北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编：三角函数

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编算法初步1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．【答案】42.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是A ． 3B ．4C ． 5D ． 6 【答案】C【解析】第一次循环358,1x k =+==；第二次循环8513,2x k =+==；第三次循环13518,3x k =+==；第四次循环18523,4x k =+==；第五次循环23528,5x k =+==，此时满足条件输出5k =，选C.3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】A【解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选A.4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】运行相应的程序，则输出n 的值为【答案】95.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（[]x 表示不超过x 的最大整数）(A) 4 (B) 5(C) 7(D) 9【答案】C【解析】第一次循环，0S =，不满足条件，1n =；第二次循环，[1]1S ==，不满足条件，2n =；第三次循环，12,S =+=，不满足条件，3n =；第四次循环，23,S =+=，不满足条件，4n =；第五次循环，3[4]5S =+=，此时不满足条件，5n =。

第六次循环，5[5]7S =+=，此时满足条件，输出 7S =，选C.6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S == 【答案】B【解析】第一次循环，24,3,2S S n <==；第二次循环，24,3329,3S S n <=+⨯==；第三次循环，24,93318,4S S n <=+⨯==；第四次循环，24,183430,5S S n <=+⨯==；第五次循环，3024,S =<不满足条件，输出30,5S n ==，选B.7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】本程序为分段函数2212log 2x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩，，，当2x ≤时，由213x -=得，24x =，所以2x =±。

x y O π2π1-1北京市东城区普通校2013届高三第二学期3月联考 数学（理科）命题校：北京27中学 2013年3月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面向量(1,2)=a , (2,)m =-b , 且a ∥b , 则m 的值为（ ） （A ）1- （B ） （C ）4- （D ）4 2．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（ ）（A ）22(2)4x y -+= （B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-= （D ）22(1)(1)4x y -+-= 3．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） （A ）存在一条直线a a ααβ，∥，∥（B ）存在一条直线a a a αβ⊂，，∥（C ）存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （D ）存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20， 则判断框中应填入的条件为（ ） （A ）2a ≥ （B ）3a ≥ （C ）4a ≥（D ）5a ≥第4题图5. 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（ ）（A ）3 （B） （C ）2 （D第5题图 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( ) 第6题图ABCOP40 50 60 70 80 90 分数(分)频率(A)41sin(255y x =+ (B) 31sin(225y x =+ (C)441sin()555y x =- (D) 441sin()555y x =+ 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) (A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 148.对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的零点恰有两个，则实数c 的取值范围是（ ）(A) (]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ (B)(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭ (C) 11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在6)11(x+的展开式中，含1x 项的系数是________.（用数字作答）10．由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个. 11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为 . 第11题图12.已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 .13．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 第13题图 14.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈， 则称S 为封闭集。

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣16．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．7．（5分）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．8．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ＝2的距离等于．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝；前n项和S n＝．11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD：DB＝9：16，则PD ＝，AB＝．12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）设l为曲线C：y＝在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．19．（14分）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．20．（13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n＝A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4＝a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n＝﹣d（n＝1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1＝2，d n＝1（n＝1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ＝π时，曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ＝π时，曲线y＝sin（2x+φ）＝﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ＝0，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π．故“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．4．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i＝0+1＝1；判断1≥2不成立，执行，i＝1+1＝2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．5．【分析】首先求出与函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y＝e﹣（x+1）＝e﹣x﹣1．即f（x）＝e﹣x﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．6．【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c＝a，又a2+b2＝c2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．7．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y＝1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为＝（x﹣）＝．故选：C．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．8．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ＝2化为直角坐标方程为y＝2，（，1），到y＝2的距离1，即为点到直线ρsinθ＝2的距离1，故答案为：1．【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．10．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4＝a2（1+q2）＝20①a3+a5＝a3（1+q2）＝40②∴①②两个式子相除，可得到＝＝2即等比数列的公比q＝2，将q＝2带入①中可求出a2＝4则a1＝＝＝2∴数列{a n}时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n}的前n项和为：S n＝＝＝2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．11．【分析】由PD：DB＝9：16，可设PD＝9x，DB＝16x．利用切割线定理可得PA2＝PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．【解答】解：由PD：DB＝9：16，可设PD＝9x，DB＝16x．∵PA为圆O的切线，∴PA2＝PD•PB，∴32＝9x•（9x+16x），化为，∴．∴PD＝9x＝，PB＝25x＝5．∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．∴＝＝4．故答案分别为，4．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．12．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×＝96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得＝（﹣1，1），＝（6，2），＝（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣因此，＝＝4故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．14．【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，∴CC1∥EF，又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．取C1N＝MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．可得NP⊥平面D1EF，在Rt△D1C1F中，C1M•D1F＝D1C1•C1F，得＝．∴点P到直线CC1的距离的最小值为．故答案为【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cos A的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得，即＝．解得cos A＝．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即 9＝+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B＝＝，cos A＝＝，∴cos2A＝2cos2A﹣1＝＝cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c＝3舍去，这是解题的易错点，属于中档题．16．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X＝0），P（X＝1），p（x＝2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i＝1，2， (13)依据题意P（A i）＝，A i∩A j＝∅（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）＝…（3分）（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝…（6分）∴X的分布列为X0 1 2P…（8分）∴X的数学期望为E（X）＝…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．17．【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC＝4，BC＝5，AB＝3．∴AC2+AB2＝BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为＝（x2，y2，z2）．则，令y1＝4，解得x1＝0，z1＝3，∴．，令x2＝3，解得y2＝4，z2＝0，∴．＝＝＝．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴＝，＝（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t＝．∴．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l的斜率k＝y′|x＝1＝1∴l的方程为y＝x﹣1证明：（Ⅱ）令f（x）＝x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）曲线C在直线l的下方，即f（x）＝x（x﹣1）﹣lnx＞0，则f′（x）＝2x﹣1﹣＝∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）＝0∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即＜x﹣1x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即＜x﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．19．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|＝|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足＝r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x＝1设A（1，t），得，解之得t＝（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|＝，可得菱形OABC的面积为S＝|AC|•|BO|＝；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|＝|OC|，设|OA|＝|OC|＝r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2＝r2与椭圆的公共点，解之得＝r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1＝x2＝•，或x1＝•且x2＝﹣•，①当x1＝x2＝•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1＝•且x2＝﹣•，则x1+x2＝0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）根据条件以及d n＝A n﹣B n的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．（Ⅱ）设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n＝a1+（n﹣1）d，从而证得d n＝A n﹣B n＝﹣d，（n＝1，2，3，4…）．若d n＝A n﹣B n＝﹣d，（n＝1，2，3，4…）．可得{a n}是一个不减的数列，求得d n＝A n﹣B n＝﹣d，即a n+1﹣a n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列，命题得证．（Ⅲ）若a1＝2，d n＝1（n＝1，2，3，…），则{a n}的项不能等于零，再用反证法得到{a n}的项不能超过2，从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1＝A1﹣B1＝2﹣1＝1，d2＝A2﹣B2＝2﹣1＝1，d3＝A3﹣B3＝4﹣1＝3，d4＝A4﹣B4＝4﹣1＝3．（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n＝a1+（n﹣1）d，∴A n＝a n＝a1+（n﹣1）d，B n＝a n+1＝a1+nd，∴d n＝A n﹣B n＝﹣d，（n＝1，2，3，4…）．必要性：若d n＝A n﹣B n＝﹣d，（n＝1，2，3，4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项，则d k＝A k﹣B k＝a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0，这与d n＝﹣d≤0相矛盾，故{a n}是一个不减的数列．∴d n＝A n﹣B n＝a n﹣a n+1＝﹣d，即a n+1﹣a n＝d，故{a n}是公差为d的等差数列．（Ⅲ）证明：若a1＝2，d n＝1（n＝1，2，3，…），首先，{a n}的项不能等于零，否则d1＝2﹣0＝2，矛盾．而且还能得到{a n}的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n}的项中，有超过2的，设a m是第一个大于2的项，由于{a n}的项中一定有1，否则与d1＝1矛盾．当n≥m时，a n≥2，否则与d m＝1矛盾．因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使a i＝1，此时，d i＝A i﹣B i＝2﹣B i≤2﹣2＝0，矛盾．综上，{a n}的项不能超过2，故{a n}的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n}的项中，有无穷多项为1．若a k是最后一个1，则a k是后边的各项的最小值都等于2，故d k＝A k﹣B k＝2﹣2＝0，矛盾，故{a n}的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．。

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空、选择题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】因为124,,S S S 成等比数列，所以2142S S S =，即2111(46)(2)a a d a d +=+，即2112,2d a d d a ==，所以211111123a a d a a a a a ++===，选C. 2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 .【答案】310【解析】因为121,,,9a a 是等差数列，所以121910a a +=+=。

1231,,,,9b b b 是等比数列，所以22199b =⨯=，因为1220b b =>，所以23b =，所以212310b a a =+。

3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ） （B ）53（C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥. 【答案】5,16 12n m+ (第一个空2分，第二个空3分) 5、【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____. 【答案】18,22n +-【解析】由n mnm a a a +=可得211a a a =，所以222124a a ===。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 【答案】D【解析】1{|(21)(1)0}{1}2B x x x x x x =-+>=><-或，所以{01}A B x x x =><-或，即(,1)(0,)-∞-+∞，选D.2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】55(2)5(2)122(2)(2)5i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθC ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ【答案】A【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，(2,)6P π 转化为点cos 2cossin 2sin166x y ππρθρθ======，即，过点且平行于x 轴的直线为1y =，在化为极坐标 为sin 1=ρθ，选A.4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ （A ）2k <（B ）3k <（C ）4k <（D ）5k < 【答案】C【解析】第一次循环，满足条件，112,2S k =+==;第二次循环，满足条件，2226,3S k =+==;第三次循环，满足条件，26315,4S k =+==;第四次循环，不满足条件，输出15S =，此时4k =，所以条件应为4k <，选C.5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若0b =，则()cos f x x b x x =+=为奇函数。

北京市2013届高三上学期期末数学试卷分类汇编三角函数一、选择、填空题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在ABC △中，若b =,1c =，tan B =，则a =.【答案】3【解读】由tan 0B =>，知02B π<<，得sin B =，1cos 3B =，由余弦定理可得2221cos 23a c b B ac +-==，即218123a a +-=，整理得232210a a --=，解得3a =或73a =-（舍去）。

2.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α=．【答案】45-【解读】因为3sin 05α=-<，tan 0α>所以α为第三象限，所以cos 0α<，即4cos 5α==-。

3.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于.【答案】4,4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解读式可能是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+ (C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+【答案】B【解读】由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

所以2sin(2)y x ϕ=+，又()2sin(2)288y f ππϕ==⨯+=，所以sin()14πϕ+=，即2,42k k Z ππϕπ+=+∈，所以24k πϕπ=+，所以2sin(2)4y x π=+，选B.5.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于．【解读】由余弦定理得2222cos 60b a c ac =+-，即2174222c c =+-⨯⨯整理得2230c c --=，解得3c =。

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A.一定相离B.一定相切C.相交且一定不过圆心D.相交且可能过圆心 【答案】C2.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（A（B ）2 （C ）115 （D ）3,【答案】B【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

所以设P 到准线的距离为PB ,则PB PF =。

P 到直线1:4360l x y -+=的距离为PA ，所以PA PB PA PF FD +=+≥,其中FD 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以1025FD =，所以距离之和最小值是2，选B.3.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x 【答案】B【解析】由双曲线的焦点可知c =，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2PF x ⊥，且24PF =，点P在双曲线右支上。

所以16PF ===，所以126422PF PF a -=-==，所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为1422=-y x ，选B. 4.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p，所以42p=，即8p =。

2013年北京市高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A＝{－1,0,1},B＝{x|－1≤x＜1},则A∩B＝( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1}2.(5分)在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A.1B.C.D.5.(5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称,则f(x)＝( )A.e x＋1B.e x－1C.e－x＋1D.e－x－16.(5分)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y＝±2xB.C.D.7.(5分)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.8.(5分)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y),满足x－2y＝2,求得m的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ＝2的距离等于.10.(5分)若等比数列{an }满足a2＋a4＝20,a3＋a5＝40,则公比q＝；前n项和Sn＝.11.(5分)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA＝3,PD：DB＝9：16,则PD＝,AB＝.12.(5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.13.(5分)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若(λ,μ∈R),则＝.14.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤15.(13分)在△ABC中,a＝3,b＝2,∠B＝2∠A.(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)求c的值.16.(13分)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率；(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 17.(14分)如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,AB ＝3,BC ＝5.(Ⅰ)求证：AA 1⊥平面ABC ；(Ⅱ)求证二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B,并求的值.18.(13分)设l 为曲线C ：y ＝在点(1,0)处的切线. (Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)证明：除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方. 19.(14分)已知A,B,C 是椭圆W ：上的三个点,O 是坐标原点.(Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积；(Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.20.(13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n ＋1,a n ＋2…的最小值记为B n ,d n ＝A n －B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n ＋4＝a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值；(Ⅱ)设d 是非负整数,证明：d n ＝－d(n ＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(Ⅲ)证明：若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.2013年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A＝{－1,0,1},B＝{x|－1≤x＜1},则A∩B＝( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1}【分析】找出A与B的公共元素,即可确定出两集合的交集.【解答】解：∵A＝{－1,0,1},B＝{x|－1≤x＜1},∴A∩B＝{－1,0}.故选：B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简复数为代数形式,求出复数对应点的坐标,即可判断复数对应点所在象限.【解答】解：复数(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i,复数对应的点(3,－4),所以在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于第四象限.故选：D.【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力.3.(5分)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点,求出φ的值,②φ＝π时,曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点.【解答】解：φ＝π时,曲线y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x,过坐标原点.但是,曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点,即O(0,0)在图象上,将(0,0)代入解析式整理即得sinφ＝0,φ＝kπ,k∈Z,不一定有φ＝π.故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充要条件的判定,用到的知识是三角函数的图象特征.是基础题.4.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A.1B.C.D.【分析】从框图赋值入手,先执行一次运算,然后判断运算后的i的值与2的大小,满足判断框中的条件,则跳出循环,否则继续执行循环,直到条件满足为止.【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1.执行,i＝0＋1＝1；判断1≥2不成立,执行,i＝1＋1＝2；判断2≥2成立,算法结束,跳出循环,输出S的值为.故选：C.【点评】本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型循环是先执行后判断,不满足条件执行循环,直到条件满足结束循环,是基础题.5.(5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称,则f(x)＝( )A.e x＋1B.e x－1C.e－x＋1D.e－x－1【分析】首先求出与函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式,然后换x为x＋1即可得到要求的答案.【解答】解：函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝e－x,而函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y＝e x的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的解析式为y＝e－(x＋1)＝e－x－1.即f(x)＝e－x－1.故选：D.【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法,考查了函数图象的对称变换和平移变换,函数图象的平移遵循“左加右减,上加下减”的原则,是基础题.6.(5分)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y＝±2xB.C.D.【分析】通过双曲线的离心率,推出a、b关系,然后直接求出双曲线的渐近线方程.【解答】解：由双曲线的离心率,可知c＝a,又a2＋b2＝c2,所以b＝a,所以双曲线的渐近线方程为：y＝＝±x.故选：B.【点评】本题考查双曲线的基本性质,渐近线方程的求法,考查计算能力.7.(5分)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.【分析】先确定直线的方程,再求出积分区间,确定被积函数,由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积.【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1),∵直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,∴直线l的方程为y＝1,由,可得交点的横坐标分别为－2,2.∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为＝( x－)|＝.故选：C.【点评】本题考查封闭图形的面积,考查直线方程,解题的关键是确定直线的方程,求出积分区间,确定被积函数.8.(5分)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y),满足x－2y＝2,求得m的取值范围是( )A. B. C. D.【分析】先根据约束条件画出可行域.要使可行域存在,必有m＜－2m＋1,要求可行域包含直线y＝x－1上的点,只要边界点(－m,1－2m)在直线y＝x－1的上方,且(－m,m)在直线y＝x－1的下方,从而建立关于m的不等式组,解之可得答案.【解答】解：先根据约束条件画出可行域,要使可行域存在,必有m＜－2m＋1,要求可行域包含直线y＝x－1上的点,只要边界点(－m,1－2m)在直线y＝x－1的上方,且(－m,m)在直线y＝x－1的下方,故得不等式组,解之得：m＜－.故选：C.【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ＝2的距离等于 1 .【分析】先将点的极坐标化成直角坐标,极坐标方程化为直角坐标方程,然后用点到直线的距离来解.【解答】解：在极坐标系中,点化为直角坐标为( ,1),直线ρsinθ＝2化为直角坐标方程为y＝2,( ,1),到y＝2的距离1,即为点到直线ρsinθ＝2的距离1,故答案为：1.【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化,体现等价转化数学思想.10.(5分)若等比数列{an }满足a2＋a4＝20,a3＋a5＝40,则公比q＝ 2 ；前n项和Sn＝2n＋1－2 .【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出,解出即可得到a1及q,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q,∵a2＋a4＝a2(1＋q2)＝20①a 3＋a5＝a3(1＋q2)＝40②∴①②两个式子相除,可得到＝＝2即等比数列的公比q＝2,将q＝2带入①中可求出a2＝4则a1＝＝＝2∴数列{an}时首项为2,公比为2的等比数列.∴数列{an }的前n项和为：Sn＝＝＝2n＋1－2.故答案为：2,2n＋1－2.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键.11.(5分)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA＝3,PD：DB＝9：16,则PD＝,AB＝ 4 .【分析】由PD：DB＝9：16,可设PD＝9x,DB＝16x.利用切割线定理可得PA2＝PD•PB,即可求出x,进而得到PD,PB.AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,利用切线的性质可得AB⊥PA.再利用勾股定理即可得出AB.【解答】解：由PD：DB＝9：16,可设PD＝9x,DB＝16x.∵PA为圆O的切线,∴PA2＝PD•PB,∴32＝9x•(9x＋16x),化为,∴.∴PD＝9x＝,PB＝25x＝5.∵AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,∴AB⊥PA.∴＝＝4.故答案分别为,4.【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键.12.(5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是96 .【分析】求出5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号的组数,然后分给4人排列即可.【解答】解：5张参观券全部分给4人,分给同一人的2张参观券连号,方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号,其它号码各为一组,分给4人,共有4×＝96种.故答案为：96.【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用,正确分组是解题的关键,考查分析问题解决问题的能力.13.(5分)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若(λ,μ∈R),则＝4 .【分析】以向量、的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系,得到向量、、的坐标,结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组,解之得λ＝－2且μ＝－,即可得到的值.【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系可得＝(－1,1),＝(6,2),＝(－1,－3)∵∴,解之得λ＝－2且μ＝－因此,＝＝4故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示,求系数λ、μ的比值,着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识,属于基础题.14.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.【分析】如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF,进而得到异面直线D1E与C1C的距离.【解答】解：如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,∴CC1∥EF,又EF⊂平面D1EF,CC1⊄平面D1EF,∴CC1∥平面D1EF.∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离.过点C1作C1M⊥D1F,∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1.∴C1M⊥平面D1EF.过点M作MP∥EF交D1E于点P,则MP∥C1C.取C1N＝MP,连接PN,则四边形MPNC1是矩形.可得NP⊥平面D1EF,在Rt△D1C1F中,C1M•D1F＝D1C1•C1F,得＝.∴点P到直线CC1的距离的最小值为.故答案为【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤15.(13分)在△ABC中,a＝3,b＝2,∠B＝2∠A.(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)求c的值.【分析】(Ⅰ)由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值.(Ⅱ)由条件利用余弦定理,解方程求得c的值,再进行检验,从而得出结论.【解答】解：(Ⅰ)由条件在△ABC中,a＝3,,∠B＝2∠A,利用正弦定理可得,即＝.解得cosA＝.(Ⅱ)由余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bc•cosA,即 9＝＋c2－2×2×c×, 即 c2－8c＋15＝0.解方程求得 c＝5,或 c＝3.当c＝3时,此时a＝c＝3,根据∠B＝2∠A,可得 B＝90°,A＝C＝45°,△ABC是等腰直角三角形,但此时不满足a2＋c2＝b2,故舍去.当c＝5时,求得cosB＝＝,cosA＝＝,∴cos2A＝2cos2A－1＝＝cosB,∴B＝2A,满足条件.综上,c＝5.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理,以及二倍角公式的应用,注意把c＝3舍去,这是解题的易错点,属于中档题.16.(13分)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率；(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【分析】(Ⅰ)由图查出13天内空气质量指数小于100的天数,直接利用古典概型概率计算公式得到答案；(Ⅱ)由题意可知X所有可能取值为0,1,2,得出P(X＝0),P(X＝1),p(x＝2)及分布列与数学期望；(Ⅲ)因为方差越大,说明三天的空气质量指数越不稳定,由图直接看出答案.【解答】解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”(i＝1,2, (13)依据题意P(Ai )＝,Ai∩Aj＝∅(i≠j)(Ⅰ)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,则P(B)＝…(3分)(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2P(X＝0)＝,P(X＝1)＝,P(X＝2)＝…(6分)P∴X的数学期望为E(X)＝…(11分)(Ⅲ)从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. …(13分)【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差,考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力.17.(14分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB＝3,BC＝5.(Ⅰ)求证：AA1⊥平面ABC；(Ⅱ)求证二面角A1－BC1－B1的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.【分析】(I)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性质即可证明；(II)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；(III)设点D的竖坐标为t,(0＜t＜4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D,利用向量垂直于数量积得关系即可得出.【解答】(I)证明：∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C＝AC,∴AA1⊥平面ABC.(II)解：由AC＝4,BC＝5,AB＝3. ∴AC2＋AB2＝BC2,∴AB⊥AC.建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),∴,,.设平面A1BC1的法向量为,平面B1BC1的法向量为＝(x2,y2,z2).则,令y1＝4,解得x1＝0,z1＝3,∴.,令x2＝3,解得y2＝4,z2＝0,∴.＝＝＝.∴二面角A1－BC1－B1的余弦值为.(III)设点D的竖坐标为t,(0＜t＜4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D,∴＝,＝(0,3,－4),∵,∴,∴,解得t＝.∴.【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.18.(13分)设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线.(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)证明：除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.【分析】(Ⅰ)求出切点处切线斜率,代入代入点斜式方程,可以求解；(Ⅱ)利用导数分析函数的单调性,进而分析出函数图象的形状,可得结论.【解答】解：(Ⅰ)∵∴＝1∴l的斜率k＝y′|x＝1∴l的方程为y＝x－1证明：(Ⅱ)令f(x)＝x(x－1)－lnx,(x＞0)曲线C在直线l的下方,即f(x)＝x(x－1)－lnx＞0,则f′(x)＝2x－1－＝∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,又f(1)＝0∴x∈(0,1)时,f(x)＞0,即＜x－1x∈(1,＋∞)时,f(x)＞0,即＜x－1即除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用,难度中档.19.(14分)已知A,B,C 是椭圆W ：上的三个点,O 是坐标原点.(Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积；(Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【分析】(I)根据B 的坐标为(2,0)且AC 是OB 的垂直平分线,结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标,从而得到线段AC 的长等于.再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式,即可算出此时菱形OABC 的面积；(II)若四边形OABC 为菱形,根据|OA|＝|OC|与椭圆的方程联解,算出A 、C 的横坐标满足＝r 2－1,从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数.再分两种情况加以讨论,即可得到当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能为菱形.【解答】解：(I)∵四边形OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点(2,0) ∴直线AC 是BO 的垂直平分线,可得AC 方程为x ＝1 设A(1,t),得,解之得t ＝(舍负)∴A 的坐标为(1,),同理可得C 的坐标为(1,－)因此,|AC|＝,可得菱形OABC 的面积为S ＝|AC|•|BO|＝；(II)∵四边形OABC 为菱形,∴|OA|＝|OC|,设|OA|＝|OC|＝r(r ＞1),得A 、C 两点是圆x 2＋y 2＝r 2与椭圆的公共点,解之得＝r 2－1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2,可得A 、C 两点的横坐标满足x 1＝x 2＝•,或x 1＝•且x 2＝－•,①当x 1＝x 2＝•时,可得若四边形OABC 为菱形,则B 点必定是右顶点(2,0)；②若x 1＝•且x 2＝－•,则x 1＋x 2＝0,可得AC 的中点必定是原点O,因此A 、O 、C 共线,可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述,可得当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能为菱形.【点评】本题给出椭圆方程,探讨了以坐标原点O 为一个顶点,其它三个顶点在椭圆上的菱形问题,着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.20.(13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n ＋1,a n ＋2…的最小值记为B n ,d n ＝A n －B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n ＋4＝a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值；(Ⅱ)设d 是非负整数,证明：d n ＝－d(n ＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(Ⅲ)证明：若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 【分析】(Ⅰ)根据条件以及d n ＝A n －B n 的定义,直接求得d 1,d 2,d 3,d 4的值.(Ⅱ)设d 是非负整数,若{a n }是公差为d 的等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d,从而证得d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).若d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).可得{a n }是一个不减的数列, 求得d n ＝A n －B n ＝－d,即 a n ＋1－a n ＝d,即{a n }是公差为d 的等差数列,命题得证.(Ⅲ)若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),则{a n }的项不能等于零,再用反证法得到{a n }的项不能超过2,从而证得命题.【解答】解：(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列,∴d 1＝A 1－B 1＝2－1＝1,d 2＝A 2－B 2＝2－1＝1,d 3＝A 3－B 3＝4－1＝3,d 4＝A 4－B 4＝4－1＝3.(Ⅱ)充分性：设d 是非负整数,若{a n }是公差为d 的等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d, ∴A n ＝a n ＝a 1＋(n －1)d,B n ＝a n ＋1＝a 1＋nd,∴d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).必要性：若 d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).假设a k 是第一个使a k －a k －1＜0的项, 则d k ＝A k －B k ＝a k －1－B k ≥a k －1－a k ＞0,这与d n ＝－d ≤0相矛盾,故{a n }是一个不减的数列. ∴d n ＝A n －B n ＝a n －a n ＋1＝－d,即 a n ＋1－a n ＝d,故{a n }是公差为d 的等差数列. (Ⅲ)证明：若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),首先,{a n }的项不能等于零,否则d 1＝2－0＝2,矛盾. 而且还能得到{a n }的项不能超过2,用反证法证明如下：假设{a n }的项中,有超过2的,设a m 是第一个大于2的项,由于{a n }的项中一定有1,否则与d 1＝1矛盾.当n ≥m 时,a n ≥2,否则与d m ＝1矛盾.因此,存在最大的i 在2到m －1之间,使a i ＝1,此时,d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0,矛盾. 综上,{a n }的项不能超过2,故{a n }的项只能是1或者2. 下面用反证法证明{a n }的项中,有无穷多项为1.若a k 是最后一个1,则a k 是后边的各项的最小值都等于2,故d k ＝A k －B k ＝2－2＝0,矛盾, 故{a n }的项中,有无穷多项为1.综上可得,{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明,等差关系的确定,用反证法和放缩法证明数学命题,属于中档题.。