第二十四章《圆》导学案(全章).docx

《圆》第一节垂直于弦的直径导学案1主编人：占利华主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技能】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题3了解拱高、弦心距等概念【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法【情感、态度与价值观】在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的新意识，良好的运用数学【重点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程:一、自主学习（一）复习巩固判断：1、直径是弦，弦是直径。

（）2、半圆是弧，弧是半圆。

（）3、周长相等的两个圆是等圆。

（）4、长度相等的两条弧是等弧。

（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。

（）7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；_________________________________ 叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__劣弧：______________________________ _,表示方法：______9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________（二）自主探究请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：表达式： 下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中∴Rt △OAM ≌Rt △OBM( ) ∴AM=∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称 ∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ， ，表达式：（三）、归纳总结：1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理推论 ． （四）自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？D AA2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？注：在半径r,弦a ，弦心距d,拱高h 四个量中，任意知道其中的 个量中，利用 定理，就可以求出其余的量。

第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图) 6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论． 难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __． 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __． 点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长． 解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD. 证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E. 则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理． 难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB ＝∠COD__； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数． 解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC ，∠OMN ＝∠ONM ，∴∠OMA －∠OMN ＝∠ONC －∠ONM. 即∠AMN ＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数． 解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG ⊥CD 于点G ， 则CG ＝DG.∵CE ＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG ⊥CD ， ∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形． (2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ， 又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF ，∠DFB ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD ，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等．3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO 的中点．CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图),第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD ⊥BD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC ＝2∠BAC ，∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A. 解：∠A ＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P 在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O 的半径r ＝10，圆心O 到直线l 的距离OD ＝6，在直线l 上有A ，B ，C 三点，AD ＝6，BD ＝8，CD ＝9，问A ，B ，C 三点与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．已知⊙O 的半径为4，OP ＝3.4，则P 在⊙O 的__内部__．2．已知点P 在⊙O 的外部，OP ＝5，那么⊙O 的半径r 满足__0<r<5__．3．已知⊙O 的半径为5，M 为ON 的中点，当OM ＝3时，N 点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 的__外部__．4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，求△ABC 的外接圆半径．解：连接AO 并延长交BC 于点D ，再连接OB ，OC.∵AB ＝AC ，∴∠AOB ＝∠AOC.∵AO ＝BO ＝CO ，∴∠OAB ＝∠OAC.又∵△ABC 为等腰三角形，∴AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中， ∵AB ＝10，∴AD ＝AB 2－BD 2＝8.设△ABC 的外接圆半径为r.则在Rt △BOD 中，r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254. 即△ABC 的外接圆半径为254. 点拨精讲：这里连接AO ，要先证明AO 垂直BC ，或作AD ⊥BC ，要证AD 过圆心．5．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm .(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A ，则点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系是怎样的？(2)若以A 点为圆心作⊙A ，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上；(2)3＜r ＜5.点拨精讲：第(2)问中B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，必然是离点A 最近的点B 在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A 最远的点C 在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 95～96.归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔__d ＜r__；直线l 和⊙O 相切⇔__d ＝r__；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r__．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，AB ＝6 cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径为2cm . 3．已知⊙O 的半径r ＝3 cm ，直线l 和⊙O 有公共点，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d ≤3__．4．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离是5，则直线a 与⊙O 的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P 到O 的距离等于圆的半径，而不是直线l 到O 的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？解：r ＝125或3＜r ≤4. 点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作圆，试确定⊙A 和x 轴、y 轴的位置关系．解：⊙A 与x 轴相交，与y 轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以C 为圆心，r 为半径作圆．①当r 满足__0＜r ＜125__时，⊙C 与直线AB 相离． ②当r 满足__r ＝125__时，⊙C 与直线AB 相切． ③当r 满足__r ＞125__时，⊙C 与直线AB 相交．2．已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O 的直径是6 cm ，圆心O 到直线a 的距离是4 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相离__．4．已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，且|d －3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O 的位置关系．解：相切．5．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，d ，r 是一元二次方程(m ＋9)x 2－(m ＋6)x ＋1＝0的两根，且直线l 与⊙O 相切，求m 的值．解：m ＝0或m ＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 97～98.归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3 cm ，PB＝4 cm ，则BC ＝__125__cm .2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA ＝∠B ；③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB.∴∠OBP ＝∠OPB.∵AB 为直径，∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴PE ＝12BC ＝BE. ∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB.即∠OBE ＝∠OPE.∵BE 为切线，∴AB ⊥BC.∴OP ⊥PE ，∴PE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点；(2)CD 是⊙O 的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD ，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC 与△OBC 全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．教材P98的练习．2．如图，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是cm.,第2题图) ,第3题图) 3．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线CD相切．4．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为__16__cm.,第4题图) ,第5题图)5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 99～100.归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE ＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm .点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c 2. 点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数．解：125°.点拨精讲：若I 为内心，∠BIC ＝90°＋12∠A ；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝__2__．,第1题图) ,第2题图)2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝__90°__．3．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC ＝__65°__．,第3题图),第4题图) 4．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心，若∠BOC ＝140°，则∠BIC＝__125°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)。

第二十四章圆24.1.1圆的概念一、基础知识填空1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．3．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．8．半径相等的两个圆叫做____________．二、填空题9．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．12．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．24.1.2垂直于弦的直径一、基础知识填空1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．5题图6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．6题图7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．7题图8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD 的距离是______．8题图9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．9题图10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10题图11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．12．已知：如图，试用尺规将它四等分．13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．14．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数．15．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．16．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；(2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?24.1.3弧、弦、圆心角一、基础知识填空1．______________的______________叫做圆心角．2．如图，若长为⊙O 周长的nm ，则∠AOB =____________．3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．二、解答题5．已知：如图，A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB =CD ．求证：∠AOC =∠DOB ．6．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．7．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，且C 为的中点，若∠BAD =20°，求∠ACO 的度数．8．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定9．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．10．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．24.1.4圆周角一、基础知识填空1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．5题图6题图6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠F AE=______，∠DAB=______，∠EF A=______．7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______．7题图二、选择题8．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°9．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．10题图A．64°B．48°C．32°D．76°11．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．16．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求证：FE=EH．17．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．24.2.1点和圆的位置关系一、基础知识填空1．平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有d>r⇔点P在⊙O______；d=r⇔点P在⊙O______；d<r⇔点P在⊙O______．2．平面内，经过已知点A，且半径为R的圆的圆心P点在__________________________ _______________．3．平面内，经过已知两点A，B的圆的圆心P点在______________________________________ ____________________．4．______________________________________________确定一个圆．5．在⊙O上任取三点A，B，C，分别连结AB，BC，CA，则△ABC叫做⊙O的______；⊙O叫做△ABC的______；O点叫做△ABC的______，它是△ABC___________的交点．6．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的__________ ___部，直角三角形的外心在________________．7．若正△ABC外接圆的半径为R，则△ABC的面积为___________．8．若正△ABC的边长为a，则它的外接圆的面积为___________．9．若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．10．若△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，则⊙O的周长为___________．二、作图题11．已知：如图，△ABC．作法：求件△ABC的外接圆O．三、选择题12．已知：A ，B ，C ，D ，E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A ．5个圆B ．8个圆C ．10个圆D ．12个圆13．下列说法正确的是( )．A ．三点确定一个圆B ．三角形的外心是三角形的中心C ．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D ．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上14．下列说法不正确的是( )．A ．任何一个三角形都有外接圆B ．等边三角形的外心是这个三角形的中心C ．直角三角形的外心是其斜边的中点D ．一个三角形的外心不可能在三角形的外部15．正三角形的外接圆的半径和高的比为( )．A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶316．已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，若关于x 的方程x 2－2x ＋d =0有实根，则点P ( )．A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 的内部四、解答题17．在平面直角坐标系中，作以原点O 为圆心，半径为4的⊙O ，试确定点A (－2，－3)，B (4，－2)，)2,32(-C 与⊙O 的位置关系．18．在直线123-=x y 上是否存在一点P ，使得以P 点为圆心的圆经过已知两点A (－3，2)，B (1，2)．若存在，求出P 点的坐标，并作图．测试6 自我检测(一)一、选择题1．如图，△ABC 内接于⊙O ，若AC =BC ，弦CD 平分∠ACB ，则下列结论中，正确的个数是( )．1题图①CD 是⊙O 的直径 ②CD 平分弦AB ③CD ⊥AB ④＝ ⑤＝A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，若AB =10cm ，CE ∶ED =1∶5，则⊙O 的半径是( )．2题图A ．cm 25B ．cm 34C ．cm 53D ．cm 623．如图，AB 是⊙O 的直径，AB =10cm ，若弦CD =8cm ，则点A 、B 到直线CD 的距离之和为( )．3题图A ．12cmB ．8cmC ．6cm D.4cm4．△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，若∠A =50°，则∠BOD 等于( )．A ．30°B ．25°C ．50°D ．100°5．有四个命题，其中正确的命题是( )．①经过三点一定可以作一个圆②任意一个三角形有且只有一个外接圆③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦A ．①、②、③、④B ．①、②、③C ．②、③、④D ．②、③6．在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =2∶3∶6，则∠D 等于( )．A ．67.5°B ．135°C ．112.5° D.45°二、填空题7．如图，AC 是⊙O 的直径，∠1=46°，∠2=28°，则∠BCD =______．7题图8．如图，AB 是⊙O 的直径，若∠C =58°，则∠D =______．8题图9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 平分∠ACB ，若BD =10cm ，则AB =______，∠BCD =______．9题图10．若△ABC 内接于⊙O ，OC =6cm ，cm 36 AC ，则∠B 等于______．三、解答题11．已知：如图，⊙O 中，AB =AC ，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ．求证：∠ODE =∠OED ．12．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥BC 于D ，AC =8cm ，求OD 的长．13．已知：如图，点D的坐标为(0，6)，过原点O，D点的圆交x轴的正半轴于A点．圆周角∠OCA=30°，求A点的坐标．14．已知：如图，试用尺规作图确定这个圆的圆心．15．已知：如图，半圆O的直径AB=12cm，点C，D是这个半圆的三等分点．求∠CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形(图中阴影部分)的面积S．测试7 直线和圆的位置关系(一)学习要求1．理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，掌握它们的判定方法．2．掌握切线的性质和切线的判定，能正确作圆的切线．课堂学习检测一、基础知识填空1．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有______种，它们分别是____________ __________________．2．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________．这个公共点叫做_________．直线和圆____________时，叫做直线和圆相离．3．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，_________⇔直线l和圆O相离；_________⇔直线l和圆O相切；_________⇔直线l和圆O相交．4．圆的切线的性质定理是__________________________________________．5．圆的切线的判定定理是__________________________________________．6．已知直线l及其上一点A，则与直线l相切于A点的圆的圆心P在__________________ __________________________________________________________________．二、解答题7．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求：(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离?(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切?(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交?8．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．求证：⊙P与OB相切．9．已知：如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE 与⊙O的位置关系，并证明你的结论．综合、运用、诊断10．已知：如图，割线ABC 与⊙O 相交于B ，C 两点，E 是的中点，D 是⊙O 上一点，若∠EDA =∠AMD ．求证：AD 是⊙O 的切线．11．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．12．已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，.21BC AD 以△ABC 的中位线为直径作半圆O ，试确定BC 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论．13．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切．14．已知：如图，以△ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于E，过E点作半圆O的切线恰与AC垂直，试确定边BC与AC的大小关系，并证明你的结论．15．已知：如图，P A切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．拓广、探究、思考16．已知：如图，P A切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．P A=15cm，PB=9cm．求⊙O的半径长．测试8 直线和圆的位置关系(二)学习要求1．掌握圆的切线的性质及判定定理．2．理解切线长的概念，掌握由圆外一点引圆的切线的性质．3．理解三角形的内切圆及内心的概念，会作三角形的内切圆．课堂学习检测一、基础知识填空1．经过圆外一点作圆的切线，______________________________叫做这点到圆的切线长．2．从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________平分____________．3．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到__________________相等．4．__________________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是____________，叫做三角形的____________．5．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则r∶R∶a=______．6．设O为△ABC的内心，若∠A=52°，则∠BOC=____________．二、解答题7．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD；(2)DE=BC．8．已知：如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．9．已知：如图，△AB C．求作：△ABC的内切圆⊙O．10．已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若P A=10cm，求△PCD的周长．综合、运用、诊断11．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．12．已知：如图，△ABC 的三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．13．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC的长．测试9 自我检测(二)一、选择题1．已知：如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB =65°，则∠APB 等于( )．1题图A ．65°B ．50°C ．45°D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC =α，则( )．2题图 A ．∠A =90°－αB ．∠A = αC ．∠ABD = α D ．∠α2190o -=ABD3．如图，△ABC 中，∠A =60°，BC =6，它的周长为16．若⊙O 与BC ，AC ，AB 三边分别切于E ，F ，D 点，则DF 的长为( )．3题图A ．2B ．3C ．4D ．6 4．下面图形中，一定有内切圆的是( )．A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形 5．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是( )．A ．3:2:1B ．3:2:1C ．2:3:1D ．1∶2∶3二、解答题6．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 切DC 边于E 点，AD =3cm ，BC =5cm ．求⊙O 的面积．7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，F ，C 是⊙O 上两点，且=，过C 点作DE ⊥AF 的延长线于E 点，交AB 的延长线于D 点．(1)试判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)试判断∠BCD 与∠BAC 的大小关系，并证明你的结论．8．已知：如图，P A ，PB 分别是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =35°，求∠P 的度数．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．10．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状并说明理由；(2)设⊙O的半径为1，且213-=OF，求证△DCE≌△OCB．11．已知：如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．(1)求证：AT 平分∠BAC ；(2)若,3,2==TC AD 求⊙O 的半径．测试10 圆和圆的位置关系学习要求1．理解两个圆相离、相切(外切和内切)、相交、内含的概念，能利用两圆的圆心距d 与两个圆的半径r 1和r 2之间的关系，讨论两圆的位置关系．2．对两圆相交或相切时的性质有所了解．课堂学习检测一、基础知识填空1．没有______的两个圆叫做这两个圆相离．当两个圆相离时，如果其中一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆外离；如果其中有一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆内含．2．____________的两个圆叫做这两个圆相切．这个公共点叫做______．当两个圆相切时，如果其中的一个圆(除切点外)在另一个圆的______，叫做这两个圆外切；如果其中有一个圆(除切点外)在另一个圆的______，叫做这两个圆内切．3．______的两个圆叫做这两个圆相交，这两个公共点叫做这两个圆的______以这两个公共点为端点的线段叫做两圆的______．4．设d 是⊙O 1与⊙O 2的圆心距，r 1，r 2(r 1>r 2)分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，则⊙O 1与⊙O 2外离⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2外切⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2相交⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2内切⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2内含⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2为同心圆⇔d ____________________．二、选择题5．若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )．A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm6．若相交两圆的半径分别是17+和17-，则这两个圆的圆心距可取的整数值的个数是( )．A.1B.2 C ．3 D ．4综合、运用、诊断 一、填空题7．如图，在12×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位)，⊙A的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移______个单位．7题图8．相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为______cm．二．解答题9．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．求证：直线O1O2垂直平分AB．9题图10．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．11．已知：如图，两圆相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于D，F点，过B点的割线分别交两圆于H，E点．求证：HD∥EF．12．已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．拓广、探究、思考13．如图，工地放置的三根外径是1m 的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离．14．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，圆心O 1在⊙O 2上，过B 点作两圆的割线CD ，射线DO 1交AC 于E 点．求证：DE ⊥AC ．15．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于C ，D ，弦CE ∥DB ，连结EB ，试判断EB 与⊙O 2的位置关系，并证明你的结论．16．如图，点A ，B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A ，⊙B 的半径均为1cm ．⊙A 以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (s )之间的关系式为r =1＋t (t ≥0)．(1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；(2)问点A出发多少秒时两圆相切?测试11 正多边形和圆学习要求1．能通过把一个圆n(n≥3)等分，得到圆的内接正n边形及外切正n边形．2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念，并能进行简单的计算．课堂学习检测一、基础知识填空1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．5．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________．6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．二、解答题9．在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．(1)正三角形 (2)正方形 (3)正五边形(4)正六边形 (5)正八边形 (6)正十二边形综合、运用、诊断一、选择题10．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的( )．A ．3倍B ．5倍 C.4倍 D ．2倍11．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式是( )．A ．x y 42=B ．x y 82=C ．x y 21=D ．x y 22= 12．有一个长为12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是( )．A ．10cmB ．12cmC ．14cmD ．16cm二、解答题13．已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8内接于半径为R 的⊙O ．(1)求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O 的面积；(3)求此正八边形的面积S ．14．已知：如图，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．拓广、探究、思考15．已知：如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．测试12 弧长和扇形面积学习要求掌握弧长和扇形面积的计算公式，能计算由简单平面图形组合的图形的面积．课堂学习检测一、基础知识填空1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______．2．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形=__________；若l为扇形的弧长，则S扇形=__________．3．如图，在半径为R的⊙O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形．当为劣弧时，S弓形=S扇形－______；当为优弧时，S弓形=______＋S△OAB．3题图4．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm的圆心角约为______(精确到1′)．5．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为2cm 3π25，则它的圆心角为______．若扇形面积为15πcm 2，则它的圆心角为______．6．若半径为6cm 的圆中，扇形面积为9πcm 2，则它的弧长为______． 二、选择题7．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )．7题图A ．π425 B ．π825 C ．π1625 D ．π32258．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．8题图A ．2πcm 100B ．2πcm 3400 C ．2πcm 800 D ．2πcm 3800 9．如图，△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则圆中阴影部分的面积是( )．A ．9π4- B ．9π84-C ．94π8-D ．98π8-综合、运用、诊断10．已知：如图，在边长为a 的正△ABC 中，分别以A ，B ，C 点为圆心，a 21长为半径作 ，，，求阴影部分的面积．11．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，,34=BC 以A 点为圆心，AC 长为半径作，求∠B 与围成的阴影部分的面积．拓广、探究、思考12．已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C 交半圆O 2于D 点．试比较与的长．13．已知：如图，扇形OAB 和扇形OA ′B ′的圆心角相同，设AA ′＝BB ′＝d ．＝l 1，＝l 2．求证：图中阴影部分的面积.)(2121d l l S +=测试13 圆锥的侧面积和全面积学习要求掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式．课堂学习检测一、基础知识填空1．以直角三角形的一条______所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做______．连结圆锥______和____________的线段叫做圆锥的母线，圆锥的顶点和底面圆心的距离是圆锥的______．2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是一个______．若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为______，扇形的弧长为______，因此圆锥的侧面积为______，圆锥的全面积为______．3．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC＝3cm，以直线BC为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是______，这个圆锥的侧面积是______，圆锥的侧面展开图的圆心角是______．4．若把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是______，半径是______，圆锥的高是______，侧面积是______．二、选择题5．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面积为( )．A．2πcm2B．3πcm2C．6πcm2D．12πcm26．若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )．A．240°B．120°C．180°D．90°7．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为( )．A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为( )．A．120°B．1 80°C．240°D. 300°综合、运用、诊断一、选择题9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R与r之间的关系是( )．A ．R =2rB ．r R 3C ．R =3rD ．R =4r10．如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为( )．A ．21B ．22C ．2D ．22二、解答题11．如图，矩形ABCD 中，AB =18cm ，AD =12cm ，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF ．若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S ．拓广、探究、思考12．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长．答案与提示第二十四章 圆测试11．平面，旋转一周，图形，圆心，半径，⊙O ，圆O ．2．圆，一中同长也．3．(1)半径长，同一个圆上，定点，定长，点．(2)圆心的位置，半径的长短，圆心，半径长．4．圆上的任意两点，线段，圆心，弦，最长．5．任意两点间，弧，圆弧AB ，弧AB ．6．任意一条直径，一条弧．7．大于半圆的弧，小于半圆的弧．8．等圆．9．(1)OA ，OB ，OC ；AB ，AC ，BC ，AC ；；及(2)40°，50°，90°．10．(1)提示：在△OAB 中，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ．同理可证∠OCD ＝∠ODC ．又 ∵ ∠AOC ＝∠OCD －∠A ，∠BOD ＝∠ODC －∠B ，∴ ∠AOC ＝∠BOD ．(2)提示：AC ＝BD ．可作OE ⊥CD 于E ，进行证明．11．提示：连结OD ．不难得出∠C ＝36°，∠AOC ＝54°．12．提示：可分别作线段AB 、BC 的垂直平分线．测试21．轴，经过圆心的任何一条直线，中心，该圆的圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3．弦，不是直径，垂直于，弦所对的两条弧．4．6． 5．8； 6．.120,36o 7．a 22，a 21 8．2． 9．.13 10．.13 11．.2412．提示：先将二等分(设分点为C )，再分别二等分和．13．提示：题目中的“问径几何”是求圆材的直径．答：材径二尺六寸．14．75°或15°．15．22cm 或8cm ．16．(1)作法：①作弦B B '⊥CD ．②连结B A '，交CD 于P 点，连结PB ．则P 点为所求，即使AP ＋PB 最短．(2)cm.3217．可以顺利通过．测试31．顶点在圆心，角．2．⋅⨯nm 360 3．它们所对应的其余各组量也分别相等 4．相等，这两条弦也相等． 5．提示：先证＝．6．EF ＝GH ．提示：分别作PM ⊥EF 于M ，PN ⊥GH 于N ．7．55°． 8．C ．9．＝3 ．提示：设∠COD ＝α，则∠OPD ＝2α，∠AOD ＝3α＝3∠BOC ．10．(1)作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线．(2)四边形CDEF 的面积是定值，96221)(21⨯=⋅⋅⋅=⋅+=CD CH CD DE CF S ＝54． 测试41．顶点，与圆相交． 2．该弧所对的，一半． 3．同弧或等弧，相等．4．半圆(或直径)，所对的弦． 5．72°，36°，72°，108°．6．90°，30°，60°，120°． 7．60°，120°．8．C ． 9．B ． 10．A ． 11．B ． 12．A ． 13．C ．14．提示：作⊙O 的直径A B '，连结C A '．不难得出A B '＝cm.3815．cm.3416．提示：连结AH ，可证得∠H ＝∠C ＝∠AFH ．17．提示：连结CE ．不难得出cm .25=AC18．提示：延长AO 交⊙O 于N ，连结BN ，证∠BAN ＝∠DAC ．19．提示：连结MB ，证∠DMB ＝∠CMB ．测试51．外，上，内． 2．以A 点为圆心，半径为R 的圆A 上．3．连结A ，B 两点的线段垂直平分线上． 4．不在同一直线上的三个点．5．内接三角形，外接圆，外心，三边的垂直平分线．6．内，外，它的斜边中点处． 7．.4332R 8．.3π2a 9．26cm ． 10．20πcm ． 11．略． 12．C ． 13．D ． 14．D ． 15．B ． 16．D ．17．A 点在⊙O 内，B 点在⊙O 外，C 点在⊙O 上． 18．)25,1(--，作图略．测试61．D ． 2．C ． 3．C ． 4．C ． 5．D ． 6．C ． 7．72°．8．32°． 9．,cm 21045° 10．60°或120°． 11．提示：先证OD ＝OE ． 12．4cm ． 13．)0,32(A ，提示：连结AD ． 14．略．15．∠CAD ＝30°，.πcm 6)(π6122==AO S 提示：连结OC 、CD ． 测试71．三，相离、相切、相交．2．有两个公共点，圆的割线；有一个公共点，圆的切线，切点；没有公共点．3．d >r ；d ＝r ；d <r .4．圆的切线垂直于过切点的半径．5．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．6．过A 点且与直线l 垂直的直线上(A 点除外)．7．(1)当cm 13600<<R 时；(2)cm 1360=R ；(3)当cm 1360>R 时． 8．提示：作PF ⊥OB 于F 点．证明PF ＝PE ．9．直线DE 与⊙O 相切．提示：连结OA ，延长AO 交⊙O 于F ，连结CF ．10．提示：连结OE 、OD ．设OE 交BC 于F ，则有OE ⊥BC ．可利用∠FEM ＋∠FME ＝90°．证∠ODA ＝90°．11．提示：连结OF ，FC ．12．BC 与半圆O 相切．提示：作OH ⊥BC 于H .证明.21EF OH = 13．提示：连结OE ，先证OE ∥AC ．14．BC ＝AC ．提示：连结OE ，证∠B ＝∠A ．15．直线PB 与⊙O 相切．提示：连结OA ，证ΔP AO ≌ΔPBO ．16．8cm ．提示：连结OA ．测试81．这点和切点之间的线段的长．2．两，切线长，圆心的连线，两条切线的夹角．3．这个三角形的三边的距离．4．与三角形各边都相切，三角形三条角平分线的交点，内心．5．1∶2∶32． 6．116°． 7．提示：连线OC ，OE ．8．略． 9．略． 10．(1)70°；(2)20cm ．11．(1)r ＝3cm ； (2)c b a ab r ++=(或2c b a r -+=，因为2c b a c b a ab -+=++)． 12．).(21c b a r S ++= 13．提示：由BOC A ∠=+∠o 9021，可得∠A ＝30°，从而BC ＝10cm ，cm 310=AC ． 测试91．B ． 2．B ． 3．A ． 4．C ． 5．D ．6．15πcm 2． 7．(1)相切；(2)∠BCD ＝∠BAC ． 8．70°．9．(1)略； (2)连结OD ，证OD ∥AC ； (3).325=DE 10．(1)△DCE 是等腰三角形； (2)提示：可得3==BC CE .11．(1)略； (2)AO ＝2．测试10 1．公共点，外部，内部．2．只有一个公共点，切点，外部，内部．3．有两个公共点，交点，公共弦．4．d >r 1＋r 2； d ＝r 1＋r 2； r 1－r 2<d <r 1＋r 2； d ＝r 1－r 2；0≤d <r 1－r 2； d ＝0．5．C ． 6．C ． 7．2或4 8．4．(d 在2<d <14的范围内均可)9．提示：分别连结O 1A 、O 1B 、O 2A 、O 2B ．。

C A Q P 九年级数学第24章 圆导学案24．1.1圆（第1课时）编写人 ：曹思九 备课时间：2013.10.15上课时间： 月 日 星期 第 节 编号：9sx000*姓 名： 班级： 组别： 评定等级【自主学习】（一） 新知导学1．圆的运动定义：把线段OP 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在 旋转 ，另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 .2.圆的集合定义：圆是到 的点的集合.3．点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ .【合作探究】1.如图，已知：点P 、Q ，且PQ=4cm. （1）画出下列图形：①到点P 的距离等于2cm 的点的集合；②到点Q 的距离等于3cm 的点的集合；(2)在所画图中，到点P 的距离等于2cm ；且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们画出来.(3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ；且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来.【自我检测】1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆.2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上.3.矩形ABCD 边AB=6cm,AD=8cm ，(1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A______，点C 在⊙A_______，点D在⊙A________，AC 与BD 的交点O 在⊙A_________；(2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______.4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是5.如图，已知在⊿ABC 中，∠ACB=900,AC=12,AB=13,CD ⊥AB,以C 为圆心，5为半径作⊙C ，试判断A,D,B 三点与⊙C 的位置关系6.如图，一根长4米的绳子，一端拴在树上，另一端拴着一只小狗.请画出小狗的活动区域.7.△ABC中,∠A=90°，AD⊥BC于D，AC=5cm，AB=12cm，以D为圆心，AD为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由.小狗九年级数学第24章 圆导学案24．1.1圆（第2课时）编写人：曹思九 备课时间：2上课时间： 月 日 星期 第 节 编号：9sx000*姓 名： 班级： 组别： 评定等级【自主学习】（一）复习巩固：1．圆的集合定义.2．点与圆的三种位置关系.3.已知⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 外一点，则OP 的长可能是（ ）A. 3 cmB. 4cmC. 5cmD.6cm（二）新知导学1．与圆有关的概念①弦：连结圆上任意两点的 叫做弦.②直径：经过 的弦叫做直径.③弧： ，弧分为：半圆（ 所对的弧叫做半圆）、劣弧（小于 的弧）和优弧（大于 的弧）.④⑤同心圆： 相同， 不相等的两个圆叫做同心圆.⑥等圆：能够互相 的两个圆叫做等圆.⑦等弧：在 或 中，能够互相 的弧叫做等弧.2．同圆或等圆的性质：在同圆或等圆中，它们的 相等.【合作探究】1.圆心都为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在（ ）A. 甲圆内B.乙圆外C. 甲圆外、乙圆内D. 甲圆内、乙圆外2.下列判断：①直径是弦；②两个半圆是等弧；③优弧比劣弧长，其中正确的是（ ）A. ①B.②③C. ①②③D.①③【自我检测】1．已知⊙O 中最长的弦为16cm ，则⊙O 的半径为________cm ．2.过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条．3.下列语句中，不正确的个数是（ ）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；•④经过圆内任一定点可以作无数条直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.下列语句中，不正确的是（ ）A ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合 第6题AB ACD D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个5.等于23圆周的弧叫做（ ） A ．劣弧 B ．半圆 C ．优弧 D ．圆6．如图，⊙O 中，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（• ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条7.以已知点O 为圆心，已知线段a 为半径作圆，可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个8.如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD=84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB=OC ，求∠A 的度数．9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB•于点D ，求∠ACD 的度数．10.如图，CD 是⊙O 的弦，CE=DF ，半径OA 、OB 分别过E 、F 点. 求证：△OEF 是等腰三角形.B AC ED OO B A C F E 11.如图，在⊙O 中，半径OC 与直径AB 垂直，OE=OF,则BE 与CF 的大小关系如何？并说明理由。

24．1 .1 圆（总第一课时）计划上课时间 主备 审阅 审批 一、学习目标：1、了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．2、从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．3、利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 二、教学重点：1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。

三、复习和预习案：1、 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做 ．固定的端点O 叫做 ，线段OA 叫做 ．2、圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到 的图形．3、 ①连接圆上任意两点的线段叫做 ，如图线段AC ，AB ； ②经过圆心的弦叫做 ，如图线段 既是弦又是直径；③圆上任意两点间的部分叫做 ，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做 ，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做 ．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ． 垂径定理内容：①、 ②、 ③、 四、讨论与展示、点评、质疑：C1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径． C2、．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时,水面到拱顶距离是多少？请说明理由．五、自我检测案：C1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A．CE=DE B．BC BD= C．∠BAC=∠BAD D．AC>ADC(1) (2) (3)C2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8C3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（）A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．AD BD= D．PO=PDB4．如图4，AB为⊙O直径∠C是直角，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．BABCEDOF(4) (5)B5．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为______ __；•最长弦长为_______．B6．如图5，OE、OF分别为⊙O的圆心O到弦AB、CD的距离，如果OE=OF，那么____ ___（只需写一个正确的结论）A7．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．A8．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．24.1.2垂直于弦的直径（总第二课时）计划上课时间主备审阅审批一、学习目标：1、理解圆的轴对称性；2、了解拱高、弦心距等概念；3、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

第二十四章 圆复习课导学案【复习目标】1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，使所学知识更系统化；2、进一步丰富对圆及相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点；3、通过本节复习，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯。

【重点难点】圆的有关概念和性质的应用一、知识回顾1、⊙O 的半径为6㎝，OA 、OB 、OC 的长分别为5㎝、6㎝、7㎝，则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O_____，点B 在⊙O_______，点C 在⊙O______。

2、如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠AOB=____，∠OAB=_____。

3、如图，⊙O 的半径为10，弦AB 的长为12，OD ⊥AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于 点 C ，则OD=_______，CD=_______。

4、 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，AB ⊥AC ，且AB=8，AC=6，则⊙O 的半径等于_______。

（第 2题） （第 3题） （第 4题） 5、如图10所示，AE 切⊙D 于点E ，AC=CD=DB=10，则线段AE 的长为（）A ．．15 C ．10．206、 如图，已知点A 、B 、C 在⊙O 上，∠COA ＝100°，则∠CBA 的度数是（ ）A.40°B.50°C.80°D.100°7、如图，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD ＝1，若AB ＝4，则该圆的半径是（ ） A.3 B.2C. 5D.38、如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，直径AD 平分∠BAC ，给出下列结论：①AB=AC ；②AB=AC ；③AD ⊥BC ；④AB ⊥AC 。

其中正确结论的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（第6题） （第 7题） （第 8题）⌒ ⌒二、巩固训练1、如图，AB 为O ⊙的直径，CD 为O ⊙的弦，42ACD ∠=°，则BAD ∠=__________．第1题 第2题 第3题2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________．3、如图1，AF 、AE 、CB 都是⊙O 的切线，AF=4，则ΔABC 的周长是 。

（2）弦是直径•（）弧是半圆•（）长度相等的两条弧是等弧•（）活动 活动 活动 第1课时 24.1.1圆［学习目标］（学什么！）1 •理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念，能 够从图形中识别；（学习重点）2 •理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念； （学习难点）3 •能应用圆的有关概念解决问题 •［学法指导］（怎么学！）通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题 ［学习流程］一、导学自习（教材 P78-79 ） （一）知识链接1 •自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？2 •结合教材图24.1-1，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征?（二）自主学习 1.理解圆的定义： （阅读教材图24.1-2和图24.1-3，并自己动手画圆）（1）描述性定义： ____________________________________________________________________________________________从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于 ____________ ；②到定点的距离等于定长的点都在 _______________ .（2） 集合性定义： ___________________________________________________________________________________________ 。

（3） 圆的表示方法：以 0点为圆心的圆记作 _____________ ，读作 __________ .（4） 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是 _______________ ,另一个是 ________ ,其中 _______ 确定圆的位置， ___________确定圆的大小•2.圆的相关概念：（1 ）弦、直径；（2）弧及其表示方法；（3）等圆、等弧。