2019-2020学年抚顺市重点高中高一下学期期末数学试卷
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2019-2020学年抚顺市重点高中高一下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共16小题，共48.0分）
1. 若复数𝑧=−1+2𝑖，则|𝑧|=( )
A. √5 B. √10 C. 2√3 D. √13
2. 已知sin(𝜋2−𝛼)=35，则cos(𝜋−2𝛼)=( )
A. 725 B. −725 C. 925 D. −925
3. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=√5，𝐵𝐶=3，𝑐𝑜𝑠𝐴=√1010，则∠𝐵=( )
A. 𝜋6 B. 𝜋4 C. 𝜋3 D. 𝜋2
4. 𝑐𝑜𝑠15°⋅𝑠𝑖𝑛75°−𝑠𝑖𝑛15°⋅𝑐𝑜𝑠75°的值是( )
A. 12 B. √32 C. −12 D. −√32
5. 𝑦=cos2𝑥−12是( )
A. 最小正周期为2𝜋的偶函数 B. 最小正周期为2𝜋的奇函数
C. 最小正周期为𝜋的偶函数 D. 最小正周期为𝜋的奇函数
6. 要得到函数𝑦=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋5)的图象，应该把函数𝑦=cos(𝑥−215𝜋)−√3sin(𝑥−2𝜋15)的图象做如下变换( )
A. 将图象上的每一点横坐标缩短到原来的12而纵坐标不变
B. 沿x向左平移𝜋2个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变
C. 先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的12而纵坐标不变，再将所得图象沿x向右平移𝜋4个单位
D. 先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的12而纵坐标不变，再将所得图象沿x向左平移𝜋2个单位
7. 设当𝑥=𝜃时，函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥取得最大值，则𝑐𝑜𝑠𝜃=( )
A. 2√55 B. −2√55 C. √55 D. −√55
8. 在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
9. sin4𝜋12+cos4𝜋12=(
)
A.
12
B.
58
C.
34
D.
78
10. 若点𝑃(−3,−4)是角𝛼的终边上一点，则𝑠𝑖𝑛2𝛼=(
)
A.
−725 B. −2425 C. 1625 D. 2425
11. 已知向量𝑎⃗ =(8,12𝑥)，𝑏⃗ =(𝑥,1)，其中𝑥>0，若，则x的值是( )
A. 4 B. 8 C. 0 D. 2
12.
一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°、距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔南偏东45°的N处，则该船航行的速度为(单位：海里/小时)( )
A.
17√22 B. 34√6 C. 17√62 D. 34√2
13. 将函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜋8)(𝜔>0)的图象向右平移𝜋8个单位长度，得到𝑦=𝑔(𝑥)的图象．若𝑦=𝑔(𝑥)的图象关于原点对称，且在[−𝜋20,𝜋18]上不是单调函数，则𝜔的最小整数值为( )
A. 9 B. 11 C. 17 D. 25
14. 函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+6𝑐𝑜𝑠(𝜋2−𝑥)+1的最大值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
15. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°，𝐴𝐵=√3，𝐵𝐶=1，则cosC等于( )
A. 12 B. √32 C. 12或−12 D. √32或−√32
16. 已知角𝛼的终边上一点的坐标为，则角𝛼的最小正值为( )
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
17. 270°化为弧度数为______．
18. 若复数z满足𝑧⋅𝑖=2+𝑖(𝑖为虚数单位)，则𝑧= ______ ．
19. 在正△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵=6，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =______．
20. 已知𝛼∈(𝜋2,𝜋)，𝛽∈(−𝜋2,0)，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√55，𝑐𝑜𝑠𝛽=√1010，则𝛼−𝛽的值为______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21. 已知复数𝑧1=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝜆𝑖，𝑧2=(𝑠𝑖𝑛𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝑥)−𝑖(𝜆,𝑥∈𝑅,i为虚数单位)． (1)若2𝑧1=𝑧2𝑖，且𝑥∈(0,𝜋)，求x与𝜆的值；
(2)设复数𝑧1，𝑧2在复平面上对应的向量分别为𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且𝜆=𝑓(𝑥)，求𝑓(𝑥)的最小正周期和单调递减区间．
22. 在中，
求角B的大小;
求的取值范围．
23. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵+𝐶2=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵．
(1)求A；
(2)若𝑏=2，𝑐=3，∠𝐵𝐴𝐶平分线AD交BC于点D，求AD的长．
24.
(本小题满分12分)
函数
(其中
)的图象如图所示，
把函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得
到函数的图象．
(Ⅰ)求函数的表达式；
(Ⅱ)已知内角的对边分别为，且 .若向量与共线，求的值．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：由𝑧=−1+2𝑖，
得|𝑧|=√(−1)2+22=√5．
故选：A．
直接利用复数模的公式计算得答案．
本题考查了复数模的求法，是基础题．
2.答案：A
解析：解：∵sin(𝜋2−𝛼)=𝑐𝑜𝑠𝛼=35，
∴cos(𝜋−2𝛼)=−𝑐𝑜𝑠2𝛼=1−2𝑐𝑜𝑠2𝛼═1−2×(35)2=725，
故选：A．
由已知及诱导公式可求𝑐𝑜𝑠𝛼，由诱导公式和二倍角公式化简所求后代入𝑐𝑜𝑠𝛼的值即可求解．
本题主要考察了诱导公式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．
3.答案：B
解析：
此题考查了正弦定理以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．
由cosA的值求出sinA的值，再由AC与BC的长，利用正弦定理求出sinB的值，利用大边对大角可得B为锐角，即可得解B的值．
解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝑐𝑜𝑠𝐴=√1010，
∴𝑠𝑖𝑛𝐴=√1−cos2𝐴=3√1010，
∵𝐴𝐶=√5，𝐵𝐶=3，
∴由正弦定理𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴，
得𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐴𝐶⋅𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐶=√5×3√10103=√22，
∵𝐵𝐶>𝐴𝐶，可得B为锐角，
∴𝐵=𝜋4．
故选：B． 4.答案：B
解析：解：𝑐𝑜𝑠15°⋅𝑠𝑖𝑛75°−𝑠𝑖𝑛15°⋅𝑐𝑜𝑠75°=sin(75°−15°)=𝑠𝑖𝑛60°=√32
故选：B．
应用两角差的正弦公式，直接把所给式子化为𝑠𝑖𝑛60°，再求出60°的正弦值即可．
本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，解题时要注意公式的形式．
5.答案：C
解析：解：根据𝑦=cos2𝑥−12=1+𝑐𝑜𝑠2𝑥2−12=12𝑐𝑜𝑠2𝑥，可得它是最小正周期为𝜋的偶函数，
故选：C．
由条件利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的奇偶性和周期性得出结论．
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，余弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
6.答案：C
解析：
本题主要考查三角函数的恒等变换，诱导公式以及函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．
利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再来一用诱导公式以及函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论．
解：把函数𝑦=cos(𝑥−215𝜋)−√3sin(𝑥−2𝜋15)=2𝑐𝑜𝑠[(𝑥−2𝜋15)+𝜋3]=2𝑐𝑜𝑠(𝑥+𝜋5)=2𝑠𝑖𝑛(𝜋2+𝑥+𝜋5)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+7𝜋10)的图象，
先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的12而纵坐标不变，可得𝑦=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+7𝜋10)的图象，
再将所得图象沿x向右平移𝜋4个单位，可得𝑦=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋2+7𝜋10)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋5)的图象，
故选：C．
7.答案：C
解析：解：𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√5(2√5𝑠𝑖𝑛𝑥+1√5𝑐𝑜𝑠𝑥)=√5sin(𝑥+𝛼)，
这里𝑐𝑜𝑠𝛼=2√5，𝑠𝑖𝑛𝛼=1√5，
当𝜃+𝛼=𝜋2+2𝑘𝜋，即𝜃=−𝛼+𝜋2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍时，𝑓(𝑥)最大，
所以𝑐𝑜𝑠𝜃=cos(−𝛼+𝜋2+2𝑘𝜋)=𝑠𝑖𝑛𝛼=1√5=√55． 故选：C．
根据三角函数的辅助角公式求出𝑓(𝑥)=√5sin(𝑥+𝛼)，这里𝑐𝑜𝑠𝛼=2√5，𝑠𝑖𝑛𝛼=1√5，即𝜃=−𝛼+𝜋2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍时，𝑓(𝑥)最大，从而求出𝑐𝑜𝑠𝜃的值即可．
本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．
8.答案：B
解析：解：整理原等式得𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=sin(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶，
∴𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=0，
∵𝑠𝑖𝑛𝐴≠0，
∴𝑐𝑜𝑠𝐶=0，𝐶=𝜋2，
∴三角形为直角三角形，
故选B．
利用两角和公式对原等式整理求得cosA的值，判断出三角形的形状．
本题主要考查了两角和公式的运用．属于基础题．
9.答案：D
解析：解：sin4𝜋12+cos4𝜋12=(sin2𝜋12+cos2𝜋12)2−2𝑠𝑖𝑛2𝜋12cos2𝜋12=1−12sin2𝜋6=1−18=78，
故选：D．
由题意利用二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．
本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．
10.答案：D
解析：解：∵点𝑃(−3,−4)是角𝛼的终边上一点，∴𝑡𝑎𝑛𝛼=−4−3=43，
∴𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼tan2𝛼+1=83169+1=2425，
故选：D．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得𝑡𝑎𝑛𝛼，再同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得𝑠𝑖𝑛2𝛼的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
11.答案：A
解析：
