角平分线的模型

专题06三角形中的双角平分线模型

【模型1】双角平分线模型如图，已知在ABC中，BO，CO分别是ABC，ACB的平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理，可得AO2190。

【模型2】一内角一外角平分线模型

如图，已知在ABC中，BP，CP分别是ABC，ACD的平分线，ABCPBC21，

ACDPCA21，ACDACBPCB21，ABCAACD)(21ABCAACBPCB；ABCAACBPCB2121

)(180PCBPBCP

)212121(180ABCAACBABCP；

)21(180AACBABCP；

)21180(180AAP；AP21

【模型3】双外角平分线模型如图，已知在ABC中，BP，CP分别是CBE，BCF的平分线，根据外角定理，CBEPBC21，BCFPCB21，又ACBACBE，ABCABCF，)(180PCBPBCP；)(21180)2121(180BCFCBEBCFCBEP；)(21180ABCAACBAP；)2(21180ABCACBAP；)1802(21180AAP；9021180AP；AP2190；

【例1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的

外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝_____

【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．

【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，

∴∠ACO=12∠ACB，

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=12∠ACE，

⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）

⾓平分线四⼤辅助线模型

⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。

⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．

⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．

四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现

已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．

则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现

已知：OC平分∠AOB．

辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现

已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．

辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现

已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．

则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．

【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )

A B ．2

C ．3

D ．

2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4

B ．4:3

C ．16:9

D ．9:16

3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )

A ．2cm

B ．3cm

C ．4cm

D ．5cm

4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，

模型1：角平分线上的点向两边作垂线

这个模型的基本思想是过角平分线上一点 P 作角两边的垂线。如图中 PA⊥OA，PB⊥OB。容易通过全等得到 PA=PB（角平分线性质）。

注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。

模型1：角平分线上的点向两边作垂线

模型分析

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2：截取构造对称全等

这个模型的基础是在角的两边分别截取 OA=OB，然后在对角线上取任意一点 P，连接 AP，BP。容易证得△APO≌△BPO。注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出 PB 这条辅助线是有难度的。

添加这条辅助线的基本思想是在 ON 上截取 OB，使得 AP=BP。从而构造出一个轴对称。这样的模型一般会出现在截长补短里。

模型2：截取构造对称全等

模型分析

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形

这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点 P，过点 P 作角平分线的垂线交角的两条边与A、B。这样就构造出了一个等腰三角形AOB，即 OA=OB。这个模型还可以得到P是AB中点。

注意：这个模型与一之间的区别在于垂直的位置。并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。如图中的 PB。

模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

角平分线相关问题模型

数学模型

针对训练

1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°

【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.

（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；

（2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；

（3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．

图1 图2 图3

2.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= ．

【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．

【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．

【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BOC、∠A的数量关系.

3.（2018•济南历城区模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018= ．

【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。