最新人教版高中数学选修2-2第三章《复数的加法与减法》课后训练

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

3.2.1 复数的加法与减法课后训练1．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )．A ．－1B ．3C ．12D ．－1或3 2．复数z+=0z ，则z 是( )．A ．0B ．实数C ．纯虚数D ．0或纯虚数3．设向量OP uuu r ，PQ uuu r ，OQ uuu r 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )．A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝04．命题：①z z -是纯虚数；②z 1＋z 2∈R 21z z =；③(3＋i)－(1＋i)＝23＋i ＞1＋i 中，正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．35．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )．A ．2B ．3C ．4D ．56．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|512i -|i ＋3－4i ＝________.7．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|＝1，则|z 1－z 2|＝________.8．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且3z -y x的最大值为________． 9．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i.(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求z 1，z 2.10．已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,4＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)点B 对应的复数；(2)判断▱OABC 是否为矩形．参考答案1. 答案：C ∵z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i 为纯虚数，∴22210,320.m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩ 解得12m =. 2. 答案：D 设z ＝a ＋b i ，a ，b R ，则z ＝a －b i ，∴z ＋z ＝2a ＝0，∴a ＝0.3. 答案：D ∵OP uuu r ＋PQ uuu r －OQ uuu r ＝OQ uuu r －OQ uuu r ＝0，∴z 1＋z 2－z 3＝0.4. 答案：A ①设z ＝x ＋y i(x ，y R )，则z －z ＝2y i ，可见只有当y ≠0时，z 为纯虚数，而当y ＝0时，z 却为实数．②当z 2＝1z 时，z 1＋z 2＝z 1＋1z ，∴z 1＋z 2R .反之，若z 1＋z 2R ，则z 1，z 2两复数的虚部互为相反数，但它们的实部不一定相同，因此，z 2不一定等于1z .③虽然(3＋i)－(1＋i)＝2＞0，但由于3＋i,1＋i 均为虚数，而复数若不全是实数，则不能比较大小．故①②③三个命题都不正确．5. 答案：B ∵|z ＋2－2i|＝1中z 的几何意义是以点P (－2,2)为圆心，半径为1的圆，而|z －2－2i|的几何意义是圆上的点与点E (2,2)间的距离，∴|PE |222222(--)+(-)＝4.∴|z －2－2i|的最小值是4－1＝3.6. 答案：16i7. 3由平行四边形的性质，有|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴|z 1－z 2|38. 答案：3由|z －2|3知复数z 的几何意义是以(2,0)点为圆心，3的圆，y x表示圆上的点与原点连线的斜率，结合图形易知，当直线与圆相切时取最值． 9. 答案：分析：先计算z 1－z 2，再根据z ＝13＋2i 由复数相等求得x ，y 值，从而求得z 1，z 2.解：∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i.又z ＝13＋2i ，解得5313,42,x y x y -=⎧⎨+=-⎩解得2,1.x y =⎧⎨=-⎩∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.10. 答案：分析：(1)由向量加法法则，得OB uuu r ＝OA u u u r ＋OC u u u r ，而OB uuu r 对应的复数即点B对应的复数．(2)根据对角线相等的平行四边形为矩形进行判定．解：(1)∵OB uuu r ＝OA u u u r ＋OC u u u r ＝(4,2)＋(－2,4)＝(2,6)，∴OB uuu r 对应的复数为2＋6i.即点B 对应的复数为2＋6i.(2)方法一：∵k OA ＝12，k OC ＝－2，∴OA ⊥OC ，∴OABC 为矩形．方法二：∵AC u u u r ＝(－2,4)－(4,2)＝(－6,2)，∴|AC u u u r |＝|OB uuu r |，∴OABC 为矩形．。

3．2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．基础梳理1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加、减法的几何意义．复数z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ 2→不共线． (1)复数加法的几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是连结向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．想一想：(1)类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？(2)若z 1＝－1＋2i ，z 2＝3－5i ，则z 1＋z 2＝________，z 1－z 2＝________． (1)解析：|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离． (2)解析：z 1＋z 2＝(－1＋2i)＋(3－5i)＝2－3i ，z 1－z 2＝(－1＋2i)－(3－5i)＝－4＋7i.答案：2－3i －4＋7i自测自评1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为(D )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i 2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(B )A.58B.10 C ．2 D ．－1＋3i 解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32.故选B.3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则AOB一定是(B)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形→，OB→为邻边所作的平行解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．基础巩固1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(D)A．0 B．2iC．6 D．6－2i解析：z＝3－i－(i－3)＝6－2i.→和OB→，其中O为2．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA坐标原点，则|AB→|等于(B)A. 2 B．2C.10 D．4→＝OB→－OA→＝(1＋3i)－(1＋i)＝2i.解析：∵AB∴|AB→|＝2.3．(2014·昆明高二检测)实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是(A )A ．1B ．2C ．－2D ．－1解析：z 1－z 2＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2⇒⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0⇒xy ＝1.4．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________． 解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4， 所以z ＝76－4i.答案：76－4i能力提升5．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数为(D ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i解析：向量AB→对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，因为CA →＝CB→＋BA →.所以CA →对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i. 6．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为(D )A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1 解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝ （1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ）＝3＋22sin （θ－π4）≤3＋22＝2＋1.故选D.7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i.答案：2±i8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i ，1，4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA→对应的复数为____________；(2)向量BC→对应的复数为____________； (3)向量BD→对应的复数为____________； (4)点D 坐标是____________．答案：(1)－1＋i (2)3＋2i (3)2＋3i (4)(3，3)9．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解析：因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m －2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA→＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离． 解析：向量OA→＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA→＝OA→－OB→，∴向量BA→对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝（－8）2＋（－2）2＝217.。

选修2-2 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝( ) A ．23－2i B ．－23－2i C ．±23－2i D ．23±2i[答案] C[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A.4．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4[答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.5．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1[答案] D[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.6．▱ABCD 中，点A 、B 、C 分别对应复数4＋i 、3＋4i 、3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8i D ．1＋4i[答案] C[解析] AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i ， 设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z . 由平行四边形法则知AB →＝DC →， ∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.故应选C. 二、填空题7．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则 |AB →|＝________. [答案] 5[解析] |AB →|对应的复数为3－2i －(7＋i)＝－4－3i ，所以|AB →|＝(－4)2＋(－3)2＝5. 8．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.9．在复平面内，O 是原点，O A →、O C →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C →对应的复数为________________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i. 三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数； (2)求D B →对应的复数； (3)求△APB 的面积．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， PB →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0， 于是P A →·P B →＝－54，而|P A →|＝172，|PB →|＝52，所以172·52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|P A →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.[点评] (1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，∴z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.∴点Z 位于复平面内的第一象限．故应选A.12．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0，a －1≠0.∴a ＝3.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D ． [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]．二、填空题14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，∴z 的对应点在第三象限．15．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________________． [答案] 1[解析] 解法一：设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则|(a －1)＋b i|＝|(a ＋1)＋b i|. ∴(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2＋b 2， 即a ＝0，∴z ＝b i ，b ∈R ，∴|z －1|m i n ＝|b i －1|m i n ＝(－1)2＋b 2， 故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 解法二∵|z －1|＝|z ＋1|，∴z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x 、y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.*17.已知关于t 的方程t 2＋2t ＋2xy ＋(t ＋x －y )i ＝0(x 、y ∈R )，求使该方程有实根的点(x ，y )的轨迹方程．[解析] 设原方程的一个实根为t ＝t 0，则有(t 20＋2t 0＋2xy )＋(t 0＋x －y )i ＝0.根据复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0， ①t 0＋x －y ＝0， ② 把②代入①中消去t 0，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.[点评] 因为t 0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x ，y )的轨迹方程，故应用代入消元法将t 0消去整理即可．。

选修2-2 3.2.1一、选择题2．[(a －b )－(a ＋b )i]－[(a ＋b )－(a －b )i]等于( )A ．－2b －2b iB ．－2b ＋2b iC ．－2a －2b iD ．－2a －2a i[答案] A[解析] 原式＝[(a －b )－(a ＋b )]＋[－(a ＋b )＋(a －b )]i ＝－2b －2b i.3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( )A.115B.3iC.115＋3iD.115＋23i[答案] C[解析] 设这个复数为a ＋b i(a ，b ∈R )，则|a ＋b i|＝a 2＋b 2.由题意知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝5＋3i 即a ＋a 2＋b 2＋b i ＝5＋3i∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝5b ＝3，解得a ＝115，b ＝ 3.∴所求复数为115＋3i.故应选C.5．▱ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( )A ．2－3iB ．4＋8iC ．4－8iD ．1＋4i[答案] C[解析] AB→对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i ，设点D 对应的复数为z ，则DC→对应的复数为(3－5i)－z . 由平行四边形法则知AB→＝DC →， ∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.故应选C.6．已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，其中m 为实数，若z 1－z 2＝0，则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．6D ．0[解析] z 1－z 2＝(m 2－3m ＋m 2i)－[4＋(5m ＋6)i] ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i ＝0∴⎩⎨⎧ m 2－3m －4＝0m 2－5m －6＝0解得m ＝－1，故应选B. 7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i[答案] B [解析] 令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9 ① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数∴⎩⎨⎧ a ＝0b ＋3≠0 ②由①②得a ＝0，b ＝3，∴z ＝3i ，故应选B.8．已知z 1，z 2∈C 且|z 1|＝1，若z 1＋z 2＝2i ，则|z 1－z 2|的最大值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝1)z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )∵z 1＋z 2＝2i∴(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝2i∴⎩⎨⎧ a ＋c ＝0b ＋d ＝2∴⎩⎨⎧c ＝－ad ＝2－b ，∴|z 1－z 2|＝|(a －c )＋(b －d )i|＝|2a ＋(2b －2)i| ＝(2a )2＋(2b －2)2＝2a 2＋(b －1)2＝2a 2＋b 2＋1－2b ＝22－2b .∵a 2＋b 2＝1，∴－1≤b ≤1∴0≤2－2b ≤4，∴|z 1－z 2|≤4.9．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．8 2[答案] C[解析] ∵|z －4i|＝|z ＋2|，且z ＝x ＋y i∴|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2∴x ＝－2y ＋3，∴2x ＋4y ＝2－2y ＋3＋4y ＝8·14y ＋4y ≥4 2. 二、填空题11．若z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R )，则|z 2－z 1|＝______________.[答案] (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2[解析] ∵z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，∴z 2－z 1＝(x 2－x 1)＋(y 2－y 1)i ，∴|z 2－z 1|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.12．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.[答案] 3[解析] z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)i] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43a －b －1＝0，解之得⎩⎨⎧ a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.14．复平面内三点A 、B 、C ，A 点对应的复数为2＋i ，BA→对应的复数为1＋2i ，向量BC→对应的复数为3－i ，则点C 对应的复数为________．[答案] 4－2i[解析] ∵BA→对应的复数是1＋2i ， BC→对应的复数为3－i ， ∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC→＝OA →＋AC →， ∴C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.三、解答题18．(1)若f (z )＝z ＋1－i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2＋i ，求f (z 1－z 2)；(2)z 1＝2cos θ－i ，z 2＝－2＋2isin θ(0≤θ≤2π)，且z 1＋z 2对应的点位于复平面的第二象限，求θ的范围．[解析] (1)z 1－z 2＝3＋4i －(－2＋i)＝5＋3i ，f (z 1－z 2)＝(z 1－z 2)＋(1－i)＝5＋3i ＋1－i ＝6＋2i.(2)z 1＋z 2＝(2cos θ－i)＋(－2＋2isin θ)＝(2cos θ－2)＋(2sin θ－1)i ，由题意得：⎩⎨⎧ 2cos θ－2<02sin θ－1>0，即⎩⎨⎧ cos θ<22sin θ>12又θ∈[0,2π]，故θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π.。

课后训练1．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．D ．162．已知复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，则|z －i ＋1|2的最大值是( )A ．2BCD ．53．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．3i 4-+ B ．3i 4- C ．3i 4-- D ．3i 4+ 4．若在复平面上的ABCD 中，AC 对应复数6＋8i ，BD 对应复数为－4＋6i ，则DA对应的复数是( )A ．2＋14iB ．1＋7iC ．2－14iD ．－1－7i5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．已知z ∈C ，|z －2|＝1，则|z ＋2＋5i|的最大值和最小值分别是( )A 1B ．3和1C ．D 37．设关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0有实数根，若θ是一个三角形的内角，则θ的值为__________．8．已知|z 1|＝1，|z 2|＝1，|z 1＋z 2||z 1－z 2|＝________．9．设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，且z 1＋z 2＝12+，求z 1与z 2．10．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，|z 1－z 2| (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sin β＝513-，求sin α的值．参考答案1答案：C 解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y≥==当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值2答案：D 解析：设复数－i ，i ，(－1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 如图所示，|Z 1Z 2|＝2，满足|z ＋i|＋|z －i|＝2的复数z 的几何意义是线段Z 1Z 2，则|z －i ＋1|2表示线段Z 1Z 2上的点到点Z 3的距离的平方．显然Z 1到Z 3所以|z －i ＋1|2的最大值为5． 3答案：D 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＋y i＝2＋i ，∴2,1,x y ⎧⎪⎨=⎪⎩解得3,41,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴3+i 4z =． 4答案：D 解析：设AB ，AD 对应的复数分别为z 1与z 2，则有122168i,46i,z z z z +=+⎧⎨-=-+⎩于是2z 2＝2＋14i ，z 2＝1＋7i ，故DA 对应的复数是－1－7i ．5答案：B 解析：∵|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，∴由复数加减运算的几何意义知：以OA ，OB 为邻边的平行四边形是矩形．∴△AOB 是直角三角形．6答案：A 解析：由|z －2|＝1知z 对应的点在以(2,0)为圆心，半径等于1的圆上，而|z ＋2＋5i|＝|z －(－2－5i)|表示z 对应的点到点(－2，－5)的距离．而圆心(2,0)与(－2，－5)间11．7答案：4解析：根据题意x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0，x ∈R ， ∴(x 2－x tan θ－2)＋(－x －1)i ＝0， ∴2tan 20,10,x x x θ⎧--=⎨--=⎩解得x ＝－1，tan θ＝1． ∵θ为三角形内角，∴π4θ=． 8答案：1 解析：在坐标系内以原点O 为起点作出z 1，z 2对应的向量1OZ ，2OZ ，如图，则向量OZ 对应z 1＋z 2，21Z Z 对应z 1－z 2．由题意|1OZ |＝1，|2OZ |＝1， |OZ |∠OZ 1Z ＝120°，∴∠Z 2OZ 1＝60°，即△Z 2OZ 1是等边三角形． ∴在△Z 2OZ 1中，|21Z Z |＝1，即|z 1－z 2|＝1．9答案：解：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i＝122+， ∴a ＋c ＝12，且b ＋d＝2． ∴12a c =-，2b d =-．∴11i 2z c d ⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，z 2＝c ＋d i ． ∵|z 1|＝|z 2|＝1，1==，解得1,0,1,2c d a b =⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩或1,21,0.c d a b ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩∴112z =-，z 2＝1或z 1＝1，212z =-． 10答案：解：z 1－z 2＝(cos α＋isin α)－(cos β＋isin β) ＝(cos α－cos β)＋(sin α－sin β)i ，∴|z 1－z 2|∵|z 1－z 2|＝5∴(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝45，整理得cos(α－β)＝35． 答案：∵π2-＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，∴sin(α－β)45=．又∵sin β＝513-，∴12cos 13β=． ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β412353351351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．。

3．2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于 ( )A ．0B ．32＋52i C ．52－52i D ．52－32i[答案] C[解析] z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i[答案] B[解析] z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i. 3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于 ( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i[答案] C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为 ( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i.5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________． [答案] 3＋i[解析] ∵P (－1,0)，Q (2,1)， ∴PQ→＝(3,1)，∴PQ →对应的复数为3＋i. 6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________． [答案] 1[解析] 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ， z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于 ( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i[答案] B[解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B ．13C ．15D ．17[答案] B [解析] 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)， 所以|BD→|＝13. 10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． [答案] 115＋3i[解析] 设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC→＝BC →－BA →， ∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )． 则AD→对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC→对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD→＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB→，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB→|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB→|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。

第三章 数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义A 级 基础巩固一、选择题1．若z －3＋5i ＝8－2i ，则z 等于( )A ．8－7iB ．5－3iC ．11－7iD ．8＋7i解析：z ＝8－2i －(－3＋5i)＝11－7i.答案：C2．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A.12B ．3C ．－1D ．－1或3 解析：z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i ，依题意，2m 2＋m －1＝0，且3＋2m －m 2≠0，解得m ＝12. 答案：A3．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝z 1－z 2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i ，在复平面内对应的点为(2，5)，故选A.答案：A4．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚线，则z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i.因为z ＋3i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＋3≠0，即⎩⎨⎧x ＝0，y ≠－3，又因为|z |＝x 2＋y 2＝3，所以x ＝0，y ＝3，即z ＝3i.答案：D5．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数1，2i ，5＋2i ，则由A ，B ，C 所构成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：由题易知|AB |＝|2i －1|＝5，|AC |＝|4＋2i|＝20，|BC |＝5，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2.故选A.答案：A二、填空题6．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则|AB →|＝________．解析：|AB →|＝|OB →－OA →|＝|－4－3i|＝（－4）2＋（－3）2＝5.答案：57．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝____________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＋2i ＝a ＋(b ＋2)i ，因为z ＋2i 是实数，所以b ＝－2，又|z |＝4，所以a 2＋b 2＝16，所以a ＝±2 3.所以z ＝±23－2i.答案：±23－2i8．在复平面内，复数z 1、z 2、z 的对应点分别为Z 1、Z 2、Z ，已知OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，z 1＝1＋a i ，z 2＝b －2i ，z ＝3＋4i(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．解析：由条件知z ＝z 1＋z 2，所以(1＋a i)＋(b －2i)＝3＋4i ，即(1＋b )＋(a －2)i ＝3＋4i ，由复数相等的条件知，1＋b ＝3且a －2＝4，解得a ＝6，b ＝2，a ＋b ＝8.答案：8三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.10．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎨⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.B 级 能力提升1．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量表示正确的是( )A B C D解析：由题图知，z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，易知选A.答案：A2．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝____________． 解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则a ＝a 2＋b 2－3且b ＝－4，解得a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.答案：76－4i3．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB →对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i.BC →对应的复数为(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC →对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得：|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝22，所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，所以△ABC 为直角三角形．(3)由(2)可知，三角形ABC 为直角三角形，∠A 为直角， 所以S ＝12|AB →||AC →|＝12×2×22＝2.。

3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义[学习目标]1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． [知识链接]在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．[预习导引]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．要点一 复数加减法的运算 例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)． 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项． 跟踪演练1 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i. 要点二 复数加减法的几何意义例2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)． BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1， 故点D 对应的复数为2－i.规律方法 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i. 求：(1)AO →表示的复数； (2)对角线CA →表示的复数； (3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 要点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， ① (a －c )2＋(b －d )2＝1 ②由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos 120°＝ 3. 规律方法 (1)设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用． (2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形． 跟踪演练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.解 由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i答案 D解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限．3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 答案 C解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(4，－4)． ∴BC →表示的复数为4－4i.4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限 答案 B解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52iC ．52－52iD ．52－32i答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i. 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－i D ．－1－3i答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i答案 C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i. 5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．解析 ∵P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，∴PQ →对应的复数为3＋i.6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________． 答案 1解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ， z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( ) A ．5 B ．13 C ．15 D ．17 答案 B设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)， 所以|BD →|＝13.10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 答案115＋3i 解析 设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标． 解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )． 则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。

3．2 复数的运算3．2.1 复数的加法与减法双基达标 (限时20分钟)1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )．A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i. 答案 D2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形． 答案 B3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 答案 B4．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距离为________． 解析 |Z 1Z 2→|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋(－1－2)2＝612. 答案6125．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. 解析 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 由复数相等的条件知⎩⎨⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案 36．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得⎩⎨⎧ a ＝15，b ＝5，或⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高 (限时25分钟)7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )．A ．0B ．1 C.22D.12解析 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离． 答案 C8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )．A ．10B ．25C ．100D ．200解析 根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5，∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100. 答案 C9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析 因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎨⎧2－b ＝－2a ，a2＋a ＝3，得a －b ＝－4.答案 －410．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为________．解析 方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0))的中垂线， 易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2. 当且仅当2x ＝22y ， 即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时取到最小值4 2. 答案 4 211．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解 因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， 所以z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．12．(创新拓展)设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. 解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|2＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法三 作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→， 使OZ 1→＋OZ 2→＝O Z →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形． 又∵|z 1＋z 2|＝2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形， 故|z 1－z 2|＝ 2.。