八年级数学下册 1.4《角平分线》知识梳理素材 (新版)北师大版

八年级数学下册北师大版角平分线知识点知识点角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

涉及到的知识点：熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。

各位求三角形的高、中线与角平分线的知识点归纳!!!要全面谢谢!三角形的面积=底×高÷2。

公式S= a×h÷2正方形的面积=边长×边长公式S= a×a长方形的面积=长×宽公式S= a×b平行四边形的面积=底×高公式S= a×h梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和=180度。

长方体的体积=长×宽×高公式：V=abh长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式：V=abh正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式：V=aaa圆的周长=直径×pi; 公式：L=pi;d=2pi;r圆的面积=半径×半径×pi; 公式：S=pi;r2圆柱的表(侧)面积：圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。

公式：S=ch=pi;dh=2pi;rh圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。

公式：S=ch+2s=ch+2pi;r2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。

公式：V=Sh 圆锥的体积=1/3底面×积高。

公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。

但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。

三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。

提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。

5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

学生分组讨论，教师巡回指导。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。

如何利用角平分线判定定理证明角平分线？
难易度：★★★★
关键词：角平分线 -证明角平分线
答案：
利用角平分线的性质定理和判定定理，找到所需的关系，再结合其它知识证明角平分线。

【举一反三】
典例：如图，F，G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG=MN，△PFG的面积和△PMN的面积相等.求证：OP平分∠AOB.
思路导引：当条件和面积有关时，作三角形的高是解决问题的重要思路。

要证明OP平分∠AOB，根据条件不能直接证明∠AOP=∠BOP.而FG=MN，△PFG的面积和△PMN的面积相等，可根据三角形的面积作△FPG和△MPN的高，通过证明高相等，从而得到P到∠AOB两边的距离相等，得到OP平分∠AOB.
标准答案：
证明：过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∵S△PFG= FG·PD，S△PMN= MN·PE
又∵S△PFG=S△PMN，
∴FG·PD=MN·PE，
又∵FG=MN，
∴PD=PE，
∴OP平分∠AOB〔角的平分线的判定〕.
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1.4角平分线一、知识点梳理1.角平分线性质定理：①角平分线平分已知角②角平分线上的点到这个角两边的距离相等2.角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知角的角平分线二、经典题型总结题型一：利用角平分线的性质证明线段相等题型二：利用角平分线的性质求线段的长题型三：利用角平分线的性质定理进行角平分线的判定题型四：利用角平分线的性质解决实际问题三、解题技巧点睛1.当题目中出现“角平分线”的时候马上想到角平分线的两条性质，一定会用到2.在角平分线的题目中如果出现平行线，则一定会涉及到等腰三角形3.三角形中两个底角平分线的交角与顶角的关系三角形中两个底角外角平分线的交角与顶角的关系公式：四、易错点分析在利用角平分线求角的过程中容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用角平分线的性质证明线段相等例题：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.题型二：利用角平分线的性质求线段的长例题：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，求△DBE的周长．题型三：利用角平分线的性质定理进行角平分线的判定例题：已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，求证：AD平分∠BAC.题型四：利用角平分线的性质解决实际问题例题：某大学两个分校区M、N和两条相交叉的公路,如图所示(点M,N表示校区,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两校区的距离相等，到两条公路的距离也相等。

(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案；(2)阐述你设计的理由。

六、中考真题再现（2019.甘肃.20题）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）（2019.宁夏.15题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．七、习题巩固训练1.如图，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE的长为（）A．2 B．1.5 C．1 D．0.52.已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB＝40°，∠BCF的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°3.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°, B．110°, C．100°, D．90°4.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，PE＝6，则AB与CD之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．125.如图，已知P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm6.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.57.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：58.如图，∠XOY＝90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C为垂足，若OA+OB+OC＝1，则OC＝（）A．2﹣B．C．﹣2 D．2﹣39.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，点D的坐标为D（0，），点B的横坐标为1，则点C的坐标是（）A．（0，2）B．（0，+）C．（0，）D．（0，5）10．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC 于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE＝∠CID；②S△ABC＝IE （AB+BC+AC）；③BE＝（AB+BC﹣AC）；④AC＝AF+DC．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④11.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，DE=2，AB=6，则AC的长是_____．12.如图，已知AB∥CD，O为∠BAC与∠ACD的平分线交点，过点O作OE⊥AC于E，OG⊥CD于G，延长GO交AB于F．若OE＝2，则FG的长为．13.如图，的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则______．14.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为____cm．15.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF，BC=8，AB=10，则△FCD的面积为__________．16.如图，AB＝BC，D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，△ABD的面积为12 cm2，则△BCD的面积为________ cm2.17.如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于．18.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．19.如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在PA上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．21.如图，P为∠AOB的角平分线上的一点，PH⊥OA，垂直为H．M为PH上一点，MN⊥OB，与OP，OB的交点分别为Q，N．求证：MP＝MQ．22.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：AE＝FH．23.如图，已知，OM是的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，试说明：．24．如图，是的角平分线，，，垂足分别是、，连接，与相交于点.求证：.25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC 于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．26.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB．28.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．。