圆的对称性

1 第三章 圆

第一讲 圆的概念与圆的对称性

【知识要点】

知识点1：圆的定义及相关概念

1.圆的定义： 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。

同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。

2、圆的表示方法：以O为圆心的圆叫做“圆O”，记作“⊙O”。

注意：圆指的是“圆周”而不是“圆面”。

3. 圆的基本元素：

（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫直径。（如图）直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

简称弧，弧用符号“⌒”表示。

（3）半圆、劣弧、优弧

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

（4）圆心角: 顶点在圆心的角，叫做圆心角。∠COD

（5）同心圆、等圆、等弧

同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

等圆：能够重合的两个圆叫等圆。半径相等的两个圆也叫等圆。

等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

知识点2、点和圆的位置关系：

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。

平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内

当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。

当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。

当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。

知识点3. 圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆的对称性练习

目标导航

1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．

2、掌握垂径定理及其应用．

3、“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

基础过关

1．圆既是轴对称图形，又是_________对称图形，它的对称轴是_______， 对称中心是____．毛

2．已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是_________．

3．圆的一条弦把圆分为5∶1 两部分， 如果圆的半径是2cm， 则这条弦的长是_____cm．

4．已知⊙O中，OC⊥弦AB于C，AB=8，OC=3，则⊙O的半径长等于________．

5．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是_____．

5题图 6题图 7题图

6．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，那么拱形的半径是____m．

7．如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD= CE， 则与 弧长的大小关系是_________．

8．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则⊙O的半径为_____cm．

8题图 9题图 10题图 11题图 9．如图，在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）

A．60° B．90° C．120° D．150°

10．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ ）

1 / 7 圆的对称性

温故知新：

1. 已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD

1、圆的对称性

(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：

平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒DE的度数．

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【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．

A. AB＞2CD B. AB＜2CD

C. AB＝2CD D. 不能确定

【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．

【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？

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【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2米，拱顶高出水面CD，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？

课堂练习

1．如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠AOB＝122°，则∠AOC的度数为( )

A．122° B．120° C．61° D．58°

2．下列结论中，正确的是( )

A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧

B．等弧所对的圆心角相等

圆及圆的对称性

圆及圆的对称性圆圆的对称性圆的定义圆的有关概念点与圆的位置关系圆的对称性圆心角圆心角、弧、弦之间的关系

知识点1 圆及与的相关的概念

1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.

注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素．．．：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP的长也可以叫半径.

（2）圆的集合性定义：

圆心为O，半径为r的圆，可以看成所有到定点O，距离等于定长r的点的集合。

注：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。

2.弦与直径、弧与半圆

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．

BACO

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

3.同心圆和等圆

同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示：

图2 图3

等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。

注：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关

等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合．．．．．．的弧叫做等弧。

注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。

例1.如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )

A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm