高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集：解三角形 第1课时 正弦定理(1)(教师版)

听课随笔第2课时【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。

【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===C cB b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________.（2）RaA 2sin =，______________，________________.2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==_________=_________（2）s=C B A R sin sin sin 22 （3）Rabcs 4=【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑 解△ＡＢＤ． 【解】【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？ （819.055sin ,766.050sin 0≈≈） 分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。

【解】【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。

（请用计算器解答，精确到1.0） 【解】注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。

【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、 ∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑a =4，b =5，S =35，求c 的长度。

第一章 解斜三角形1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：正弦定理的推导即理解 （三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin abc==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学过程 1[创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B2[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin ab=sin c=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

1.3 正弦定理、余弦定理的应用【三维目标】：一、知识与技能1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题。

2.体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意做出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题。

4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力。

5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。

二、过程与方法通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。

三、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

【教学重点与难点】：重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤。

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

【学法与教学用具】：1. 学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。

生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。

解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。

【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。

《正弦定理与解三角形》教学设计一、教学目标：（1）知识与技能目标：通过自主学习正弦定理，学生能够解斜三角形（2）过程与方法目标：培养学生学会分析问题，合理运用定理解决三角形问题。

培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。

（3）情感、态度、价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。

二、教学的重点和难点：本课的教学重点：正弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；本课的教学难点：解三角形中恒等变换及综合问题。

三、教学方法：主要采取的教学方法：引导启发法。

在本节课的教学中主要渗透自主探究法、小组讨论法等。

四、教学过程：（一）导入新课本课主要采用：直接导入，情境导入等等本节课由初中的解直角三角形引入如何解斜三角形，让学生复习回顾正弦定理的内容，进而引入正弦定理的证明。

这种方法，不仅能引起学生的兴趣，而且能够引导学生思考，并且引出新课题。

（二）讲授新课在讲授新课时，为了突出本节课的第一维知识与技能目标，首先引导学生自主学习，学生对基本的概念和知识初步感知，学习完成后，会解斜三角形，注意多解的情况，具体过程如下：（讲授第一维目标）通过这种方法，既体现了新课改中以学生为主体的思想，又调动了学生学习的积极性。

这部分讲授完成后，开始讲解本节课的难点，也就是第二维过程与方法目标，引导学生进行探究学习，学生先进行探究学习，具体过程如下：（讲授第二维目标）通过这种方法，既让学生能够深入理解这种方法，也可以增进学生之间相互帮助的情感。

（三）巩固练习完成变式１（四）小结（五）作业布置布置课后作业，包括必做题和选做题，必做题主要以基础算式为主，选做题会选用一些开放性较高，需要学生进行发散思考的问题，以满足那些学有余力的同学。

五、板书设计板书设计采用图文并茂的形式，清晰展示全文整体结构，突出重点，彰显文章主题。

总 课 题 解三角形 总课时 第 2 课时 分 课 题正弦定理（二）分课时 第 2 课时教学目标 初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点 正弦定理的应用 引入新课1．在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形3．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin ________________．4．在ABC ∆中，C a b cos =，则ABC ∆是________________三角形．5．在ABC ∆中，计算)sin (sin )sin (sin )sin (sin B A c A C b C B a -+-+-的值．例题剖析例1 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ABC ∆的形状．D ACB例2在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：DCBDBD AB =．巩固练习1．根据下列条件，判断ABC ∆的形状： （1）C B A 222sin sin sin =+；（2）B b A a cos cos =．2．已知ABC ∆的外接圆的面积是π4，求CB A cb a sin sin sin ++++的值．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．课堂小结正弦定理的应用．例3课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在ABC ∆中，已知2cos sin sin 2AC B =，则ABC ∆的形状是________________． 2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则bc的取值范围是________________． 3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，213)2cos 1)(2cos 1(-=++C A ，则b a 2+________c 2（填不等号）． 4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________． 5．在ABC ∆中，已知)(4122b a S ABC+=∆，求C B A ，，． 6．为了测量校园里旗杆AB 的高度，学生们在D C ，两处测得A 点的仰角分别为︒30和︒45，测得DC 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？二 提高题 7．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？8．在ABC ∆中，A ∠的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：DCBDAC AB =．9．在ABC ∆中，设a BC =，b CA =，c AB =，已知a c c b b a •=•=•， 证明ABC ∆为正三角形．三 能力题 10．在ABC ∆中，已知D 为AB 上一点，α=∠ACD ，β=∠BCD ，BD AD CD •=2，求证：βαsin sin sin sin =B A ．ABC D。

解三角形一、根底知识1、解三角形〔的定义〕：由三角形六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其它未知元素的过程叫做解三角形．〔广义地，这里所说的元素还包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等．〕2、解三角形的工具：〔1〕角的关系：在中，；〔〕〔2〕边的关系：设、、是的角、、的对边，且是最大边；那么有：①〔填大小关系〕；②假设角，那么是直角三角形；假设角，那么是锐角三角形；假设角，那么是钝角三角形〔3〕边角关系：①正弦定理：= = =正弦定理的推论:= = =②余弦定理：= ； = ； = 或；； =3解三角形的题型：〔1〕用正弦定理解三角形的题型：①两角和任意一边，求其他的两边及一角；②两边和其中一边的对角，求其他边和角；〔2〕用余弦定理解三角形的题型：①两边和他们的夹角，求第三边和其他两角；②三边求三角注：①“两边和其中一边的对角，求其他边和角〞问题可能有两解;②“两边和其中一边的对角，求第三边〞的问题，可以用正弦定理也可以选择用余弦定理解决二、根底练习1 在中，假设，，那么2 在中，假设，，，那么．3 在中，如果，那么角等于．4在△ABC中，，，，那么的值为．5在中，假设，那么为三角形．6假设锐角三角形的边长分别为1，3，，那么实数的取值范围是．三．典型例题题型一：正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用例1〔1〕在中，，，，那么；〔2〕在中，，，，那么．题型二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状例2在以下条件下，试判断的形状〔1〕；〔2〕．题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用例3△满足：，，求△的面积四．随堂反应1 假设把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么新的三角形的形状为三角形．2 在中，，，，那么________，__________3 的三边长分别为5、7、8，那么其最小角与最大角的和为___ _____．4．在半径为1的圆内接锐角△ABC中，假设acoB＋bcoA=，那么5 假设的三边和其面积满足：2，且,那么面积S的最大值为．6如图，在平面四边形ABCD中，AD＝错误!，CD＝错误!，∠ABD＝60°，∠ADB＝75°，∠ADC＝12021〔1〕求BD的长；〔2〕求△ABC的面积．。

数学5第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

2.1正弦定理三维目标知识与能力通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题。

过程与方法通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律情感态度与价值观通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美。

教学重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及根本运用教学难点：正弦定理的探索及证明教法与学法：类比法、探究法教学过程引例1：如图，设A、B两点在河的两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工具，没法跨河测量，利用现有工具，你能利用所学的解三角形知识设计一个测量A、B两点距离的方案吗？引例2：如果测量人员任意选取C点，测出的距离是54m，,.问根据这些数据能解决测量者的问题吗？引例2数学模型：在中，，,.求边长.问题：再看这个数学问题，三角形的局部边长和内角，求其他边长和内角。

这个问题其实是解斜三角形的边角关系问题。

但是没有学过，我们知道在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，那么我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？探究一：直角三角形边角数量关系〔引导学生利用正弦函数定义，关键是引导学生把两个正弦等式糅合在一起。

〕探究二：斜三角形边角数量关系实验1：如图，在等边中，,对应边的边长，验证是否成立？实验2：如图，在等腰中，,，对应边的边长，验证是否成立？猜测：通过这样的一些实验，我们可以猜测对于任意的斜三角型也存在这样的边角数量关系：；问题：但是并没有经过严密的数学推导，那么如何证明这个结论呢？证明方法1——作高法和面积法引导学生利用熟悉的解直角三角形知识对锐角三角形边角数量关系进行证明，学生展示证明过程，并用不同的方法进行说明。

概念生成：正弦定理的定义：我们把三角形边角关系的这条性质称为正弦定理〔law of sines〕，即在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即。

听课随笔第1章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.1 正弦定理 第1课时【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________； （2）_________________________________________________________________【精典范例】 【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 【解】【例2】根据下列条件解三角形： （1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】追踪训练一1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ ）A )13(5-B )13(5+C 10D )26(5+2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，听课随笔32sin =B ，则A sin = （ ） A 43 B 61C 21D 13．在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c .4．根据下列条件解三角形： （1）40=b ，20=c ，025=C ； （2）13=b ，26=a ，030=B 。

1.1.1正弦定理⑴辽宁省辽阳市第一高级中学李晨一、教材分析本节知识是人教B版必修⑤第一章《解三角形》的第一节正弦定理的第一课时。

本节课与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。

并为以后学习余弦定理提供了方法上的模式，为运用正、余弦定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。

而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

因此，正弦定理的知识非常重要。

二、学情分析1、学生是辽阳市第一高级中学高一年级的学生。

2、学生对多媒体进行数学学习有非常浓厚的兴趣。

3、学生已经初步学习了解直角三角形的基本知识。

4、学生具有初步的观察能力，敢于发表意见，有创新意识。

5．学生能积极参与讨论，逐步提高语言表达能力。

6．学生能与同伴共同学习，共同探讨，增强合作与团队意识。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1知识与技能：①掌握正弦定理的内容及推导定理的思想方法和过程；②能用正弦定理进行有关的运算，会运用定理解决有关问题。

2过程与方法：①通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；②通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法。

3情感、态度与价值观：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

四、教学重点、难点教学重点：正弦定理的基本应用。

教学难点：正弦定理的发现及证明。

五、学法与教法1学法：①合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（公式的推导）。

②自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动（如例1、2的处理）。

③探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如例3的处理）。

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正弦定理教学目标1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2。

通过对任意三角形的边长、角度关系的探索，培养自主学习、自主探索的能力；教学重难点正弦定理及其证明过程教学参考各省高考题教学与测试授课方法自学引导类比教学辅助手段多媒体专用教室教教学二次备课学过程设计一、 引入新课1. 如右图，ABC Rt ∆中的边角关系:=A sin _______;=B sin _______；=C sin _______；边=c _________=_________=_________．2. 在Rt ABC ∆中,我们得到sin sin sin a b cA B C ==,对于任意三角形，这个结论还成立吗？3. 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角,我们已经证明结论成立。

如何证明C 为锐角、钝角时结论成立? 例题剖析例1。

在ABC ∆中，已知14=a ，7=b ，︒=30B ，则=A _________；练习：学案1，2，3变式教教 学 二次备课C ABb ca。

1.1正弦定理教学过程（二）推进新课［合作探究］师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当AABC是锐角三角形时，设边ABk的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=/sinS=BsirU,贝U —-—=—-—,同理，可得一-—=—-—.从而sin/ sin 5 sinC sin 5a _b _ csin/ sin 5 sinC（当AABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a _b _ csin/ sin 5 sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作AABC的外接圆，在AABC中，令BC=AAC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明—=—=这一关系•sin/ sin 5 sinC师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在厶ABC 中，已知BC=AAC=BAB=C,作厶ABC的外接圆,O为圆心，连结BO并延长交圆于B', 设B夕=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到ZBAB'=90°, ZC=ZB',sinC=siiiB - sin C = sinB'= ------ .2R :.= 2R .sinC同理，可得 ~^— = = 2R .sin/ sin 5sin A sin B sin C这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a _b _ csin/ sin 5 sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. ［知识拓展］师接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一知识点体现边角关系呢？生向量的数量积的定义式A-B=\A\\B\Co^,^中9为两向量的夹角.师回答得很好，但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？生可以通过三角函数的诱导公式sin0=Cos(9O°-6)进行转化.师这一转化产生了新角90。

《正弦定理》教学设计一、课程分析：本节课以“任务驱动，情境体验，真实探究”为教学要求，“任务驱动”的核心是“驱动”——变“要我学”到“我要学”，所以在这节课的任务设计上就是利用卷尺和测角仪两种工具，设计测量登瀛楼高度方案，让学生通过建立数学模型，去实践这个问题，激发学习驱力，让学生积极参与学习，获得体验，建构意义，要想完成设计方案，学生就要去研究正弦定理在解决三角形问题中的应用，实现学习任务完成的过程，就是学习的过程，体验的过程，建构意义的过程。

任务在情境中展开，目标在学习过程中实现。

1教材内容解析本节课是必修五第一章《解三角形》中的第一节课，正弦定理，它是初中“解直角三角形”内容的直接拓展，三角形是最基本的几何图形，三角形中的数量关系在天文、地理、航海等领域中有着及其广泛的作用，本节课我们将在以前学习的三角形、三角函数和解直角三角形等知识的接触上，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中边长和角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

本节课的内容共分为三个阶段：第一，从实际问题引入，如何设计测量登瀛楼高度问题，在解决特殊的直角三角形的边角关系的基础上思考解斜三角形，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，后面就是严格的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归（从直角三角形中来回归到直角三角形问题）的数学思想；第三，设计测量登瀛楼高度方案，首尾呼应，并学以致用。

从实际中来，到实际中去。

本节课的主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用，培养学生的提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

让学生学会学习听课随笔第3课时正弦定理知识网络⎪⎩⎪⎨⎧解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； 2．熟记正弦定理及其变形形式； 3．判断△ＡＢＣ的形状. 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 2R sin sin sin sin sin a b a b cA B A B C±±±==±±±R 为ABC ∆的_______________2．三角形的面积公式：（1）s=_______=_______=_______ （2）s=__________________ （3）s=____________ 【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知A a cos ＝Bbcos ＝C ccos ，试判断△ＡＢＣ的形状． 【解】点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化．【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD． 【证】【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ； （3）106a =，203b =，45A =︒，求B ；（4）202a =，203b =，45A =︒，求B ； （5）4a =，103b =，60A =︒，求B ． 【解】追踪训练一 1. 在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （ ） A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定让学生学会学习听课随笔 2. 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 2 3. 在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形 【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON+的最大值和最小值． 【解】追踪训练二1.在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( )A ．4:1:1B ．2:1:1C 2D 3 2.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ，b = ， c = ．3.已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为( )CDB阳光地面A.75°D.455．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(1-2k )∶3k (k≠0)，则k 的取值范围为 ( )A ．(2，＋∞)B ．(61，41)C ．)0,21(-D ．),21(+∞6．在△ABC 中， 证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-.【师生互动】学生质疑教师释疑。

第 周 周 月 日
备 课 时 间 2016 年 2 月 22 日 上 课时 间
班级 节次
课题
正弦定理（1）
总课时数第 节
教学目标
1．掌握正弦定理，了解其证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学重难点1．理解正弦定理的证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学参考教材、教参
多 媒 体授课方法
合作探究、讲授
教学辅助手段
专用教室
教
学
二次备课
一、问题情境
1、直角三角形中的边角关系
在△中，设，则，RT ABC 0
90 C sin a A c
= ， =，sin b
B c =sin 1
C =c
c 即：， ， ， 则sin a c A =
sin b c B =sin c
c C
=．sin sin sin a b c
A B C
==对于任意三角形，这个结论还成立吗？
2、阅读书5-6页，了解正弦定理的证明过程
二、建构数学1、正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
==
2、正弦定理的证明
师生共同经历发现正弦定理的过程
阅读正弦定理的证明
过程
记忆公式
教学二次备课
1】在
C
：边求另两边和一角的问题
、正弦定理：
）已知两边和其中一边的对角求另一边对一角：ABC
课外作业教学小结。