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目标层：工作选择准则层：贡献、收入、发展、声誉、关系、位置方案层：老师、会计、公务员、银行经理、医生、律师（1）目标层与准则层的层次分析矩阵A1A1的最大特征值为7.2601，其特征向量为a1=（0.0554，0.1725，0.7667，0.0830，0.5228，0.3147）α=（0.0289，0.0901，0.4003，0.0433，0.2730，0.1643）权重为1（2）准则层与方案层的分析2.1不同职业对贡献的矩阵B1B1的最大特征值为6.4421，其特征向量为b1=（-0.6922，-0.0479，-0.2693，-0.1194，-0.6493，-0.1007）β=（0.3684，0.0255，0.1433，0.0636，0.3456，0.0536）权重为1B2的最大特征值为6.3720，其特征向量为b2=（-0.0575，-0.1080，-0.2184，-0.2601，-0.3982，-0.8433）权重为2β=（0.0305，0.0573，0.1158，0.1379，0.2112，0.4473） 2.3不同职业对发展的矩阵B3B3的最大特征值为6.5145，其特征向量为b3=（0.0694,0.0973,0.1236,0.7031,0.2820,0.6298） 权重为3β=（0.0364,0.0511,0.0649,0.3690,0.1480,0.3306）B4的最大特征值为6.8567，其特征向量为b4=（0.2952,0.0462,0.4237,0.2280,0.3375,0.7519） 权重为4β=（0.1418,0.0222,0.2035,0.1095,0.1621,0.3611） 2.5不同职业对关系的矩阵B5B5的最大特征值为6.3795，其特征向量为b5=（0.1057,0.0478,0.3829,0.1810,0.3829,0.8128） 权重为5β=（0.0553,0.0250,0.2001,0.0946,0.2001,0.4249）B6的最大特征值为6.3432，其特征向量为b6=（0.1868,0.0898,0.4605,0.2340,0.1592,0.8154）β=（0.0960，0.0462，0.2367，0.1203，0.0818，0.4191）权重为6（0.3684*0.0289+0.0305*0.0901+0.0364*0.4003+0.1418*0.0433+0.0553*0.27 30+0.0960*0.1643）=0.064975会计：0.041732公务员：0.142883银行经理：0.212306医生：0.163347律师：0.374681结论：律师是最好的职业。
对学生建模论文的综合评价分析摘要本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。
首先，研读分析了五篇论文，并写出评语。
其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判.最后,依据所得权重大小对论文排序。
针对问题一，我们对论文进行了横向比较和纵向分析。
依据数学建模竞赛论文评分基本原则,首先，在研读论文的基础上，对论文分块进行了横向比较，并按照优、良、中、差四个等级作出评价。
其次，采取纵向分析的方法，找到论文的优点与不足，写出每篇论文的评语。
最后,结合横向比较和纵向分析对论文综合评价。
针对问题二，在建立数学模型时，首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的二级评判模型把所给论文的建模摘要、模型与求解、模型评价与推广、其他作为第一级因素集，把问题描述等作为第二级因素集。
在用模糊综合评判方法时，确定评估数据（评判矩阵）和权重分配是两项关键性的工作，求权重分配时,我们通过往年评分标准确定数据后用层次分析法计算出二级权重和一级权重；对于评判矩阵，我们通过对五篇论文进行评阅打分（用平均分数作为每项得分），用每一项得分占五篇论文该项得分的比重（商值法）,建立评价矩阵。
最终，我们通过matlab编程处理得出的综合量化比较结果是所给5篇论文由好到差依次为论文4,论文2，论文1，论文5,论文3。
并在模型结束时付上了对五篇论文的评语。
关键词：层次分析法；模糊综合评判；统计分析：matlab编程；论文评价一、问题重述数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。
层次分析法建模（AHP)一 层次分析法的基本步骤1 建立层次结构模型（1）将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层；（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重；（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。
人们在决策的时候凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不被别人接受。
Saaty 教授等人的做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
选择 旅游地 景色 费用 居住 饮食 旅途苏杭、北戴河、桂林2 构造成对比较矩阵设某层有n 个因素，X={x1,x2,…，xn}要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用aij 表示第i 个因素相对于第j 个因素的比较结果，则aij=xi/xj ；aij=1/aji称A 为成对比较矩阵满足以下性质（1）Aij>0,（2）aij=1/aji,（3）aii=1的正互反阵。
比较尺度：（1~9尺度的含义）尺度 含义1第i 个因素比第j 个因素的影相同 3第i 个因素比第j 个因素的影响稍强 5第i 个因素比第j 个因素的影响强 7第i 个因素比第j 个因素的影响明显强 9第i 个因素比第j 个因素的影响绝对强2,4,6,8表示第i 个因素相对于第j 个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。
比如，在旅游问题中，某人给出第二层A 的各因素对目标层Z 的影响两两比较结果如下：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn n n n nn n ij a a a a a a a aa a A 212222111211：分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。
第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
数学建模——层析分析法一、层次分析法定义（AHP）二、层次分析法基本步骤1、建立层次结构模型例1、（购物模型）某顾客在购买空调时，看好了A,B.C三种空调，举棋不定。
他的目的是从中选出一个最称心的商品来。
它主要考虑五种因素：价格、耗电量、售后服务、噪音、款式。
下面建立层次结构模型。
由上到下依次为：目标层、准则层、方案层。
例2、（旅游模型）某人假期要外出游玩，想去D1,D2,D3三个景点之一。
考虑标准主要有：景色、费用、居住条件、饮食、交通条件。
构造层次结构模型。
由上到下依次为：目标层、准则层、方案层。
练习：（就业模型）某大学生毕业在即，有四个单位A,B,C,D 可供选择。
假设她主要考虑如下因素：1、单位工资待遇；2、单位所在城市；3、继续深造条件；4、发展条件；5、专业爱好。
试建立层次结构模型。
2、构造成对比较矩阵。
*目的：比较同意层因素对上一层因素的影响，从而确定他们在上层因素中占的权重。
（即他们在你心目中哪个更重要） *方法：设有n 个因素对上一层目标有影响。
每次取两个因素i x 与j x 比较，用ij a 表示i x 与j x 对上层目标的影响比。
*定义1、成对比较矩阵：n m ij a A ⨯=)(，其中ijji ij a a a 1,0=>。
定义2、正互反矩阵：n 阶成对比较矩阵n n ij a A ⨯=)(，其性质：1=ii a 。
例3、在旅游模型中，设景色、费用、居住、饮食、交通五个因素分别为54321,,,,x x x x x ，某人根据自己的情况，对五个因素逐对金星比较，比较他们对目标层——选择旅游地的重要程度。
令1:21221==x x a ，表示费用2x 与景色对选择旅游地之一目标的重要之比是2； 1:34114==x x a ，表示景色1x 与饮食4x 对选择旅游地这一目标的重要之比是3依此做下去，一共比较1025=C 次，矩阵得出这10哥比较结果即可算出整个矩阵。
于是所得到准则层对目标层（第二层对第一层）的正互反矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1135131112513131211714155712334211A 。
#例4、在旅游模型中，设方案层D 1,D 2,D 3各因素对准则层的5个因素分别做比较，可等到5个3阶正互反矩阵。
三个方案分别为321,,y y y ，逐对比较它们对景色这一准则的重要程度。
令2112=y y ，即2121=b ，表示方案D 2对方案D 1对景色之一准则的重要之比是1：2，即方案1的景色更好。
令132=y y ，即123=b ，表示方案D 2对方案D 31对景色之一准则的重要之比是1，即方案2与方案3的景色同样好。
依此做下去，于是得到正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1215121215211B ；同理可得到方案D 1,D 2,D 3对费用的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1383113813112B ； 可得到方案D 1,D 2,D 3对居住的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131313113113B ；可得到方案D 1,D 2,D 3对饮食的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=114111314314B ；可得到方案D 1,D 2,D 3对交通的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=144411141115B 。
*权重的取法3、一致性的相关概念*定义3：如果一个正互反矩阵A 满足),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==，则称A 为一致矩阵，简称一致阵。
例如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡14441114111是一个一致阵。
*n 阶一致阵的性质：（1）一致阵的秩一定是1。
它的唯一非零特征根为n ； （2）一致阵的任一列（行）向量都是对应于特征根的特征向量。
*判断一致阵的方法：计算矩阵的最大特征根即可。
若n >m a x λ，则B 不是一致阵， 且max λ越大，不一致程度越高。
*定义4：设()T n a a a ,,,21 =α为一个正向量，称Tn i i n n i i n i i a a a a a a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='∑∑∑===11211,,, α为α的标准化向量。
*计算最大特征根的方法：0=-A I λ，求得max λ为最大特征根，任一列（行） 向量都是对应于特征根的特征向量。
例5、求⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=14441114111A 的最大特征根，特征向量及标准化向量。
解：014441114111=---------λλλ，整理得0)3(2=-λλ，解得3,021==λλ，故最大特征根是3，于是()T 4,1,1=α为其特征向量，T )32,61,61(='α为标准化向量。
若非一致阵，求最大特征根的方法不变，解()01max =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n x x A I λ，求出的()Tn x x ,1为相应于max λ的特征向量，再标准化成为标准权向量。
（此处可用matlab 软件求解）4、层次单排序和一致性检验*最终目标：通过成对比较矩阵，找出各因素对上层某目标的重要性的一个权排序值（权重值大的优先）一致矩阵 得到的向量为各因素对上一层目标的权向量成对比较矩阵若在容许范围内则计算最大特征根及特征向量标准化，令它为权向量非一致阵对比较矩阵*一致性检验（看不一致程度）： 设A 为n 阶成对比较矩阵。
令1--=n nCI λ为一致性矩阵。
当0=CI 时，A 为一致阵；当CI 越大，A 的不一致程度越严重。
*不一致程度的容许范围：看一致性比率RICICR =：当1.0<CR 时，A 的不一致程度在容许范围内。
其中RI 可通过查表得到。
附表1例6、检验旅游模型中的准则层对目标层的成对比较矩阵的一致性，并选出其权向量。
解：A 的最大特征根5073.5≠=λ，A 为非一致阵。
一致阵指标018.0155073.5=--=CI ，由5=n ，得12.1=RI 。
一致性比率1.0016.012.1018.0<===RI CI CR ，通过了一致性检验。
求出相应于073.5=λ的特征向量并标准化为()T )110.0,099.0,055.0,475.0,263.0(2=α，()2α可作权向量。
按照前面做出的成对比较矩阵521,,,B B B 计算出他们各自的最大的特征根()3k λ，权向量()3k α和一致性指标())5,2,1(3 =k CI k 。
()3k CR 均小于0.1，通过了一致性检验。
5、计算组合权向量方案i D 在准则层中的权向量为T )166.0,633.0,429.0,082.0,595.0(1=α T )166.0,193.0,429.0,236.0,277.0(2=α T )668.0,175.0,142.0,682.0,129.0(3=α而准则层对目标层的权向量为T )110.0,099.0,055.0,475.0,263.0()2(=α，于是方案i D 在目标层的组合权重应为)2(αα⋅i ，即()300.0110.0166.0099.0633.0055.0429.0475.0082.0263.0595.021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅αα246.0)2(2=⋅αα； 456.0)2(3=⋅αα故各方案i D 对目标的权向量，即组合权向量为T )456.0,246.0,300.0()3(=α3D 在选择旅游地重要性占0.456%，远大于1D ，2D ，所以选择方案3D 。
6、组合权向量的一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，吃了对每个成对比较矩阵进行一致性检验外，还要常常进行所谓组合一致性检验，以确定组合拳向量是否作为最终的决策依据。
组合权向量检测可逐层进行。
若第p 层的一致性指标为()()p n p CI CI ,,1 ，（n 是第p-1层因素的数目），随机一致性检验指标为()()p n p RI RI ,,1 ，定义 ()()[]()11)(,-=p p n p p CI CI CI ω ()()[]()11)(,-=p p n p p RI RI RI ω则第p 层的组合一致性比率为()()()s p RICI CRp p p ,,4,3, == 第p 层通过组合一致性检验的条件为()1.0<p CR定义最下层（第s 层）对第一层的组合一致性比率为()∑==''sp p CR R C 2对于重大项目，仅当R C ''适当地小时，才认为整个层次的比较判别通过一致性检验。
例如，若决策是三层的，第三层一致性指标为()()331,,n CI CI ，随即一致性指标为()()331,,nRI RI ，α为第二层对第一层的权向量，定义 ()()[]α331)3(,n CI CI CI =()()[]α331)3(,n RI RI RI =则第三层对第二层的组合的组合一致性比率为()()()333RICI CR= 当()1.03<CR 时，认为组合权向量通过一致性检验； 第三层对第一层的组合一致性比率为()()()()3323RICI CRCR+=，最后看这一值是否小于0.1例7、检验上述旅游模型的组合权向量是否通过了一致性检验。
解：()()[]()00176.0001759.0110.0099.0055.0475.0263.00,005.0,0,001.0,003.0,331)3(≈=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==αn CI CI CI()()[]()58.058116.0110.0099.0055.0475.0263.058.0,,58.0,58.0,,331)3(≈=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== αn RI RI RI而()016.02=CR，故()()()()1.0019.058.000176.0016.03323<=+=+=RICI CRCR，组合权向量通过了一致性检验，故T )456.0,246.0,300.0()3(=α可作为最终的决策依据。
总结：层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 2、构造成对比较矩阵3、计算权向量并做一致性检验4、计算组合权向量并作组合一致性检验。
练习：你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。
你选择的标准主要有：价格、耗油量、舒适程度和外表美观。
经反复思考比较，构造了他们之间的成对比较矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1315181315151551318531A 三种车型（记为a,b,c ）的价格、耗油量、舒适程度和外表美观的成对比较矩阵为（价格） （耗油量） （舒适） （外表）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121312121321 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛171217152511 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛141514131531 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛171317153511（1） 根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请按由重到轻的顺序将它们排出。
