2.1圆的对称性

单元（或主题）名称 对称图形——圆

1. 单元（或主题）教学设计说明

圆是平面几何中基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习其他数学知识的重要基础。本章是在小学学习过的圆的知识基础上，系统地研究圆的概念、性质、与圆有关的位置关系，正多边形和圆，圆的有关计算及证明。

与“直线形”图形相比，圆具有独特的对称性，它不仅是轴对称图形，而且是中心对称图形。垂径定理、切线长定理都是圆的对称性的具体表现，可以通过圆的对称性来研究这些内容。

2. 单元（或主题）学习目标与重点难点

单元学习目标：

1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；

2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；

3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；

4、知道三角形的外心和内心；

5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；

6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。

重点难点：

重点是圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用。

难点是对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算。

3. 单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）

《圆》这一章的教学是初中平面几何中最为复杂的，其中包含了圆自身众多构成要素和相关要素之间的性质，而它的研究方法又和以前研究图形的方法有着相似之处，所以这一章的学习可以借鉴前面研究图形的经验。例如，圆的对称性所产生的性质，参照等腰三角形和平行四边形研究的经验，这样既帮助学生降低了难度，也为他们搭建了探究的平台；圆与其他图形的位置关系的问题之间是有相互借鉴价值的，这些都需要在教学过程中加以凸显，让学生在学习过程中体会几何学习的方法，感悟图形研究的途径，从而对今后的数学学习产生深远影响。

建议本章一共设置19—20课时，其中2.1圆安排2课时，2.2圆的对称性安排2课时，2.3确定圆的条件安排1课时，2.4圆周角安排3课时，2.5直线与圆的位置关系安排4~5课时，2.6正多边形与圆安排2课时，2.7弧长及扇形的面积安排1课时，2.8圆锥的侧面积安排1课时，小结与思考安排2课时。

3.如图，在O中，已知AB的度数为120°，C为AB的中点.求证：四边形OACB是菱形.

教案信息 主备人： 胥爱丽 学校：顾管屯镇中学

使用人： 学校：

教学内容：2016-2017第一学期 数学青岛版 九年级下

3.1圆的对称性（3）

教学目标 1.探索并掌握圆心角的度数与它所对弧的度数相等

2.培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生逻辑推理能力和计算能力。

重点、难点 重点：弧度定理的推导

难点：应用定理解决问题

教学准备 直尺，圆规

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教 学 过 程

（包含课堂练习和作业布置） 个性化修改

一、定理的探索

自学课本72页73页回答下列问题

1. 把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角的度数是多少？

2. 把顶点在圆心的周角等分为360份时，整个圆被分成了多少份?每一份弧什么关系？为什么？

3. 什么是1度的弧？1度的圆心角所对的弧是多少度？1度的弧所对的圆心角是多少度？n度的圆心角所对的弧是多少度？n度的弧所对的圆心角是多少度？

定理：

注意：等弧是指能够互相重合的弧，因此等弧长度相等并且度数也相等.

二、典型例题（学生先思考交流，教师提问解题思路，学生板演，规范步骤）

例1图

例2图

例1 OA，OC是O中两条垂直的半径，D是O上的一点.连接AD并延长与OC的延长线相交于点B，B=25°.求AB,CD度数.DCBOACBOA例2：在O中，弦AB所对的劣弧为圆的13，圆的半径为2cm,求AB的长.2.如图，在O中，B=37°，劣弧AB的度数是多少？3.如图，在O中，已知AB的度数为120°，C为AB的中点.求证：四边形OACB是菱形.BOACBOA三、有效训练

1

圆的认识

1. 理解圆的定义；理解半径、直径、等圆的概念； 2. 理解圆的对称性； 3. 并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；

一、圆的定义

1. 圆的定义

如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫

做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

总结：

⊙圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

⊙圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.

2. 等圆的概念

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.

要点诠释：

⊙定点为圆心，定长为半径；

⊙圆指的是圆周，而不是圆面；

⊙强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

3. 弦

（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 教学目标

学习内容

知识梳理 2

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.

（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

注意：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

⊙AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

⊙直径AB是⊙O中最长的弦.

4. 弧

（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

1 三数

第二章 2.2 圆的对称性 第一课时

镇江市京口中学 丁息珍 212000

【教材简解】

本节内容是学生在小学学过的一些圆的知识以及学习本册教材第五章第一节圆的有关概念的基础上，进一步探索和圆有关的性质。本节课教学是研究圆的旋转不变性出发，探究圆心角、弧、弦之间的关系，在探究过程中通过师生动手操作、折叠、旋转圆的图片，引导学生的观察、探索、发现图形的特征，总结规律，建立新知。同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。所以这节内容是本章的重点也是全章的基础，更是学好本章的关键。

【目标预设】

1、经历探索圆的中心对称性、旋转不变性及有关性质的过程。

2、理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

3、能运用所学知识进行证明相关问题，会用所学知识对图形、数量条件进转化。

4、通过学生动手实践、合作交流、互助学习，培养学生自主探索寻找规律得出结论的学习意识。

【重点和难点】

教学重点：理解圆的中心对称性及有关性质

教学难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。

【设计理念 】

本节课的设计完全采取学生小组合作探究的方式进行。《课标》要求学生“做数学”，在做的活动中通过小组合作的方式，尝试与他们交流中获益，并学会尊重他人的看法，在数学活动中感受他人的思维方式和思维过程，以改进自己在认知方面的单一性，促进每一个学生的发展。充分体现学生的课堂参与性与教师的指导性。

【设计思路】

利用课件创设活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。本课的设计内容分为以下几个部分：

1、创设情境，导入新课

2、合作交流，解读探究

3、尝试应用，巩固提高

4、巩固练习

5、小结，教师质疑

6、布置作业

【教学过程】

一、情境创设

什么是中心对称图形?圆是中心对称图形吗？

结论：圆是________________图形，_______是它的对称中心。