2020版高考数学一轮复习课后限时集训34二元一次不等式组与简单的线性规划问题文含解析北师大版

《二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题》专题一相关知识点1．二元一次不等式(组)表示的平面区域（1）确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．（2）利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．（3）相关结论：点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0. 3．线性规划中的基本概念4.简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即5．求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式： y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值，应注意以下两点：(1)若b >0，则截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．(2)若b <0，则截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为( )解析：因为不等式组中两个不等式均未带等号，所以排除A ，又不等式y <－3x ＋12表示的平面区域为直线y ＝－3x ＋12的左下方部分，不等式x <2y 表示的平面区域为直线x ＝2y 的左上方部分，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为选项B 所表示的区域，选B.2．观察如图所示的区域，它对应的不等式组是____________________________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0类型二：直接求平面区域的面积 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域的面积为________．解析：362．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为解析：平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3,1)，B (2,0)，C (1,3)， 所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，若满足条件的点P (x ，y )表示的平面区域为M ，则区域M 表示的几何图形的周长是解析：在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2,0)，B (1,1)，C (3,3)，用两点间距离公式可求得AB ＝2，AC ＝10，BC ＝22，则周长为32＋10.类型三 含参数的平面区域问题1．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________. 解析：62．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：直线2x －3y ＋6＝0上方的点满足不等式y ＞23x ＋2，∴t ＞23×(－2)＋2，即t ＞23.3．点(1,0)与(2,5)位于10mx y +-=异侧，则m 的范围是 解析：由题,点(1,0)与(2,5)位于10mx y +-=异侧,将两点分别代入直线方程中,则()()12510m m -+-<,即()()1240m m -+<,21m ∴-<<.4．已知点（3，1）和46-（，）在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是 解析：由于点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，故()()9212120a a -+--+<，即()()7240a a +-<，解得724a -<<.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a 的取值范围是解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，要使可行域为三角形区域(不包括边界)，则需点A 在直线x ＋y ＝a 的右上方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3可得A ⎝⎛⎭⎫34，34，所以34＋34>a ，即a <32. 6．已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，所表示的平面区域的面积为3，则实数k 的值为________．解析：直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23， 23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.题型二 线性目标函数的最值（取值范围）1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2. 作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.2．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋2y ＝0，平移该直线，当直线经过点B (3,4)时，x ＋2y 取得最大值，即(x ＋2y )max ＝3＋2×4＝11.法二：设z ＝x ＋2y ，由题易知，目标函数z ＝x ＋2y 的最大值只能在可行域的三个顶点处取得，由题知三条直线的交点分别为⎝⎛⎭⎫32，52，(3,4)，(2,2)，当x ＝32，y ＝52时，z ＝132；当x ＝3，y ＝4时，z ＝11；当x ＝2，y ＝2时，z ＝6，所以z max ＝11.解析： 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝32x ，平移该直线，当直线经过C (1,0)时，在y 轴上的截距最小，z 最大，此时z ＝3×1－0＝3，故选C. 5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝2x ·4y 的最大值为解析：由z ＝2x ·4y 得z ＝2x＋2y，设m ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12m ，平移直线y ＝－12x ＋12m ，由图象可知当直线y ＝－12x ＋12m 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12m 的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3,1)，此时m 最大，为m ＝3＋2＝5，此时z 也最大，为z ＝2x＋2y＝25＝32.6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x |，x －2y ＋4≥0，则2x ＋y 的最大值为解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易得当该直线经过点A (4,4)时，2x ＋y 取得最大值，为12.7．已知点A (2，－1)，点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，y －1≤0，x －2y ≤4，O 为坐标原点，那么OA ―→·OP―→的最小值是解析：画出满足约束条件的平面区域，如图所示．又由OA ―→·OP ―→＝(2，－1)·(x ，y )＝2x －y .令目标函数z ＝2x －y .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，解得B (－2,1)，z ＝2x －y 在点B 处取得最小值z min ＝2×(－2)－1＝－5.为解析： ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN ―→·a ＝(ON ―→－OM ―→)·a ＝ON ―→·a －OM ―→·a ＝x 2＋2y 2－(x 1＋2y 1)，设z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，易知当直线经过点A (4,4)时，z 取得最大值，最大值是12，当直线经过点B (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2，所以MN ―→·a 的最大值为10. 9．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是解析：根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝ 2.10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4，x ≥－2则z ＝|x －3y |的取值范围是解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥－2，对应的可行域如图，z ＝|x －3y |＝10，其中|x －3y |10表示可行域内的点(x ，y )到直线x －3y ＝0的距离，由图可知，点A (－2,2)到直线x －3y ＝0的距离最大，最大为810，又距离最小显然为0， ∴z ＝|x －3y |的取值范围为[0,8]．题型三 非线性目标函数的最值（取值范围）非线性目标函数最值问题的常见类型及求法 1．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围； (3)求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围；(4)求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1,5]．(3)z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率，所以z 的取值范围是(－∞，0]．(4)z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋(－1)22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min＝12＋1＝32. 2.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是 解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92，yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x ，y )＝(1,6)时，y x 取得最大值，最大值为6，当(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫52，92时，yx 取得最小值，最小值为95，故yx 的取值范围是⎣⎡⎦⎤95，6. 3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4，若点P (2a ＋b,3a －b )在该不等式组所表示的平面区域内，则b ＋2a －1的取值范围是解析：因为点P (2a ＋b,3a －b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4所表示的平面区域内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，2a ＋b ＋3a －b ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，5a ≤4，其表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫45，－35，B ⎝⎛⎭⎫45，25，C ( 35，－15 )为顶点的三角形区域(包括边界)．b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M (1，－2)连线的斜率，所以k MB ≤b ＋2a －1≤k MC ，即－12≤b ＋2a －1≤－92.4．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5≤0，x ＋y －4≤0，3x ＋y －10≥0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为z ＝x 2＋y 2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x ＋y －10＝0垂直时，z ＝x 2＋y 2取得最小值，所以z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|3×0＋0－10|32＋122＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z ＝x 2＋y 2的最小值为10.5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x ＋2y －14≤0，2x ＋y －10≤0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示可行域内的点P (x ，y )到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 作OA 垂直直线x ＋y －6＝0，垂足为A ，易知点A 在可行域内，所以原点到直线x ＋y －6＝0的距离d ，就是点P (x ，y )到原点距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d ＝612＋12＝32，所以x 2＋y 2的最小值为d 2＝18. 6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为解析： 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125.7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为解析：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3，2)的连线的斜率，由图可知，当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75.题型四 线性规划中的参数问题（求参数的值或取值范围）1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤6，y ≥k ，且z ＝3x ＋y 的最小值为－8，则k ＝________.解析：目标函数z ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋z ，要使目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8，则平面区域位于直线y ＝－3x ＋z 的右上方，即3x ＋y ＝－8，作出不等式组对应的平面区域，如图，是一个封闭的三角形，则目标函数经过点A (k ，k )时，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8，代入得－8＝4k ，解得k ＝－2.2．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为6，则z 的最小值为解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋y经过点A 时，z 取得最大值，此时A (k ，k )，所以2k ＝6，即k ＝3，所以B (－6,3)，当直线z ＝x ＋y 经过点B 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为－6＋3＝－3.3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1，若z ＝ax ＋y 有最大值52，则a 的值为解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1所表示的平面区域如图中阴影部分所示．z ＝ax ＋y 有最大值52，即直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距有最大值52，由图可知当直线y ＝－ax ＋z 经过点A 时，z 取得最大值52，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝－3，x ＋y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝32，所以A ⎝⎛⎭⎫－12，32，代入ax ＋y ＝52，得a ＝－2. 4．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是解析：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z 2，当－1<－a 2<3时，直线y ＝－a 2x ＋z2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取得最小值，解得－6<a <2.5．如图，目标函数z ＝kx ＋y 的可行域为四边形OABC (含边界)，A (1,0)，C (0,1)，若B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数取得最大值的最优解，则k 的取值范围是_______解析：直线z ＝kx ＋y 的斜率为－k ，平移直线y ＝－kx ＋z ，因为B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的最优解，∴k AB ≤－k ≤k BC ，又∵k AB ＝－83，k BC ＝－49，∴－83≤－k ≤－49⇒49≤k ≤83. 6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为解析：画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示．令z ＝0，画出直线y ＝ax ，a ＝0显然不满足题意．当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行，此时a ＝－1；当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行，此时a ＝2.综上，a ＝－1或2.7.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________.解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2≥y ，x －2≤2y ，x ＋y ≤2，若z ＝x －my (m ＞0)的最大值为4，则m ＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影区域所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x －2y －2＝0，得B (－2，－2)，同理可得A (2,0)，C (0,2)，因为z ＝x －my (m ＞0)，则y ＝1m x －1m z ，当1m ＞12，即0＜m ＜2时，z ＝x －my 在点A (2,0)处取得最大值2，不合题意，因此m ≥2，此时z ＝x －my 在点B (－2，－2)处取得最大值4.所以－2＋2m ＝4，解得m ＝3.9.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，其中m ＞0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m＝________.解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，x＋y 有最大值，此时x ＋y ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0得A (4,5)，将A (4,5)代入x －my ＋1＝0得4－5m ＋1＝0，解得m ＝1.10.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为解析：由选项得m ＞0，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0(m ＞0)，3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2,4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m ＝2. 11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解析：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)时z 取最小值－2，过C (1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知 －1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故a 的取值范围是(－4,2)．题型五 线性规划的实际应用1．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：设分别生产甲、乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线L ：300x ＋400y ＝0，然后把直线向可行域平移，可得当x ＝0，y ＝6时，z 最大，其值为2 400，故选C.。

2020年高考一轮总复习测试卷《二元一次不等式组与简单线性规划》
一、选择题（共14小题；共70分）
1. 不等式表示的平面区域在直线的
A. 右上方
B. 右下方
C. 左上方
D. 左下方
2. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是
A. 该直线的截距
B. 该直线的纵截距
C. 该直线的纵截距的相反数
D. 该直线的横截距
3. 直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域
（用阴影表示）是
A. B.
C. D.
4. 直线把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是
A. B. C. D.
5. 已知变量，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
6. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为
A. B. C. D.
7. 设，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
8. 设，满足约束条件则的最大值是
A. B. C. D.
9. 不等式表示的平面区域是．
A. B.
C. D.
10. 已知变量，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
11. 若，满足则的最大值为
A. B. C. D.
12. 若变量，满足约束条件则的最大值是
A. B. C. D.
13. 若，且则的最大值等于
A. B. C. D.。

课后限时集训(三十三) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＜6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]3．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．4 D.689B [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知z min ＝d 2＝2，故选B.] 4．点P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域内的动点，则yx的最小值为( )A ．－12 B ．－2 C ．－3D ．－13D [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1).yx的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此时k OP ＝－13.]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( ) A ．14 000元 B ．16 000元 C ．18 000元D ．20 000元A [设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，x ，y ∈N，利润z ＝300x ＋200y ， 可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z200经过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝160，x ＋y ＝50可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.] 6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.] 7．(2019·皖南八校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32D ．[－1,3]A [画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝y ＋1x －2即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率， 由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.] 二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．(1)⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0(2)(－18,14) [(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立． 故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1ax ＋z a.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1ax＋z a的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a，满足k ＞k AC ，即－1a＞－3. ∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.] B 组 能力提升1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋4y －4≥0，x ＋y －3≤0，则x ＋1y的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，11 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，53A [约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫45，45，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13为顶点的三角形及其内部，y x ＋1的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13时，yx ＋1取得最小值111；当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32时，y x ＋1取得最大值35，则y x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35，所以x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11，故选A.] 2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |－1≤a ≤1} B ．{a |a ≤－1} C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．[0,2] [满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式． 当x ＝1，y ＝1时，OA →·OM →＝－1×1＋1×1＝0； 当x ＝1，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×1＋1×2＝1； 当x ＝0，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×0＋1×2＝2. 故OA →·OM →的取值范围为[0,2]．]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．2 400 [设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N. 根据题意，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。

课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(m,1)在不等式2+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤1C.m<1D.m>12.(2018安徽六安舒城中学仿真(三),3)若,y满足则=+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.13.(2018广东阳春一中模拟,4)若实数,y满足不等式组则=2+y2的取值范围是()A.,2B.[0,2]C.D.[0,]4.(2018吉林长春高三质监(二),6)已知动点M(,y)满足线性条件定点N(3,1),则直线MN斜率的最大值为()A.1B.2C.3D.45.(2018山东临沂沂水一中三模,11)已知实数,y满足的取值范围为()A.-3,B.-3,C.-3,D.-6.(2018宁夏银川四模,6)已知实数,y满足的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.,+∞7.(2018江西南昌联考,9)已知实数,y满足;若目标函数=a+y(其中a为常数)仅在处取得最大值,则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.(2018江苏南通联考)已知实数,y满足且(-1)-y+-2≥0恒成立,则实数的最小值是.9.(2018福建三明质检,15)若直线a+y=0将平面区域Ω=划分成面积为1∶2的两部分,则实数a的值等于.10.(2018云南红河一模,14)已知则=2-y的取值范围是.11.(2018北京海淀区二模,13)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表;根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有人.综合提升组12.(2018江西南昌二模,6)已知点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内,则实数m的取值范围是()A.[-5,5]B.[-5,-5]C.[-5,1]D.[-5,1]13.(2018江西南昌测试八,5)已知f()=2+a+b,0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,则=(a+1)2+(b+1)2的最小值为()A. B. C. D.114.(2018山西太原一模,7)已知不等式a-2by≤2在平面区域{(,y)|||≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.3215.(2018江西赣州一联,14)已知平面区域Ω;夹在两条斜率为-2的平行直线之间,则这两条平行直线间的最短距离为.创新应用组16.(2018河南一模,7)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C;(+1) 2+y2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值范围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.17.(2018湖北武汉调研,10)若,y满足|-1|+2|y+1|≤2,则M=22+y2-2的最小值为()A.-2B.C.4D.-参考答案课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由2m+3-5>0,得m>1.2.B作出题设约束条件可行域,如图△ABC内部(含边界),作直线l;+2y=0,把直线l向上平移,增加,当l过点B(3,2)时,=3+2×2=7为最大值.故选B.3.B绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,则目标函数在点(0,0)处取得最小值;min=02+02=0,目标函数在点A(1,1)处取得最大值;ma=12+12=2,故2+y2的取值范围是[0,2].故选B.4.C画出线性条件表示的可行域,由可得M(2,-2),由可行域可知当M取(2,-2)时,直线MN的斜率最大值为=3,故选C.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组得A,2,=表示可行域内的点(,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大==,没有最小值,无限接近直线3+y-6=0的斜率-3,所以的取值范围为-3,.故选A.6.D的几何意义为可行域内的点到原点的距离,画出可行域,根据几何图像中的距离,结合点到直线的距离公式,即可求出范围.根据题意作出可行域;此区域为开放区域,所以距离可以无限大,由图像可知最近距离为原点到直线+y-1=0的距离,所以由点到直线距离公式可得;最短距离d==.故选D.7.A构造二次函数f(t)=t2-t,由函数的单调性可知,f()≤f(y),得到自变量离轴越远函数值越大,故≤-y,且0≤y ≤,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a,由图像可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A.8. 4画出表示的可行域,如图,直线(-1)-y+-2=0过定点(-1,-1),若(-1)-y+-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,-1有最小值=3,最小值为4,故答案为4.9.或- 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积;S=×OB×AC=×1×2=1,直线a+y=0的斜率为=-a,当a<0时,如图所示,联立方程组;可得D,,此时S△OCD=×1×=,解得a=,由对称性可知,a=-也满足题意.综上可得;实数a的值等于或-.10.[-6,2]由=2-y⇒y=2-,则表示直线y=2+b在y轴上截距的相反数.如图,易知当直线过点A时直线在y轴上的截距最小为-2,取最大值为2;当直线过点B时直线在y轴上的截距最大为6,取最小值为-6.所以,=2-y的取值范围是[-6,2].11.35设A,B两小区参加活动同学的人数分别为,y,受到服务的老人人数为,则=5+3y,且作出可行域,如图平移直线=5+3y,由图可知,当直线=5+3y过点M(4,5)时,最大,∴当=4,y=5时,取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人,故答案为35.12.C作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由解得A(1,7),且点B(-5,0),又因为点P(m,n)在不等式组所表示的平面区域内,所以实数m的取值范围是[-5,1],故选C.13.B因为0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,所以作可行域,则=(a+1)2+(b+1)2,其几何意义是可行域内点到定点A(-1,-1)距离的平方,其最小值为A到直线+y+1=0距离的平方,即min=2=,选B.14.A令=a-2by.∵不等式a-2by≤2在平面区域{(,y)|||≤1且|y|≤1}上恒成立,∴函数=a-2by在可行域要求的条件下,ma=2恒成立,画出平面区域{(,y)|||≤1且|y|≤1},如图所示;当直线a-2by-=0过点(1,1)或点(1,-1)或(-1,1)或(-1,-1)时,有;点P(a,b)形成的图形是图中的菱形MNTS.∴所求的面积S=2××4×1=4,故选A.15. 画出可行域如下图所示,由图可知,两平行线最短距离为点A(0,2)到直线2+y-5=0的距离,即d==.16.A作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C;(+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM==,CP==,∴当0<r<或r>时,圆C不经过区域D上的点,故选A.17.D令t=,+2|y+1|≤2,作出可行域,如图所示.A(,0),B(-,-1),M=t2+y2-t=t-2+y2-表示可行域上的动点到定点,0的距离的平方,然后减去,故其最小值为定点,0到直线AB的距离的平方减去.AB;y=t-,定点,0到直线AB的距离;=,∴M=t2+y2-t=t-2+y2-≥-=-,故选D.。

课时跟踪训练(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划[基础巩固]一、选择题1．(2017·山西临汾一中)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )[解析] 由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.[答案] C2．(2017·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[解析] 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)·(a －24)<0，所以－7<a <24.[答案] A3．(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6[解析] 本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，如图．由z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，当直线y ＝－x 2＋z2经过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0得A 点的坐标为(－3,4)．故z max ＝－3＋2×4＝5.故选C.[答案] C4．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)[解析] 本题考查线性规划中可行域的判断，最优解的求法． 不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2,1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.[答案] D5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 [解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，当直线y ＝ax 与直线2x －y ＋2＝0或直线x ＋y －2＝0平行时，符合题意，则a ＝2或－1.[答案] D6．(2018·浙江重点中学联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,10]D ．[3,11][解析] 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1， 令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．[解析] 本题考查简单的线性规划．画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)．可得目标函数z ＝3x －4y 在点A (1,1)处取得最小值，z min ＝3×1－4×1＝－1. [答案] －18．(2017·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．[解析] 由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA →·OM →的取值范围为[0,2]．[答案] [0,2]9．(2018·辽宁抚顺模拟)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y的最大值为8，则实数k ＝________.[解析] 依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3.目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－4k 3＝8，解得k ＝－6.[答案] －6 三、解答题10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，当其过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)z ＝ax ＋2y 仅在点C (1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．[能力提升]11．(2018·安徽皖南八校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y－1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0,5]C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 [解析] 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，作出可行域如图所示阴影部分． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当直线y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)．[答案] C12．当x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －ay ≤2，x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，时，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．－12<a <1C ．0≤a <1D ．a <0[解析] 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≥0表示的可行域(图略)，再作x －ay －2≤0，因为x －ay －2＝0过定点(2,0)，且x －ay －2≤0与前面可行域围成的区域是封闭区域，故实数a 的取值范围是－12<a <1.[答案] B13．(2017·湖北荆襄七校联考)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，则该学校今年计划招聘教师最多________人．[解析] 根据线性约束条件画出可行域，如图所示．易知目标函数是z ＝x ＋y ，注意到可行域的一条边界x ＝6是虚线，可知可行域内使得z 取得最大值的正整数解为(5,5)，所以z max ＝5＋5＝10，即学校今年计划招聘教师最多10人．[答案] 1014．(2017·江西上饶期末)若Ω为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那部分区域的面积为________．[解析] 根据线性约束条件作出可行域，如图所示．可见当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的区域为三角形OAB .显然AC ⊥OB ，|OA |＝|OC |，所以S △OAB ＝12S △OAC＝12×12×2×2＝1.[答案] 115．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C甲48 3乙5510现有A肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由题意，得x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋13z ，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线．z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[延伸拓展](2017·江西高安中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3，2x －y ＋λ－2≥0表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．[1,2]C ．[2,4]D ．(2，＋∞)[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3表示的是直线x ＝1和y ＝3分平面所得四个区域中的左下角那个区域．而不等式2x －y ＋λ－2≥0表示直线2x －y ＋λ－2＝0的右下方，由图可知，要使不等式组表示的平面区域经过四个象限，则应有λ－2>0⇒λ>2，故选D.[答案] D11。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《简单的线性规划》【题型一】：二元一次不等式（组）表示的平面区域【题型二】：图解法解决简单的线性规划问题.【题型三】：实际应用问题中的线性规划问题【题型二元一次不等式（组）表示的平面区【例1】.画出3x+y-3<0所表示的平面区域.【解析】[x + y — 4 € 0【变式4】下面给出四个点中，位于y，表示的平面区域内的点是（）（x_y + 1 >0A. (0,2)B. (-2,0)C. (0, -2)D. (2,0)【答案】C【变式2】(x 2y 4)(x-y - 4)—0表示的平面区域为( )【变式3】画出不等式2x • y-4 0表示的平面区域。

【解析】先画直线2x • y -4 =0 （画成虚线）取原点（0,0）代入2x ^4得2 0 * 0-4八4 ：：：0,【答案】B;原不等式可转化为'x+2y+4 色0A -y +4 乞0【变式训练】：•••原点不在2x • y 一4 0表示的平面区域内, 不等式2x・y—4 0表示的区域如图:Vq□.**21■ \ 10 1 2\3 4 *1【例2】.画出下列不等式组表示的平面区域。

【解析】3x ~'2 y _'2 - 0,【变式2】求不等式组x 4y 4 0,的整数解。

2x y -6 ：： 0【解析】如图所示,x v3 x + y 兰22y H x x +2y 兰3\ ; (2)」；（3）«3x + 2y K6 xH°2y ex +6 -怦i(1)^<x + y <3x 2y _4x _ 0y _0【变式训练】：【变式1】用平面区域表示不等式(x y -1)(x - y 4)02(1)(2)作直线h：3x-2y-2=0 , S：x 4y 4 = 0 , b：2xy-6 = 0 ,在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,- 1), (2,- 1), (3,- 1)即为原不等式组的整数解。

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识整合1．判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C 所得到实数的符号都□01相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的□02符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划中的基本概念画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．1．(2019·山西临汾模拟)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案 C解析 由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项中阴影部分所表示的区域．故选C.2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 A解析 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24. 3．(2019·广州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为( )A.3B. 5C. 3D. 2答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1表示的平面区域如图，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z 的最小值为 2.故选D.4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.5．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析 不等式组表示的可行域是以A (5,4)，B (1,2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.6．(2019·河南新乡联考)已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是________．答案 14解析 可见A (m ，m )，B (1,1)，所以当直线z ＝2x ＋y 过点A 时有最小值为3m ，当过点B 时有最大值为3，所以3＝4×3m ，所以m ＝14.核心考向突破考向一 二元一次不等式(组)表示平面区域例1 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y －1≥0，3x －2y －6≤0表示的平面区域的面积等于________．答案 32解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (1,0)，B (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，3x －2y －6＝0，得C (4,3)．∴S △ABC ＝12AB ·|y c |＝12×1×3＝32.(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.触类旁通如何确定二元一次不等式(组)表示的区域(1)直线定界，特殊点定域．注意边界线是实线还是虚线． 2不等式组中含有参数时，先正确作出不含参数的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域，然后转动或平移含参数直线使其满足题目要求，从而确定参数的取值范围.即时训练 1.(2019·郑州模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________．答案 13解析区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)．所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个对称四边形围成的区域，则k＝________.答案 ±1解析 直线x －ky ＋k ＝0过定点(0,1)，当k <0时，若得到对称四边形，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0一定平行，此时k ＝－1，形成的四边形为等腰梯形，满足题意；当k >0时，若得到对称四边形，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0一定垂直，验证(0,1)到直线x ＋y －2－1＝0的距离d ＝|0＋1－2－1|2＝1，满足题意，此时k ＝1.综上可知，k ＝±1.考向二 求目标函数的最值问题角度1 求线性目标函数的最值例2 (2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45答案 C解析 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，－x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2,3)．由图知，当直线3x ＋5y －z ＝0过点A 时，z 取得最大值，故z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C.触类旁通求目标函数z ＝ax ＋by 的最大值或最小值，先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.即时训练 3.(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下平移，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2,0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.角度2 求非线性目标函数的最值例3 (2019·重庆一中模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －5≥0，则z ＝y ＋12x的最大值为________．答案 56解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －5≥0表示的可行域，如图．因为z ′＝y ＋1x表示可行域内的点P (x ，y )与点A (0，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －5＝0，得直线交点为B (3,4)，所以当P 在点B (3,4)时，z ′＝y ＋1x 有最大值4＋13＝53，因此z ＝y ＋12x 的最大值为56.触类旁通目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：1x 2＋y 2表示点x ，y 与原点0，0间的距离x －a2＋y －b2，表示点x ，y 与点a ，b 间的距离.2y x 表示点x ，y 与原点0，0连线的斜率，y －b x －a表示点x ，y 与点a ，b 连线的斜率.即时训练 4.(2019·辽宁五校联考)已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么a 2＋b 2的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16解析以a 为横轴，b 为纵轴建立直角坐标系，在平面直角坐标系aOb 中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，2<a ＋2b <4表示的平面区域，得到如图所示的四边形ABCD 内部(不包括边界)．其中A (2,0)，B (0,1)，C (0,2)，D (4,0)．设P (a ，b )为区域内一个动点，则|OP |＝a 2＋b 2表示点P 到原点O 的距离，所以z ＝a 2＋b 2＝|OP |2.可得当P 与D 重合时，P 到原点距离最大，此时z ＝a 2＋b 2＝42＋0＝16；当P 点在直线BA 上，且满足OP ⊥AB 时，P 到原点距离最小，为212＋22＝25，此时z ＝a 2＋b 2＝45.综上所述，可得a 2＋b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16. 角度3 求线性规划中的参数例4 (2019·江西红色七校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，若z ＝mx＋y 的最小值为－3，则m 的值为________．答案 －23解析作出可行域如图中阴影部分所示．当m ≤0时，z ＝mx ＋y ⇒y ＝－mx ＋z ，当直线y ＝－mx ＋z 过点C 时纵截距最小，从而z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴C ＝(3，－1)，∴3m －1＝－3，∴m ＝－23.当0≤m ≤1时，直线y ＝－mx ＋z 过点C 时，z 最小，由上面解法知不符合题意 当m >1时，直线y ＝－mx ＋z 过点B 时纵截距最小，从而z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.由12m ＋32＝－3得m ＝－9与m >1矛盾． 综上可知m ＝－23.触类旁通1线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中. 2一般地，目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值.即时训练 5.(2019·北京模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12答案 D解析 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k >0时，如图1所示，此时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图2所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.考向三 线性规划中的实际应用问题例5 (2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元答案 B解析 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N ，z＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.触类旁通解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．2设元：设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数.3作图：准确作出可行域，平移找点最优解. 4求解：代入目标函数求解最大值或最小值. 5检验：根据结果，检验反馈.即时训练 6.某中学生在制作纸模过程中需要A ，B 两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A ，B 两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A ，B 两种规格的小卡纸分别为4,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m ，n (m ，n 为整数)，则m ＋n 的最小值为( )A 规格B 规格甲种卡纸 2 1 乙种卡纸13A ．2C ．4D ．5答案 B解析 由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0，m ，n ∈N ，又不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z ＝m ＋n 在点(1,2)处取得最小值3.故选B.。

巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题34 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、【知识精讲】1.二元一次不等式(组)表示的平面区域2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3.线性规划的有关概念[微点提醒]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.二、【典例精练】考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 （2013安徽高考）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A. 2 2B. 2 3C. 4 2D. 4 3【★答案★】D【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3.作可行域如图．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.【解法小结】 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和. 考点二 线性规划中的最值问题 角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________. 【★答案★】3【解析】 法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点A (2，3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，故z max＝2＋13×3＝3.法二 画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知z max ＝2＋13×3＝3.角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为________.(2) （2016山东高考）若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 【★答案★】 （1） ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13(2)C 【解析】 (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2，3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率.因点D (2，3)与B (8，1)连线的斜率为－13且C 的坐标为(2，－2)，故由图知z ＝y －3x －2的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13.(2) 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.角度3 线性规划中的参数问题【例2－3】已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( )A.94 B.32C.1D.34【★答案★】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示.由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小为3，即2x ＋y ＝3. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94.【解法小结】 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域的顶点或边界处取得.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离； (2)y x 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率. 3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件. 考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 【★答案★】216 000【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).【解法小结】 1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的★答案★还原为实际问题的★答案★.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 三、【名校新题】1．(2019·山东德州模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则z ＝4x －y 的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．16【★答案★】B【解析】 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4表示的区域如图，结合图形可知当动直线z ＝4x －y 经过点A (2,2)时，动直线y ＝4x －z 在y 轴的截距最大，z min ＝4×2－2＝6.故选B.2．(2019·山西临汾模拟)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是 ( )【★答案★】C【解析】由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项中阴影部分所表示的区域．故选C.3．(2019·广州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为( )A.3B. 5C. 3D. 2【★答案★】 D【解析】 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1表示的平面区域如图，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z 的最小值为 2.故选D.4.(2019·武汉模拟)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，3x －y －6≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝22x ＋y的最小值是( )A.1B.16C.8D.4【★答案★】C【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图，设m ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋m ，由图可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时m 最小，z 也最小， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1，1)，m min ＝2×1＋1＝3，则z min ＝23＝8.5.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A.1B.2C.3D.4【★答案★】B【解析】 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0，1)，D (1，0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2.6.(2019·玉溪模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为( ) A.－1 B.－12C.12D.1【★答案★】D【解析】由题意知k >0，且不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域如图所示.∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1k，0， 直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋1，2k －1k ＋1，∴三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14，解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意，∴k ＝1.7.(2019·济南一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则yx的最大值为( )A.1B.3C.32D.5【★答案★】C【解析】不等式组表示平面区域是以(1，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略). y x 表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32与原点的连线斜率最大，即y x 的最大值为321＝32.8. (2019·西安质检)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若目标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a 的值为( ) A.2 B.1 C.1或2D.－1【★答案★】B【解析】 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .因为a ≠0，所以要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有无数个，故必有a >0.①当直线y ＝ax ＋z 与直线AC 重合，即a ＝1时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y ＝ax ＋z 与直线BC 重合时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，不符合条件.故a ＝1.9.(2019·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －m ≤0，若yx ＋1的最大值为2，则m 的值为( )A.4B.5C.8D.9【★答案★】B【解析】 不等式组对应的可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －m ＝0得B (1，m －1). yx ＋1＝y －0x －（－1）表示动点(x ，y )和点D (－1，0)连线的斜率，可行域中点B 和点D 连线的斜率最大， ∴m －11－（－1）＝2，∴m ＝5.10.(2019·湖南长沙模拟)若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( )A ．0B ．－2C ．2D ．6【★答案★】 C【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤4，x －y ＋1≥2，－1≤x －3≤1，画出不等式组表示的可行域，如图所示．令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z 2表示斜率为12的一组平行线，当直线过点A 和C 时z 分别取得最大值和最小值．由相应的直线方程联立可解得A (2，－1)，C (4,3)．代入目标函数得，z max ＝2－2×(－1)＝4，z min ＝4－2×3＝－2.所以最大值和最小值的和为4＋(－2)＝2.故选C. 11.(2019·北京模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【★答案★】 D【解析】 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k >0时，如图1所示，此时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值． 当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图2所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.12.(2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( ) A ．320千元 B ．360千元 C ．400千元 D ．440千元【★答案★】 B【解析】 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N ，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.13．(2019·河南新乡联考)已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是________．【★答案★】 14【解析】 可见A (m ，m )，B (1,1)，所以当直线z ＝2x ＋y 过点A 时有最小值为3m ，当过点B 时有最大值为3，所以3＝4×3m ，所以m ＝14.14.(2019·郑州模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k的值是________． 【★答案★】 13【解析】区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)．所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13.15.(2019·辽宁五校联考)已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么a 2＋b 2的取值范围为________．【★答案★】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16【解析】以a 为横轴，b 为纵轴建立直角坐标系，在平面直角坐标系aOb 中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，2<a ＋2b <4表示的平面区域，得到如图所示的四边形ABCD 内部(不包括边界)．其中A (2,0)，B (0,1)，C (0,2)，D (4,0)．设P (a ，b )为区域内一个动点，则|OP |＝a 2＋b 2表示点P 到原点O 的距离，所以z ＝a 2＋b 2＝|OP |2.可得当P 与D 重合时，P 到原点距离最大，此时z ＝a 2＋b 2＝42＋0＝16；当P 点在直线BA 上，且满足OP ⊥AB 时，P 到原点距离最小，为212＋22＝25，此时z ＝a 2＋b 2＝45.综上所述，可得a 2＋b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16.16.(2019·江西红色七校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，若z ＝mx ＋y 的最小值为－3，则m的值为________． 【★答案★】 －23【解析】作出可行域如图中阴影部分所示．当m ≤0时，z ＝mx ＋y ⇒y ＝－mx ＋z ，当直线y ＝－mx ＋z 过点C 时纵截距最小，从而z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴C ＝(3，－1)，∴3m －1＝－3，∴m ＝－23.当0≤m ≤1时，直线y ＝－mx ＋z 过点C 时，z 最小，由上面解法知不符合题意当m >1时，直线y ＝－mx ＋z 过点B 时纵截距最小，从而z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 由12m ＋32＝－3得m ＝－9与m >1矛盾． 综上可知m ＝－23.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划2019考纲考题考情1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的有关概念3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内。

(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。

特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。

在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值。

一、走进教材1．(必修5P 86练习T 3改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B 。

答案 B2．(必修5P 91练习T 1(1)改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4解析 不等式组所表示的平面区域如图所示，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过点B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时，z min ＝－2。

故选C 。

答案 C 二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________。

第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题．一元二次不等式(组)表示的平面区域．线性规划中的基本概念[小题体验]．下列各点中，不在＋－≤表示的平面区域内的是( )．() ．(－)．(－) ．(，－)答案：．(教材习题改编)不等式组(\\(－＋≥，－＋＜))表示的平面区域是( )答案：．(·浙江名校联考)若，满足(\\(＋≥，－≥，≤，))则不等式组表示的平面区域的面积为，＝－的最大值是．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得()，(，－)，所以△＝×(＋)×＝.由＝－，得＝＋，作出直线＝，平移直线＝，易知当直线＝－经过可行域内的点()时，目标函数＝－取得最大值，且＝－＝.答案：．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为＋＋＞(＞)．．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．．在通过求直线的截距的最值间接求出的最值时，要注意：当＞时，截距取最大值时，也取最大值；截距取最小值时，也取最小值；当＜时，截距取最大值时，取最小值；截距取最小值时，取最大值．[小题纠偏]．若用阴影表示不等式组(\\(－＋≤，,()－≤))所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为．答案：°．(·全国卷Ⅰ)若，满足约束条件(\\(－－≤，－＋≥，≤，))则＝＋的最大值为．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由＝＋，得＝－＋.作直线：＝－.平移直线，当直线＝－＋过点()时，取得最大值，＝×＋×＝.答案：二元一次不等式组表示的平面区域)[题组练透]．(易错题)若满足条件(\\(－≥，＋－≤，≥))的整点(，)恰有个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为( )．－．－．．－解析：选不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当＝时，只有个整点()，()，()，()；当＝－时，正好增加(－，－)，(，－)，(，－)，(，－)，(，－)共个整点．．(·嘉兴高三基础测试)若不等式组(\\(－＞，＋＜，＋＞))表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数的取值范围是( )解析：选如图所示，当直线＋＝在直线＋＝(该直线经过直线－＝和直线＋＝的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此＜，故选.．(·浙江名校联考)若实数，满足(\\(－＋≤，－≥，≤，))则点(＋，－)形成的区域的面积为，能覆盖此区域(含边界)的圆的最小半径为．解析：令(\\(＝＋，＝－，))得(\\(＝(＋)，＝(－)，))则原不等式组可化为(\\(－＋≤，＋≥，＋≤，))所以点形成的区域如图中阴影部分所示，易知()，，(，－)．设点到的距离为，则△＝·＝××＝.所求半径最小的圆即△的外接圆，，的垂直平分线分别为直线＝－，＝－＋，求得交点坐标，即圆心坐标为，所以半径为.答案：[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法()“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．()当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．求目标函数的最值)[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有：()求线性目标函数的最值；()求非线性目标函数的最值；()线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值．(·全国卷Ⅱ)若，满足约束条件(\\(＋－≥，－＋≥，－≤，))则＝＋的最大值为．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋＝过点时取得最大值．由(\\(＝，－＋＝，))得点()，∴＝＋＝.答案：角度二：求非线性目标函数的最值．(·温州模拟)若实数，满足约束条件(\\(－＋≥，＋－≤，≥，))则约束条件内的的最大值为，目标函数的取值范围为．解析：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由(\\(－＋＝，＋－＝，))可知，所以的最大值为.易知的几何意义是可行域内的点与点(－，－)所在直线的斜率，()与(－，－)两点连线的斜率为，所以的最小值为，由图可知的最大值为直线－＋＝的斜率，所以的取值范围为.答案：角度三：线性规划中的参数问题．(·绍兴考前冲刺)已知实数，满足约束条件(\\(＋－≤，＋－≥，－≤.))若目标函数＝＋仅在点()处取得最大值，则实数的取值范围为( )．()．[)．(，＋∞)．(－∞，)解析：选作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当＝时，目标函数为＝，此时目标函数仅在点(，)处取得最大值；当＜时，＝－＋，若使取得最大值，则需取得最小值，数形结合知目标函数仅在点()处取得最大值；当＞时，＝－＋，要使目标函数仅在()处取得最大值，则需－＜－，即＜＜.综上，实数的取值范围为(－∞，)．[通法在握]．求目标函数的最值步骤()作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；()平移——将平行移动，以确定最优解的对应点的位置；()求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．．常见的类目标函数()截距型：形如＝＋.求这类目标函数的最值常将函数＝＋转化为直线的斜截式：＝－＋，通过求直线的截距的最值间接求出的最值．()距离型：形如＝(－)＋(－).()斜率型：形如＝.[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]．(·湖州五校高三模拟)设实数，满足约束条件(\\(－＋＞，＋－＜，＞，))则＝－的取值范围为( )．(－，－)．(－，－)．(－)．(－)解析：选法一：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线＝，平移该直线，可知直线＝－在点(－)处取得最小值－，在点()处取得最大值，所以＝－的取值范围为(－)．法二：三条直线两两联立求出的交点坐标分别是()，(－，)，()，分别代入＝－求值，得，－，所以＝－的取值范围为(－)．．(·杭州七校联考)已知，满足约束条件(\\(＋－≤，－－≥，－＋≤，))若＝＋的最大值为，则实数的值为( )．－．－．．解析：选将目标函数变形为＝－＋，当取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线＋－＝与－－＝的交点()不能使得目标函数取得最大值.因为直线－＋＝恒过定点，所以要使目标函数能取到最大值，需－＜＜，即－＜＜.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在处取得最大值，代入目标函数得×＋＝，解得＝.．(·宁波高三模拟)若，满足(\\(＋≥，－≥，≤，))则不等式组表示的平面区域的面积为，＝(＋)＋(－)的最小值为．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则所求平面区域的面积为××[－(－)]＝.＝(＋)＋(－)表示可行域内的点(，)与点(－，)之间的距离的平方，数形结合易知，＝(＋)＋(－)的最小值为点(－)到直线－＝的距离＝＝的平方，即＝.答案：线性规划的实际应用)[典例引领](·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时．生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为元．解析：设生产产品件，产品件，由已知可得约束条件为(\\(＋≤，＋≤，＋≤，∈，∈.))即(\\(＋≤，＋≤，＋≤，∈，∈.))目标函数为＝＋，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线＋＝，即＋＝，当直线经过点时，取得最大值，联立(\\(＋＝，＋＝，))解得()．则＝×＋×＝ (元)．答案：[由题悟法]．解线性规划应用题步骤()转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；()求解——解这个纯数学的线性规划问题；()作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．．求解线性规划应用题的个注意点()明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．()注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数，的取值范围，特别注意分析，是否是整数、是否是非负数等．()正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )．．．．解析：选设黄瓜、韭菜的种植面积分别为，亩，则总利润＝×＋×－－＝＋.此时，满足条件(\\(＋≤，＋≤，≥，≥.))画出可行域如图，得最优解为()．一抓基础，多练小题做到眼疾手快．不等式组(\\(≥，＋≥，＋≤))所表示的平面区域的面积等于( )解析：选平面区域如图所示．解(\\(＋＝，＋＝.))得()，易得()，，＝－＝.×＝.所以△＝×(－＋)(＋－)≤在坐标平面内表示的区域(用阴影．不等式( )部分表示)应是解析：选(－＋)(＋－)≤⇔(\\(－＋≥，＋－≤))或(\\(－＋≤，＋－≥.))画出图形可知选.．(·杭州高三质检)若实数，满足不等式组(\\(＋－≥，－－≤，))设＝＋，则( )．≤≤．≤．≥．≤≤解析：选作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线＋＝，平移该直线，易知当直线过点()时，取得最小值，＝＋×＝，即≥.．点(－，)在直线－＋＝的上方，则的取值范围是．解析：因为直线－＋＝的上方区域可以用不等式－＋＜表示，所以由点(－，)在直线－＋＝的上方得－－＋＜，解得＞.答案：．(·温州四校联考)若实数，满足约束条件(\\(≥，＋≤，－≤，))则可行域的面积为，＝＋的最大值为．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝()，＝()，))所以，易得＝，所以可行域的面积＝××＝.由图可知，当目标函数＝＋所表示的直线过点时，取得最大值，且＝×＋＝.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．(·金华四校联考)已知实数，满足(\\(≥，≤－，＋≤.))如果目标函数＝－的最小值为－，则实数等于( )．．．．解析：选画出，满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线＝－与直线＋＝的交点使目标函数＝－取得最小值，由(\\(＝－，＋＝，))解得＝，＝，代入－＝－，得－＝－，∴＝.选.．在平面直角坐标系中，若不等式组(\\(＋－≥，－≤，－＋≥))(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为( )．．－．．解析：选因为－＋＝的直线恒过点()，故看作直线绕点()旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△.由题意可求得()，()，(，＋)，∵△＝，＝＋，边上的高为＝，∴△＝×＋×＝，解得＝－或，∵当＝－时，可行域不是一个封闭区域，当＝时，满足题意，选.．(·浙江新高考研究联盟)过点(－)的光线经轴上点反射后，经过不等式组(\\(－＋≥，＋－≥，＋－≤))所表示的平面区域内某点(记为)，则＋的取值范围是( )．[，]．(，)．[，)．[]解析：选不等式组(\\(－＋≥，＋－≥，＋－≤))所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点关于轴的对称点为(－，－)，＋＝，过点作直线＋－＝的垂线，则的最小值为＝.由(\\(－＋＝，＋－＝))得()，则的最大值为＝＝.故≤＋≤.．(·浙江名校联考)设，满足(\\(≥，＋－≤，－－≤，))若＝＋的最大值为，则的值为( )．．－．－或．解析：选法一：由＝＋存在最大值，可知＞－，显然＝不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图或图中阴影部分所示，作直线＋＝，平移该直线，易知，当平移到过直线＋－＝与－－＝的交点时，取得最大值，由(\\(＋－＝，－－＝，))得(\\(＝(＋＋)，＝(＋)，))把(\\(＝(＋＋)，＝(＋)))代入＋＝，得＝.法二：由＝＋存在最大值，可知＞－，显然＝不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图或图中阴影部分所示，作直线＋＝，平移该直线，易知，当平移到过直线＋－＝与－－＝的交点时，取得最大值，由(\\(＋－＝，＋＝()，))得(\\(＝()，＝()，))把(\\(＝()，＝()))代入－－＝，得＝.．(·余杭地区部分学校测试)若函数＝()的图象上的任意一点的坐标为(，)，且满足条件≥，则称函数()具有性质，那么下列函数中具有性质的是( )．()＝(＋)．()＝－．()＝－．()＝解析：选作出不等式≥所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数()具有性质，则函数()的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知()＝－的图象分布在区域①和③部分，()＝(＋)的图象分布在区域②和④部分，()＝的图象分布在区域①和②部分，()＝－的图象分布在①、②和③部分，故选.．当实数，满足(\\(＋－≤，－－≤，≥))时，≤＋≤恒成立，则实数的取值范围是．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由≤＋≤恒成立，结合图可知，≥且在()处取得最小值，在()处取得最大值，所以≥，且＋≤，故的取值范围是.答案：．(·金丽衢十二校联考)若实数，满足(\\(－－≤，－－≥，≤，))则的取值范围为．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，的几何意义为可行域内一点(，)与点(－，－)连线的斜率，故由图可知，＝＝，＝＝，故的取值范围为.答案：．(·金华十校联考)已知实数，满足当＝时，＝＋－的最大值为；当＝时，，满足的不等式组所表示的平面区域的面积为.解析：作出(\\(＋－≥，－＋≥，－－≤))所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得()，，()，令＝＋－，即＝－＋＋，显然当直线过()时，取得最大值，此时＝，当直线过时，取得最小值，此时＝－，又＝，所以的最大值为.由方程组(\\(－＋＝，－－＝，))得′，由方程组(\\(＋－＝，－－＝，))得′，如图，易得(，－)，所以△′′＝△′－△′＝××＝，即＋－＝，所以＝或＝－(舍去)．答案：．已知是以点()，(－，－)，(－)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．()写出表示区域的不等式组．()设点(－，－)，(－)在直线－－＝的异侧，求的取值范围．解：()直线，，的方程分别为－－＝，＋－＝＋＋＝.原点()在区域内，故表示区域的不等式组为(\\(－－≤，＋－≤，＋＋≥.))()根据题意有[×(－)－×(－)－][×(－)－×－]＜，即(－)(－－)＜，解得－＜＜.故的取值范围是(－)．．若，满足约束条件(\\(＋≥，－≥－，－≤.))()求目标函数＝－＋的最值；()若目标函数＝＋仅在点()处取得最小值，求的取值范围．解：()作出可行域如图，可求得()，()，()．平移初始直线－＋＝，过()取最小值－，过()取最大值.所以的最大值为，最小值为－.()直线＋＝仅在点()处取得最小值，由图象可知－＜－＜，解得－＜＜.故所求的取值范围为(－)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·浙江名校联考)设实数，满足(\\(≤，≥，≤－＋，))则＋的最大值为；若＋≤恒成立，则实数的最小值为．解析：作出不等式组(\\(≤，≥，≤－＋))所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当＝＋过点 (，)时，＝＋取得最大值＝＋×＝.令＝′，＝′，则原不等式组等价于(\\(()′≤′，,()′≥，,()′≤－′＋，))即(\\(′－′≥，′≥，′＋′－≤，))作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，′＋′的最大值为原点到点()的距离的平方，易得＝＋＝，所以的最小值为.答案：．某工厂投资生产产品时，每生产一百吨需要资金万元，需场地，可获利润万元；投资生产产品时，每生产一百吨需要资金万元，需场地，可获利润万元．现某单位可使用资金万元，场地，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.则约束条件为(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))目标函数＝＋.作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数＝＋变形为＝－＋，这是斜率为－，随变化而变化的一组平行直线．是直线在轴上的截距．由图知，使＋取得最大值的(，)是直线＋＝与＋＝的交点()，此时＝×＋×＝.∴生产产品吨，生产产品吨时，获利最大，且最大利润为万元．。

第52练 二元一次不等式（组）与简单的线性规划[基础保分练]1.三条直线l ：x ＋y ＝1，m ：x ＝0，n ：y ＝0围成一个三角形区域，表示该区域(含边界)的不等式组为__________.2.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值为________.3.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y的取值范围为________.4.(2019·镇江模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是________.5.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0则z ＝3x ＋2y的最小值为________.6.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y |的取值范围是________.7.(2018·连云港调研)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________.8.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，y ≥x ，x ≥0，则x 2＋y 2的取值范围为________.9.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤3，4x －y ≥－6，若x －2y －a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围为__________.10.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0.则z ＝x 2＋y 2的最大值为____________.[能力提升练]1.x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.2.若关于x ，y 的混合组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，y ＝a xa >0，a ≠1有解，则a 的取值范围为________.3.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则9x 2＋4y2xy的最小值为________.4.已知点A (2,1)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，y ≥0，设z ＝OP →·OA →，则z 的最大值是________.5.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y x ＋3y ≥0，x ≥0表示的平面区域为D ，则圆x 2＋y 2＝1在区域D内的弧长为________.6.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是______.答案精析基础保分练1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥02.23.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞4.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，325.16.[0,8]解析 作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝|x －3y |＝10·|x －3y |10，其中|x －3y |10表示可行域内的点(x ，y )到直线x －3y ＝0的距离，由图可知，点A (－2,2)到直线x －3y ＝0的距离最大，最大为810；又距离最小显然为0，所以z ＝|x －3y |的取值范围为[0,8]. 7.1 8.[0,2]解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，x 2＋y 2的几何意义是阴影部分内的点到原点(0,0)的距离的平方，显然(x 2＋y 2)min ＝0，由图象可知A 点到原点的距离的平方值最大， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝x ，可得A (1,1)，则(x 2＋y 2)max ＝12＋12＝2， 故x 2＋y 2的取值范围为[0,2]. 9.(－∞，－5] 10.25解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内点到原点距离的平方.z ＝x 2＋y 2的最大值对应点A ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.所以z ＝x 2＋y 2的最大值为|OA |2＝42＋32＝25. 能力提升练 1.2或－1解析 由题意作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，将z ＝y －ax 化为y ＝ax ＋z ，z 相当于直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距，由题意可得，y ＝ax ＋z 与y ＝2x ＋2平行或与y ＝2－x 平行时，z 取得最大值的最优解不唯一，故a ＝2或－1. 2.[2,9]解析 关于x ，y 的混合组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，y ＝a xa >0，a ≠1有解，等价于函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，2x ＋y －14≤0，x －y ＋8≥0表示的可行域有交点，画出可行域M 如图中阴影部分(含边界)所示， 求得A (2,10)，C (3,8)，B (1,9)，由图可知，欲满足条件必有a >1且图象在过B ，C 两点的图象之间，当图象过B 点时，a 1＝9，∴a ＝9，当图象过C 点时，a 3＝8，∴a ＝2，故a 的取值范围是[2,9]. 3.12解析作可行域，由题意得A⎝⎛⎭⎪⎫54，12，B⎝⎛⎭⎪⎫45，75，根据可行域确定yx∈[k OA，k OB]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1254，7545＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，74，所以9x2＋4y2xy＝9xy＋4yx≥29xy×4yx＝12，当且仅当3x＝2y时即yx＝32取等号.4.4解析根据题意以及不等式组得到可行域如图，是△CBO及其内部，z＝OP→·OA→＝2x＋y，变形为y＝－2x＋z，⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＝0，x－2y＋3＝0⇒C(1,2).根据图象得到函数在过点C(1,2)时z取得最大值，代入得到z＝4.5.π4解析根据所给不等式组，画出可行域如图所示：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝12－⎝⎛⎭⎪⎫－131＋12·⎝⎛⎭⎪⎫－13＝1，所以两条直线形成的夹角为π4. 所以圆x 2＋y 2＝1在区域D 内的弧长为l ＝π4.6.2或12解析 作出平面区域如图中阴影部分(含边界)所示：可行域是等腰三角形，平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是B 到AC 的距离，它们的斜率是2，A (2,1)，B (1,2)，A 到BC 的距离为|2－2＋3|5＝35，B 到AC 的距离为|2－2－3|5＝35，所以A 到BC 的距离也是最小值，平行线的斜率为12.。

课后限时集训(三十三)　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟)A 组　基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－x ，平移该直线，当经35过点C 时，z 取得最大值，由Error!得Error!即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.]2．不等式组Error!所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]3．若x ，y 满足条件Error!则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A. B ．2 C ．4 D.2689B [作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝＝，易知z min ＝d 2＝2，故选B.]|0＋0－2|12＋1224．点P (x ，y )为不等式组Error!所表示的平面区域内的动点，则的最小值为( )yx A ．－ B ．－2 C ．－3 D ．－1213D [作出不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由Error!可得Error!故A (3，－1).的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P 与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此yx 时k OP ＝－.13]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( )A ．14 000元B ．16 000元C ．18 000元D ．20 000元A [设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则Error!利润z ＝300x ＋200y ，可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－x ＋经过点A 时，z 最大．32z 200由Error!可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.]6．已知x ，y 满足约束条件Error!若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]7．(2019·皖南八校联考)设不等式组Error!，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.[－32，－1]C. D ．[－1,3](－∞，－32]A [画出不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率，y ＋1x －2由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.]二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．(1)Error!　(2)(－18,14)　[(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为Error!(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1　[不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝x －z .3414平移直线y ＝x ，易知经过点A 时，z 有最小值．34由Error!得Error!∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件Error!若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．　[作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，(13，＋∞)当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－x ＋.1a z a 由Error!解得Error!即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－x ＋的下方，即目标函数的斜率k ＝－，满足k ＞k AC ，即－＞－3.1a z a 1a 1a ∵a ＞0，∴a ＞，即a 的取值范围为.]13(13，＋∞)B 组　能力提升1．若x ，y 满足约束条件Error!则的取值范围是( )x ＋1y A. B.[53，11][111，35]C.D.[35，11][111，53]A [约束条件对应的平面区域是以点，和为顶点的三角形及其内部，(45，45)(32，32)(83，13)的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点y x ＋1时，取得最小值；当(x ，y )取点时，取得最大值，则(83，13)y x ＋1111(32，32)y x ＋135∈，所以∈，故选A.]y x ＋1[111，35]x ＋1y [53，11]2．已知实数x ，y 满足Error!若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤1}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A [不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域Error!上的一个动点，则·的取值范围是________．OA → OM → [0,2]　[满足约束条件Error!的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．当x ＝1，y ＝1时，·＝－1×1＋1×1＝0；OA → OM → 当x ＝1，y ＝2时，·＝－1×1＋1×2＝1；OA → OM → 当x ＝0，y ＝2时，·＝－1×0＋1×2＝2.OA → OM → 故·的取值范围为[0,2]．OA → OM → ]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．2 400　[设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N.根据题意，有Error!目标函数为z＝300x＋400y.作出Error!所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。