圆的对称性

1 第三章 圆

第一讲 圆的概念与圆的对称性

【知识要点】

知识点1：圆的定义及相关概念

1.圆的定义： 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。

同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。

2、圆的表示方法：以O为圆心的圆叫做“圆O”，记作“⊙O”。

注意：圆指的是“圆周”而不是“圆面”。

3. 圆的基本元素：

（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫直径。（如图）直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

简称弧，弧用符号“⌒”表示。

（3）半圆、劣弧、优弧

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

（4）圆心角: 顶点在圆心的角，叫做圆心角。∠COD

（5）同心圆、等圆、等弧

同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

等圆：能够重合的两个圆叫等圆。半径相等的两个圆也叫等圆。

等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

知识点2、点和圆的位置关系：

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。

平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内

当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。

当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。

当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。

知识点3. 圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

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无锡龙文教学管理部 1 龙文教育学科导学案

教师: 吴传明 学生:秦建钧 年级: 初三 日期: 2012-10-13星期:六 时段:13—15

学情分析

课 题 圆的对称性、圆周角

学习目标与

考点分析 1、通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形．

2、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系．

3、使学生经历探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．

4、认识圆的轴对称性和中心对称性，探索并了解垂径定理．

学习重点 圆的概念及圆的对称性

学习方法 讲练结合、启发引导、归纳总结

学习内容与过程

一、圆的概念

1、圆的定义

定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2、圆的特点

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．

3、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

4、同圆中:(1)半径相等;(2)直径等于半径的2倍.

5、能够重合的两个圆叫做等圆,等圆的半径相等；圆心相同的圆叫做同心圆，同心圆半径不一定相等。

例：下列命题中正确的是（ ）

①弦是圆上任意两点之间的部分 ②半径是弦

圆及圆的对称性

圆及圆的对称性圆圆的对称性圆的定义圆的有关概念点与圆的位置关系圆的对称性圆心角圆心角、弧、弦之间的关系

知识点1 圆及与的相关的概念

1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.

注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素．．．：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP的长也可以叫半径.

（2）圆的集合性定义：

圆心为O，半径为r的圆，可以看成所有到定点O，距离等于定长r的点的集合。

注：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。

2.弦与直径、弧与半圆

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．

BACO

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

3.同心圆和等圆

同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示：

图2 图3

等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。

注：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关

等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合．．．．．．的弧叫做等弧。

注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。

例1.如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )

A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm

§3.2 圆的对称性

学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理，圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理

重点:垂径定理及其应用，圆心角、弧、弦之间关系定理．

难点:垂径定理及其应用，“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明

学习过程:

一、举例：

【例1】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．

【例2】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．

【例3】如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．

如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,原结论是否改变？为什么？

如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？

如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

二、当堂训练：

1、判断：

⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）

⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）

⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）

2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.

图中相等的线段有 .

图中相等的劣弧有 .

3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.

4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.