新版湘教版初一数学七年级下册期末复习教案

新版湘教版初⼀数学七年级下册期末复习教案

⼆元⼀次⽅程组

知识要点1、⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是⼀次的整式⽅程叫做～

2、⼆元⼀次⽅程的解：适合⼆元⼀次⽅程的⼀组未知数的值叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解；

3、⼆元⼀次⽅程组：由⼏个⼀次⽅程组成并含有两个未知数的⽅程组叫做⼆元⼀次⽅程组

4、⼆元⼀次⽅程组的解：适合⼆元⼀次⽅程组⾥各个⽅程的⼀对未知数的值，叫做这个⽅程组⾥各个⽅程的公共解，也叫做这个⽅程组的解（注意：①书写⽅程组的解时，必需⽤“{”把各个未知数

的值连在⼀起，即写成?==b y a

x 的形式；②⼀元⽅程的解也叫做⽅程的根，但是⽅程组的解只能叫解，

不能叫根）5、解⽅程组：求出⽅程组的解或确定⽅程组没有解的过程叫做解⽅程组

6、解⼆元⼀次⽅程组的基本⽅法是代⼊消元法和加减消元法（简称代⼊法和加减法）

（1）代⼊法解题步骤：把⽅程组⾥的⼀个⽅程变形,⽤含有⼀个未知数的代数式表⽰另⼀个未知数；把这个代数式代替另⼀个⽅程中相应的未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，可先求出⼀个未知数的值；把求得的这个未知数的值代⼊第⼀步所得的式⼦中，可求得另⼀个未知数的值，这样就得到了⽅程的解

==b

y a

x （2）加减法解题步骤：把⽅程组⾥⼀个（或两个）⽅程的两边都乘以适当的数，使两个⽅程⾥的某⼀个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个⽅程的两边分别相加（或相减），消去⼀个未知数，得到含另⼀个未知数的⼀元⼀次⽅程（以下步骤与代⼊法相同）

⼀、例题精讲

例1． 分别⽤代⼊法和加减法解⽅程组 5x+6y=162x-3y=1

解：代⼊法： 由⽅程②得：312-=

x y ③ 将⽅程③代⼊⽅程①得：163

1

265=-?+x x 解得x =2

将x =2代⼊⽅程②得: 4-3y=1

解得y=1

所以⽅程组的解为==12y x

加减法 ：

例2．从少先队夏令营到学校，先下⼭再⾛平路，⼀少先队员骑⾃⾏车以每⼩时12公⾥的速度下⼭，以每⼩时9公⾥的速度通过平路，到学校共⽤了55分钟，回来时，通过平路速度不变，但以每⼩时6公⾥的速度上⼭，回到营地共花去了1⼩时10分钟，问夏令营到学校有多少公⾥？

分析：路程分为两段，平路和坡路，来回路程不变，只是上⼭和下⼭的转变导致时间的不同，所以设平路长为x 公⾥，坡路长为y 公⾥，表⽰时间，利⽤两个不同的过程列两个⽅程，组成⽅程组

解：设平路长为x 公⾥，坡路长为y 公⾥

依题意列⽅程组得：=+=+601016

960

55129y x y x

解这个⽅程组得：==36y x

经检验，符合题意x ＋y =9

答：夏令营到学校有9公⾥ ⼆、课堂⼩结：

回顾本章内容，总结⼆元⼀次⽅程组的解法和应⽤。 三、作业布置： P25A 组习题

整式的乘法

教学⽬标：1、回顾本章内容，熟练地运⽤乘法公式进⾏计算；

2、能正确地根据题⽬的要求选择不同的乘法公式进⾏运算。 教学重点：正确选择乘法公式进⾏运算。

教学难点：综合运⽤平⽅差和完全平⽅公式进⾏多项式的计算。 教学⽅法：范例分析、探索讨论、归纳总结。

教学过程：

⼀、导学1、平⽅差公式：()()22b a b a b a -=-+

2、完全平⽅公式：2222)(b ab a b a ++=+

2222)(b ab a b a +-=-

3、计算

（1）()()b a b a --- （2）()()b a b a +-- （3）())1)(1(12-++x x x （4）)1(1-+++y x y x ）（ ⼆、探究

（1）做⼀做 运⽤乘法公式计算：2

）（c b a ++ 得：2

）（c b a ++＝bc ac ab c b a 22222

2+++++ （2）直接利⽤第（1）题的结论计算：2)32(z y x +-

分析（2）⼩题中的2x 相当于公式中的a ，3y 相当于公式中的b ，z 相当于公式中的c 。

解：2)32(z y x +-＝2])3(2[z y x +-+

＝z y z x y x z y x )3(2)2(2)3)(2(2)3()2(222-++-++-+ ＝yz xz xy z y x 64129422

2

-+-++ 三、精导

例1运⽤乘法公式计算：

（1）()()22

b a b a --+ （2）()()2

2

b a b a -++

（3） ()()[]233+-a a （4）

)(c b a c b a -++-）（ 解：（1）()()2

2

b a b a --+

＝()())]()][([b a b a b a b a --+-++ ＝()ab b a 2)2(2=?

想⼀想：这道题你还能⽤什么⽅法解答？ （2）()()22

b a b a -++

＝()()222222b ab a b ab a +-+++ ＝2

22222b ab a b ab a +-+++ ＝2

222b a +

（3）、（4） 略

注意灵活运⽤乘法公式，按要求最好能写出详细的过程。

例3 ⼀个正⽅形花圃的边长增加到原来的2倍还多1m ，它的⾯积就增 加到原来的4倍还多212m ，求这个正⽅形花圃原来的边长。 解：略

四、提升1、练习P49的练习题

2、⼩结：利⽤乘法公式可以使多项式的计算更为简便，但必须注意正

确选择乘法公式。3、布置作业：复习题 A组第3题、第4题

因式分解

⼀、因式分解的概念

例1下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为( )A.a(x+y)=ax+ay

B.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.10x2-5x=5x(2x-1)

D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）

分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；⽽D左右两边不相等，不属于恒等变形，因⽽也不属于分解因式.

解：选C.

⼆、因式分解的⽅法

例2 因式分解：2(a-3)2-a+3= .

分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.

解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).

注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.

例3 因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).

分析：可将(m+n)看做⼀个整体，利⽤完全平⽅公式分解.

解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+2×2m×3(m+n)+ [3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=(5m+3n)2.

注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进⾏整体运⽤.

例4 因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).

分析：先提取(2x-3)，然后⽤平⽅差公式分解，注意后⼀项的符号变化.

解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).

三、因式分解相关的计算

例5 已知x=a+b，y=a-b，⽤简便⽅法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.

分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2⽤平⽅差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代⼊求解.

解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2= 4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2= 4a4-8a2b2+4b4.

例6 计算2

22

100 (991981)

++

.

分析：若直接计算，则分母中的计算量很⼤，考虑括号内的部分能否⽤完全平⽅公式分解.解：222100(991981)++=222100(9929911)+??+=222241001001[(991)]1001000

==

+. 四、因式分解相关的说明

例7 已知a 2+b 2=1，x 2+y 2=1. 试说明： (ax+by)2

+(bx-ay)2

=1.

分析：将所证式⼦的左边整理成⽤a 2+b 2

和x 2+y 2

表⽰，故考虑将左边因式分解. (ax+by)2+(bx-ay)2

=a 2x 2

+2abxy+b 2y 2

+b 2x 2

-2abxy+a 2y 2

=a 2x 2

+b 2y 2

+b 2x 2

+a 2y 2

=(a 2+b 2)x 2+(a 2+b 2)y 2=(a 2+b 2)(x 2+y 2

).

因为a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.

注意：此题采⽤“欲进先退”的策略，即要进⾏分解因式，先进⾏整式的乘法，待到式⼦化简后，再分解因式进⾏说明.

五、因式分解的实际应⽤

例8 已知⼤正⽅形的周长和⼩正⽅形的周长相差88 cm ，它们的⾯积相差836 cm 2

，求这两个正⽅形的边长.

分析：设⼤正⽅形的边长为x cm ，⼩正⽅形的边长为y cm ，则根据它们的周长相差88 cm ，

可得4(x-y)=88.⼜因为它们的⾯积相差836 cm 2，所以x 2-y 2=836，根据这两个⽅程可求出x ，y 的值，但是两个⽅程的数值较⼤，计算复杂，因此可以考虑将x 2

-y 2

=836⽤因式分解法变形，求解.解：设⼤正⽅形的边长为x cm ，⼩正⽅形的边长为y cm ，根据题意得22

4()88836x y x y -=??-=?①②

⽅程组等价于22()()836x y x y x y -=??+-=?③④ 将③代⼊④，得x+y=38⑤. ③和⑤组成⽅程组得2238

x y x y -=??

+=?

解得x=30，y=8.

所以⼤正⽅形的边长是30 cm ，⼩正⽅形的边长是8 cm. 误区点拨

误区⼀因式对分解的概念理解不透彻

例1 下列从左到右的变形是分解因式的是( )A.2

211

()42

x x x ++

=+ B.221()()1x y x y x y --=+-- C.22()(2)2x y x y x xy y -+=+- D.1

n n a a --=1(1)n a a --

错解：选B 、C 、D.

错因分析：B 中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，C 中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D 中的a -1

实质上是1a

，不是整式，⽽分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.

正解：选A.

误区⼆多项式分解不彻底

例2 因式分解a4-2a2+1.

错解： a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2.

错因分析：括号内的a2-1还可以利⽤平⽅差分解，然后利⽤积的平⽅写成(a+1)2(a-1)2.

正解：a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2 (a-1)2.

误区三利⽤公式出现偏差

例3 因式分解 (x+y)2-4xy.

错解：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).

错因分析： 4xy不是⼀个整式的平⽅的形式，不能直接利⽤平⽅差公式分解.

正解： (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.

误区四提公因式漏项

例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.