江苏省淮安市淮海中学2014届高三Ⅲ级部决战四统测二文科数学试卷(带解析)

淮安市淮海中学高三年级三统模拟测试(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ． 【答案】{}52. 已知2(,)a ib i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ． 【答案】3【解析】本题考查复数的四则运算．因为22(,)a iai b i a b R i+=-=-∈，所以，a ＝1，b ＝2，所以a b +＝3．3． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组。

若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ．3.【答案】3914． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．4.【答案】23【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23．5．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 5．【答案】3π【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥，所以(2)0j i i -=，即22 i j i ⋅-＝0，所以，2||||cos 10i j θ-= ，即1cos 2θ=，则,i j 的夹角为3π． 6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲【答案】2051100223Pr int I While I I I S I End While S ←<←+←+7．已知实数x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．【答案】32【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11(,)22．8、已知cos()4πθ+=，(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，3(,)444πππθ+∈，所以sin()410πθ+=24sin 2sin[2()]cos2()12cos ()42445ππππθθθθ=+-=-+=-+=，3cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445πππππθθθθθ=+-=+=++=-，因此413sin(2)()3525πθ-=⋅--=．9、直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()13122=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的倾斜角分别为βα,，则()βα+tan = ▲ ．43- 10．设P 为2412-=x y 图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ▲ ．211、已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ．【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，2222200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -⋅=⋅====+---，可得2234a c =，从而c e a == 11．12．若0,0a b >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ．12．【解析】由22a b+≥得12≤，22142a b +≥，所以22221(4)(2)2S a b a b ⎡⎤=+=+⎣⎦，当且仅当122a b ==时取到等号．12.已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.13．设函数()x x x x f 5323+-=，{}n a 为公差不为0的等差数列，若101021=+++a a a ，则()()()1021a f a f a f +++ = ▲ ．3014. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有(3)(1)201f x f x -+-=，又(4)2013f =，则(2014)f = .答案：1二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值． 15．【解析】（1）由题意，sin 2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分 得2sin cos sin()sin A A B C A =+= ………………………………………………4分由于ABC ∆中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1cos 2A =………………………………5分∴sin A ==………………………………………………………6分（2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=，1cos 12C C +=…………9分 得sin()16C π+=，250,3666C C ππππ<<∴<+<，平方得3C π∴=……………12分 所以ABC ∆为正三角形，1c ∴=………………………………………………… 14分 16．（本小题满分14分） (2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，M 为A 1B 与AB 1的交点，N 为棱B 1C 1的中点， (1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；(2)若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BC .证明 (1)连接AC 1，因为M 为A 1B 与AB 1的交点，所以M 是AB 1的中点，又N 为棱B 1C 1的中点．所以MN ∥AC 1，………………3分 又因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， 所以MN ∥平面AA 1C 1C . …………………………7分 (2)因为AC ＝AA 1，所以四边形AA 1C 1C 是正方形， 所以AC 1⊥A 1C ，又AC 1∥MN ，所以A 1C ⊥MN .又因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，…………………9分所以CC 1⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC 11分 又因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ， 因为CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥AC 1，因为MN ∥AC 1，所以MN ⊥BC ，又MN ⊥A 1C ， 又BC ∩A 1C ＝C ，所以MN ⊥平面A 1BC . ……………14分17．（本小题满分14分）如图，ABCD 是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF ，其中动点E 、F 分别在CD 、BC 上，且△ECF 的周长为常数a （单位：百米）． （1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．FE D C17．解析：（1）设,EC x CF y ==，则x y a +=（※）由基本不等式，(2x y +≥=+……… 3分所以，△ECF 的面积22113224S xy -=≤=……………… 5分当且仅当x y ==时等号成立2……………………………………… 6分 （2）记,EAD FAB αβ∠=∠=，,(0,),(0,)22ππαβαβ∈+∈,则tan 1,tan 1x y αβ=-=- 故22()tan()1(1)(1)x y x y x y x y xyαβ---++==---+-由（※）可得，2()2a xy a x y =+-，即2()2xy x y =+-………………… 10分代入上式可得，2()tan()2()x y x y αβ-++=-+=1所以()24EAF ππαβ∠=-+=故当2a =时，视角EAF ∠为定值4π……………………………………………… 14分18．（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为(10)F ，,离心率为.分别过O ,F 的两条弦AB ,CD 相交于点E (异于A ,C 两点),且OE EF =.(1)求椭圆的方程; (2)求证:直线AC ,BD 的斜率之和为定值.18．【答案】(1)解:由题意,得1c =,c e a ==,故a =……………… 2分 从而2221b a c =-=, ……………… 4分所以椭圆的方程为2212x y +=. ① ……………… 6分 (2)证明:设直线AB 的方程为y kx =, ② 直线CD 的方程为(1)y k x =--, ③由①②得,点A ,B的横坐标为由①③得,点C ,D, ……………… 10分记11( )A x kx ，,22( )B x kx ，,33( (1))C x k x -，,44( (1))D x k x -，, 则直线AC ,BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+-- ……………… 12分 132413241324(1)()()(1)x x x x x x x x k +--+-+-=⋅1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0= ……………………………………………… 16分19．(本小题满分16分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22． （1）求S n ；（2）若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{a k n }，其中k 1＝1，且 k 1＜k 2＜…＜k n ＜…，k n ∈N *．①当q 取最小值时，求{ k n }的通项公式；（第18题）②若关于n (n ∈N *)的不等式6S n ＞k n ＋1有解，试求q 的值．19．解：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，…2分 所以(5)3n n n S +=. …………4分 （2）因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ， 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ； …………6分 若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n k n a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n n k -=⨯-， ………8分所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． …………10分（3）因为12423n n n k k a q -+==，得132n n k q -=-，而1q >， 所以当1q >且q N ∈时，所有的132n n k q -=-均为正整数，适合题意；当2q >且q N ∉时，132n n k q N -=-∈不全是正整数，不合题意.而16n n S k +>有解，所以2(5)213nn n q ++>有解，经检验，当2q =，3q =，4q =时，1n =都是2(5)213nn n q++>的解，适合题意； ……………12分 下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=， 则212[(1)(75)7]3n n nq n q n q b b q +-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减， 又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ……………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ………………16分 20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =．（1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．20．解析：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23．当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：所以()f x 的极大值为24()327f b =+=427，0b ∴=．…………………………………………………………………………………4分（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x ->22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x -≤-……………………………………………6分 令22(),([1,])ln x x t x x e x x -=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数，min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-．…………………………………………8分（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩11x x <≥，假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，……9分 不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=，232()()0t F t t t ∴-++= （*）， 是否存在P ，Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．………………………11分 ①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解……………………………12分②若1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分淮安市淮海中学高三年级三统模拟测试(一)数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC . B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵1237A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (Ⅰ)求逆矩阵1A -；（Ⅱ）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －CPA 的长度23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．ABC DOP（第22题）。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）+1r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．答案：1.考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．3.考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为：5．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．4.考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．解答：解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．5.考点：三角方程；函数的零点．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解答：解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=．∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=．故答案为：．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．6.考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．故答案为：24．点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．7.考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．8.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：立体几何．分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．9.考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．解答：解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．10.考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．解答：解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．12.考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13.考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．14.考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．15.考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC 即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．17.考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．解答：解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，），且A，C关于x轴对称，∴C（，﹣），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．18.考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．解答：解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．19.考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：解：（1）∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m．（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e a﹣1＜a e﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e a﹣1＞a e﹣1．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．20.考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．点评：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．21.考点：弦切角．专题：直线与圆．分析：利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．解答：证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D．点评：本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．22.考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．解答：解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=点评：本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．23.考点：直线的参数方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．解答：解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．24.考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．解答：证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．25.考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．26.考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kf k﹣1（x）+xf k（x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，由①②得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nf n﹣1（）+f n（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。

江苏省淮安市淮海中学2014届高三决战四统测试数学试题(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1． 已知集合{}{}1,0,1,02A B x x =-=<<，则A B =I ▲ ． 2． 已知(1)2i z i +⋅=-，那么复数z = ▲ .3． 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．4． 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于▲ ．5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．6.如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ．7.已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量 a ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ． 8.如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别 在棱PA ，PB ，PC 上，满足PD ＝PF ＝1，PE ＝2，则三棱锥P – DEF 的体积是 ▲ ．（第5题） 结束 开始 P ← 0 n ← 1 P ←P ＋1n (n ＋1)n ← n ＋1 输出nY N （ 第6题 ） P ＜0.70 ACP DEF 第8题图注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

淮海中学2014届高三Ⅲ级部数学决战四统测(三)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1. 已知集合{}1,2,3,4A =--，{}2|,5B x x R x =∈<，则AB = ▲ .2.复数1iZ i=+(i 是虚数单位)的虚部为 ▲ ． 3.抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：的城市为 ▲ （填甲或乙）．4.抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ▲ ． 5.如图是计算111319+++的值的一个流程图，则常数a 的最大值是 ▲ ．6．投掷两颗骰子得到其向上的点数分别为,m n ，设(,)a m n =，则满足5a <的概率为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

7. 设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ．8.如果一个正三棱锥的底面边长为6，且侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是 ▲ .9.已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，若点S y x P ∈),(，则3z x y =+的最大值为 ▲ .10.若关于x 的方程sin 2cos 2x x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则k 的取值范围为 ▲11．设O 是ABC ∆外接圆的圆心，AO xAB yAC =+，且6AB =，8AC =，42x y +=，则AB AC ⋅= ▲ .12.在平面直角坐标系中，若符合点A （1，2），B （m ，1）到直线l 的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13. 设x 1、x 2 是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点，且22||||21=+x x 则b 的最大值为_____▲____ 14. 已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,2482n nn B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22014S T +≥的最小正整数为 ▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数()cos f x wx wx m ++（R x ∈>,0ω，m 是实数常数）的图像上的一个最高点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,6π，与该最高点最近的一个最低点是⎪⎭⎫⎝⎛-3,32π， (1)求函数()x f 的解析式及其单调增区间；(2)在锐角三角形△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且ac BC AB 21-=⋅，角A 的取值范围是区间M ，当M x ∈时，试求函数()x f 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．17（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝43km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为θ．（1）将tanθ表示为x的函数；（2）求点D的位置，使θ取得最大值．18．（本小题满分16分）（第17题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,短轴两个端点为B A ,,且四边形B AF F 21是边长为2的正方形. (1)求椭圆的方程;(2)若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点,动点M 满足CD MD ⊥,连接CM ,交椭圆于点P .证明:OM OP ⋅为定值;(3)在(2)的条件下,试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.19. (本小题满分16分)已知()n n n A a b ，（n ∈N *）是曲线x y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （1）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≥）是常数数列；（2）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （3）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N *）的斜率随n 单调递增 20．（本题满分16分）已知实数0a ≠，函数21()(2)2ln ,()()44f x a x x g x f x a a=-+=-+。

2014年江苏省淮安市高三第四次调研数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{1, 2, 3, 4}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z 满足z ⋅i =1+i （i 是虚数单位），则z =________．3. 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为________．4. 平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为________．5. 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为________．6. 一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为√2，且过点(1, √2)，则曲线C 的标准方程为________．8. 已知函数f(x)对任意的x ∈R 满足f(−x)=f(x)，且当x ≥0时，f(x)=x 2−ax +1，若f(x)有4个零点，则实数a 的取值范围是________．9. 已知正实数x ，y 满足(x −1)(y +1)=16，则x +y 的最小值为________． 10. 在直角三角形ABC 中，C =90∘，AC =6，BC =4．若点D 满足AD →=−2DB →，则|CD →|=________．11. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)的图象如图所示，则f(2)=________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−4x =0．若直线y =k(x +1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________．13. 设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i =a i 2(i =1, 2, 3)，则数列{b n }的公比为________．14. 在△ABC 中，BC =√2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当∠C 变化时，线段CD 长的最大值为________．二、解答题（共6小题，共90分）15. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB // EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b =4，BA →⋅BC →=8． （1）求a 2+c 2的值；（2）求函数f(B)=√3sinBcosB +cos 2B 的值域．17. 某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC =θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S(θ)； （2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，AB +CD =7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB +CD 的取值范围．19. 已知函数f(x)=(x −a)2e x 在x =2时取得极小值． (1)求实数a 的值；(2)是否存在区间[m, n]，使得f(x)在该区间上的值域为[e 4m, e 4n]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．20. 各项均为正数的数列{a n }中，设S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =1a 1+1a 2+...+1a n，且(2−S n )(1+T n )=2，n ∈N ∗．（1）设b n =2−S n ，证明数列{b n }是等比数列；（2）设c n =12na n ，求集合{(m, k, r)|c m +c r =2c k , m <k <r, m, k, r ∈N ∗}．2014年江苏省淮安市高三第四次调研数学试卷答案1. {1, 2}2. 1−i3. 154. √35. 16. 2√27. y 2−x 2=1 8. (2, +∞) 9. 8 10. 10 11. −√2212. [−2√2, 2√2]13. 3+2√2 14. 315. 证明：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB // CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以AB // 平面CDEF ．…4分因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF =EF ， 所以AB // EF ． …7分（2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥BC ． …9分因为BC ⊥CD ，CD ∩DE =D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ， 所以BC ⊥平面CDEF ． …12分因为BC ⊂平面BCF ，所以平面BCF ⊥平面CDEF ．…14分． 16. 解：（1）∵ BA →⋅BC →=8，∴ accosB =8， 由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−16， ∵ b =4，∴ a 2+c 2=32；（2）∵ a 2+c 2≥2ac ， ∴ ac ≤16， ∵ accosB =8， ∴ cosB =8ac ≥12， ∵ B ∈(0, π)， ∴ 0<B ≤π3，∵ f(B)=√3sinBcosB +cos 2B =√32sin2B +12(1+cos2B)=sin(2B +π6)+12，∵ π6<2B +π6≤5π6，∴ sin(2B +π6)∈[12, 1]，则f(B)的值域为[1, 32]．17. 解：（1）由题意，AC =100cosθ，直径AB 为100米，∴ 半径为50米，圆心角为2θ，∴ BĈ=100θ， ∴ 绿化带总长度S(θ)=200cosθ+100θ(θ∈(0, π2)； （2）∵ S(θ)=200cosθ+100θ，∴ S′(θ)=−200sinθ+100， 令S′(θ)=0，可得θ=π6．函数在(0, π6)上单调递增，在(π6, π2)上单调递减，∴ θ=π6时，绿化带总长度最大．18. 解：（1）由题意知，e =ca =12，CD =7−2a ， 所以a 2=4c 2，b 2=3c 2，…2分 因为点(c,7−4c 2)在椭圆上， 即c 24c 2+(7−4c 2)23c 2=1，解得c =1．所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．…6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知AB +CD =7；…7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 且设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 则直线CD 的方程为y =−1k (x −1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1=4k 2−6√k 2+13+4k 2，x 2=4k 2+6√k 2+13+4k 2，所以AB =√k 2+1|x 1−x 2|=12(k 2+1)3+4k 2．…10分同理，CD =12(1k 2+1)3+4k2=12(k 2+1)3k 2+4．所以AB +CD =12(k 2+1)3+4k 2+12(k 2+1)3k 2+4=84(k 2+1)2(3+4k 2)(3k 2+4)，…12分令t =k 2+1，则t >1，3+4k 2=4t −1，3k 2+4=3t +1， 设f(t)=(4t−1)(3t+1)t 2=−1t 2+1t +12=−(1t −12)2+494，因为t >1，所以1t ∈(0,1)， 所以f(t)∈(12,494]，所以AB +CD =84f(t)∈[487,7)．综合①与②可知，AB +CD 的取值范围是[487，7]． …16分．19. 解：(1)f ′(x)=e x (x −a)(x −a +2)， 由题意知 f ′(2)=0 ，解得 a =2或 a =4. 当a =2时， f ′(x )=e x x (x −2)，易知 f (x )在 (0,2) 上为减函数，在 (2,+∞)上为增函数，符合题意； 当a =4 时， f (x )=e x (x −2)(x −4)易知 f (x ) 在 (0,2) 上为增函数，在(2,4),(4,+∞) 上为减函数，不符合题意. 所以，满足条件的 a =2.(2)因为f(x)≥0，所以m ≥0．①若m =0，则n ≥2，因为f(0)=4<e 4n ，所以(n −2)2e n =e 4n ． 设g(x)=(x−2)2xe x (x ≥2)，则g′(x)=[x 2−4x 2+(x−2)2x]e x ≥0，所以g(x)在[2, +∞)上为增函数．由于g(4)=e 4，即方程(n −2)2e n =e 4n 有唯一解为n =4． ②若m >0，则2∉[m, n]，即n >m >2或0<m <n <2． (I)n >m >2时，{f(m)=(m −2)2e m =e 4m ，f(n)=(n −2)2e n =e 4n ，由①可知不存在满足条件的m ，n ． (II)0<m <n <2时， {(m −2)2e m =e 4n ，(n −2)2e n =e 4m ，两式相除得m(m −2)2e m =n(n −2)2e n ． 设ℎ(x)=x(x −2)2e x (0<x <2)， 则ℎ′(x)=(x 3−x 2−4x +4)e x =(x +2)(x −1)(x −2)e x ，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, 2)上单调递减， 由ℎ(m)=ℎ(n)得0<m <1，1<n <2， 此时(m −2)2e m <4e <e 4n ，矛盾．综上所述，满足条件的m ，n 值只有一组，且m =0，n =4． 20. 解：（1）当n =1时，(2−S 1)(1+T 1)=2， 即(2−a 1)(1+1a 1)=2，解得a 1=1． …2分由(2−S n )(1+T n )=2，所以T n =22−S n−1①当n ≥2时，T n−1=22−S n−1−1② ①-②，得1a n=22−S n−22−S n−1=2a n(2−S n )(2−S n−1)(n ≥2)，…4分即(2−S n )(2−S n−1)=2[(2−S n−1)−(2−S n )]2， 即b n b n−1=2(b n−1−b n )2，所以b n b n−1+b n−1b n=52，因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{2−S n }单调递减，所以b nb n−1<1．所以b n b n−1=12(n ≥2)．因为a 1=1，所以b 1=1≠0，所以数列{b n }是等比数列． …6分 （2）由（1）知2−S n =(12)n−1，所以a n =12n−1，即c n =n 2n．由c m +c r =2c k ，得c m c k+cr c k=2(∗)又n ≥2时，c n+1c n=n+12n<1，所以数列{c n }从第2项开始依次递减． …8分(I)当m ≥2时，若k −m ≥2，则c m c k≥c m c m+2=m 2m m+22m+2=4m m+2≥2，(∗)式不成立，所以k −m =1，即k =m +1． …10分 令r =m +1+i(i ∈N ∗)，则c r =r 2m+1+i=2c k −c m =2(m+1)2m+1−m 2m=22m+1=2i+12m+1+i，所以r =2i+1，即存在满足题设的数组{(2i+1−i −1, 2i+1−i, 2i+1)}(i ∈N ∗)．…13分 (II)当m =1时，若k =2，则r 不存在；若k =3，则r =4； 若k ≥4时，c 1c k≥c1c 4=2，(∗)式不成立．综上所述，所求集合为{(1, 3, 4), (2i+1−i −1, 2i+1−i, 2i+1)}(i ∈N ∗)． …16分．。

淮海中学2014届高三Ⅲ级部数学决战四统测(二)一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

1．已知i 是虚数单位，R a ∈，若复数iia -+1的实部是1-，则=a ▲ ． 2．设集合}3,1{},2|||{=<-=B a x x A ，且A B A =⋃，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。

若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ▲ ． 4．设向量a 与b 的夹角为θ，)4,5(3),1,2(=+=， 则=θcos ▲ ．5．已知正整数b a ,满足304=+b a ，则b a ,都是偶数的概率是 ▲ ．6．执行如右图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断 框内①处应填的整数为 ▲ ．7．在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则2abc的最大值为 ▲ ． 8．若等差数列}{n a 和等比数列}{n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合},|{*N n b a n n n ∈= 的元素个数最多有 ▲ ．个。

注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

9．已知直线)0(0>=--k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，且有||33||≥+，则k 的取值范围是 ▲ ． 10．设O 为坐标原点，给定一个定点)3,4(A ，而点)0,(x B 在x 正半轴上移动，)(x l 表示的长，则OAB ∆中两边长的比值)(x l x的最大值为 ▲ ． 11．已知x x x f 3)(3-=，过),1(m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取值范围是 ▲ ．12．设B A ,分别是椭圆14:22=+y x C 的上下两个顶点，P 为椭圆C 上任意一点(不与点B A ,重合)，直线PA PB ,分别交x 轴于N M ,两点，若椭圆C 在P 点的切线交x 轴于Q 点，则=-||NQ MQ ▲ ．13．若关于x 的不等式022<-+a x ax 的解集中有且仅有4个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知0=-z xy ，且210<<z y ，则2222164yz x yzxz +-的最大值是 ▲ ． 二．解答题：本大题共6小题，计90分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,则B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。

属于基础题，难度系数较小。

2、已知复数2)25(i z -=(i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ ． 【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。

【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。

属于基础题，难度系数较小。

3、右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，本题202>n 是否成立，若不成立，则n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；若成立，则输出n 的值。

本题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，则输出的n 的值为5【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。

属于基础题，难度系数较小。

4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ ． 【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为31。

【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。

江苏省淮安市2014年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试物理试题欢迎参加中考，相信你能成功！请先阅读以下几点注意事项：1.试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.全卷满分80分，考试时间80分钟.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在本试卷上无效.3.答第Ⅱ卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案写在答题卡上指定的位置.答案写在试卷上或答题卡上规定的区域以外无效.4.作图要用2B 铅笔，加黑加粗，描写清楚.5.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共20分）一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.如图所示，将悬挂的乒乓球轻轻接触正在发声的音叉，观察到乒乓球被音叉多次弹开；声音消失，乒乓球便会停止运动.此现象表明声音A .是由物体振动产生的B .可以通过固体传播C .不能在真空中传播D .是以波的形式传播的2.如图所示的现象中，由光折射形成的是3.给出的四组能源中，均为可再生能源的一组是A .太阳能、水能、风能B .天然气、石油、氢能C .地热能、核能、煤炭D .潮汐能、核能、石油题1图A .日食美景 B.天空彩虹 C .耀眼幕墙 D .林间光柱 题2图4.如图所示，用刻度尺测量铅笔的长度.测量方法正确的是5.如图所示，漂浮在液面上的苹果处于静止状态，其受到重力的平衡力是A.苹果对地球的引力B.液体对苹果的浮力C.苹果对液体的压力D.液体所受到的重力6.如图所示，是由微颗粒（1–50nm ）制备得到的新型防菌“纳米纸”.在“纳米纸”的表面细菌无法停留且油水不沾.与此现象有关的判断正确的是A .组成“纳米纸”的分子间没有间隙B .油与“纳米纸”分子间有斥力没有引力C .“纳米纸”可阻止细菌分子无规则运动D .油分子间引力使纸面上的油汇集成小油珠 7.正常行驶的汽车，遇到紧急情况突然刹车，导致乘车的人向前倾的原因是A .乘车人受到向前的力B .没有动力汽车就停止运动C .乘车的人具有惯性D .汽车具有惯性8.如图所示，闭合开关，导体ab 发生偏移.此实验探究的问题是A .感应电流产生的条件B .通电直导线周围的磁场C .影响电磁铁磁性的因素D .磁场对电流的作用9.拖拉机发动机用循环流动的水进行冷却，是利用水具有A .较低的凝固点B .较大的比热容C .较差的导热性D .较好的透明性10.如图所示，是感应式电能表的表盘示意图.与其技术参数有关的说法正确的是A .正常工作时额定功率为220VB .每转2圈电路耗电为1kW ·hC .正常运行的最大电流为10AD .电路消耗的电能是2486kW ·h题8图 题6图 题10图题5图A B C D 题4图第Ⅱ卷 （非选择题 共60分）二、填空题（本题共9小题，每空1分，共22分）11.用干燥的丝绸摩擦玻璃棒后，玻璃棒能吸引轻小物体，则说明玻璃棒 ______________ ；此轻小物体 _________ （选填“肯定”或“可能”）是带电体.12.“蝉噪林逾静，鸟鸣山更幽”诗名中，“蝉”和“鸟”叫声的区分根据的是声音的 __________ 不同；茂密的森林有吸声和消声的作用，是在 __________ 控制噪声.13.用托盘天平和量筒测量小石块的密度，天平平衡时，放在右盘中的砝码和游码在标尺上的位置，如图甲所示，则小石块的质量是 _______ g ；现将小石块浸没到图乙所示量筒里的水中，液面升至46ml ，则其体积是 _________ cm 3，密度为 ________ g /cm 3.14.如图所示，闭合开关S ，电灯L 1与L 2的连接方式是 ______ 联；断开开关S ，会发生的现象是 _____________ ；电路连接的不妥之处是 ____________________ .15.如图所示，汽车沿水平路面高速行驶，车轮与地面之间摩擦做功，将 _________ 能转化为内能，轮胎的温度会 ____________ .16.如图所示，闭合开关S ，发现电灯L 1、L 2均不亮，电流表示数为零，说明电路存在 ________ 故障；用电压表进行检测，发现b 、c 间电压为零，a 、b 和a 、c 间电压均为3V ，则电路的故障是 _______ .17.探究平面镜成像特点的实验中，用薄的茶色玻璃代替平面镜，目的是便于 _________ ；物体向平面镜移动，物体与其像之间的距离将 ______________ .18.如图所示，“神舟十号”与“天宫一号”运动到相距30m 的位置时，开始发送和接收 _________ 信号，自动控制对接，直到相互接触时耗时150s .若以“天宫一号”为参照物，“神舟十号”是 ________ 的，且速度为 _______ m/s.题15图 题18图题16图 题13图题14图19.如图所示，小明将一只质量为100g 的圆柱形玻璃杯，放到水平的桌面上，杯底与桌面的接触面积为25cm 2，则玻璃杯对桌面的压强是 __________ Pa （g取10N /kg ）；在靠近玻璃杯的正后方，放一只点燃的蜡烛，用力对着玻璃杯吹气，会观察到烛焰 _________ （选填“不受影响”、“摇曳但不熄灭”或“被吹灭”），判断的理由是 ___________ .三、解答题（本题共7小题，共38分.解答24、25题时，应写出解题过程）20.（4分）（1）画出图甲中入射光线的折射光线.（2）画出图乙中鸡蛋受到的重力G 的示意图.（3）标出图丙中静止在通电螺线管右端小磁针．．．的N 、S 极. （4）用笔画线代替导线，将电灯和开关连接到图丁的电路中.21.（6分）如图所示，是“探究杠杆平衡条件”的装置图.（1）实验前为方便测量力臂长度，应将杠杆调节到 _______ 平衡，如果杠杆的左端向下倾斜，平衡螺母应向 _________ 端调节. （2）实验记录的数据如表中所示，收集多组数据的目的是 ______________________ ；实验得到的结论是 _____________________ （用字母符号表示）.（3）图中杠杆处于平衡状态，每个钩码受到的重力是0.5N ，则弹簧测力计竖直向下的拉力是 _________ N ；拉着弹簧测力计，逐渐向右倾斜，并保持杠杆平衡，弹簧测力计的示数将 ________ .题21图 题19图 甲 乙 丙 丁 题20图22.（5分）如图甲所示，是“探究水沸腾时温度变化特点”的装置图.（1）实验过程中，依据观察到的 ________________________ 现象，判定水开始沸腾. （2）图乙是实验第5min 时温度计的示数，将其读数记录到表中.（3）根据记录的数据，在坐标系中画出温度随时间的变化图像.（4）通过实验可知，水沸腾时，温度 __________ （选填“逐渐升高”、“保持不变”或“逐渐降低”）；停止加热，水不能继续沸腾，说明沸腾过程中水需要继续 _________ . 23.（5分）小明在选用弹簧测力计的过程中，发现测量大小相同的力时，用不同规格的测力计，弹簧伸长的长度不一样.对哪些因素会影响弹簧的伸长量，小明有三种猜想： 猜想1：制造弹簧所用的材料可能影响弹簧的伸长量.猜想2：弹簧的原长可能影响弹簧的伸长量.猜想3：弹簧的粗细可能影响弹簧的伸长量.小明为探究自己的猜想，设计出一个实验方案： ①将一根弹簧剪成长度不同的两根，测出两根弹簧的初始长度L 1、L 2.②如图所示，固定弹簧的一端，用大小相同的力拉弹簧，测出两根弹簧的对应长度L 1′、L 2′.③改变拉力的大小，重复实验步骤①②，记录实验数据.（1）该实验方案研究的是猜想 ________________________________ （填写序号）. （2）实验方案中将“一根弹簧剪成长度不同的两根”，这样做的目的是 ____________ . （3）实验方案中“用大小相同的力拉弹簧”表明弹簧的伸长量还与 ____________ 有关. （4）探究此猜想需要研究和比较的物理量是 _____________ 和 __________________ .题23图 甲 乙 丙 题22图24.（4分）小华用一根阻值为10Ω、额定电压为6V 的电热丝，制作一台加热器，所用电源的电压为9V .（1）为使加热器正常工作，电路中需串联一个电阻，其阻值是多少？（2）加热器正常工作1min ，电热丝消耗的电能是多少？25.（7分）如图所示，用500N 的拉力，将重1200N 的木箱匀速提升1.5m ，所用的时间为30s .（1）拉力所做的有用功是多少？（2）拉力的功率是多少？（3）滑轮组的机械效率是多少？ 26.（7分）在“测量小灯泡额定功率”的实验中，选用的器材有：新干电池2节、标有“2.5V ”的小灯泡、电压表、电流表、滑动变阻器、开关各1个和导线若干.（1）连接的实物电路，如图甲所示.闭合开关前，滑动变阻器的滑片应移到 ______ （选填“A ”或“B ”）端，其作用是 _______________ .（2）对照实物电路，补充完整图乙的电路图.（3）检查电路连接无误后，闭合开关，读得电压表、电流表的示数分别是0.6V 、0.12A ，则滑动变阻器的最大阻值为 __________ Ω.（4）实验过程中，当电压表的读数为2.5V 时，电流表的示数如图丙所示，其值为 ______ A ，则小灯泡的额定功率是 ________ W .（5）LED 节能灯的发光亮度与此小灯泡相同时，LED 灯可节约85.8%的电能，据此推算小灯泡正常发光时的亮度与 ______ W 的LED 灯亮度相当.题25图甲乙丙题26图江苏省淮安市2014年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试物理试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题共20分）一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）1.A2.B3.A4.C5.B6.D7.C8.D9.B 10.C第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题（本题9小题，每空1分，共22分）11.带了电可能12.音色传播途中13.54.4 16 3.414.并电灯L1熄灭电灯L2没有开关控制15.机械升高16.断路电灯L1处断路17.确定像的位置变小18.电磁波运动 0.219.400 被吹灭由于流体的流速越快，压强越小，导致气流沿玻璃杯的表面运动三、解答题（本题7小题，共38分）20.（4分）（1）（2）（3）（4）21.（6分）（1）水平位置右（2）探究杠杆平衡所遵循的普遍规律F1×L1= F2×L2 （3）2 变大22.（5分）（1）水的内部产生的大量气泡，上升到水面破裂（2）98 （4）保持不变吸收热量23.（5分）（1）2 （2）得到材料、粗细均相同的两根弹簧（3）拉力的大小（4）弹簧的原长对应的伸长量24.（4分）解：（1）R = U/I = （9V– 6V）×10Ω/6V = 5Ω（2）W = Pt = U2t/R = 6V×6V×60s/10Ω= 216J答：电路中串联电阻的阻值是5Ω，电热丝消耗的电能是216J.25.（7分）解：（1）W有 = Gh = 1200N×1.5m = 1800J（2）P = W/t = FS/t = 500N×1.5m×3/30s = 75W（3）η= （W有/W总）×100% = （1800J/（500N×1.5m×3））×100% = 80% 答：拉力所做的有用功是1800J，拉力的功率是75W，滑轮组的机械效率是80%.26.（7分）（1）A 保护电路（3）20 （4）0.2 0.5 （5）0.071。

二模文科参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDCACABAD二、填空题11、240x y -+= 12、4 13、504 14、163315、②③④三、解答题16、解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．所以cos cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所 以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin (3cos sin )f A A A A =-31cos 2sin 222AA -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. ∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分17、解：（1）成绩在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[]90,100内同样有2 人． ……………2分， 由2100.008n=⨯， 得25n = ， ……………3分 茎叶图可知抽测成绩的中位数为73 ． ………………4分∴成绩在[)80,90之间的人数为()25271024-+++= ………5分参加跳绳测试人数25n =，中位数为73，分数在[)80,90、[]90,100内的人数分别为4 人、2 人． ………………6分（2）设“在[]80,100内的学生中任选两人，恰好有一人分数在[]90,100内”为事件M ，将[)80,90内的4人编号为a b c d ,,, ；[]90,100内的2人编号为A B , 在[]80,100内的任取两人的基本事件为：,,ab ac ad aA aB ,,,bc bd ,,,bA bB ,cd cA cB dA dB AB ,,,,,共15个 …………9分其中，恰好有一人成绩在[]90,100内的基本事件有,aA aB ,,bA bB ,,cA cB dA ,,dB ,共8个故所求的概率得()8=15P M ………………………12分18. （1）证明：∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC .在直三棱柱111ABC A B C -中，∵1B B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥1B B . ∵BC ∩1B B ＝B ，∴AD ⊥平面11B BCC .∵1B F ⊂平面11B BCC ，∴AD ⊥1B F . …………………3分 在矩形11B BCC 中，∵11C F CD ==，112B C CF ==，∴Rt DCF ∆≌11Rt FC B ∆.∴∠CFD ＝∠11C B F .∴∠1B FD ＝90°,∴1B F FD ⊥. ∵AD ∩FD ＝D ，∴1B F ⊥平面ADF . …………………6分 （2）取11B C 中点为1D ,在 11C D 上取点E ，使11113C E CD =,连接PE,EF. 111111111//3C P C E PE AD C A C D ==∴又11////A D AD PE AD ∴ 11AD ADB ADB ⊂⊄ 面，PE 面1//PE ADB ∴面 123CF CC == ， 11111111////3C F C E EF CD DB C C C D ==∴111DB ADB ADB ⊂⊄ 面，EF 面111//,////EF ADB PE EF EPEF ADB PF PEF PF ADB ∴⋂=∴⊆∴ 面面面，面面 …………………12分 19、解：（1）1222=+y x ………………………（3分）(2)（i ）由（1）知(01),B -，，设点E （m,m).∵点E 为AB 中点，∴A （2m,2m+1) 又∵点A 在椭圆上，∴22(2)(21)12m m ++=解得：m=0（舍）或23m =-，∴直线AB 的方程为：112y x =--。

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d 的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ． 10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）(第7题图)15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分因为AP /平面BDE ，OE 平面BDE ， 所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面PAB ． ………………………………………8分因为AP 平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB 平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分因为BE 平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC 平面PAC ， 所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．(本小题满分14分)PBCDEA(第15题图)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分 解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)， (2)分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－ 2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分 由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)． 所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14(第16题图)cos2α．……………………………10分 因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分 所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分 17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)． 解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)：PNCAPM N BC(第17题图)设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ， 即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x＝x 2＋(x 2－xy )4x＝2x －y4． …………………………………………6分 cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤2 3．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2， ∴(x 1－x 2)2＋3x22＝4． …………………………………………2分MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3， k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →．MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1， 3x 2)． ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2． ∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． (8)分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上， (4)分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MNsin60°＝2R ，APMNBCFE∴R ＝23， …………10分∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分 （2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分 解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分 所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分 解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 2 2．所以11(1)(2OP OQ ⋅=-⨯-+=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ (2)当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k --+++， (4)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k kk k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 A { 2 ，1，3，4} ，B { 1，2，3} ，则 A B _______ ．【答案】{ 1，3}【解析】由题意得 A B { 1,3} ．（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数【答案】21 z(5 2i) (i 为虚数单位)，则z的实部为_______． 22【解析】由题意 2 2z (5 2i) 25 2 5 2i (2i) 21 20i ，其实部为21．（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】 5n 的最小整数解．2n 20 整数解为n 5，因此输出的n 5 ．【解析】本题实质上就是求不等式 2 20（4）【2014 年江苏，4，5 分】从1，2 ，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_______．【答案】 13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取 2 个数共有 2C4 6 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和2,3 两种取法，因此所求概率为 2 1P ．6 3（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数y cos x与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cos sin(2 )3 3 ，即2 1sin( )3 2，2kk ( 1) ，(k Z ) ，因为0 ，所3 6以．6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 ．（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列{ }a 中，若na8 a6 2a4 ，则a2 1 ，a的值是________．6【答案】 4【解析】设公比为q ，因为a2 1，则由a8 a6 2a4 得 6 4 2 2 4 2 2 0q q a ，q q ，解得2 2q ，所以4a6 a2q 4 ．（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为1 2 V ，V ，若它们的侧面积相1 2等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 、h ，r2、h2 ，则2 r1h1 2 r2 h2 ，1 1 h r1 2h r2 1，又2S r1 12S r2 294，所以r1r232，则2 2 2V r h r h r r r1 1 1 1 1 12 12 2 2V r h r h r r r2 2 2 2 2 2 1 232．（9）【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆长为________．2 2(x2) (y1) 4 截得的弦【答案】 2 555【解析】圆 2 2(x 2) (y1) 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为r 2 ，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3d ，所求弦长为2 251 22 2 9 2 55l 2 r d 2 4 ．5 5（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数f (x) x mx 1，若对任意x [m，m 1]，都有 f (x) 0 成立，则实2数m 的取值范围是________．【答案】 2 0，2【解析】据题意2 2f (m) m m 1 02f (m 1) (m 1) m(m 1) 1 0，解得22m 0 ．（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 2 by axx( a，b 为常数)过点P(2 ，5) ，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是________．【答案】 3【解析】曲线y ax 2 bxb b过点P(2, 5) ，则4a 5 ①，又y'2ax 22 x，所以b 74a ②，由①②解得4 2ab11，所以 a b 2 ．（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是________．【答案】22【解析】由题意，1AP AD DP AD AB ，43 3BP BC CP BC CD AD AB ，4 4所以1 3AP BP (AD AB) (AD AB)4 42 13 2AD AD AB AB ，2 16即 1 32 25 64AD AB ，解得AD AB 22 ．2 16（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知 f (x) 是定义在R上且周期为 3 的函数，当x [0 ，3) 时， 2 1f (x) x 2x ．2 若函数y f ( x) a 在区间[ 3，4] 上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．【答案】0 1，22【解析】作出函数21f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21f(0)，当x1时，21f(x)极大，27f，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数y f(x)和图象与直线(3)2y a在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y a与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21a(0,)．2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin A2sin B2sin C及正弦定理可得a2b2c，cosC222a b c2ab2ab223a2b22ab26ab22ab62 8ab8ab4，当且仅当223a2b，即ab23时等号成立，所以cos C的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin55．（1）求sin的值；4（2）求cos26的值．解：（1）∵sin5，，，∴25225cos1sin5，210s i n s i n c o s c o s s i n(c o s s i n)．444210（2）∵43sin22sin cos cos2cos sin，，sin22sin cos cos2cos sin2255∴3314334 cos2cos cos2sin sin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA AC，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵D，E为PC，AC中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE1PA3∵E，F为AC，AB中点，∴1 4EF BC，22∴DE2EF2DF2，∴DEF90°，∴DE⊥EF，∵DE//PA，PA AC，∴DE AC，∵AC EF E，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别是椭圆1222yx a b221(0)a b的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1（1）若点C的坐标为41，，且33B F22，求椭圆的方程；（2）若F C AB，求椭圆离心率e的值．1316 1解：（1）∵ 4 1C ，，∴3 3 9 9 9a b2 2，∵ 2 2 2 2BF b c a ，∴22 ( 2) 2 2a ，∴b，2 1∴椭圆方程为 2 x y ．2 12（2）设焦点F1( c，0) ，F2 (c，0) ，C(x，y) ，∵A，C 关于x 轴对称，∴A(x ，y) ，∵B，F ，A三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y b FC AB ，∴ 1 1x c c ，即 2 0xc by c ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b c2 2∴Ca c 2bc2 2，2 2 2 2b c b cC 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21，化简得5c a ，∴c 52 2a 5, 故离心率为55．（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O A 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点 A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan 4BCO ．3（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率 4k －tan BCO ．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率 3k ．设点 B 的坐标为(a,b)，AB4则k BC= b 0 4a 170 3 ，k AB= 60 3ba 0 4，解得a=80，b=120．所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 ．因此新桥BC 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60．)由条件知，直线BC 的方程为 4 ( 170)y x ，即4x 3y 680 0 ，3由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d)到直线BC 的距离是r，即因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，| 3d 680 | 680 3d r ．5 5所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d ) 80≥，解得10 ≤ d ≤35 ．故当d=10 时,680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA, CB 交于点F．因为tan∠BCO = 43 ．所以sin∠FCO = 45，cos∠FCO = 35．因为OA =60,OC=170，所以OF= O C tan∠FCO =6803 ．CF=OC850cos FCO 3，4从而500AF OF OA ．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO =3 45，又因为A B⊥BC，所以BF =AFcos∠AFB == 4003，从而BC= C F－BF=150．因此新桥B C 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D，连接M D ，则MD ⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m，OM =d m(0 ≤d≤60．) 因为O A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO = MD MD r 3MF OF OM 680 5d3所以680 3dr ．5因为O和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d )≥80，解得10 ≤ d ≤35 ，故当d=10 时，680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数( ) e ex xf x 其中e 是自然对数的底数．（1）证明： f (x) 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf (x) ≤ e m 1在(0 ，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；x（3）已知正数 a 满足：存在你的结论．x0 [1，) ，使得 3 ea 1 与f (x ) a( x 3x ) 成立．试比较0 0 0a e 1 的大小，并证明解：（1）x R， f ( x) e e f (x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数．x x（2）由题意，(e e ) e 1x x x m ≤，∵x (0 ，) ，∴e x e x 1 0 ，x x xm ≤m ，即(e e 1) e 1即 e 1xm ≤对x (0 ，) 恒成立．令 e ( 1)t t ，则xe e 1x x m1 t≤对任意t (1，) 恒成立．t t 12∵ 1 1 1 1t t ≥，当且仅当t 2 时等号成立，∴ 1m ≤．2 2 3t t 1 (t 1) (t 1) 1 1 3t 1 1t 1（3）f '( x) e e ，当x 1 时 f '( x) 0 ∴ f (x) 在(1，) 上单调增，令x xh(x) a( x 3x) ，h '( x) 3ax( x 1) ，33∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，) 上单调减，∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a ．30 0 0e 2 e∵ a a a a ，设m(a) (e 1)ln a a 1 ，则m '(a ) e 1 1 e 1 a e-1ln ln ln e (e 1)ln 1e 1 a 1e a aa 1，1 1a e ．当2 e 1 1e a e 1时，m '(a) 0 ，m(a) 单调增；当 a e 1 时，m '(a) 0 ，m(a ) 单调2 e减，因此m( a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时，m(a) 0 ，a e 1 e a 1 ；当1 e 1 ea 时，m(a) 0 ，2 e a e 1 e 1 ；当a e 时，m(a) 0 ，aa e 1 e a 1 ．（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列{ }a 的前n 项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n n S a ，n m则称{}a 是“H 数列”．nn（1）若数列{ a } 的前n 项和S 2 (n N) ，证明：{ a } 是“H 数列”；n n n（2）设{ a } 是等差数列，其首项n a1 1，公差 d 0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；n（3）证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H数列”{b } 和{c } ，使得 a b c (n N) 成立．n n n n n n解：（1）当n ≥ 2 时，n n 1 n 1a S S 1 2 2 2 ，当n 1时，n n n a1 S1 2 ，∴n 1时，S a ，当n≥2时，1 1 S a ，∴{a } 是“H 数列”．n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n d ，对n N，m N使n 12 2S a ，即n mn(n 1)n d 1 (m 1)d ，25取n 2 得1 d (m1)d ，m 2 1d，∵d 0 ，∴m 2 ，又m N ，∴m 1，∴d 1．（3）设{}a 的公差为d，令n b a1 (n 1)a1 (2 n) a1 ，对n N ，nb b a ，n 1 n 1c (n 1)(a d) ，n 1对n N ，c c a d ，则n 1 n 1 b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c } 为等差数列．n n n n n{ b } 的前n 项和nn(n 1)T na ( a ) ，令n 1 12T (2 m)a ，则n 1n(n 3)m 2 ．2当n 1时m 1；当n 2 时m 1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3) 非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b } 为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c (m 1)(ad ) R ，则n 1 mmn(n 1)21∵对n N ，n(n 1) 是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立，n m 即{ }c 为“H 数列”，因此命题得证．n数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前 2 题计分．第22、23 题为必答题．每小题10 分，共40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D．解：因为B，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC．故∠OCB =∠B．又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB =∠D．（21-B ）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1 2 1 1A ，B ，向量1 x2 12y，x，y为实数，若Aα= Bα，求x，y的值．解：2 y 2A ，2 xy2 yBα，由Aα= Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y ．2 xy 4 y， 2（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y 2 t2y2 4x交于A，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l：x y 3 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得x2 10x 9 0 ，∴交点 A (1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB| 8 2 ．（21-D ）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修4-5：不等式选讲）已知x 0 ，y 0 ，证明： 2 21 x y 1 x y 9xy ．解：因为x>0, y>0, 所以1+ x+y 2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥2 2 2 2 23 3 33 x y 0 ，所以(1+ x+y )( 1+x +y) ≥3 xy 3 x y =9 xy．2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥【必做】第22、23 题，每小题10 分，计20 分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．6（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x ，x ，随机变量X 表示1 2 3 x ，x ，x 1 2 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X ) ．解：（1）一次取 2 个球共有 2C 36 种可能情况， 2 个球颜色相同共有92 2 2C C C 10 种可能情况，4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P ．36 18（2）X 的所有可能取值为4，3，2 ，则C 14P X ；( 4) 4C 12649C C C C 133 1 3 1P( X 3) 4 5 3 6 ；C 633911P( X 2) 1 P(X 3) P(X 4) ．∴X 的概率分布列为：14X 2 3 4P 1114 13631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X ．14 63 126 9（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数sin xf (x) (x 0)x ，设 f (x) 为nf x 的导数，n N．n1 ( )（1）求2f f 的值；1 22 2 2（2）证明：对任意的n N，等式 2nf f 成立．n 1 n4 4 4 2解：（1）由已知，得sin x cosx sin xf (x) f (x)1 0 2x x x，于是cosx sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f (x)2 1 2 2 3x x x x x ，所以 4 2 16f ( ) , f ( ) ，1 2 2 32 2故2 f ( ) f ( ) 1 ．1 22 2 2（2）由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得 f 0 (x) xf0 (x) cos x ，即f0 ( x) xf1 (x) cos x sin(x ) ，类似可得2 2 f (x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 233 f (x) xf (x) cos x sin( x ) ，2 32 4 f (x) xf (x) sin x sin( x 2 ) ．3 4下面用数学归纳法证明等式nnf x xf x x 对所有的nn n1 ( ) ( ) sin( )2N*都成立．（i）当n=1 时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k 时等式成立, 即kkf 1 (x) xf (x) sin( x ) ．k k2因为[kf ( x) xf (x )] kf (x) f (x) xf (x) (k 1) f (x) f ( x),k 1 k k 1 k k k k 1(k1)k k k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x ] ，所以2 2 2 2 (k 1) f ( x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] ．2所以当n=k +1 时,等式也成立．综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 ( x) xf (x) sin( x ) 对所有的nn n2 N都成立．*令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) ( nn n4 4 4 4 2N)．所以*2nf f ( nn 1 n( ) ( )4 4 4 2N)．*7。

2014-2015学年江苏省淮安市淮海中学高三（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸上．1．若集合A={1，m﹣2}，且A∩B={2}，则实数m的值为．2．已知i为虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则a+b的值是．3．某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．4．从1，2，3，4，5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为．5．右图是一个算法的流程图，最后输出的k= ．6．已知sinθ=﹣，则cos（π+2θ）的值等于．7．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=3a2，若S6=λa7，则λ= ．8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B﹣B1EF 的体积为．9．在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．10．直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=n，若对任意的n∈N*，都有a n≥a3，则实数k的取值范围为．13．已知函数f（x）=，若方程|f（x）|=a有三个零点，则实数a的取值范围是．14．在△ABC中，若的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4，•=8．（1）求a2+c2的值；（2）求函数f（B）=sinBcosB+cos2B的值域．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面DEF⊥平面PAC．17．某园林公司计划在一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．（1）设∠COD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ．（参考公式：扇形面积公式，l表示扇形的弧长）18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，S3=7，a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设A={a1，a2，…，a10}，B={b1，b2，…，b40}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．20．已知函数f（x）=（x﹣a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．三.附加题21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．23．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=2，F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E=λEC1（λ为实数）．（1）当λ=时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；（2）试问：直线EF与直线EA能否垂直？请说明理由．24．（2011秋•扬州期末）已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{a n}满足：a1=1，（k+1）a k+1=p（k﹣p）a k，其中k=1，2，3，…，p﹣1．（Ⅰ）设p=4，求a2，a3，a4；（Ⅱ）求a1+a2+a3+…+a p．2014-2015学年江苏省淮安市淮海中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸上．1．若集合A={1，m﹣2}，且A∩B={2}，则实数m的值为 4 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：根据集合A={1，m﹣2}，且A∩B={2}，可得m﹣2=2，由此解得m的值．解答：解：∵集合A={1，m﹣2}，且A∩B={2}，∴m﹣2=2，解得m=4，故答案为 4．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的交集的定义，属于基础题．2．已知i为虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则a+b的值是﹣2 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算以及复数相等的充要条件求出a，b即可．解答：解：=a+bi，所以a+bi==，解得a=﹣，b=，所以a+b=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查复数的基本运算，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．3．某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为70 ．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论．解答：解：∵高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名，∴若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为x，则，解得x=90，则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70，故答案为：70．点评：本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．4．从1，2，3，4，5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为5的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5，共10种情况，其中这两个数的和为5的有1、4，2、3，共2种；则取出两个数的和为5的概率P==；故答案为．点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是用列举法得到全部的情况数目和符合题干要求的情况数目．5．右图是一个算法的流程图，最后输出的k= 11 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：题目首先给循环变量和累加变量赋值，判断S与20的关系，若S＜20，执行用S+k 替换S，用k+2替换k，若S≥20，算法结束，输出k．解答：解：首先给循环变量k和累加变量S赋值1和0，判断0＜20，执行S=0+1=1，k=1+2=3；判断1＜20，执行S=1+3=4，k=3+2=5；判断4＜20，执行S=4+5=9，k=5+2=7；判断9＜20，执行S=9+7=16，K=7+2=9；判断16＜20，执行S=16+9=25，k=9+2=11；判断25＞20，输出k的值为11，算法结束．故答案为11．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6．已知sinθ=﹣，则cos（π+2θ）的值等于﹣．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式，二倍角的余弦公式，即可求得结论．解答：解：∵sinθ=﹣，∴cos（π+2θ）=﹣cos2θ=2sin2θ﹣1==﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．7．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=3a2，若S6=λa7，则λ= ．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a5=3a2，可得d=2a1，再利用S6=λa7，求出λ的值．解答：解：设公差为d，则a1+4d=3（a1+d），∴d=2a1，∵S6=λa7，∴6a1+15d=λ（a1+6d），∴6a1+30a1=λ（a1+12a1），∴λ=．故答案为：．点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B﹣B1EF的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：=，由此利用等积法能求出三棱锥B﹣B 1EF的体积．解答：解：∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，∴B1B⊥平面BEF，B1B=2，S△BEF==，∴====．故答案为：．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要注意等积法的合理运用．9．在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先建立直角坐标系，由可求D的坐标，代入可求，，然后代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则A（0，0），B（0，1），C（1，0），设D（x，y）∴=（x，y﹣1），=（1﹣x，﹣y）∵∴x=，y﹣1=∴x=，y=则=（）•（，）==故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系．10．直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于d时，弦长等于AB=2，故当弦长大于4时，则得d2＜5，解此不等式求出k的取值范围．解答：解：由于圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9则圆心（3，2），半径为3设圆心（3，2）到直线y=kx+1的距离为d，由弦长公式得，AB=2＞4，故d2＜5，即，化简得（k﹣2）（2k+1）≤0，∴﹣＜k＜2，故答案为：．点评：本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（﹣2，1）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．解答：解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增．∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a，解不等式可得，﹣2＜a＜1，故答案为：（﹣2，1）．点评：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=n，若对任意的n∈N*，都有a n≥a3，则实数k的取值范围为6≤k≤12 ．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：根据对所有n∈N*不等式a n≥a3恒成立，可得，可解得6≤k≤12，验证即可．解答：解：由题意可得k＞0，∵对所有n∈N*不等式a n≥a3恒成立，∴，∴，∴6≤k≤12经验证，数列在（1，2）上递减，（3，+∞）上递增，或在（1，3）上递减，（4，+∞）上递增，符合题意，故答案为：6≤k≤12点评：本题考查数列中的恒成立问题，考查学生的计算能力，属基础题．13．已知函数f（x）=，若方程|f（x）|=a有三个零点，则实数a的取值范围是（0，3）．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可知a≥0，分类讨论方程|f（x）|=a的根即可．解答：解：∵方程|f（x）|=a有三个根，∴a≥0，若a=0，则方程|f（x）|=a只有一个根，故不成立；若a＞0，∵当x＜1时，f（x）=3x∈（0，3）当x≥1时，f（x）=3﹣log3x≤3，且单调，则若方程|f（x）|=a有三个根，则在x＜1有一个，在x≥1时有两个，则实数a的取值范围是（0，3）．故答案为（0，3）．点评：本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，属于基础题．14．在△ABC中，若的最大值为．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由A和B为三角形的内角，得到sinA和sinB都大于0，进而确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=﹣2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=﹣3tanA，将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为﹣tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=﹣3tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，∴=2cos（A+B）=﹣2cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=﹣2sinAcosC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC，即cosAsinC=﹣3sinAcosC，∴tanC=﹣3tanA，∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=≤=，当且仅当=3tanA，即tanA=时取等号，则tanB的最大值为．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4，•=8．（1）求a2+c2的值；（2）求函数f（B）=sinBcosB+cos2B的值域．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简•=8，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b的值代入计算即可求出a2+c2的值；（2）由基本不等式求出ac的范围，根据accosB=8表示出cosB，由ac的范围求出cosB的范围，进而利用余弦函数性质求出B的范围，f（B）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（B）的范围．解答：解：（1）∵•=8，∴accosB=8，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣16，∵b=4，∴a2+c2=32；（2）∵a2+c2≥2ac，∴ac≤16，∵accosB=8，∴cosB=≥，∵B∈（0，π），∴0＜B≤，∵f（B）=sinBcosB+cos2B=sin2B+（1+cos2B）=sin（2B+）+，∵＜2B+≤，∴sin（2B+）∈[，1]，则f（B）的值域为[1，]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面DEF⊥平面PAC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线定理推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．（2）由已知条件推导出△ACD为正三角形，DF⊥AC，从而得到DF⊥平面PAC，由此能证明平面DEF⊥平面PAC．解答：证明：（1）在△PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC．…（2分）又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．…（5分）（2）连结CD．因为∠BAC=60°，AD=AC，所以△ACD为正三角形．因为F是AC的中点，所以DF⊥AC．…（7分）因为平面PAC⊥平面ABC，DF⊂平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以DF⊥平面PAC．…（11分）因为DF⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面PAC．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．某园林公司计划在一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．（1）设∠COD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ．（参考公式：扇形面积公式，l表示扇形的弧长）考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：应用题；综合题；转化思想．分析：（1）设∠COD=θ（单位：弧度），利用扇形面积减去三角形的面积，即可求出弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；（2）设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，求出y 的表达式，利用导数确定函数的最大值，得到结果．解答：解：（1），，．（2）设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，，，∴．=设g（θ）=5θ﹣10sinθθ∈（0，π）．g′（θ）=5﹣10cosθ上为减函数；上为增函数．当时，g（θ）取到最小值，此时总利润最大．答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大．点评：本题是中档题，考查三角函数的应用题中的应用，三角函数的化简求值，导数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意知，，CD=7﹣2a，再由点在椭圆上，能求出椭圆的方程．（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，AB+CD=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=k（x﹣1），直线CD的方程为．由此能求出，从而能求出AB+CD的取值范围．解答：解：（1）由题意知，，CD=7﹣2a，所以a2=4c2，b2=3c2，…2分因为点在椭圆上，即，解得c=1．所以椭圆的方程为．…6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB+CD=7；…7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以，，所以．…10分同理，．所以，…12分令t=k2+1，则t＞1，3+4k2=4t﹣1，3k2+4=3t+1，设，因为t＞1，所以，所以，所以．综合①与②可知，AB+CD的取值范围是．…16分．点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，S3=7，a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设A={a1，a2，…，a10}，B={b1，b2，…，b40}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．考点：等比数列的通项公式；集合的相等；并集及其运算；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）利用“n=1时b1=T1；n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1”和“累乘求积”即可得出．（3）利用等差数列和等比数列的前n项和公式可得S10，T10，又A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．即可得出集合C中所有元素之和．解答：解：（1）∵S3=7，∴a1+a2+a3=7，∵a1+3，3a2，a3+4成等差数列，∴6a2=a1+3+a3+4，联立可得，解得．∴．（2）∵6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．当n≥2时，6T n﹣1=（3n﹣2）b n﹣1+2，b1=1．∴6b n=（3n+1）b n﹣（3n﹣2）b n﹣1，化为．∴b n=…=••…•=3n﹣2．（3），，∵A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．∴C=A∪B，集合C中所有元素之和为1023+2380﹣85=3318．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式、利用“n=1时b1=T1；n ≥2时，b n=T n﹣T n﹣1”、“累乘求积”、集合运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．20．已知函数f（x）=（x﹣a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．解答：解：（1）f'（x）=e x（x﹣a）（x﹣a+2），由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．当a=2时，f'（x）=e x x（x﹣2），易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；当a=4时，f'（x）=e x（x﹣2）（x﹣4），易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的a=2．（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e4n，所以（n﹣2）2e n=e4n．设，则，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．由于g（4）=e4，即方程（n﹣2）2e n=e4n有唯一解为n=4．②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．（Ⅰ）n＞m＞2时，，由①可知不存在满足条件的m，n．（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，，两式相除得m（m﹣2）2e m=n（n﹣2）2e n．设h（x）=x（x﹣2）2e x（0＜x＜2），则h'（x）=（x3﹣x2﹣4x+4）e x=（x+2）（x﹣1）（x﹣2）e x，h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，此时（m﹣2）2e m＜4e＜e4n，矛盾．综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．点评：本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．三.附加题21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．考点：逆变换与逆矩阵；逆矩阵的简单性质（唯一性等）．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先写出时针旋转的旋转变换矩阵M1，再利用矩阵的乘法，求出点P'的坐标；（Ⅱ）先求M=M2M1，再求点的变换，从而利用函数y=x2求出变换的作用下所得曲线的方程解答：解：（Ⅰ），所以点P（2，1）在T1作用下的点P'的坐标是P'（﹣1，2）．…（5分）（Ⅱ），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是{，，即，所以，所求曲线的方程是y﹣x=y2点评：本题以变换为载体，考查矩阵的乘法，考查点在变换下点的坐标的求法，属于中档题22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l与圆C相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值解答：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆的圆心坐标为（2，0），半径为2又由消t，得x﹣y﹣m=0，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径∴，解得．点评：本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径，研究直线与圆相切．23．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=2，F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E=λEC1（λ为实数）．（1）当λ=时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；（2）试问：直线EF与直线EA能否垂直？请说明理由．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线EF与平面D1AC所成角的正弦值．（2）假设EF⊥EA，则=0，由此推导出3λ2﹣2λ+3=0，△=4﹣36＜0，假设不成立，从而得到直线EF不可能与直线EA垂直．解答：解：（1）分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F（1，4，0），∴，，当时，E（0，1，2），=（1，3，﹣2），设平面D1AC的一个法向量为，则，取y=1，则=（2，1，2），cos＜＞=，∵＞0，∴＜＞是锐角，∴直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为．（2）假设EF⊥EA，则=0，∵，=（1，4﹣，﹣2），∴2﹣（4﹣）+4=0，化简，得3λ2﹣2λ+3=0，∵△=4﹣36＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即直线EF不可能与直线EA垂直．点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查直线与直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．24．（2011秋•扬州期末）已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{a n}满足：a1=1，（k+1）a k+1=p（k﹣p）a k，其中k=1，2，3，…，p﹣1．（Ⅰ）设p=4，求a2，a3，a4；（Ⅱ）求a1+a2+a3+…+a p．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；综合题．分析：（I）设p=4，利用（k+1）a k+1=p（k﹣p）a k，求出，通过k=1，2，3求a2，a3，a4；（II）利用列出的表达式通过连乘求出a k，然后通过二项式定理求解求a1+a2+a3+…+a p．解答：解：（Ⅰ）由（k+1）a k+1=p（k﹣p）a k得，k=1，2，3，…，p﹣1 即，a2=﹣6a1=﹣6；，a3=16，，a4=﹣16；（3分）（Ⅱ）由（k+1）a k+1=p（k﹣p）a k得：，k=1，2，3，…，p﹣1即，，…，，以上各式相乘得（5分）∴==，k=1，2，3，…，p （7分）∴a1+a2+a3+…+a p==（10分）点评：本题考查数列的应用，数列的项的求法，通项公式的求法，二项式定理的应用，考查转化思想计算能力．。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（ ）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（ ）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I _______． 【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-I ．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．255【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =--． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得202m <<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是________． 【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213216AD AD AB AB =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即1322564216AD AB =-⋅-⨯u u ur u u u r ，解得22AD AB ⋅=u u u r u u u r ．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是_______．【答案】62-【解析】由已知sin 2sin 2sin A B C +=及正弦定理可得22a b c +=，2222222()2cos 22a b a b a b c C ab ab ++-+-==2232222622628a b ab ab ab ab +---=≥=，当且仅当2232a b =，即23a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为62-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，5sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin αα=--=-， ()210sin sin cos cos sin (cos sin )444αααααπππ+=+=+=-．（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =I ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴5c a = 5． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+． 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α， x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为21222x t y t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x xf x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． （i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以1()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试综合能力测试数学试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.(2014江苏,1)已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=.答案:{-1,3}解析:由题意,得A∩B={-1,3}.2.(2014江苏,2)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.答案:21解析:由题意,得z=(5+2i)2=25+20i-4=21+20i,其实部为21.3.(2014江苏,3)下图是一个算法流程图,则输出的n的值是.答案:5解析:本题实质上是求不等式2n>20的最小整数解,2n>20的整数解为n≥5,因此输出的n=5.4.(2014江苏,4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案:13解析:从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=26=13.5.(2014江苏,5)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π的交点,则φ的值是.答案:π解析:由题意cosπ3=sin2×π3+φ ,即sin2π3+φ =12,2π3+φ=kπ+(-1)k·π6(k∈Z).因为0≤φ<π,所以φ=π.6.(2014江苏,6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm.答案:24解析:由题意,在抽测的60株树木中,底部周长小于100cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.7.(2014江苏,7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案:4解析:设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.8.(2014江苏,8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且S1S2=94,则V1V2的值是. 答案:32解析:设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1,h1,r2,h2,则2πr1h1=2πr2h2,ℎ12=r21.又S12=πr1222=9,所以r12=3,则V1 2=πr12ℎ1222=r1222·ℎ12=r12=3.9.(2014江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为. 答案:2555解析:圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,-1),半径r=2,圆心C到直线x+2y-3=0的距离为d=1+2=5,所求弦长l=2r2-d2=24-95=2555.10.(2014江苏,10)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.答案:-2,0解析:根据题意,得f(m)=m2+m2-1<0,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0,解得-22<m<0.11.(2014江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案:-3解析:由曲线y=ax2+b过点P(2,-5),得4a+b=-5.①又y'=2ax-bx2,所以当x=2时,4a-b4=-72,②由①②得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.12.(2014江苏,12)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是.答案:22解析:由题意知,AP=AD+DP=AD+14AB,BP=BC+CP=BC+34CD=AD−34AB,所以AP·BP= AD+1AB· AD-3AB=AD2−12AD·AB−316AB2,即2=25-1AD·AB−3×64,解得AB·AD=22.13.(2014江苏,13)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)= x2-2x+12.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案:0,12解析:作出函数f(x)= x2-2x+1,x∈[0,3)的图象(如图),f(0)=1,当x=1时,f(x)极大值=1,f(3)=7,方程f(x)-a=0在[-3,4]上有10个根,即函数y=f(x)的图象和直线y=a在[-3,4]上有10个交点.由于函数f(x)的周期为3,则直线y=a与f(x)的图象在[0,3)上应有4个交点,因此有a∈0,1.14.(2014江苏,14)若△ABC 的内角满足sin A+ 2sin B=2sin C ,则cos C 的最小值是 . 答案:6- 24解析:由sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得a+ 2b=2c.故cos C=a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-a + 2b222ab=3a 2+2b 2-2 2ab ≥2 6ab -2 2ab= 6- 2,当且仅当3a 2=2b 2,即ab = 2 3时等号成立.所以cos C 的最小值为 6- 2.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)(2014江苏,15)已知α∈ π2,π ,sin α= 55. (1)求sin π+α 的值;(2)求cos 5π-2α 的值.分析:(1)先结合范围,运用平方关系求出cos α,再用两角和的正弦公式求值;(2)由(1)运用二倍角公式求出sin 2α,cos 2α,再用两角差的余弦公式求值. 解:(1)因为α∈ π2,π ,sin α= 55,所以cos α=- 1-sin 2α=-2 55. 故sin π4+α =sin π4cos α+cos π4sin α= 22× -2 55 + 22× 55=- 1010.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 55× -2 55 =-45,cos 2α=1-2sin 2α=1-2× 5 2=3,所以cos 5π6-2α =cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α= - 32 ×35+12× -45 =-4+3 310.16.(本小题满分14分)(2014江苏,16)如图,在三棱锥P-ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知PA ⊥AC ,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA ∥平面DEF ; (2)平面BDE ⊥平面ABC.分析:(1)证明线面平行可由线线平行证得,由条件中中点较多,故可用中位线构造线线平行证明;(2)证明面面垂直可由线面垂直证得.利用中位线结合勾股定理证明DE ⊥EF ,再由(1)结合已知可证DE ⊥AC ,用线面垂直的判定定理证得DE ⊥平面ABC ,从而证明面面垂直. 证明:(1)因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点,所以DE ∥PA.又因为PA ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF ,所以直线PA ∥平面DEF.(2)因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以DE ∥PA ,DE=1PA=3,EF=1BC=4. 又因为DF=5,故DF 2=DE 2+EF 2, 所以∠DEF=90°,即DE ⊥EF. 又PA ⊥AC ,DE ∥PA ,所以DE ⊥AC.因为AC ∩EF=E ,AC ⊂平面ABC ,EF ⊂平面ABC , 所以DE ⊥平面ABC. 又DE ⊂平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABC.17.(本小题满分14分)(2014江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连结BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结F 1C. (1)若点C 的坐标为 4,1 ,且BF 2= 2,求椭圆的方程; (2)若F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值.分析:(1)利用椭圆的几何性质可得BF 2=a= 2,再把点C 的坐标代入即可求出椭圆方程;(2)写出B ,F 2的坐标,用b ,c 表示直线AB 的方程,联立椭圆方程表示出点A 的坐标,利用点A 与点C 的对称性,表示出点C 的坐标,利用直线F 1C 的斜率及k F 1C ·k AB =-1建立a ,b ,c 的关系,再结合平方关系求离心率. 解:设椭圆的焦距为2c ,则F 1(-c ,0),F 2(c ,0).(1)因为B (0,b ),所以BF 2=2+c 2=a. 又BF 2= 2,故a= 2. 因为点C 4,1 在椭圆上, 所以169a 2+19b2=1.解得b 2=1.故所求椭圆的方程为x 2+y 2=1. (2)因为B (0,b ),F 2(c ,0)在直线AB 上, 所以直线AB 的方程为x c+y b=1.解方程组 x c +y b =1,x 22+y 2b 2=1,得 x 1=2a 2c 22,y 1=b (c 2-a 2)a 2+c2, x 2=0,y 2=b .所以点A 的坐标为 2a 2c 22,b (c 2-a 2)22 .又AC 垂直于x 轴,由椭圆的对称性,可得点C 的坐标为 2a 2c 22,b (a 2-c 2)22. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2-c 2)a 2+c 2-02a 2ca 2+c 2-(-c )=b (a 2-c 2)3a 2c+c 3,直线AB 的斜率为-b c,且F 1C ⊥AB , 所以b (a 2-c 2)3a 2c+c 3· -bc =-1. 又b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2. 故e 2=15. 因此e= 5.18.(本小题满分16分)(2014江苏,18)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=4.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?分析:法一:(1)运用坐标法求BC的长,由已知建立以O为坐标原点,OC所在直线为x轴的直角坐标系.设出点B 坐标,利用A,C坐标分别表示出k AB,k BC,建立方程组求出点B坐标,利用两点间的距离公式求解即可;(2)求圆形保护区的最大面积,即求圆的最大半径.由条件知,可转化为求点M到直线BC距离的最大值.由(1)可先求出直线BC的方程,设点M的坐标为(0,d),则半径r可用d表示,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值.法二:(1)延长CB,OA交于点F,在△OCF中,利用条件求OF,CF.利用AF=OF-OA求AF的长,再借助∠AFB+∠OCF=90°的关系,在△ABF中,求出BF的长,进而利用CB=CF-BF求值;(2)设MD=r m(半径),OM=d m,在△MDF中,利用sin∠CFO建立r,d的关系,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值.解:解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-43.又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=34.设点B的坐标为(a,b),则k BC=b-0=-4,k AB=b-60=3.解得a=80,b=120.所以BC=(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-4(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=4+3680-3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以r-d≥80, r-(60-d)≥80,即680-3d5-d ≥80,680-3d-(60-d )≥80.解得10≤d ≤35. 故当d=10时,r=680-3d最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长OA ,CB 交于点F. 因为tan ∠FCO=4, 所以sin ∠FCO=45,cos ∠FCO=35.因为OA=60,OC=170, 所以OF=OC tan ∠FCO=6803,CF=OCcos ∠FCO=8503,从而AF=OF-OA=5003. 因为OA ⊥OC ,所以cos ∠AFB=sin ∠FCO=4. 又因为AB ⊥BC ,所以BF=AF cos ∠AFB=400,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC 的长是150 m .(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ,连接MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ,所以sin ∠CFO=cos ∠FCO. 故由(1)知sin ∠CFO=MD=MD OF -OM=r6803-d=3,所以r=680-3d. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以 r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即680-3d-d ≥80,680-3d-(60-d )≥80.解得10≤d ≤35. 故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大.19.(本小题满分16分)(2014江苏,19)已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:f (x )是R 上的偶函数;(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围;(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 03+3x 0)成立.试比较e a-1与a e -1的大小,并证明你的结论.分析:(1)利用偶函数定义判断即可;(2)原不等式恒成立可分离参数转化为m ≤e -x -1e x +e -x -1恒成立,即求e -x -1e x +e -x -1的最小值.设t=e x >1,换元后利用基本不等式求最小值;(3)由条件构造函数g (x )=f (x )-a (-x 3+3x ),利用导数求出g (x )的最小值,利用g (x )min <0,求出a 的取值范围. 判断e a-1与a e -1的大小,即判断ln e a-1与ln a e -1的大小,即判断(a-1)-(e -1)ln a 的符号. 构造函数h (x )=x-1-(e -1)ln x ,利用导数求出h (x )在(0,+∞)上的单调区间和最小值. 利用h (1)=h (e)=0,对a 的值分三种情况讨论h (x )的符号,从而确定e a-1与a e -1的大小.(1)证明:因为对任意x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )是R 上的偶函数.(2)解:由条件知m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.令t=e x (x>0),则t>1,所以m ≤-t -1t 2-t+1=-1t -1+1t -1+1对任意t>1成立.因为t-1+1t -1+1≥2 (t -1)·t -1+1=3, 所以-1t -1+1t -1+1≥-13, 当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立. 因此实数m 的取值范围是 -∞,-1 .(3)解:令函数g (x )=e x +1ex -a (-x 3+3x ),则g'(x )=e x -1ex +3a (x 2-1).当x ≥1时,e x -1x >0,x 2-1≥0.又a>0,故g'(x )>0.所以g (x )是[1,+∞)上的单调增函数,因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是g (1)=e +e -1-2a.由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 03+3x 0)<0成立,当且仅当最小值g (1)<0,故e +e -1-2a<0,即a>e+e -1. 令函数h (x )=x-(e -1)ln x-1,则h'(x )=1-e -1. 令h'(x )=0,得x=e -1.当x ∈(0,e -1)时,h'(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调减函数; 当x ∈(e -1,+∞)时,h'(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1).注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)⊆(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x )<h (1)=0; 当x ∈(e -1,e)⊆(e -1,+∞)时,h (x )<h (e)=0. 所以h (x )<0对任意的x ∈(1,e)成立. ①当a ∈e+e -12,e ⊆(1,e)时,h (a )<0,即a-1<(e -1)ln a ,从而e a-1<a e -1;②当a=e 时,e a-1=a e -1;③当a ∈(e,+∞)⊆(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a-1>(e -1)ln a ,故e a-1>a e -1. 综上所述,当a ∈e+e -12,e 时,e a-1<a e -1;当a=e 时,e a-1=a e -1;当a ∈(e,+∞)时,e a-1>a e -1.20.(本小题满分16分)(2014江苏,20)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ,总存在正整数m ,使得S n =a m ,则称{a n }是“H 数列”.(1)若数列{a n }的前n 项和S n =2n (n ∈N *),证明:{a n }是“H 数列”;(2)设{a n }是等差数列,其首项a 1=1,公差d<0.若{a n }是“H 数列”,求d 的值;(3)证明:对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n (n ∈N *)成立.分析:在第(1)问中,先利用a n 与S n 的关系求出a n ,再根据“H 数列”的定义即可证明结论;在第(2)问中,可采用由特殊到一般的方法,先取n=2,结合“H 数列”的定义求出d 的值,然后可求出a n 与S n ,再根据“H 数列”的定义验证结论对任意的n 成立;在第(3)问中,a n =a 1+(n-1)d ,考虑到非零常数列不是“H 数列”,因而应考虑将a n 分解改写为两个等差数列和的形式a n =na 1+(n-1)(d-a 1),然后再分别按“H 数列”的定义证明{na 1}和{(n-1)(d-a 1)}为“H 数列”,即可证得结论.(1)证明:由已知,当n ≥1时,a n+1=S n+1-S n =2n+1-2n =2n .于是对任意的正整数n ,总存在正整数m=n+1,使得S n =2n =a m .所以{a n }是“H 数列”.(2)解:由已知,得S 2=2a 1+d=2+d.因为{a n }是“H 数列”,所以存在正整数m ,使得S 2=a m ,即2+d=1+(m-1)d ,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1,从而d=-1.当d=-1时,a n =2-n ,S n =n (3-n )是小于2的整数,n ∈N *.于是对任意的正整数n ,总存在正整数m=2-S n =2-n (3-n ),使得S n =2-m=a m .所以{a n }是“H 数列”. 因此d 的值为-1.(3)证明:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).令b n=na1,c n=(n-1)(d-a1),则a n=b n+c n(n∈N*).下证{b n}是“H数列”.设{b n}的前n项和为T n,则T n=n(n+1)a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n(n+1),使得T n=b m.所以{b n}是“H数列”.同理可证{c n}也是“H数列”.所以,对任意的等差数列{a n},总存在两个“H数列”{b n}和{c n},使得a n=b n+c n(n∈N*)成立.数学Ⅱ(附加题)21.(2014江苏,21)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D.分析:要证明∠OCB=∠D,因∠OCB=∠B,只需证∠B=∠D,而同弧所对的圆周角相等,即∠B=∠D成立,因此得证.证明:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=-121x ,B=112-1,向量α=2y,x,y为实数.若Aα=Bα,求x+y的值.分析:要求x+y的值,只需分别求出x,y的值,而根据等式Aα=Bα,结合矩阵的乘法可得到关于x,y的一个方程组,解出即可.解:由已知,得Aα=-121x 2y=-2+2y2+xy,Bα=112-12y=2+y4-y.因为Aα=Bα,所以-2+2y2+xy =2+y4-y.故-2+2y=2+y,2+xy=4-y.解得x=-1,y=4.所以x+y=72.C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1-22t,y=2+22t(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.分析:求直线被抛物线所截弦长,可利用直线参数方程的几何意义解决.将直线的参数方程与抛物线方程联立可解得参数的值,代入即可.解:将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2=4x,得2+2t 2=41-2t.解得t1=0,t2=-82.所以AB=|t1-t2|=82.D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.分析:可利用算术几何平均不等式:a+b+c≥3abc3(a,b,c>0),将左边因式中的和化为积,实现不等式的证明.证明:因为x>0,y>0,所以1+x+y 2≥3 xy 23>0, 1+x 2+y ≥3 x 2y 3>0,故(1+x+y 2)(1+x 2+y )≥3 xy 23·3 x 2y 3=9xy.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)(2014江苏,22)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P ;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数.求X 的概率分布和数学期望E (X ).分析:在第(1)问中,考虑到“2个球颜色相同”可分为3种情况:“同为红球”“同为黄球”“同为绿球”,故可用互斥事件的概率公式,结合排列组合及古典概型求得结果;在第(2)问中,先分析4个球中各类球的个数情况,确定X 的所有可能的取值,然后利用超几何分布求出各个概率值,列出表格即得X 的概率分布,最后根据数学期望的定义计算求得结果.解:(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P=C 42+C 32+C 22C 92=6+3+1=5. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P (X=4)=C 44C 94=1126; {X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P (X=3)=C 43C 51+C 33C 61C 94=20+6126=1363; 于是P (X=2)=1-P (X=3)-P (X=4)=1-1363−1126=1114. 所以随机变量X 的概率分布如下表:因此随机变量X 的数学期望E (X )=2×1114+3×1363+4×1126=209. 23.(本小题满分10分)(2014江苏,23)已知函数f 0(x )=sin x(x>0),设f n (x )为f n-1(x )的导数,n ∈N *.(1)求2f 1 π +πf 2 π 的值;(2)证明:对任意的n ∈N *,等式 nf n -1 π +πf n π = 2都成立.分析:在第(1)问中,先由已知条件通过求导数得到f 1(x )和f 2(x )的解析式,然后代入自变量的值即可求得结果;在第(2)问中,先将f 0(x )=sin xx改写为xf 0(x )=sin x ,然后对该式两边求导,整理后再继续对所得的式子两边求导,依次下去,可归纳猜想得到nf n-1(x )+xf n (x )=sin x +nπ对所有的n ∈N *都成立,再用数学归纳法证明其正确性.最后将该式中的变量x 换为π4,结合三角函数的诱导公式即可证得结论成立.(1)解:由已知,得f 1(x )=f'0(x )=sin x '=cos x −sin x2, 于是f 2(x )=f'1(x )= cos x '- sin x 2 '=-sin x −2cos x 2+2sin x3,所以f 1 π2 =-4π2,f 2 π2 =-2π+16π3.故2f 1 π2 +π2f 2 π2=-1.(2)证明:由已知,得xf 0(x )=sin x ,等式两边分别对x 求导,得f 0(x )+xf'0(x )=cos x ,即f 0(x )+xf 1(x )=cos x=sin x +π2,类似可得 2f 1(x )+xf 2(x )=-sin x=sin x +π ,3f 2(x )+xf 3(x )=-cos x=sin x +3π2 ,4f 3(x )+xf 4(x )=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+nπ对所有的n∈N*都成立.①当n=1时,由上可知等式成立.②假设当n=k时等式成立,即kf k-1(x)+xf k(x)=sin x+kπ.因为[kf k-1(x)+xf k(x)]'=kf'k-1(x)+f k(x)+xf'k(x)=(k+1)f k(x)+xf k+1(x),sin x+kπ'=cos x+kπ· x+kπ'=sin x+ (k+1)π,所以(k+1)f k(x)+xf k+1(x)=sin x+(k+1)π2.因此当n=k+1时,等式也成立.综合①,②可知等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.令x=π4,可得nf n-1π4+π4f nπ4=sinπ+nπ(n∈N*).所以 nf n-1π+πf nπ=2(n∈N*).。