角平分线模型概览

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等

中垂线（垂直平分线）：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

角平分线和中垂线是我们学过全等之后，非常重要的两个内容，因此很多全等三角形的问题，都需要

通过角平分线的性质和中垂线的性质进行切入来构造辅助线。

【精1】 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若

DE＝a

，则下列说法正确的个数有( )

①DC平分

BDE； ②BC

长为

(22)a；

③△BCD

是等腰三角形； ④△CED的周长等于BC的长．

A． 1个； B．2个； C．3个； D．4个

【精2】 如图，在△中，，平分交于，于交于，

∥交于，连接．求证：

CBA

ED

CBA

C'ED

CBA

ABC90BACBDABCACDAEBCEBDGFG

ACBCFDF

DFBC

G

FED

CBA全等三角形经典模型系列精讲—角平分线和中垂线

精选例题

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

【精3】 如图（1）所示，

OP是

MON的平行线，请你利用该图形画一对以

OP所在直线为对称轴的全等

三角形．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图（2），在

ABC中，

ACB是直角，

60B，

AD、

CE分别是

BAC、

BCA的平

分线，

AD、

CE相交于点

F． 请你判断并写出

FE与

FD之间的数量关系．

（2）如图（3），在

ABC中，如果

ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在

（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【精4】 在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．

（1）P

NM

O

（2）FE

D

CB

A

（3）FE

D

CB

A

ABCABACAD

BACPAD

ABACPBPC

CDBPA

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

【精5】 如图⑴，

ABAC，

⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）

⾓平分线四⼤辅助线模型

⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。

⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．

⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．

四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现

已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．

则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现

已知：OC平分∠AOB．

辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现

已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．

辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现

已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．

则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．

【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )

A B ．2

C ．3

D ．

2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4

B ．4:3

C ．16:9

D ．9:16

3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )

A ．2cm

B ．3cm

C ．4cm

D ．5cm

4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，

初中 | 数学

初

中

数

学

︵

角

平分

线

模

型

︶ 培

优

篇

1

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需反复掌握．

【模型解读与图示】

条件：如图1，OC为AOB

的角平分线、CAOA

于点A时，过点C作

CAOB

．

结论：CACB

、OAC

≌OBC

．

图1

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2，在

ABC中，90C

，AD为CAB

的角平分线，过点D作

DEAB

．

结论：DCDE

、DAC

≌DAE

．（当

ABC是等腰直角三角形时，还有

ABACCD

）

图2

全等模型

初

中

数

学

︵

角

平分

线

模

型 ︶

培

优

篇

2 常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。

结论：①

180BOAACB；②ADBE；③

2OAOBAD．

图3

例1

．如图，在RtABC△

中，90C，

BD

是

ABC

的平分线，若10AB

，

20

ABDS

，则CD

的长是（ ）

A

．4 B

．3 C

．2 D

．1

例2

．如图，已知ABC

、EAC

的角平分线BP

、AP

相交于点P

，

PMBE，

PNBF，垂足分别为M、N．现有四个结论：

①CP平分ACF

；

②1

2BPCBAC

；③1

90

2APCABC

；④

APMCPNAPCSSS

．其中结论正确的是（ ）

A

．①②③ B

．①②③④ C

．②③④ D

．①③④ 初中 | 数学

初

中

数

学

︵

角

平分

线

模

型 ︶ 培

优

篇

3

例3．如图所示，90BC，E是BC的中点，DE平分ADC

．

（1

）求证：AE是DAB的平分线；

（2

）若2cm,BAD=60CD

，求AD的长．

例4

．已知，OA

平分MON，点

P在射线OA

专题16 角平分线四大模型(解析版)

角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。

1. 模型一：角内角平分线模型

角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。

2. 模型二：角外角平分线模型

角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。

3. 模型三：角平分线的垂直性模型

角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥ BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。

4. 模型四：角平分线的外角关系模型

角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD =

2 * 90°。这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。

综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。熟练掌握这些模型，将帮助我们更好地理解角的性质和关系，解决与角相关的各种问题。因此，学习和掌握角平分线四大模型对于提高几何学水平和解题能力具有重要的意义。