10-2二重积分的计算

2
2
8 y 2 2y
I f ( x, y ) d x d y d y
D
0
f ( x, y )d x
8
例5. 计算
其中D 由
y 4 x , y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y 2 )
2
4
y 3x

u 1 dudv ev 2 D
0
2
a
r 2
dr
(1 e
由于 e
x2
a 2
)
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
14
注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式

x2 e 0
dx

2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得

故①式成立 .

x y h k u u x y h v k v

x u y u
x v y v
hk J (u, v) hk
19
因此面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
则
c
d
d y
2 ( y)
x 1 ( y)
1 ( பைடு நூலகம்)
f ( x, y ) d x
c o
x
2
当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
f1 ( x, y )
18
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
f 2 ( x, y ) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
3
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
例3. 计算
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
sin x d x
0

2
7
例4. 交换下列积分顺序
I dx
0
2
x2 2 0
f ( x, y )d y
2 2 2
dx
8 x 2 0
f ( x, y )d y
y
x2 y2 8
解: 积分域由两部分组成:
0 y 1 x 2 0 y 8 x 2 2 D1 : , D2 : 2 2 y1 x 0 x2 2 x2 2 2 D1 D2 将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则 o
22 2 x
2y x 8 y D: 0 y2
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域 D, 任取其中一个小矩 形, 其顶点为
D
M3 M2
o
u uh u
(u, v) , (u h, v), M1 M2 (u h, v k ) , M 4 (u, v k ). M3
1

D3
o
x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
D
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8 5
32 3 2 a ( ) 3 2 3
16
三、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u, v) (u, v) D D T : o y y ( u , v ) 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶导数连续; y (2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v) 0; (u , v) 定积分换元法 (3) 变换 T : D D 是一 一对应的 , o
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) cos J ( r , ) sin
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d

2 0
d
( )
0
f (r cos , r sin ) r d r
D
o
12
若 f ≡1 则可求得D 的面积 1 2 2 d ( ) d D 2 0


思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
则
b
u
T D
(t ) d t ( x (t ) ) f ( x ) d x f [ ( t )] f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D f ( xa, y) d x d y D
17

x
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
4
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可以交换积分次序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
X-型域或Y-型域 , 则
D1
2
D D D
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 M i ( xi , yi ) (i 1, 2, 3, 4)
T
y
M4
D
M3 M2
M1
令 h k , 则
2 2
o
x
x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
(2) y
r ( )
D
o
(2)
D
x
o x 答: (1) 0 ;

2


2
13
例6. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
0r a 故 解: 在极坐标系下 D : , 0 2
原式
D
r d r d d 0 re
D2
x ln( y 1 y 2 )d xd y 0
9
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
二、利用极坐标计算二重积分 y
k (k 1, 2 ,, n)
k k k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 2 1 k 1 (r rk ) k 2 rk k 2 k
o
r rk x
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
10
lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
1
2 ( x)
o a y ( x) b x 1 f ( x, y ) d y
y d y
x 2 ( y)
x
D
1 ( y) x 2 ( y) 若D为Y –型区域 D : c yd
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
0 k 1
n
即
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) r d r d