21数学理科攻略大一轮复习课标精练：92 直线圆的位置关系试题部分 含解析

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，则判断圆与圆位置关系的注意点对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．[熟记常用结论]1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆系方程(1)同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中a ，b 是定值，r 是参数；(2)过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )；(3)过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C 2，解题时，注意检验圆C 2是否满足题意，以防漏解)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．直线l ：x ＋3y －4＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相交过圆心 B ．相交不过圆心 C ．相切D ．相离解析：选C 圆心坐标为(0,0)，圆心到直线l 的距离d ＝|－4|2＝2＝r ，所以直线l 与圆C相切．故选C.2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．外离 B.相交 C ．外切D ．内切解析：选B 圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，∵|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，∴|2－1|＜|O 1O 2|＜2＋1，∴两圆相交．故选B.3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B.[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：选C 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， 所以|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1，故选C.4．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝________.解析：因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝ 3.答案：0或 35．直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5， 所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5， 又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝⎛⎭⎫5－52＝10，即|AB |＝10. 答案：10考点一 直线与圆的位置关系的判断 [师生共研过关][典例精析](1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2) B.(3，3) C.⎝⎛⎭⎫33，233D.⎝⎛⎭⎫1，233(3)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )A ．(2＋1，＋∞) B.(2－1，2＋1) C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)[解析] (1)法一：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离 d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三：易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜5，∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|m |⎝⎛⎭⎫332＋1＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点， 则1＜m ＜233.(3)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.[答案] (1)A (2)D (3)A[解题技法]判断直线与圆的位置关系的一般方法1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B.相交 C ．相离D ．不确定解析：选B 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1.所以直线与圆相交． 2．(2019·杭州模拟)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.(2，＋∞) C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)解析：选C ∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.3．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B.2 C ．3D ．4解析：选C 由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．考点二 圆与圆的位置关系及应用 [师生共研过关][典例精析]已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62B.32C.94D ．2 3[解析] 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.[答案] C[解题技法]圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．[过关训练]1．如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是_________________．解析：圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4， 圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0＜a 2＋a 2＜4，∴0＜|a |＜2 2.∴a ∈(－22，0)∪(0,22)． 答案：(－22，0)∪(0,22)2．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.故两圆的公共弦的长为 2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.考点三 圆的弦长问题 [师生共研过关][典例精析](1)(2019·太原模拟)若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.23 B ．1 C.12D.34(2)(2019·成都模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ―→·OB ―→的值是( )A ．－12B.12 C ．－43D ．0[解析] (1)因为a 2＋b 2＝43c 2，所以圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝32，所以直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫322＝2×12＝1，选B.(2)在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ―→·OB ―→＝1×1×cos 120°＝－12.[答案] (1)B (2)A[解题技法]有关弦长问题的2种求法[过关训练]1．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝( )A ．－ 6 B.±6 C ．－ 5D ．±5解析：选D 记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5. 2．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2是方程x 2＋mx －2＝0的两根，所以x 1x 2＝－2，又点C 的坐标为(0,1)，则AC ―→·BC ―→＝(－x 1,1)·(－x 2,1)＝x 1x 2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由x 1x 2＝－2可知原点O 在圆内，则由相交弦定理可得|OC |·|OD |＝|OA |·|OB |＝|x 1|·|x 2|＝2.又|OC |＝1，所以|OD |＝2，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |＋|OD |＝3，为定值．考点四 圆的切线问题 [师生共研过关][典例精析]已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1. ∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.[解题技法]1．求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的2种方法[提醒] 当点(x 0，y 0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．[过关训练]1．(2019·杭州模拟)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 C.7D ．3解析：选C 切线长的最小值是当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，故切线长的最小值为d 2－r 2＝7. 2．(2018·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3 B.4 C ．2 3D ．8解析：选B 连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55，∴在Rt △ACO 2中，|AC |＝|AO 2|·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴|AB |＝2|AC |＝4.故选B. 考点五 直线与圆的综合问题[师生共研过关][典例精析]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22. 由题意可知直线l 的斜率必存在， 设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程， 化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0. 由题意，可得x 1＋x 2＝61＋t2，Δ＝36－20(1＋t 2)＞0，(*) 所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t 1＋t 2. 因为x 20＋y 20＝9(1＋t 2)2＋9t 2(1＋t 2)2＝9(1＋t 2)(1＋t 2)2＝91＋t 2＝3x 0， 所以⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2＜45.又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53＜x ≤3. (3)存在实数k 满足条件．由(2)知，曲线C 是在区间⎝⎛⎦⎤53，3上的一段圆弧． 如图，D ⎝⎛⎭⎫53，253，E ⎝⎛⎭⎫53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得 (1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0. 由Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x ＝125∈⎝⎛⎦⎤53，3， 由图可知要使直线L 与曲线C 只有一个交点， 则k ∈⎣⎡⎦⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 故所求k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. [解题技法]直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．[过关训练]已知A (2,0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点．(1)求|PA |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．解：(1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43， ∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝(13)2－(23)2＝1. ∵m ＜3，∴m ＝2，∴|AC |＝(－3－2)2＋(2－0)2＝29，∴|PA |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0,4)，O (0,0)，N (－6,0)，∴△MON 为直角三角形，斜边|MN |＝213，∴△MON 内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。

9.2 直线、圆的位置关系挖命题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系2.能用直线与圆的位置关系解决弦长问题3.会求圆的切线方程及与圆有关的最值问题4.能根据给定两圆的方程判断两圆的位置关系5.会求两圆相交弦所在直线的方程及弦长6.初步了解用代数方法处理几何问题的思想2014北京,19直线与圆的位置关系的判断 椭圆的方程和几何性质 ★★★2014北京文,7圆的有关性质向量的数量积运算2012北京文,9弦长问题勾股定理分析解读 从高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主.分值大约为5分.主要考查:1.方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;2.利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;3.利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;4.由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点 【考点集训】考点 直线、圆的位置关系1.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R )是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4√2C.6D.2√10 答案 C2.若直线y=kx+4+2k 与曲线y=√4-x 2有两个交点,则k 的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[-1,-34) C.(34,1] D.(-∞,-1]答案 B3.(2014安徽,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.(0,π6] B.(0,π3] C.[0,π6] D.[0,π3]答案 D炼技法【方法集训】方法1与圆有关的最值问题的求解方法1.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为()A.3B.√212C.2√2D.2答案 D2.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=2方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法3.(2015安徽文,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12答案 D4.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案 B过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案 B。

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

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核心考点·精准研析考点一直线与圆的位置关系1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 ( )A.相切B.相交C.相离D.不确定2.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)3.(2020·衢州模拟)过点(0,1)的直线l与圆C:x2+y2+2x-4y=0的位置关系是世纪金榜导学号( )A.相离B.相切C.相交D.相交或相切4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为世纪金榜导学号( )A.1B.2C.3D.4【解析】1.选B.因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O 到直线ax+by=1的距离d==<1,故直线与圆O相交.2.选D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=<r=1.解得m>0或m<0.3.选C.因为02+12+2×0-4×1=-3<0,所以点(0,1)在圆C的内部,所以过点(0,1)的直线均与圆相交.4.选C.如图所示,因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆与圆的位置关系【典例】1.已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为世纪金榜导学号( )A.2B.4C.8D.92.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为世纪金榜导学号( )A.2-B.2±C.3-D.3±3.(2020·金华模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=4与圆C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q两点,则线段PQ的长为________;记圆O 与x轴正半轴交于点M,点N在圆C上滑动,则△MNC面积最大时直线NM 的方程为________. 世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1 由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切2 由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称3 由两圆相交于P,Q两点,联想到相交弦PQ的直线方程【解析】1.选D.由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以=2-1,即4a2+b2=1.所以+=·(4a2+b2)=5++≥5+2=9,当且仅当=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=时等号成立,所以+的最小值为9.2.选C.圆M的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=3±,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为x=3-.3.由圆O与圆C方程相减可知,相交弦PQ的方程为3x+y-3=0.点(0,0)到直线PQ的距离d=,PQ=2=.因为MC=,=2.S△MNC=sin∠MCN=2sin∠MCN,当∠MCN=90°时,S△MNC取得最大值.此时MC⊥NC,又k C M=1,则直线NC为y=-x+4.由解得N(1,3)或N(5,-1),当点N(1,3)时,k MN=-3,此时MN的方程为3x+y-6=0;当点N(5,-1)时,k MN=-,此时MN的方程为x+3y-2=0.所以MN的方程为3x+y-6=0或x+3y-2=0.答案:3x+y-6=0或x+3y-2=01.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.1.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为()A. B. C. D.2【解析】选C.由已知得圆C1的圆心C1(a,-2),圆C2的圆心C2(-b,-2),由两圆外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤.2.(2020·湖州模拟)已知两圆x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+m=0,当m=________时,两圆外切;当m=________时,两圆内切.【解析】根据题意,由C 1:x2+y2=1,得圆心C 1,半径为1,由圆C 2:x2+y2-6x-8y+m=0,得(x-3)2+(y-4)2=25-m,其圆心,半径r=,==5,若两圆外切,有=1+=5,解得m=9,若两圆内切,有=-1=5,解得m=-11.答案:9 -11考点三直线与圆的综合问题命题精解读考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的性质.怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题.学霸好方法1.圆的切线方程常用结论(1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;(2)切线:已知圆的圆心C,半径为R. 过点P作圆C的切线.①条数:若点P在圆内,则无切线;若点P在圆上,则有且只有一条切线;若点P在圆外,则有两条切线;②长度:切线长等于.2.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|AB|=|x A-x B|=.圆的切线问题【典例】1.已知圆的方程为x2+y2=1,则在y轴上截距为的切线方程为世纪金榜导学号( )A.y=x+B.y=-x+C.y=x+或y=-x+D.x=1或y=x+2.(2020·嘉兴模拟)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则半径r的取值范围是世纪金榜导学号( )A.(4,6)B.[4,6]C.(4,5)D.(4,5]【解析】1.选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+,则=1,所以k=±1,故所求切线方程为y=x+或y=-x+.2.选A.由圆(x-3)2+(y+5)2=r2,可得圆心的坐标为(3,-5),圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为=5.由|5-r|<1得4<r<6,所以r的取值范围是(4,6).求圆的切线方程时,应注意什么问题?提示:应注意切线斜率不存在的情况.圆的弦长问题【典例】1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为________. 世纪金榜导学号2.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为世纪金榜导学号( )A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0【解析】1.因为圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,所以圆心到直线x+y-2=0的距离d==1,所以弦长|AB|=2=2.答案:22.选B.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=-,综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0.圆心到弦的距离如何求?提示:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2.与弦长有关的范围问题【典例】1.若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,则实数m的取值范围为( )世纪金榜导学号A.(-1,1]∪{-}B.{-,}C.[-1,1)∪{}D.(1,]【解析】选C.y=表示半圆,如图所示:因为直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,①d==1,解得m=,m=-(舍去)②代入(-1,0)可得0=-1+m,m=1,代入(1,0)可得0=1+m,m=-1,结合图象,综上可得-1≤m<1或m=.2.已知点P是直线x+y+2=0上的动点,过P引圆x2+y2=1的切线,则切线长的最小值为________. 世纪金榜导学号【解析】圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,要使切线长最小,则只需要点P到圆心的距离最小.此时最小值为圆心到直线的距离d==,此时切线长的最小值为=1.答案:1解决与弦长有关的参数范围问题,用什么方法最直观?提示:数形结合的方法.1.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则实数b=________. 【解析】圆的标准方程即:(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为1,即=1,解得:b=2或b=12.答案:2或122.直线x-y-1=0与圆x2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=________.【解析】根据题意,圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为r=,则圆心到直线x-y-1=0的距离为d==,则|AB|=2=3.答案:31.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的斜率为( )A.1B.-1C.D.-【解析】选A.点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l 被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1.2.(2020·丽水模拟)已知圆C的方程为:x2+y2-2x-4y+m=0,则实数m的取值范围是________;若直线x-2y-1=0与圆C相切,则实数m的值是________.【解析】由圆的方程可得,22+42-4m>0,所以m<5.圆心(1,2),半径r=,因为圆和直线相切,所以有=,所以m=.答案:m<5关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12， 解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。

4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0∴m∈R所以直线L与直线O相交。

2．切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(xx+yy=r2)法一：∵点P(x，y)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x≠0且y≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+yy=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y)2∴x0x+yy=r2且P(x，y)满足上面的方程。

综上，所求切线方程为x0x+yy=r2。

(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。

解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为所以PT的方程为综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0 例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1)；（2） B(4，5)解：(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为，∴所求切线方程为法二：∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。

直线与圆的位置关系复习一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]2．点M 在圆x 2＋y 2－10x －6y ＋25＝0上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 2 D 由圆,整理得圆心坐标，圆的半径；圆心到直线距离，直线与圆相离；圆上的点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离. 故选D.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A ．0° B ．45° C ．0°或45°D ．0°或60°D [设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.]4．圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2B [圆的方程化为标准方程得：(x －1)2＋(y －3)2＝10， 则圆心坐标为(1,3)，半径为10，如图：由图可知：过点E 最长弦为直径AC ，最短弦为过点E 且与AC 垂直的弦．则AC ＝210，MB ＝10，ME ＝(1－0)2＋(3－1)2＝ 5. 所以BD ＝2BE ＝2(10)2－(5)2＝2 5.又AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD＝12×210×25＝10 2. 选B.]5．若直线l ：kx －y －2＝0与曲线C ：1－(y －1)2＝x －1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤43，2B ．⎝⎛⎭⎫43，4 C ．⎣⎡⎦⎤－2，－43∪⎝⎛⎦⎤43，2 D ．⎝⎛⎭⎫43，＋∞ A [直线l ：kx －y －2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C ：1－(y －1)2＝x －1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))．当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2，直线记为l 1；当l 与半圆相切时，由|k －3|k 2＋1＝1，得k ＝43，切线记为l 2.分析可知当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选A.]6．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．2 3C [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形P ACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|P A |×r ＝|P A |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离，即为|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2，所以四边形P ACB 面积的最小值为4－1＝ 3.]二、填空题7．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是________．x －2y ＋5＝0 [法一：∵点P (－1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，直接代入圆上一点的切线方程得：－x ＋2y ＝5，即x －2y ＋5＝0.法二：∵圆心为(0,0)，∴k CP ＝2－1＝－2，所求直线的斜率为k ＝12.所以所求切线方程是y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.]8．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 【导学号：07742299】(x －2)2＋(y －1)2＝4 [设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________. 【导学号：07742301】(－13,13) [由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.因为d ＝|c |122＋52＝|c |13，所以0≤|c |13＜1，即0≤|c |＜13.解得－13＜c ＜13.]4．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.4±15 [由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，所以222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋1 2＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.] 三、解答题10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值.[解] 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.① 又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③因为P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上， 所以y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125.④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立， 所以m ＝3.5．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. [解] (1)法一：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)． 又12＋(1－1)2＝1＜5， ∴点P 在圆内，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．法二：圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋1－m |m 2＋1＝|m |m 2＋1＜|m ||m |＝1＜5，∴直线l 与圆C 相交，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)直线l 恒过定点P (1,1)，且直线l 的斜率存在．又M 是AB 的中点，当直线l 的斜率不为0时，CM ⊥MP ， ∴点M 在以CP 为直径的圆上．又C (0,1)，P (1,1)，∴以CP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14， 当直线l 的斜率为0时，点M 与点C 重合，也满足上式． 又直线l 的斜率存在，∴x ≠1，∴点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14(x ≠1).。

高一数学直线圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C的方程是，直线的方程为，求：当为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出的值；（2）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，让等于圆的半径列出关于的方程，求出方程的解即可得到符合题意的值；（3）直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，让小于圆的半径列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的的范围．试题解析：（1）∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有：．（2）∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，，即时，直线与圆相切．（3）直线与圆有两公共点，, 即有两个公共点．【考点】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离．2.圆在点处的切线方程为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为2，点在圆上，，所以点P处的切线的斜率为，所以切线方程为，整理得.【考点】本小题主要考查圆的切线方程的求法，考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力. 点评：题中点P在圆上，所以点P是切点，还要注意点P在圆外时切线应该有两条.3.点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【答案】C【解析】由条件得：根据点到直线距离公式得圆心到直线的距离为故选C4.已知集合及，则实数b的取值范围是（）A．[–5,5]B．C．D．【答案】C【解析】集合表示以原点为圆心5为半径的圆的下半部分上的点，集合表示直线上的点。

因为，所以两个曲线有交点。

由图可知，当直线经过点时，两曲线开始有交点，此时。

当逐渐减小时，直线与曲线一直有交点，直到直线与半圆相切，此时，解得。

专题9.2 直线与圆的位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．【知识点展示】一．圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2) 对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->(2D -)2E-为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔； (3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔.二．圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：2．圆的一般方程．：（）.3.点到直线的距离：.三．直线与圆相切1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；3.代数法：，方程组有一组不同的解. 四．直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；3.代数法：，方程组有两组不同的解. 五．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.六.常用结论 1．圆的三个性质F E D 42122-+0422=-+F E D (2D -)2E -0422<-+F E D 00()A x y ，22200()()x a y b r <－＋－22200()()x a y b r =－＋－22200()()x a y b r >－＋－222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =d r =0∆=d r <0∆>1C 2C 12d C C =R r R r >d R r >+d R r =+R r d R r -<<+d R r =-0d R r ≤<-0d =(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程． 4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 5．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.【常考题型剖析】题型一：求圆的方程例1.（2020·山东高考真题）已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22211x y ++-= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22211x y -++=D ．()()22214x y -++=例2.（重庆·高考真题（文））圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-=D ．()2231x y +-=例3.（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 【规律方法】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 题型二：圆的方程综合应用例4.（2023·全国·高三专题练习）当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-例5.（2016·天津·高考真题（文））已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________. 【总结提升】涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 题型三：直线与圆相切例6.（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 例7.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切例8.（2020·浙江·高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______． 【规律方法】判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法． 题型四：直线与圆相交及弦长例9.（2023·全国·高三专题练习）过圆()22:11C x y -+=外一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B .若△P AB 为等边三角形，则过D (2，1)的直线l 被P 点轨迹所截得的最短弦长为________. 例10.（2022·天津·高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =_____．【规律方法】 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 题型五：圆与圆的位置关系例11.（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆221:140C x y x +-=与圆222:(3)(4)15C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离例12.（2022·全国·高考真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________． 【规律方法】1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．3.公共弦长要通过解直角三角形获得． 题型六：直线、圆的综合应用例13.（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=例14.（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．例15.（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆22:4210C x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为______．例16.（2023·全国·高三专题练习）已知线段AB 的端点B 的坐标是()5,1，端点A 在圆()221:1(3)4C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ 的最小值． 【规律方法】 （一）最值问题1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2.求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． （二）求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．注：从高考命题看，与圆相关轨迹问题，往往与圆锥曲线有关.（三）几何法解决直线与圆的综合问题 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．专题9.2 直线与圆的位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．【知识点展示】一．圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2) 对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； 222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->(2D -)2E-F E D 42122-+②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔； (3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔.二．圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：2．圆的一般方程．：（）.3.点到直线的距离：.三．直线与圆相切1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；3.代数法：，方程组有一组不同的解. 四．直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；3.代数法：，方程组有两组不同的解. 五．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.六.常用结论 1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；0422=-+F E D (2D -)2E -0422<-+F E D 00()A x y ，22200()()x a y b r <－＋－22200()()x a y b r =－＋－22200()()x a y b r >－＋－222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =d r =0∆=d r <0∆>1C 2C 12d C C =R r R r >d R r >+d R r =+R r d R r -<<+d R r =-0d R r ≤<-0d =(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程． 4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 5．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.【常考题型剖析】题型一：求圆的方程例1.（2020·山东高考真题）已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22211x y ++-= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22211x y -++= D ．()()22214x y -++=【答案】B 【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程. 【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=. 故选：B.例2.（重庆·高考真题（文））圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-=【答案】A 【解析】【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点()12，代入圆的方程即可求解. 【详解】因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =. 故选：A例3.（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【解析】 【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭. 【规律方法】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．题型二：圆的方程综合应用例4.（2023·全国·高三专题练习）当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ） A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线l 垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可. 【详解】解：因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =， 又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1),故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.例5.（2016·天津·高考真题（文））已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+=【解析】 【详解】试题分析：设(,0)(0)C a a >2,3a r ====，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+= 【总结提升】涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 题型三：直线与圆相切例6.（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==；圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==所以，圆心到直线230x y --=. 故选：B.例7.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.例8.（2020·浙江·高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】 【解析】 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，1=1=， 所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==【规律方法】判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法． 题型四：直线与圆相交及弦长例9.（2023·全国·高三专题练习）过圆()22:11C x y -+=外一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B .若△P AB 为等边三角形，则过D (2，1)的直线l 被P 点轨迹所截得的最短弦长为________.【答案】【解析】 【分析】先根据∠APC ＝30°，可得P 点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l 与CD 垂直时，l 被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可 【详解】由题意知()1,0C ，连接PC ，因为△P AB 为等边三角形，所以∠APC ＝30°，所以12sin 30CP ==，所以P 点轨迹的方程为()2214x y -+=.因为()2221124-+=<，所以点D (2，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部.连接CD ，结合图形可知，当l 与CD 垂直时，l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短，最短弦长为=故答案为：22例10.（2022·天津·高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =_____．【答案】2 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m 的等式，即可解得m 的值. 【详解】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,1圆心到直线()00x y m m -+=>=2232m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =. 故答案为：2. 【规律方法】 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 题型五：圆与圆的位置关系例11.（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆221:140C x y x +-=与圆222:(3)(4)15C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．相离【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由221:140C x y x +-=与圆222:(3)(4)15C x y -+-=，可得圆心12(7,0),(3,4)C C，半径127,R R ==则12C C =212177R R R R -=+= 所以211221R R C C R R -<<+，所以两圆相交. 故选：A.例12.（2022·全国·高考真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =- 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+， 当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =- 当切线为n 时，易知切线方程为1x =-， 故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-. 【规律方法】1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．3.公共弦长要通过解直角三角形获得． 题型六：直线、圆的综合应用例13.（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d =，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.例14.（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上， 所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =， 依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦例15.（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆22:4210C x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为______．【解析】 【分析】根据圆的切线的性质，结合三角形面积2APBC S PA =四边形与12APBC S AB CP =四边形，化简可得4PA AB CP =，进而得到AB =AB 最短时，CP 最短求解即可【详解】圆22:4210C x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 由于P A ，PB 分别切圆C 于点A ，B ，则PA PB =， CA PA ⊥，CB PB ⊥，所以2ACP APBC S S CA PA ==四边形△，因为2CA CB r ===，所以2APBC S PA =四边形，又PC AB ⊥，所以12APBC S AB CP =四边形，所以14PA AB CP =，即4PA AB CP == 所以AB 最短时，CP 最短，点C 到直线4y =的距离即为CP 的最小值，所以min 3CP =，所以AB 的最小值为故答案为：453例16.（2023·全国·高三专题练习）已知线段AB 的端点B 的坐标是()5,1，端点A 在圆()221:1(3)4C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(3)(2)1x y -+-=(2)MN =3 【解析】 【分析】(1) 设00(,)A x y ，(,)P x y ，可得002521x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入圆()221:1(3)4C x y -+-=化简即可；(2) 联立方程()()22134x y -+-=和()()22321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=,再由弦长公式可求得结果；(3) 作2C 关于x 轴得对称点()'232C -，，连接'12C C 与x 轴交于Q 点，根据时'123AQ CQ C C +≥-求解即可. （1）设00(,)A x y ，(,)P x y ，点A 在圆221:1(3)4C x y -+-=（），所以有：()22001(3)4x y -+-=，P 是A ，B的中点，005212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002521x x y y =-⎧⎨=-⎩，得P 得轨迹方程为：22(3)(2)1x y -+-=； （2）联立方程()()22134x y -+-=和()()22321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=，设1C 到直线MN 得距离为d，则d ==所以2MN ==，MN = （3）作出2C 关于x 轴得对称点()'232C -，，如图所示；连接'12C C 与x 轴交于Q 点，点Q 即为所求，此时'123293AQ CQ C C +≥-=-，所以AQ CQ +的最小值为293-.【规律方法】（一）最值问题1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2.求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．（二）求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．注：从高考命题看，与圆相关轨迹问题，往往与圆锥曲线有关.（三）几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．。

⎩⎨⎧d ＜r ⇔相交，弦长l ＝2r2－d2d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)、圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2(r 2>0)．位置关系 几何法：圆心距d 与r 1、r 2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解[常用结论]1．当两圆相交(切)时、两圆方程(x 2、y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．2．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0、y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0、y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0、y 0)作圆的两条切线、则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.B [两圆圆心分别为(－2,0)、(2,1)、半径分别为2和3、圆心距d ＝42＋12＝17. ∵3－2<d <3＋2、 ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1、3)处的切线方程为 ． x －3y ＋2＝0 [因为点P (1、3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点、 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为 ． 22 [由⎩⎨⎧x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0,0)、半径r ＝2、且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2、所以公共弦长为2r2－d2＝24－2＝22.]考点1 直线与圆的位置关系[1、2)[画出图象如图、当直线l经过点A、B时、m＝1、此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时、m＝2、因此当1≤m<2时、直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2圆与圆的位置关系几何法判断圆与圆的位置步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2、|r1－r2|的值．(3)比较d、r1＋r2、|r1－r2|的大小、写出结论．已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解](1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)、半径r1＝11、圆C2的圆心为C2(5,6)、半径r2＝4、两圆圆心距d＝|C1C2|＝5、r1＋r2＝11＋4、|r1－r2|＝4－11、∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2、∴圆C1和圆C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减、得4x＋3y－23＝0、∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.∵圆M截直线所得线段长度为22、∴错误!＝2错误!.又a>0、∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0、即x2＋(y－2)2＝4、圆心M(0,2)、半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1、圆心N(1,1)、半径r2＝1、∴|MN|＝错误!＝错误!.∵r1－r2＝1、r1＋r2＝3,1<|MN|<3、∴两圆相交．]2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切、则m＝( ) A．21 B．19C．9 D．－11C[圆C1的圆心为C1(0,0)、半径r1＝1、因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m、所以圆C2的圆心为C2(3,4)、半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2、即1＋25－m＝5、解得m＝9、故选C.]考点3直线、圆的综合问题切线问题。

9.2 直线、圆的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.两直线的位置关系①能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;②能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;③掌握两点间的距离公式,点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离2014江苏,11,5分两直线平行求参数的值导数★★★2014四川,14,5分两直线相交求最值基本不等式2.直线与圆的位置关系①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;③初步了解用代数方法处理几何问题的思想2018课标Ⅲ,6,5分直线与圆的位置关系求范围三角形面积公式★★★2017课标Ⅱ,9,5分直线与圆的位置关系双曲线的几何性质2016课标Ⅲ,16,5分直线与圆的位置关系点到直线距离公式3.圆与圆的位置关系2015课标Ⅱ,7,5分直线与圆的位置关系求弦长圆的方程分析解读从近5年的高考情况来看,本节主要考查两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题等,一般为选择题、填空题,难度中等,本节知识还常常与其他知识结合在一起考查最值问题,在解题时要充分利用圆的几何性质简化运算过程,认真体会数形结合思想的应用.破考点【考点集训】考点一两直线的位置关系1.(2018河北五个一联盟联考,3)已知直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是l1平行于l2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2018河南顶级名校第二次联考,6)已知m,n,a,b★R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则√(m-a)2+(n-b)2的最小值为( )A.√3B.√2C.1D.12答案C考点二直线与圆的位置关系1.(2017安徽江南十校联考,6)直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是( )A.[-√2,√2]B.[-2√2,2√2]C.[-√2-1,√2-1]D.[-2√2-1,2√2-1]答案D2.(2017福建漳州八校4月联考,7)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么( )A.m★l,且l与圆相交B.m★l,且l与圆相切C.m★l,且l与圆相离D.m★l,且l与圆相离答案C考点三圆与圆的位置关系1.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为.答案942.(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C 的标准方程为.答案(x+3)2+(y+3)2=18炼技法【方法集训】。

§9.2直线、圆的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点点与直线、直线与直线的位置关系①能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系;②能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标;③掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离2016课标全国Ⅱ,6,5分点到直线的距离圆的标准方程,点到直线的距离公式★☆☆2014四川,9,5分两直线的位置关系直线过定点,直线的斜率,基本不等式直线、圆的位置关系①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;③初步了解用代数方法处理几何问题的思想2018课标全国Ⅲ,8,5分与圆的方程有关的最值点到直线的距离,三角形的面积★★★2018课标全国Ⅰ,15,5分圆的弦长直线与圆的位置关系2016课标全国Ⅰ,15,5分直线与圆的位置关系圆的弦长,圆的面积2015课标Ⅰ,20,12分直线与圆的位置关系直线方程,数量积,根与系数的关系分析解读从近几年的高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为5分.主要考查:①方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;②利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;③利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;④由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点【考点集训】考点一点与直线、直线与直线的位置关系1.经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1与经过点M(1,-4)且斜率为的直线l2的位置关系为()A.平行B.垂直C.重合D.无法确定答案A2.(2017河南部分重点中学12月联考,3)设a∈R,则“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2019届宁夏一中11月月考,6)已知A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),AD⊥BC,AB∥CD,则点D的坐标为()A.B.C.D.答案D考点二直线、圆的位置关系1.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12答案D2.(2019届山东枣庄第二次检测,5)两圆(x-2)2+(y-1)2=4与(x+1)2+(y-2)2=1的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案D3.(2017河北衡水中学调研考试,5)已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),若a与b的夹角为120°,则直线6xcosα-6ysinα+1=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置关系是()A.相交且不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离答案A4.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切?(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.解析将圆的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.(2)过圆心C作CD⊥AB,连接AC,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.炼技法【方法集训】方法1直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法1.(2019届河南郑州外国语中学10月调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为()A.2B.4C.8D.9答案D2.(2017吉林六校联考,5)已知圆C:x2+y2-4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能答案A方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法1.(2019届河南豫南九校11月联考,9)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4C.6D.2答案C2.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.答案4π3.(2017广东惠州一调,16)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为.答案3方法3解决对称问题的方法1.(2018广东揭阳一模,3)若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,则m+b=()A. B.-1 C.- D.1答案B2.(2018黑龙江哈六中模拟,4)若直线y=kx与圆x2+y2-4x+3=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称,则()A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2答案A3.(2017河南六市二模,5)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=4答案D过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一点与直线、直线与直线的位置关系(2016课标全国Ⅱ,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2答案A考点二直线、圆的位置关系1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]答案A2.(2014课标Ⅱ,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.C.[-,]D.答案A3.(2018课标全国Ⅰ,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案24.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.答案45.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.(2)BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立又+mx 2-2=0,可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.6.(2015课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(5分)(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.(7分)·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)7.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2014四川,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]答案B2.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为.答案33.(2015湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.答案2C组教师专用题组1.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B2.(2014安徽,6,5分)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.答案D3.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B4.(2011全国,11,5分)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=()A.4B.4C.8D.8答案C5.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]6.(2015山东,13,5分)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·=.答案7.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.答案x+2y-5=08.(2014重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为. 答案0或69.(2011课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.解析(1)曲线y=x 2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.因此x1,2=,从而x1+x2=4-a,x1x2=.①由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.【三年模拟】时间:50分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018山西临汾模拟,8)设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,P,Q分别为l1,l2上的点,点M为PQ的中点,若AM=PQ,则m的值为()A.2B.-2C.3D.-3答案A2.(2019届陕西四校11月期中联考,6)直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案B3.(2019届山西太原五中10月模拟,8)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为()A.15B.9C.1D.-答案B4.(2019届河南顶级名校第二次联考,6)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为()A. B. C.1 D.答案C5.(2019届安徽合肥9月调研,8)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0答案B6.(2017江西红色七校联考,11)当曲线y=与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案C二、填空题(每小题5分,共25分)7.(2019届山西晋中期初调研,14)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.答案8.(2019届湖北重点中学11月联考,15)已知a>0,b>0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是.答案9.(2019届四川大学附中第二次月考,15)已知直线m(x+1)-y+2=0与圆C1:(x+1)2+(y-2)2=1相交于A、B两点,点P是圆C2:(x-3)2+y2=5上的动点,则△PAB面积的最大值是.答案310.(2018河北衡水中学期中考试,15)若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是. 答案[-3,-1]∪[1,3]11.(2019届河南顶级名校第二次联考,16)已知圆C:x2+y2-4x-2y-44=0,点P的坐标为(t,4),其中t>2.若过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为4,则直线l的一般式方程是.答案4x+3y-36=0三、解答题(共10分)12.(2018湖北重点中学联考,20)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且y轴和直线x-y+2=0均与圆C相切.(1)求圆C的标准方程;(2)设点P(0,1),若直线y=x+m与圆C相交于M,N两点,且∠MPN为锐角,求实数m的取值范围.解析(1)设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得解得则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.(2)将y=x+m 代入圆C 的方程,消去y 并整理得2x 2+2(m-2)x+m 2=0. 令Δ=4(m -2)2-8m 2>0,得-2-2<m<-2+2,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=2-m,x 1x 2=.=(x 1,y 1-1),=(x 2,y 2-1),依题意,得·>0,即x 1x 2+(x 1+m-1)(x 2+m-1)>0⇒m 2+m-1>0,解得m<或m>.故实数m 的取值范围是∪,-2+2.。

9.2直线、圆的位置关系探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、圆的位置关系①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系②能用直线与圆的位置关系解决弦长问题③会求圆的切线方程及与圆有关的最值问题④能根据给定两圆的方程判断两圆的位置关系⑤会求两圆相交弦所在直线的方程及弦长⑥初步了解用代数方法处理几何问题的思想2014北京,19直线与圆的位置关系的判断椭圆的方程和几何性质★★★2014北京文,7圆的有关性质向量的数量积运算2012北京文,9弦长问题勾股定理分析解读从高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主.主要考查:1.方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;2.利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;3.利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;4.由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点直线、圆的位置关系1.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a★R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4√2C.6D.2√10答案C2.(2018北京海淀期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x 2+y 2=1相交于A,B 两点,且★AOB 为正三角形,则实数m 的值为( ) A.√32B.√62C.√32或-√32D.√62或-√62答案 D3.(2019北京丰台二模文,13)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+(y-3)2=1,若在直线y=kx 上任取一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 都不存在公共点,则k 的取值范围是 . 答案 (-√52,√52) 4.(2019北京清华附中高二期中,13)若圆O 1:x 2+y 2=5与圆O 2:(x-m)2+y 2=20(m ★R)相交于A,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是 . 答案 45.(2020届北京清华附中朝阳学校第二次质检,12)圆C:x 2+y 2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 . 答案 3炼技法 提能力 【方法集训】方法1 与圆有关的最值问题的求解方法1.(2019 5·3原创冲刺卷八,15)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0),圆C:x 2+y 2-2x-6y+2=0,动直线l 与圆C 相交于M,N 两点,且★CMN 的面积为4.若P 为线段MN 的中点,则★PAB 的面积的最大值为 . 答案 52.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ★R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1)2+y 2=23.(2019北京朝阳二模文,11)圆C:x 2+(y-1)2=1上的点P 到直线l:x-2y-3=0的距离的最小值是.答案√5-1方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法4.(2015安徽文,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12答案D5.(2019北京海淀期末,4)直线y=kx+1被圆x2+y2=2截得的弦长为2,则k的值为()A.0B.±12C.±1 D.±√22答案A6.(2018北京朝阳一模,12)已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则★ABM的面积的最小值为.答案2【五年高考】A组自主命题·北京卷题组考点直线、圆的位置关系1.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得★APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B2.(2012北京文,9,5分)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.答案2√23.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA★OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为x24+y22=1.所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a=2,c=√2.故椭圆C 的离心率e=c a =√22. (2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下: 设点A,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t,2),其中x 0≠0.因为OA ★OB,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0.当x 0=t 时,y 0=-t 22,代入椭圆C 的方程,得t=±√2, 故直线AB 的方程为x=±√2.圆心O 到直线AB 的距离d=√2. 此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y-2=y 0-2x 0-t (x-t),即(y 0-2)x-(x 0-t)y+2x 0-ty 0=0. 圆心O 到直线AB 的距离d=00√(y 0-2)+(x 0-t).又x 02+2y 02=4,t=-2y0x 0,故d=|2x 0+2y02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 直线、圆的位置关系1.(2018课标Ⅲ,6,5分)直线x+y+2=0分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则★ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2] 答案 A2.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.-43 B.-34 C.√3 D.2 答案 A3.(2019浙江,12,6分)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= .答案 -2;√54.(2018课标Ⅰ文,15,5分)直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= . 答案 2√25.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= . 答案 46.(2015湖南文,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x 2+y 2=r 2(r>0)相交于A,B 两点,且★AOB=120°(O 为坐标原点),则r= . 答案 27.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 解析 (1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1. 因为l 与C 交于两点,所以2<1.解得4-√73<k<4+√73.所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73).(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k)1+k2,x 1x 2=71+k 2.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得4k(1+k)1+k 2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.C 组 教师专用题组考点 直线、圆的位置关系1.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45D.-43或-34答案 D2.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34πC.(6-2√5)πD.54π 答案 A3.(2014安徽,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(0,π6] B.(0,π3] C.[0,π6] D.[0,π3] 答案 D4.(2014浙江文,5,5分)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )A.-2B.-4C.-6D.-8 答案 B5.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 答案 36.(2016课标Ⅲ文,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点,则|CD|= . 答案 47.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且★ABC 为等边三角形,则实数a= . 答案 4±√158.(2014湖北,12,5分)直线l 1:y=x+a 和l 2:y=x+b 将单位圆C:x 2+y 2=1分成长度相等的四段弧,则a 2+b 2= . 答案 29.(2014重庆文,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x-4y-4=0相交于A,B 两点,且AC ★BC,则实数a 的值为 . 答案 0或610.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得★OMN=45°,则x 0的取值范围是 . 答案 [-1,1]11.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:x 2a +y 2b 2=1(a>b>0)过点(0,√2),且离心率e=√22. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l:x=my-1(m ★R)交椭圆E 于A,B 两点,判断点G (-94,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析 (1)由已知得{b =√2,c a =√22,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)解法一:设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为H(x 0,y 0). 由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my-3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而y 0=mm 2+2.所以|GH|2=(x 0+94)2+y 02=(my 0+54)2+y 02=(m 2+1)y 02+52my 0+2516.|AB|24=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)24=(1+m 2)(y 1-y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 02-y 1y 2),故|GH|2-|AB|24=52my 0+(1+m 2)y 1y 2+2516=5m 22(m +2)-3(1+m 2)m +2+2516=17m 2+216(m +2)>0,所以|GH|>|AB|2. 故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外.解法二:设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+94,y 2). 由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my-3=0,所以y 1+y 2=2mm 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94)(x 2+94)+y 1y 2 =(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+54m(y 1+y 2)+2516=-3(m 2+1)m 2+2+52m 2m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0, 所以cos<GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ >>0.又GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以★AGB 为锐角. 故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.12.(2013四川,20,13分)已知圆C 的方程为x 2+(y-4)2=4,点O 是坐标原点.直线l:y=kx 与圆C 交于M,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)设Q(m,n)是线段MN 上的点,且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.请将n 表示为m 的函数. 解析 (1)将y=kx 代入x 2+(y-4)2=4中,得 (1+k 2)x 2-8kx+12=0.(*) 由Δ=(-8k)2-4(1+k 2)×12>0,得k 2>3,所以k 的取值范围是(-∞,-√3)★(√3,+∞).(4分)(2)因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1),(x 2,kx 2),则|OM|2=(1+k 2)x 12,|ON|2=(1+k 2)x 22. 又|OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2, 由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2,得2(1+k 2)m 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22,即2m 2=1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 12x 22.由(*)式可知,x 1+x 2=8k1+k2,x 1x 2=121+k2,所以m 2=365k 2-3.因为点Q 在直线y=kx 上,所以k=nm ,代入m 2=365k 2-3中并化简,得5n 2-3m 2=36. 由m 2=365k 2-3及k 2>3,可知0<m 2<3,即m ★(-√3,0)★(0,√3),根据题意知,点Q 在圆C 内,则n>0,所以n=√36+3m 25=√15m 2+1805.于是,n 与m 的函数关系为 n=√15m 2+1805(m ★(-√3,0)★(0,√3)).(13分)评析本题主要考查直线、圆、函数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程等数学思想,并考查思维的严谨性.13.(2013湖南,20,13分)已知F 1,F 2分别是椭圆E:x 25+y 2=1的左,右焦点,F 1,F 2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点. (1)求圆C 的方程;(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a,b.当ab 最大时,求直线l 的方程. 解析 (1)由题设知,F 1,F 2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C 的半径为2,圆心为原点O 关于直线x+y-2=0的对称点. 设圆心的坐标为(x 0,y 0),由{y 0x 0=1,x 02+y 02-2=0,解得{x 0=2,y 0=2. 所以圆C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l 的方程为x=my+2,则圆心到直线l 的距离d=.所以b=2√22-d 2=√2,由{x =my +2,x 25+y 2=1得(m 2+5)y 2+4my-1=0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则 y 1+y 2=-4mm 2+5,y 1y 2=-1m 2+5.于是a=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√(1+m 2)(y 1-y 2)2 =√(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2] =√(1+m 2)[16m 2(m 2+5)2+4m 2+5]=2√5(m 2+1)m 2+5.从而ab=8√5·√m 2+1m 2+5=8√5·√m 2+1(m 2+1)+4=√5+1+42≤√5·4√2=2√5.当且仅当2+1=√2,即m=±√3时等号成立.故当m=±√3时,ab 最大,此时,直线l 的方程为x=√3y+2或x=-√3y+2,即x-√3y-2=0或x+√3y-2=0.评析本题主要考查点关于直线的对称,圆的方程,直线与圆(椭圆)相交后的弦长问题,考查直线方程的求解以及不等式的应用,同时考查了学生分析和解决数学问题的能力以及运算求解能力,准确表示两条弦长a 与b 是解决本题的关键.注意:应用基本不等式时,要验证等号成立的条件.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018北京通州一模,6)已知抛物线y 2=8x 的准线与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x-8=0交于A,B 两点,则|CA⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A.2 B.2√2 C.2√5 D.4√2 答案 D2.(2020届北京朝阳抽样检测,5)设点P 是圆(x+1)2+(y-2)2=2上一点,则点P 到直线x-y-1=0距离的最大值为( )A.√2B.2√2C.3√2D.2+2√2 答案 C3.(2019北京西城一模,6)如图,阴影表示的平面区域W 是由直线x-y=0和曲线x 2+y 2=2所围成的. 若点P(x,y)在W 内(含边界),则z=4x+3y 的最大值和最小值分别为( )A.5√2,-7B.5√2,-5√2C.7,-5√2D.7,-7 答案 A4.(2019北京海淀新高考调研卷,7)已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线y=k(x-2)与圆C交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.2B.2√2C.2√3D.4答案B5.(2018北京顺义二模,8)已知点A(-1,-1),若曲线T上存在两点B,C,使★ABC为正三角形,则称(x>0), T为“正三角形”曲线.给定下列三条曲线:①x+y-3=0(0≤x≤3);②x2+y2=2(-√2≤x≤0);③y=1x其中,“正三角形”曲线的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020届北京人大附中开学测试,14)函数f(x)=ae x+be-x(a★R,b★R),已知f(x)的最小值为4,则点(a,b)到直线2x+y-√2=0的距离的最小值为.答案3√1057.(2018北京朝阳一模,11)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P(2,1),经过点P的直线l与圆C 交于A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为.答案y=x-18.(2020届北京朝阳期中,13)已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且★AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为.答案±√5三、解答题(共15分)9.(2020届北师大二附中期中,17)已知圆O:x2+y2=4.(1)直线l1:√3x+y-2√3=0与圆O相交于A、B两点,求|AB|;(2)如图,设M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x 轴的对称点为M2,如果直线PM1,PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n),问mn是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.解析本题考查直线与圆的位置关系,弦长公式,直线方程,主要通过直线与圆的位置关系考查学生分析问题与解决问题的能力,体现数学运算的核心素养.(1)∵圆心(0,0)到直线√3x+y-2√3=0的距离d=√3|√(√3)+12=√3.圆的半径r=2,∴|AB|=2√4-3=2. (2)mn为定值.理由如下:由题意得M1(-x1,-y2)、M2(x1,-y1),且x12+y12=4,x22+y22=4,直线PM1的方程为y+y1y2+y1=x+x1 x2+x1,令x=0,得y=m=x1y2-x2y1x2+x1.直线PM2的方程为y+y1y2+y1=x-x1 x2-x1,令x=0,得y=n=-x1y2-x2y1x2-x1,∴mn=x1y2-x2y1x2+x1·-x1y2-x2y1x2-x1=x22y12-x12y22x22-x12=x22(4-x12)-x12(4-x22)x22-x12=4,即mn是定值.思路分析(1)先求出圆心(0,0)到直线√3x+y-2√3=0的距离,再利用弦长公式求得|AB|的值.(2)先求出M1和M2的坐标,用两点式求直线PM1和PM2的方程,根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值,计算mn的值,可得结论.。

1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k (－3)－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案 D 解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0. 又⎩⎨⎧ y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4答案 A解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y－4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.故选A.解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案 2解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 答案 2555解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a 2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15.9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。