一元二次不等式及其解法

1 一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）

课标要求分析：

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

本周学习目标：

1．掌握一元二次不等式的基本解法；

2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想；

3．初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法；

4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。

本周学习重难点：

一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。

本周学习内容：

1．一元一次不等式的解法回顾

为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。

2．一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式：

由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系，

进而可以利用函数图象得到不等式的解集。

设，两根为，。

结合图象按判别式分类归纳下表：

解集判别式

R

注意：

（1）的情形要转化为的情形；

（2），解集的变化。

关于含参讨论注意： 2 （1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；

（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）；

（3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。

（4）书写表达的规范。

3．高次（分式）不等式的解法

简单高次不等式的解法：穿线法。

注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。

（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。）

一元二次不等式及其解法

基础知识

1．一元二次不等式的解法步骤

(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0). 在不等式ax2＋bx＋c>0a≠0中，如果二次项系数a<0，可根据不等式的性质，将其转化为正数.

(2)求出相应的一元二次方程的根．

(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1

ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R }

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1

二、常用结论

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；

(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；

(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．

2．简单分式不等式

(1)fxgx≥0⇔ fxgx≥0，gx≠0；(2)fxgx>0⇔f(x)g(x)>0.

考点一 一元二次不等式的解法

考法(一) 不含参数的一元二次不等式

[典例] 解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；

[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，

所以原不等式的解集为}342|{xx. (2)原不等式等价于 x2－x－2＞0，x2－x－2≤4⇔ x2－x－2＞0，x2－x－6≤0⇔ x－2x＋1＞0，x－3x＋2≤0⇔ x＞2或x＜－1，－2≤x≤3.

一元二次不等式及其解法

1．若16－x2≥0，则( )

A．0≤x≤4 B．－4≤x≤0

C．－4≤x≤4 D．x≤－4或x≥4

2．不等式(x－2)(2x＋1)＞0的解集是( )

A．(－12，2) B．(－2，12)

C．(－∞，－2)∪(12，＋∞) D．(－∞，－12)∪(2，＋∞)

3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是__________．

4．解不等式0≤x2－x－2≤4.

5．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

6．不等式x(2－x)＞3的解集是( )

A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}

C．{x|x＜－3或x＞1} D．∅

7．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B是( )

A．{1,2,3} B．{1,2}

C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}

8．不等式组 x2－1<0x2－3x<0的解集是( )

A．{x|－1

C．{x|0

9．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( )

A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}

C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜ x＜2}

10．若0＜t＜1，则不等式(x－t)(x－1t)＜0的解集为( )

A．{x|1t＜x＜t} B．{x|x＞1t或x＜t} C．{x|x＜1t或x＞t} D．{x|t＜x＜1t}

10．函数y＝x2－2x－8的定义域为__________．

11．当a＜0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)＞0的解集是________．

12. 求下列关于x的不等式的解集：

1 一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.

当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 .

2.一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.

(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.

(3)一元二次不等式的解：

函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根 有两相异实根

x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根

x1＝x2＝－b2a 无实根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集 ① ② R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ③

3.分式不等式解法

(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f〔x〕g〔x〕的形式.

(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： 2 f〔x〕g〔x〕＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0； f〔x〕g〔x〕＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；

f〔x〕g〔x〕≥0 ⇔

f〔x〕g〔x〕≥0，g〔x〕≠0； f〔x〕g〔x〕≤0 ⇔

f〔x〕g〔x〕≤0，g〔x〕≠0.

(2021·课标Ⅰ)集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，那么A∩B＝( )

A.[－2，－1] B.[－1，2)

C.[－1，1] D.[1，2)

解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].应选A.