
所以sinx－π4＝12，
因为0 所以x－π4＝π6，即x＝5π12. 2．方法一 (1)解 将g(x)＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移π2个单位长度后得到y＝2cosx－π2的图象，故f(x)＝2sin x．从而函数f(x)＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ＋π2(k∈Z)． (2)①解 f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x ＝525sin x＋15cos x ＝5sin(x＋φ) 其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x＋φ)＝m5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当m5＜1，故m的取值范围是(－5，5)． ②证明 因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5. 当1≤m＜5时，α＋β＝2π2－φ， 即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m＜1时，α＋β＝23π2－φ， 即α－β＝3π－2(β＋φ)． 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ) ＝2sin2(β＋φ)－1 ＝2m52－1 ＝2m25－1. 方法二 (1)同方法一． (2)①同方法一． ②证明 因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5. 当1≤m＜5时，α＋β＝2π2－φ，即α＋φ＝π－(β＋φ)； 当－5＜m＜1时，α＋β＝23π2－φ， 即α＋φ＝3π－(β＋φ)； 所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)． 于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)] ＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－1－m52＋m52＝2m25－1. 3．(1)证明 由a＝btan A及正弦定理， 得sin Acos A＝ab＝sin Asin B， 所以sin B＝cos A，又B为钝角， 故sin B＝sinπ2＋A. 因此π2＋A∈π2，π，故B＝π2＋A， 即B－A＝π2. (2)解 由(1)知， C＝π－(A＋B)＝π－2A＋π2＝π2－2A＞0， 所以A∈0，π4. 于是sin A＋sin C＝sin A＋sinπ2－2A ＝sin A＋cos 2A＝－2sin 2A＋sin A＋1 ＝－2sin A－142＋98. 因为0＜A＜π4，所以0＜sin A＜22， 因此22＜－2sin A－142＋98≤98. 由此可知sin A＋sin C的取值范围是22，98. 4．解 (1)在△ADC中， 因为cos∠ADC＝17， 所以sin∠ADC＝437. 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3. 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC＝7. 5．解 (1)f(x)＝cos x(sin x－3cos x) ＝sin xcos x－3cos2x ＝sin 2x2－3cos 2x2－32＝sin(2x－π3)－32. 当2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)， 即x＝kπ＋5π12，k∈Z， 即x∈{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}时，f(x)取最大值1－32. (2)由f(A2)＝－32，可得sin(A－π3)＝0， 因为A为△ABC的内角，所以A＝π3， 则a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 由a＝3，b＋c＝23， 解得bc＝1， 所以S△ABC＝12bcsin A＝34.
