重庆市铜梁中学校2015届高三下学期模拟测试(一)数学(理)试题

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ）（A ）A B = （B ）A B =∅ （C ）A B （D ）B A【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠，且，故选D ．（2）【2015年重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =，故选B ． （3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（ ） （A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是20+20202=，故选B ．（4）【2015年重庆，理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-，故选B ．（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，故选A ． （6）【2015年重庆，理6】若非零向量,a b 满足22||||3a b =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） （A ）4π （B ）2π （C ）34π （D ）π 【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=，结合22||||3a b =，可得2||3a b b =，2cos ,,,[0,],24||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=，故选A ．（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==是，是，114+24k s ⇒==，是，1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否，判断框内应该填11111++=24612s ≤，故选C ．（8）【2015年重庆，理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）（A ）2 （B） （C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=，其圆心坐标为2,1C （），半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线，它过圆心2,1C （），所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=知，6AB ==，故选C ．（9）【2015年重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tansin cos 5cos5ππαααπ=⇒=⊗，3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos 1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-，故选C ． （10）【2015年重庆，理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a ）（A ）()()1,00,1- （B ）()(),11,-∞-+∞ （C ）()()0,2 （D ）((),2,-∞+∞【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中，由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-，由题意得：22()()c a c a a +-<01ba a c a+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a =±∴∈-，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2015年重庆，理11】设复数()i ,a b a b R +∈()()i i a b a b +-= ． 【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈223a b =+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=． （12）【2015年重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）．【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r rrr r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=．故35()2x x +的展开式中8x 的系数为2521522C =． （13）【2015年重庆，理13】在ABC ∆中，0120B =，2AB =，P ABC -的角平分线3AD =，则AC = ． 【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin 2AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠， 30C ∴∠=，再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）【2015年重庆，理14】如图，圆O 的弦,AB CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ． 【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2015年重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 ．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=由 222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及． 故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）． （16）【2015年重庆，理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5，则实数a = __．【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，|1|54a a +=⇒=，综上，可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同， 从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则()11123531014C C C P A C ==． （Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2，且()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===， ()21283101215C C P X C ===．故分布列见表：且X 0 1 2 P715715 115()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）． （18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫--⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期 T π=，最大值为23-． （Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减．因此，()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减．（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==，22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值．解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC DE ⊥．又2CD DE ==，2CE =，故CDE ∆为等腰直角三角形，且CD DE ⊥．因PC CD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图，取CE 的中点F ，连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形，故DF CE ⊥，1DF CF FE ===．又2ACB π∠=，故//DF AC ，因此23DF FB AC CB ==，从而32AC =．以C 为原点，,,CA CB CP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -．则()0,0,0C ，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0E ，()1,1,0D ，()0,0,3P ，故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,3DP =--，()1,1,0DE =-．设()1111,,n x y z =为平面APD 的法向量，则110n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩，取11y =得()12,1,1n =．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故DE 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅，故所求二面角A PD C --的余弦值为3． （20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e +=∈．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x ee+-+-+-+'==，因()f x 在0x =处取得极值，故()00f '=，得0a =．因此()23x f x x e -=，()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e =，()31f e'=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e-=-即30x ey -=．z yxF PEDC BA（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立，故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减，故()()max 932g x g ==-，所以92a ≥-，即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且 1PQ PF ⊥． （Ⅰ）若1||22PF =+，2||22PF =-，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若1||||PF PQ =，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=，故2a =．又222124||||12c PF PF =+=，故23c =，因此2221b a c =-=，从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ，由题()1114||||||22||a F P PQ QF F P =++=+，故()1||222F P a =-，从而21||2||F P a F P =-()221a =-，因此()2222124||||4962c PF PF a =+=-，所以()2296263e =-=-，得63e =-．（22）【2015年重庆，理22】（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中，13a =，()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=，2μ=-，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++． 解：（Ⅰ）由0λ=，2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>，故0n a >，得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列，从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因130a =>，故1230n a a a =>>>>>．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=-⎪+⎝⎭， 故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，因此001212k k a a a a +>>>>>，从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+⎪++⎝⎭∑． 综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、正态总体N （0，1）中，数落在（-∞，-3）∪（3，+∞）的概率为（ ）[参考数据：φ（1）= 0.8413,φ（2）=0.9772,φ（3）=0.9987]A ．4.6%B ．0.002C ．0.003D ．3%2、已知集合M ={（x ，y )|y =k (x -1),x ，y ∈R },N ={（x ，y )|x 2+y 2-2y =0,x ,y ∈R }.则M ∩N 中( ) A ．不可能有两个元素 B ．只有一个元素 C ．不可能只有一个元素 D ．有可能只有一个元素3、1sin cos cos sin 4αβαβ=已知，则的取值范围是（ ）A ．33[]44-，B ．53[]44-，C ．35[]44-， D．[4、()11,lg lg ,lg 22a b a b P Q a b R +⎛⎫>>==+= ⎪⎝⎭，则 （ ）()A R P Q << ()B P QR << ()C Q P R << ()D P R Q <<5、已知O 是四面体ABCD 内一点，且0OA OB OC ++=，若ABCD V =12，则O BCD V -等于()A ．3B ．4C ．5D ．6 6、集合M 有满足以下条件的函数组成:对任意x 1,x 2∈[-1,1]时,有|f (x 1)-f (x 2)|≤4|x 1-x 2|,则对f (x 1)=x 2-2x +5,f (x 2)=，有（ ）A ．f (x 1)∈M ，f (x 2)∈MB ．f (x 1)∉M ，f (x 2)∉MC ．f (x 1)∉M ，f (x 2)∈MD ．f (x 1)∈M ，f (x 2)∉M7、已知圆的方程为x 2+y 2-2y =0，抛物线顶点在原点，焦点为圆心F ，过焦点引倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线和圆的交点依次为A 、B 、C 、D （从左往右），若|AB |，|BC |，|CD |，为等差数列，则α等于（ ）A ．4π B.arctan arctan 22π- C ．34π D．arctan arctan 22π-8( )A C ．[)923，D ．(9,23)8、如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。

2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A ．A=B B．A∩B=∅C．A BD．B A考点：子集与真子集．专题：集合．分析：直接利用集合的运算法则求解即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A ．﹣1 B．0 C．1 D．6考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差中项求解即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A ．19 B．20 C．21.5 D．23考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据中位数的定义进行求解即可．解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．解答：解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A ．B．C．D．π考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．解答：解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A点评：本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s≤B．s≤C．s≤D．s≤考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．解答：解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A ．2 B．C．6 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解答：解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选：C．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题．9．（5分）（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．解答：解：tanα=2tan，则========== ===3．故答案为：3．点评：本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．解答：解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．解答：解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．点评：本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．解答：解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．解答：解：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．故答案为：2．点评：本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．故答案为：（2，π）．点评：本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．考点：带绝对值的函数．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．点评：本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=个．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．解答：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．点评：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．解答：解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．考点：椭圆的简单性质．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．点评：本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．考点：数列与不等式的综合．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析a n≠0后可得a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．解答：（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．2015年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．63．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s ≤ B ．s ≤ C ．s ≤D ．s ≤8．（5分）（2015•重庆）已知直线l ：x+ay ﹣1=0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴．过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ． 2 B ． C ． 6 D ．9．（5分）（2015•重庆）若tan α=2tan ，则=（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A ． （﹣1，0）∪（0，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣，0）∪（0，）D ． （﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为，则（a+bi ）（a ﹣bi ）= ．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x 8的系数是 （用数字作答）．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．。

2015年重庆市高考数学（理科）模拟试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足错误!未找到引用源。

(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4（B ）－45错误!未找到引用源。

（C ）4 （D ）452. 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．19-3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.454．设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( )A ．1B ．2C ．3D ．55. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1586. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .787．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A 、16+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π8. 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A．4 B1 C．6- D9. 已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10. 在平面上，1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r .若|OP uuu r |＜12，则|OA u u u r |的取值范围是( )．A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11. 8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案)12. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.侧视图俯视图13. 若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________．15.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________.16.若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.（本小题满分13分）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.18.（本小题满分13分） 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．19.(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BAA 1=60°.（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。

2015年重庆市铜梁中学高考物理模拟试卷（一）一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（6分）在物理学发展史上伽利略、牛顿等许许多多科学家为物理学的发展做出了巨大贡献．以下选项中符合他们观点的是（）A．人在沿直线加速前进的车厢内，竖直向上跳起后，将落在起跳点的后方B．两匹马拉车比一匹马拉车跑得快，这说明：物体受的力越大速度就越大C．两物体从同一高度自由下落，较轻的物体下落较慢D．一个运动的物体，如果不再受力了，它总会逐渐停下来；这说明：静止状态才是物体不受力时的“自然状态”【考点】：物理学史．【分析】：人在沿直线加速前进的车厢内，竖直向上跳起后，将落在起跳点的后方，符合伽利略、牛顿的惯性理论．两匹马拉车比一匹马拉车跑得快，这说明：物体受的力越大速度就越大，不符合伽利略、牛顿的观点．伽利略、牛顿认为重物与轻物下落一样快、力不是维持物体运动的原因．根据伽利略、牛顿的观点判断选项的正误．【解析】：解：A、人在沿直线加速前进的车厢内，竖直向上跳起后，人保持起跳时车子的速度，水平速度将车子的速度，所以将落在起跳点的后方．符合伽利略、牛顿的惯性理论．故A正确．B、力越大，物体运动的速度越大，不是伽利略、牛顿的观点．故B错误．C、伽利略、牛顿认为重物与轻物下落一样快，所以此选项不符合他们的观点．故C错误．D、此选项说明力是维持物体运动的原因，是亚里士多德的观点，不是伽利略、牛顿的观点．故D错误．故选A【点评】：本题要对亚里士多德的观点和伽利略、牛顿的观点关于力和运动关系的观点有了解．可以根据牛顿的三大定律进行分析．2．（6分）如图所示，由两种材料制成的半球面固定在水平地面上，右侧面是光滑的，左侧面是粗糙的，O点为球心，A、B是两个相同的小物块（可视为质点），小物块A静止在左侧面上，小物块B在图示水平力F作用下静止在右侧面上，A、B处在同一高度，AO、BO与竖直方向的夹角均为θ，则A、B对球面的压力大小之比为（）A． sin2θ：1 B． cos2θ：1 C． sin θ：1 D． cos θ：1【考点】：共点力平衡的条件及其应用；物体的弹性和弹力．【专题】：共点力作用下物体平衡专题．【分析】：分别对A、B两个相同的小物块受力分析，由受力平衡，求得所受的弹力，再由牛顿第三定律，求A、B分别对球面的压力大小之比．【解析】：解：分别对A、B两个相同的小物块受力分析，如图，由平衡条件，得：N1=mgsinθ同理：N2=故==sin2θ；根据牛顿第二定律，斜面对滑块的支持力等于滑块对斜面的压力，故左右两物块对斜面的压力大小之比sin2θ：1；故选：A．【点评】：本题是共点力平衡问题，受力分析后画出受力分析图，再根据几何关系列式求解，不难．3．（6分）如图甲所示，一理想变压器给一个小灯泡供电．当原线圈输入如图乙所示的交变电压时，额定功率10W的小灯泡恰好正常发光，已知灯泡的电阻为40Ω，图中电压表为理想电表，下列说法正确的是（）A．变压器输入电压的瞬时值表达式为μ=220sinπt（V）B．电压表的示数为220VC．变压器原、副线圈的匝数比为11：1D．变压器的输入功率为110W【考点】：变压器的构造和原理．【专题】：交流电专题．【分析】：根据瞬时值的表达式可以求得输出电压的有效值、周期和频率等，再根据电压与匝数成正比，与匝数成反比，即可求得结论【解析】：解：A、由图象可知，ω=，故A错误B、原线圈输入电压为220V，电压表示数为灯泡的额定电压U==20V，故B错误C、由B分析，结合变压比公式得，=，故C正确D、变压器的输入功率与输出功率相等，为10W，故D错误故选C【点评】：掌握住理想变压器的电压、电流之间的关系，最大值和有效值之间的关系即可解决本题4．（6分）如图所示，一导线弯成直径为d的半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD 始终与MN垂直．从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列说法中正确的是（）A．感应电流方向为顺时针方向B． CD段直导线始终不受安培力C．感应电动势的最大值E=BdvD．感应电动势的平均值=πBdv【考点】：楞次定律．【专题】：电磁感应与电路结合．【分析】：由楞次定律可判断电流方向，由左手定则可得出安培力的方向；由E=BLv，分析过程中最长的L可知最大电动势；由法拉第电磁感应定律可得出电动势的平均值．【解析】：解：A、在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向不变，故A错误．B、根据左手定则可以判断，电流方向由D到C，磁场垂直向里，则受安培力向下，故B错误．C、当半圆闭合回路进入磁场一半时，即这时等效长度最大为，这时感应电动势最大值为：E=B v，故C错误．D、由法拉第电磁感应定律可得感应电动势平均值为：E===πBdv，故D正确．故选：D．【点评】：本题注意以下几点：（1）感应电动势公式E=只能来计算平均值；（2）利用感应电动势公式E=Blv计算时，l应是等效长度，即垂直切割磁感线的长度．5．（6分）一质量为m的小球套在倾斜放置的固定光滑杆上，一根轻质弹簧的一端悬挂于O 点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，将小球沿杆拉到与弹簧水平的位置由静止释放，小球沿杆下滑，当弹簧位于竖直位置时，小球速度恰好为零，此时小球下降的竖直高度为h，如图所示．若全过程中弹簧处于伸长状态且处于弹性限度内，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．当弹簧与杆垂直时，小球动能最大B．当小球沿杆下滑过程中合力为零时，小球速度为0C．在小球自开始下滑至滑到最低点的过程中，弹簧所做的负功小于mghD．在小球自开始下滑至滑到最低点的过程中，弹簧弹性势能的增加量等于mgh【考点】：功能关系；功的计算．【分析】：弹簧与杆垂直时，合外力方向沿杆向下，小球继续加速，速度没有达到最大值，运动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律分析即可求解【解析】：解：AB、弹簧与杆垂直时，弹力方向与杆垂直，合外力方向沿杆向下，小球继续加速，速度没有达到最大值．当合外力为零时，加速度为零，速度最大，故A错误，B错误；CD、小球运动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，初末位置动能都为零，所以弹簧的弹性势能增加量等于重力势能的减小量，即为mgh，故C错误，D正确．故选：D【点评】：本题主要考查了机械能守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析小球的受力情况和运动情况，难度不大，属于基础题．二、填空题（共20分，每空2分）6．（6分）如图1所示的装置，可用于探究恒力做功与速度变化的关系．水平轨道上安装两个光电门，小车上固定有力传感器和挡光板，细线一端与力传感器连接，另一端跨过定滑轮挂上砝码盘．实验首先保持轨道水平，通过调整砝码盘里砝码的质量让小车做匀速运动以实现平衡摩擦力，再进行后面的操作，并在实验中获得以下测量数据：小车、力传感器和挡光板的总质量M，平衡摩擦力时砝码和砝码盘的总质量m0，挡光板的宽度d，光电门1和2的中心距离s．（1）该实验是否需要满足砝码和砝码盘的总质量远小于小车（含力传感器和挡光板）的质量不需要（填“需要”或“不需要”）（2）实验需用游标卡尺测量挡光板的宽度d，如图2所示，d= 5.50 mm（3）某次实验过程：力传感器的读数为F，小车通过光电门1和2的挡光时间分别为t1、t2（小车通过光电门2后，砝码盘才落地），已知重力加速度为g，则对该小车实验要验证的表达式是．【考点】：探究功与速度变化的关系．【专题】：实验题．【分析】：（1）该实验中由于已经用传感器测出绳子拉力大小，故不需要满足砝码和砝码盘的总质量远小于小车的质量．（2）游标卡尺读数的方法是主尺读数加上游标读数，不需估读．游标的零刻度线超过主尺上的刻度数为主尺读数，游标读数等于分度乘以对齐的根数．（3）光电门测速度的原理是用平均速度来代替瞬时速度，根据功能关系可以求出需要验证的关系式【解析】：解：（1）该实验中由于已经用传感器测出绳子拉力大小，不是将砝码和砝码盘的重力作为小车的拉力，故不需要满足砝码和砝码盘的总质量远小于小车的质量．（2）游标卡尺的主尺读数为5mm，游标读数等于0.05×10mm=0.50mm，所以最终读数为：5mm+0.50mm=5.50mm．（3）由于光电门的宽度d很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度．滑块通过光电门1速度为：，滑块通过光电门2速度为：，根据功能关系需要验证的关系式为：．故答案为：（1）不需要；（2）5.50；（3）【点评】：了解光电门测量瞬时速度的原理，实验中我们要清楚研究对象和研究过程，对于系统我们要考虑全面，同时明确实验原理是解答实验问题的前提7．（14分）LED绿色照明技术已经走进我们的生活．某实验小组要精确测定额定电压为3V 的LED灯正常工作时的电阻，已知该灯正常工作时电阻大约500Ω，电学符号与小灯泡电学符号相同．实验室提供的器材有：A．电流表A1（量程为0至50mA，内阻R A1约为3Ω）B．电流表A2（量程为0至3mA，内阻R A2=15Ω）C．定值电阻R1=697ΩD．定值电阻R2=1985ΩE．滑动变阻器R（0至20Ω）一只F．电压表V（量程为0至12V，内阻R V=1kΩ）G．蓄电池E（电动势为12V，内阻很小）H．开关S一只，导线若干（1）如图1所示，请选择合适的器材，电表1为 F ，电表2为 B ，定值电阻为 D ．（填写器材前的字母编号）（2）将采用的电路图如图2补充完整．（3）写出测量LED灯正常工作时的电阻表达式R x= （填字母，电流表A1，电流表A2电压表V的读数分别用I1、I2、U表示），当表达式中的I2（填字母）达到1.5mA ，记下另一电表的读数代入表达式，其结果为LED灯正常工作时电阻．【考点】：伏安法测电阻．【专题】：实验题．【分析】：滑动变阻器阻值远小于LED的电阻，所以滑动变阻器采用分压式接法．LED灯的额定电压为3V，题目所给的电压表量程太大，测量不准确，需通过电流表和定值电阻改装一个电压表，因为通过LED的电流较小，可以用题目中的电压表当电流表使用．根据闭合电路欧姆定律求出LED正常工作时的电阻，根据欧姆定律得出LED电压为3V时，得到LED的电阻．【解析】：解：（1）（2）要精确测定额定电压为3V的LED灯正常工作时的电阻，需测量LED 灯两端的电压和通过LED灯的电流，由于电压表的量程较大，测量误差较大，不能用已知的电压表测量LED两端的电压，可以将电流表A2与定值电阻串联改装为电压表测量电压；改装电压表的内阻：R===1000Ω，A2的内阻约为15Ω，则定值电阻应选D；LED灯正常工作时的电流约为I===6mA左右，电流表的量程较小，电流表不能精确测量电流，可以用电压表测量电流；因为滑动变阻器阻值远小于LED的电阻，所以滑动变阻器采用分压式接法．电路图如图所示，由以上分析可知，电表1为F，电表2为B，定值电阻为D．（3）根据闭合电路欧姆定律知，灯泡两端的电压U=I2（R+R A2），通过灯泡的电流I=﹣I2，所以LED灯正常工作时的电阻R X==．改装后的电压表内阻为R V=1985+15Ω=2000Ω，则当I2=1.5mA时，LED灯两端的电压为3V，达到额定电压，测出来的电阻为正常工作时的电阻．故答案为：（1）F；B；D；（2）电路图如图所示；（3）；I2；1.5mA．【点评】：本题的难点在于电流表的量程偏小，无法测电流，电压表的量程偏大，测量电压偏大，最后需通过改装，用电流表测电压，电压表测电流．三、计算题（共48分）8．（14分）如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距l=0.50m，左端接一电阻R=0.20Ω，磁感应强度B=0.40T的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒ab垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计，当ab以v=4.0m/s的速度水平向右匀速滑动时，求：（1）ab棒中感应电动势的大小，并画出等效电路图；（2）回路中感应电流的大小；（3）维持ab棒做匀速运动的水平外力F的大小．【考点】：导体切割磁感线时的感应电动势；闭合电路的欧姆定律．【专题】：电磁感应与电路结合．【分析】：（1）导体垂直切割磁感线，由磁感应强度B、长度L、速度v，根据公式E=BLv 求出感应电动势；（2）ab相当于电源，根据闭合电路欧姆定律求解感应电流大小；（3）ab棒做匀速运动，水平外力F与安培力平衡，根据安培力公式F=BIL求解．【解析】：解：（1）根据法拉第电磁感应定律，ab棒中的感应电动势为：E=Blv=0.40×0.50×4.0 V=0.8 V（2）感应电流大小为：I==A=4 A（3）由于ab棒受安培力为：F=IlB=4.0×0.50×0.40 N=0.8 N，故由平衡条件知外力的大小也为0.8 N．答：（1）ab棒中感应电动势的大小是0.8V；（2）回路中感应电流的大小是4A；（3）维持ab棒做匀速运动的水平外力F的大小是0.8N．【点评】：本题是电磁感应、电路和磁场知识的综合，关键要掌握电磁感应与电路的基本规律，并能熟练运用．9．（16分）如图所示，倾角为θ=37°的传送带以较大的恒定速率逆时针转动，一轻绳绕过固定在天花板上的轻滑轮，一端连接放在传送带下端质量为m的物体A，另一端竖直吊着质量为、电荷量为q=（k为静电力常量）带正电的物体B，轻绳与传送带平行，物体B正下方的绝缘水平面上固定着一个电荷量也为q带负电的物体C，此时A、B都处于静止状态．现将物体A向上轻轻触动一下，物体A将沿传送带向上运动，且向上运动的最大距离为l．已知物体A与传送带的动摩擦因数为µ=0.5，A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，不计空气阻力．求：（1）物体A、B处于静止状态时物体B、C间的距离；。

2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．63．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．9．（5分）（2015•重庆）若tan α=2tan ，则=（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．4 10．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为，则（a+bi ）（a ﹣bi ）= ． 12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x 8的系数是 （用数字作答）．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC 中，B=120°，AB=，A 的角平分线AD=，则AC= ． 三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE ：ED =2：1，则BE= ．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 ．16．（2015•重庆）若函数f （x ）=|x+1|+2|x ﹣a|的最小值为5，则实数a= ．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f （x ）=sin （﹣x ）sinx ﹣xA （﹣1，0）∪（0，1）B （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C （﹣，0）∪（0，） D （﹣∞，﹣）∪（，+∞）（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．答案：1、解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．2、解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．3、解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B 4、解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x ＞﹣1， 故“x ＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B ． 5、、 解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A ． 7、解：模拟执行程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8， 因此S=（此时k=6）， 因此可填：S ．故选：C ．8、解：圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）． 由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选：C ．6、解：∵（﹣）⊥（3+2）， ∴（﹣）•（3+2）=0， 即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos ＜，＞===，即＜，＞=，故选：A9、解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．10、解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：A ．11、解：因为复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为， 所以a 2+b 2==3，则（a+bi ）（a ﹣bi ）=a 2+b 2=3；故答案为：3．12、解：由于的展开式的通项公式为 T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x 8的系数是•=，故答案为：．14、解：设CE=2x ，ED=x ，则∵过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ， ∴由切割线定理可得PA 2=PC •PD ，即36=3×（3+3x ）， ∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE •ED ，即9BE=6×3， ∴BE=2．故答案为：2．15、解：直线l 的参数方程为（t 为参数），它的直角坐标方程为：x ﹣y+2=0；曲线C 的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x 2﹣y 2=4，x ＜0． 由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）． 故答案为：（2，π）．13、解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC 是等腰三角形， AC=2=．故答案为：．16、解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．17、解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=个．18解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x ﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．19、（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．20、解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．21、解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．22、（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．11。

某某市铜梁中学2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=( )A．{（0，1）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=( )A．1 B．2 C．3 D．43．命题“若x＞1，则x2＞2”的否定是( )A．∀x＞1，x2≤2B．∃x＞1，x2＞2 C．∃x＞1，x2≤2D．∃x≤1，x2＞2 4．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A．180 B．120 C．90 D．455．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为( )A．B．+C．+D．+26．若抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为( )A．y2=2x B．y2=（﹣4）xC．y2=2x或y2=18x D．y2=3x或y2=（﹣4）x7．如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在X围是( )A．B．C．D．8．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率( )A．B．C．D．9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=( )A．B．C．D．10．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣1）=a的实根个数最多为( )A．5个B．6个C．7个D．8个二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2： 3：4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n=__________．12．若x＞0，y＞0，且ln3x+ln27y=ln3，则+的最小值为__________．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，则q=__________．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是2，那么AC•AP+BD•BP的值等于__________．15．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值X围是__________．16．设函数g（x）=|x﹣3m|+|x﹣1|，m∈R．若存在x0∈R，使得g（x0）﹣4＜0成立，则m 的取值X围为__________．三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．18．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球都连号为二等奖，奖金60元；三球分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，若函数f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，某某数a的值．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC，设AB=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D1的余弦值；（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，请说明理由．21．如图，焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为．（1）求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，与两椭圆T1，T2分别交于点A，C与点B，D （均不重合）．若2•=3•，求l1与l2的方程．22．设函数f n（x）=x n（1﹣x）2在[，1]上的最大值为a n（n=1，2，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）若数列{a n}的前n之和为S n，证明：对任意正整数n都有S n＜成立．某某市铜梁中学2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=( )A．{（0，1）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中x的X围确定出M，求出N中y的X围确定出N，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，则M∩N={x|x≥0}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=( ) A．1 B．2 C．3 D．4考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长．解答：解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i，∴z+i====﹣i，∴z=﹣2i∴|z|=2故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属基础题．3．命题“若x＞1，则x2＞2”的否定是( )A．∀x＞1，x2≤2B．∃x＞1，x2＞2 C．∃x＞1，x2≤2D．∃x≤1，x2＞2考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解答：解：全称命题的否定是特称命题，∴命题若x＞1，则x2＞2”的否定是：∃x＞1，x2≤2．故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．比较基础．4．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A．180 B．120 C．90 D．45考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：由题意可得只有第六项的二项式系数最大，∴n=10．故展开式的通项公式为T r+1=••2r•x﹣2r=2r••，令=0，求得r=2，故展开式中的常数项是 22=180，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为( )A．B．+C．+D．+2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，圆锥母线l==2，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r==2，截去的底面弧的圆心角为120°，截去的面积是底面圆面积的，底面剩余部分为S=πr2+sin120°=π+，故几何体的体积为：V=Sh=×（π+）×2=+，故选：B点评：本题考查几何体体积计算．本题关键是弄清几何体的结构特征，是易错之处．6．若抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为( )A．y2=2x B．y2=（﹣4）xC．y2=2x或y2=18x D．y2=3x或y2=（﹣4）x考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线上点P到x轴的距离3，设P的坐标为（x0，±3）．根据点P坐标适合抛物线方程及点P到焦点的距离为5，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到x轴的距离3，∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±3）∵P到抛物线的焦点F（，0）的距离为5，∴由抛物线的定义，得x0+=5 (1)∵点P是抛物线上的点，∴2px0=9 (2)由（1）（2）联立，解得p=1，x0=或p=9，x0=则抛物线方程为y2=2x或y2=18x．故选：C．点评：本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在X围是( )A．B．C．D．考点：选择结构；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：程序框图的功能是求a，b，c的最大值，根据输出的结果是sinθ，建立不等式，然后在给定X围内解三角不等式即可．解答：解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值∵输出的结果是sinθ，∴sinθ最大即解得故选D．点评：本题主要考查了选择结构，以及解三角不等式，弄清算法功能是解题的关键，属于基础题．8．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均不小于1．因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．解答：解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域∵S菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×=8，∴S阴影=S菱形ABCD﹣S空白=8﹣π×12=8﹣π．因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P===1﹣．故选：D点评：本题给出菱形ABCD，求在菱形内部取点，使该点到各个顶点的距离均不小于1的概率．着重考查了菱形的面积公式、圆的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=( )A．B．C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：根据已知等式表示出b与c，利用余弦定理得到cosC与cosA，将表示出的b与c代入表示出cosC与cosA，根据C=2A，得到cosC=cos2A=2cos2A﹣1，将表示出的cosC与cosA 代入求出a的值，即可确定出cosC的值．解答：解：由b﹣a=c﹣b=1，得到b=a+1，c=a+2，∴cosC===，cosA===，∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1，即=2（）2﹣1，解得：a=4，∴cosC==，故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣1）=a的实根个数最多为( )A．5个B．6个C．7个D．8个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：将x+﹣1视为一个整体，利用换元的思想方法和已知中函数f（x）=，结合二次函数，指数函数的图象和性质，及函数图象的对折变换，分类讨论，可得答案．解答：解：令t=x+﹣1，则t∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），画出函数f（x）=，x∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）时的图象如下图所示：，由图可知：当a∈[，1）时，关于x的方程f（x）=a的实根个数最多为3个，故关于x的方程f（x+﹣1）=a的实根个数最多为6个，故选：B．点评：本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2：3：4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n=54．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据在分层抽样中，各部分抽取的比例相等，列出比例关系式求得n值．解答：解：∵在分层抽样中，各部分抽取的比例相等，∴=⇒n=54．故答案为：54．点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握方程抽样的特征是解题的关键．12．若x＞0，y＞0，且ln3x+ln27y=ln3，则+的最小值为12．考点：对数的运算性质；基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由对数等式得到x+3y=1，把+化为（+）（x+3y），展开后利用基本不等式求最值．解答：解：由ln3x+ln27y=ln3，得ln（3x•27y）=ln3，即3x+3y=3，x+3y=1．又x＞0，y＞0，∴+=（+）（x+3y）=6+．当且仅当，即时上式等号成立．∴+的最小值为12．故答案为：12．点评：本题考查了对数的运算性质，训练了利用基本不等式求最值，关键在于对“1”的灵活运用，是中低档题．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，则q=3或．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，可得a1=﹣2d或a1=d，根据q=，可得结论．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则∵S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，∴2（2a1+d）2=a1•3（3a1+3d），∴a1=﹣2d或a1=d，∴q==3或．故答案为：3或．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项公式是关键．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是2，那么AC•AP+BD•BP的值等于16．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，可得点D、M在以AP为直径的圆上；M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理，即可得出结论．解答：解：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，∴AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB2=16．故答案为：16．点评：本题考查了割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用割线定理是关键．15．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值X围是[4，16]．考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可．解答：解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值X围是[4，16]．故答案为：[4，16]．点评：本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．16．设函数g（x）=|x﹣3m|+|x﹣1|，m∈R．若存在x0∈R，使得g（x0）﹣4＜0成立，则m 的取值X围为（﹣1，）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为|3m﹣1|，结合题意可得|3m﹣1|＜4，即﹣4＜3m﹣1＜4，由此求得m的X围．解答：解：∵函数g（x）=|x﹣3m|+|x﹣1|≥|（x﹣3m）﹣（x﹣1）|=|3m﹣1|，∴g（x）的最小值为|3m﹣1|．根据存在x0∈R，使得g（x0）﹣4＜0成立，可得|3m﹣1|＜4，故有﹣4＜3m﹣1＜4，求得﹣1＜m＜，故答案为：．点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）首先，化简函数解析式，利用辅助角公式，化简给定的函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解；（2）根据向量共线的条件，同时结合余弦定理进行求解．解答：解：（1）f（x）=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴当sin（2x﹣）=1时，即2x﹣=，得x=，f（x）取得最大值；当sin（2x﹣）=﹣时，即2x﹣=﹣，得x=﹣，f（x）取得最小值；（2）∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，所以sinB=2sinA，根据正弦定理的推论，得b=2a，∴a=1，b=2，由余弦定理c2=1+4﹣2×1×2cosC=5﹣4cos，∵0＜C＜，∴0＜cosC＜1，∴1＜c2＜5，∴1＜c＜，∵c∈N*，∴c=2，经检验符合三角形要求，∴c的值2．点评：本题重点考查三角公式及其灵活运用，正弦定理的推论，余弦定理及其应用等知识，属于中档题．18．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球都连号为二等奖，奖金60元；三球分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103，奖金的可能取值是0，30，60，240，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，写出分布列和期望值．（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率，和四次抽奖是相互独立的，得到中奖的次数符合二项分布，根据二项分布的方差公式写出结果．解答：解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，∴一等奖的概率P（ξ=240）=，P（ξ=60）=P（ξ=30）=，P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξξ0 30 60 240P∴E ξ==20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互独立的∴中奖次数η～B（4，）∴Dη=4×点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，若函数f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，某某数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过f（x）=e x﹣ax﹣1，可得f′（x）=e x﹣a，结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；（2）一方面，由题意及（1）知当a＞0时，f min（x）=f（lna）=a﹣alna﹣1≥0，另一方面通过研究g（a）=a﹣alna﹣1 （a＞0）的单调性得g（a）≤g（1）=0，所以g（a）=0，解得a=1．解答：解：（1）∵函数f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）由题意及（1）知当a＞0时，f min（x）=f（lna），∴f（lna）≥0，即a﹣alna﹣1≥0，记g（a）=a﹣alna﹣1 （a＞0），则g（a）≥0，令g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna=0，解得a=1，∴g（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（a）≤g（1）=0，故g（a）=0，解得a=1．点评：本题考查函数的单调性，最值，构造新函数并研究其单调性是解决本题的关键，属于中档题．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC，设AB=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D1的余弦值；（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，请说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D1的余弦值．（2）设，由A1P∥面EAC，解得，由此推导出存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=3：2．解答：解：（1）设AC∩BD=O，如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，2），设E（0，1，2+h），则=（0，2，h），，=（），∵D1E⊥平面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，∴2﹣2h=0，解得h=1，即E（0，1，3）．∴，．设平面EAC的法向量为，则由．令z=﹣1，得平面EAC的一个法向量为．又平面D1AC的法向量为=（0，2，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣AC﹣D1的余弦值为．（2）设，得，∴=（﹣，，）∵A1P∥面EAC，∴，∴﹣，解得，∴存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=3：2．点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．如图，焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为．（1）求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，与两椭圆T1，T2分别交于点A，C与点B，D （均不重合）．若2•=3•，求l1与l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用待定系数法设方程，根据焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）设出直线l1的方程，分别和椭圆T1的方程及椭圆T2方程联立，求出A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，利用2•=3•，求出k的值，则l1与l2的方程的方程可求．解答：解：（1）设椭圆T1：+=1﹙a＞b＞0﹚，椭圆T2：（n＞m＞0），则，解得，∴椭圆T1：，椭圆T2：4x2+y2=1；（2）设l1的方程为y=kx+1，与椭圆T1联立，得：（4k2+1）x2+8kx=0，由x A≠0，∴x A=﹣，代入y=kx+1得：y A=．∴A（﹣，）．同理C（﹣，）．把A，C中的k置换成﹣，可得B（，），D（，），由2•=3•，可得2[x A x C+y A y C﹣（y A+y C）+1]=3[（x B x D+y B y D﹣（y B+y D）+1]，代入计算可得k=±．∴k=，l1的方程为y=x+1；l2的方程为y=﹣x+1；k=﹣，l1的方程为y=﹣x+1，l2的方程为y=x+1．点评：本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题．22．设函数f n（x）=x n（1﹣x）2在[，1]上的最大值为a n（n=1，2，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）若数列{a n}的前n之和为S n，证明：对任意正整数n都有S n＜成立．考点：数列的求和．专题：证明题；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）易求f′n（x）=x n﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x]，经分析可得n=1时，；当时f′n（x）＞0，当时f′n（x）＜0，函数f n（x）在处取得最大值，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，利用分析法：要证，即证，再利用二项式定理即可证得该式成立，从而使结论得证；（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，结合（2）的证明及放缩法的应用，即可证得对任意正整数n都有S n＜成立．解答：解：（1）由，当时，由f′（x）=0得x=1或；当n=1时，，f′1（x）=0，则；当n=2时，，则；当n≥3时，，而当时f′n（x）＞0，当时f′n（x）＜0，故函数f n（x）在处取得最大值，即：，综上：…（2）当n≥2时，要证，即证，而，故不等式成立…（3）当n=1，2时结论成立；word当n≥3时，由（2）的证明可知：，从而…点评：本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，突出考查导数的应用，考查分析法、放缩法的综合应用及推理论证能力，属于难题．。

2015年重庆市名校联盟高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，则（2i）2=（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：（2i）2=4i2=﹣4．故选：A．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（）A．5 B． 6 C．7 D．8【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：由图形求出这种树的从第一年的分枝数，可发现从第三项起每一项都等于前两项的和，由此规律即可求出第6年树的分枝数．【解析】：解：由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，…，则2=1+1，3=1+2，5=2+3，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第6年树的分枝数是3+5=8，故选：D．【点评】：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．3．（5分）设随机变量a服从正态分布N（u，9），若p（ξ＞3）=p（ξ＜1），则u=（）A．2 B． 3 C．9 D． 1【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据p（ξ＞3）=p（ξ＜1），由正态曲线的对称性得u==2．【解析】：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（u，9），p（ξ＞3）=p（ξ＜1），∴u==2故选：A．【点评】：本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．4．（5分）已知f（x）=，则f（3）=（）A．3 B． 2 C． 4 D． 5【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：直接利用分段函数的解析式，结合抽象函数求出函数值即可．【解析】：解：f（x）=，则f（3）=f（2+3）=f（5）=f（2+5）=f（7）=7﹣5=2．故选：B．【点评】：本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．（5分）《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽•泉组合给一位歌手给出的评分分别是：x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，现将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：算法的功能是求S=（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（xi﹣20）2的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解析】：解：由程序框图知：算法的功能是求S=（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（xi﹣20）2的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题．6．（5分）下列命题中，是假命题的是（）A．∀x∈（0，），cosx＞sinx B．∀x∈R，sin2x=2sinxcosxC．|•|=||•|| D．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：A．利用三角函数的单调性即可判断出正误；B．根据倍角公式即可判断出正误；C．由于|•|=||，即可判断出正误；D．利用对数恒等式即可判断出正误．【解析】：解：A．∀x∈（0，），利用三角函数的单调性可得cosx＞=sinx，因此正确；B．∀x∈R，根据倍角公式可得：sin2x=2sinxcosx，正确；C．|•|=||，因此不正确；D．利用对数恒等式可得：=3，因此正确．综上可得：C是假命题．故选：C．【点评】：本题考查了三角函数的单调性、倍角公式、数量积的定义、对数恒等式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B． 4 C． 6 D．12【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图判断出几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，再利用三视图的数据，求出几何体的体积．【解析】：解：如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且ABCD是直角梯形，由三视图得，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即PA⊥平面ABCD，PA=2所以几何体的体积V=××AB×PA=×2×2=4故选：B．【点评】：本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是准确还原几何体，并由三视图中的相关数据求出所对应的几何元素的长度，考查空间想象能力．8．（5分）如图F1，F2为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，圆O：x2+y2=a2﹣b2，过原点的直线与双曲线C交于点P，与圆O交于点M、N，且|PF1|•|PF2|=15，则|PM|•|PN|=（）A．5 B．30 C．225 D．15【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设P（m，n），代入双曲线的方程，设双曲线的离心率为e，由双曲线的第二定义可得，|PF1|=em+a，|PF2|=em﹣a，运用平方差公式以及圆的半径，化简整理，结合离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到所求值．【解析】：解：设P（m，n），则﹣=1，即有n2=b2（﹣1），设双曲线的离心率为e，由双曲线的第二定义可得，|PF1|=em+a，|PF2|=em﹣a，|PF1|•|PF2|=15，即为（em+a）（em﹣a）=15，m2=，则|PM|•|PN|=（﹣）（+）=（m2+n2）﹣（a2﹣b2）=+b2••﹣b2﹣a2+b2=（15+a2）﹣a2=15．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的第二定义的运用和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9．（5分）将4名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，不同的分配方法数为（）A．12 B．16 C．14 D．18【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：本题是一个分类计数问题，四名学生中有两名学生分在一个班的种数，有三个学生分在一个班的种数，两类情况，根据分类计数原理即可得到结果【解析】：解：由题意知本题是一个分类计数问题，∵每个班至少分到一名学生，四名学生中有两名学生分在一个班的种数是=6，有三个学生分在一个班有=8种结果，∴不同的分配方法数为6+8=14种结果．故选：C．【点评】：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．10．（5分）如图，O为△ABC的外心，AB=6，AC=4，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则=（）A．﹣10 B．36 C．16 D．13【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据Rt△AOE中余弦的定义，分别求出•，•的值，再由M是BC边的中点，得到•=（+）•，问题得以解决．【解析】：解：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点可得Rt△AEO中，cos∠OAE==，∴•=||•||•=||2=18，同理可得•=||2=8，∵M是边BC的中点，=（+）∴•=（+）•=（•+•）=（18+8）=13，故选：D【点评】：本题将△ABC放在它的外接圆O中，求中线AM对应的向量与的数量积之值，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分．（一）必做题（11-13题）（一）必做题11．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4，6}，B={2，4，5，6}，则∁I（A∩B）={1，3，5}．【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：根据A与B求出两集合的交集，由全集I，求出交集的补集即可【解析】：解：∵A={1，2，4，6}，B={2，4，5，6}，∴A∩B={2，4，6}，∵全集I={1，2，3，4，5，6}，∴∁I（A∩B）={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．12．（5分）函数y=的最大值是4．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：先化简（2+x）（6﹣x）=﹣（x﹣2）2+16，从而求（2+x）（6﹣x）的最大值，再求函数y=的最大值．【解析】：解：∵（2+x）（6﹣x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16≤16；∴≤=4；故答案为：4．【点评】：本题考查了函数的最值的求法，同时考查了二次函数的应用，属于基础题．13．（5分）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是．【考点】：正弦定理的应用．【专题】：解三角形．【分析】：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x 表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．【解析】：解：设BC=x，则AC=2x，由余弦定理可得cosB==．由于三角形ABC的面积为•2•x•sinB=x===．再由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得＜x＜2，故＜x2＜4．再利用二次函数的性质可得，当x2=时，函数﹣9x4+40x2+16取得最大值为，故的最大值为，故答案为．【点评】：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．（二）选做题（14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）14．（5分）如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是3，则AC•AP+BD•BP的值36．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，可得点D、M在以AP 为直径的圆上；M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理，即可得出结论．【解析】：解：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，∴AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB2=36．故答案为：36．【点评】：本题考查了割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用割线定理是关键．15．（5分）以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为ρ=4cosθ的曲线与参数方程（t为参数）的直线交于A、B，则|AB|=．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把直线的参数方程转化成直角坐标方程，再利用圆心到直线的距离公式，最后求出所截得弦长．【解析】：解：极坐标方程为ρ=4cosθ转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+4=4整理成标准形式为：（x﹣2）2+y2=4圆心为：（2，0）半径为2．参数方程（t为参数）转化成直角坐标方程：x+y﹣1=0则：圆心到直线的距离为：d=所截得弦长为：l=2故答案为：【点评】：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，及相关的运算问题．16．（5分）若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣11]∪[7，+∞）．【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据绝对值的几何意义得到不等式|m+2|﹣9≥0，解出即可．【解析】：解：函数f（x）=的定义域为R，等价于|x+2|+|x﹣m|﹣9≥0，等价于|x+2|+|x﹣m|≥9，等价于m+2≥9，或m+2＜﹣9，解得：m≥7或m≤﹣11，故答案为：（﹣∞，﹣11]∪[7，+∞）．【点评】：本题考查了绝对值的几何意义，二次根式的性质，本题属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（13分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（1）求证：A+C=；（2）若sinAsinC=，求cos（A﹣C）的值．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（1）由（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，可得a2+c2﹣b2=﹣ac，利用余弦定理可得，解得．即可证明．（2）展开cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC，即可得出．【解析】：（1）证明：∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴=﹣，∵B∈（0，π），∴．∴A+C=π﹣B=；（2）解：cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=．【点评】：本题考查了余弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（13分）某校高二上期月考语文试题的连线题如下：将中国四大名著与它们的作者连线，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．其得分标准是：每连对一个得3分，连错得﹣1分．一名考生由于考前没复习本知识点，所以对此考点一无所知，考试时只得随意连线，现将该考生的得分记作ξ．（Ⅰ）求这名考生所有连线方法总数；（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列；（Ⅱ）ξ=﹣4，0，4，12，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列及数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列，所以连线方法总数是种．（Ⅱ）ξ的可能取值为﹣4，0，4，12，P（ξ=12）=，P（ξ=4）=，P（ξ=0）=，P（ξ=﹣4）=，ξ的分布列为：数学期望．【点评】：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是正确理解事件，求概率，确定变量的取值，属于中档题19．（13分）如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，又CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）如图以D为原点，以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．不妨设AB=BC==2．则G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（1，1，﹣1）．设平面EFG的法向量为=（x，y，z），利用，可得，利用法向量的夹角即可得出．【解析】：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，∵CD⊥AD，PD∩AD=D．∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．（2）解：如图以D为原点，以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．不妨设AB=BC==2．则G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（1，1，﹣1）．设平面EFG的法向量为=（x，y，z），∴，可得，令x=1，解得z=1，y=0，∴=（1，0，1）为平面PCD的一个法向量，=（1，0，0）．∴．∴面GEF与面EFD所成锐二面角的大小45°．【点评】：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角得出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论m的范围从而得到函数的单调区间；（Ⅱ）当m＞0时，不会有∀x∈（0，+∞），当m＜0时，，从而求出m的范围．【解析】：解：（Ⅰ），①当m＞0时，，或x≥m，所以f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣m），（m，+∞），单调减区间是（﹣m，m）；②当m＜0时，，或x≥﹣m，所以f（x）的单调增区间是（m，﹣m），单调减区间是（﹣∞，m），（﹣m，+∞）；（Ⅱ）当m＞0时，∵，∴不会有∀x∈（0，+∞），，当m＜0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，﹣m）单调递增，在（﹣m，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上，，由题意知：，∴m的取值范围为．【点评】：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．21．（12分）设椭圆E：=1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率e=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E标准方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆E上的两点，，且，设M（x0，y0），且（θ∈R），求x02+3y02的值；（Ⅲ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F1，F2的动直线ℓ1，ℓ2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）首先，根据已知条件确定，a，b，c即可；（Ⅱ）利用向量关系，建立关系式，然后，结合三角关系求解即可；（Ⅲ）首先，对直线的斜率是否存在进行分类，然后，设直线的方程，联立方程组，建立关系式进行求解即可．【解析】：解：（Ⅰ），所以椭圆标准方程…（4分）（Ⅱ），，M（x0，y0），则（x0，y0）=（x1cosθ，y1cosθ）+（x2sinθ，y2sinθ）=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ）（6分）则==9（sin2θ+cos2θ）=9…（8分）（Ⅲ）据题，得，当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（，0）或（，0），当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．∴l1的方程为y=m1（x+），l2的方程为y=m2（x﹣）．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立方程组，消去y，得，，∴，同理．…（9分）∵，…（10分）又满足k1+k2=k3+k4，∴设点P（x，y），则，（x≠±）…（11分）由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）也满足，∴点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为（﹣，0）、（，0），使得|PM|+|PN|=2为定值．…（12分）【点评】：本题重点考查了椭圆的标准方程、椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于难题．22．（12分）已知数列A n：a1，a2，a3，…a n（n∈N*，n≥2）满足a1=a n=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，（a k﹣a k﹣1）2=1，令．（Ⅰ）写出的所有S（A5）可能值；（Ⅱ）求S（A n）的最大值和最小值．【考点】：数列的应用．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（Ⅰ）由题意分6种情况考虑即可；（Ⅱ）由（a k﹣a k﹣1）2=1可构造新数列c1，c2，…，c n﹣2，c n﹣1，则它们各自的绝对值为1，和为0，则前项取1，后项取﹣1时，S（A n）最大；前项取﹣1，后项取1时，S（A n）最小．【解析】：解：（Ⅰ）由题意满足条件的数列A5的所有可能情况有：①0，1，2，1，0．此时S（A5）=4；②0，1，0，1，0．此时S（A5）=2；③0，1，0，﹣1，0．此时S（A5）=0；④0，﹣1，﹣2，﹣1，0．此时S（A5）=﹣4；⑤0，﹣1，0，1，0．此时S（A5）=0；⑥0，﹣1，0，﹣1，0．此时S（A5）=﹣2，所以S（A5）的所有可能的值为：4，2，0，﹣2，﹣4．（Ⅱ）由，可设a k﹣a k﹣1=c k﹣1，则c k﹣1=1或c k﹣1=﹣1（2≤k≤n（k∈N*），因为a n﹣a n﹣1=c n﹣1，所以a n=a n﹣1+c n﹣1=a n﹣2+c n﹣2+c n﹣1=…=a1+c1+c2+…+c n﹣2+c n﹣1因为a n=a1=0，所以c1+c2+…+c n﹣2+c n﹣1=0，所以n为奇数，c1，c2，…，c n﹣2，c n﹣1是由个1，和个﹣1构成的数列．所以S（A n）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+c n﹣1）=（n﹣1）c1+（n﹣2）c2+…+2c n﹣2+c n﹣1则当c1，c2，…，c n﹣2，c n﹣1的前项取1，后项取﹣1时，S（A n）最大，此时．同理知，当c1，c2，…，c n﹣2，c n﹣1的前项取﹣1，后项取1时，S（A n）最小，此时．【点评】：本题考查数列的知识，看清题意，找出其内在规律是解决本题的关键．。

2014-2015学年度铜梁一中高三年级9月月考数学卷（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x R x x =∈-+≤，则()R C A B ⋂（ ） A ． 1[0,]2 B ． [1,0]- C ．1[,1]2 D ．(,1][0,)-∞-⋃+∞2．复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．曲线在点（－1，－3）处的切线方程是A ．B ．C ．D ． 4．下列判断错误．．的是( ) A.“”是“”的充分不必要条件B.“对恒成立”的否定是“存在使得”C.若“”为假命题,则均为假命题D.若随机变量服从二项分布:～,则 5．展开式中的常数项为（ ） A B C D6．如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有( ) (A)9个 (B)3个 (C)12个 (D)6个7．俊、杰兄弟俩分别在P 、Q 两篮球队效力，P 队、Q 队分别有14和15名球员，且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的，则P 、Q 两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是（首发上场各队五名队员）（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1) 9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足＞f （x ），则 （ ） A ．f （2）＜f （0） B ．f （2）≤f （0） C ．f （2）＝f （0） D ．f （2）＞f （0）12ii+-34x x y -=47+=x y 27+=x y 4-=x y 2-=x y 22am bm <a b <3210x x --≤x R ∈0x R ∈320010x x -->p q Λ,p q ξξ1(4,)4B 1E ξ=123(x x1320-1320220-2202101425422541()f x '2e 2e 2e 2e10．已知函数的两个极值点分别为，且，点表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分）11．“1x >”是“2x >”的 条件 12．已知函数，则= .13．实数x 满足则的值 ． 14．已知AC 为⊙的直径，,弦BN 交AC 于点M ，若，OM=1,则MN的长为 ．15．在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程为_______________.21)(3)(23++++=x n m mx x x f 21,x x ()+∞∈∈,1),1,0(21x x ),(n m P D log (4)a y x =+1a >D a (]3,1)3,1(),3(+∞[)3,+∞()sin 2'()3f x x xf π=+'()3f π,sin 1log 3θ+=x 91-+-x x O AC OB ⊥3=OC (),ρθ2,4π⎛⎫⎪⎝⎭4sin ρθ=三、解答题（16、17、18每小题13分，19、20、21每小题12分，共75分） 16．已知函数在与处都取得极值． （1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．17．袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是． (1)求m ，n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列．18.为喜迎马年新春佳节，某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率；（2）设摸球次数为X,求X 的分布列和数学期望．19．已知（），（1）当时，求的值； （2）设，试用数学归纳法证明：当时， 。

2015年重庆高考数学（理）测试卷一一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、[2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}2、[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β3、[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)4、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．5、[2014·安徽卷] 如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1-1A ．34B ．53C ．78D ．896、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．7、[2014·广东韶关一模] 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB→＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A.37 B ．13 C ．6 D.1278、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-3，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )图1-3A ．6 2B ．6C ．4 2D ．49、[2014·长沙模拟] 若f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x＞0的解集是( ) A ．(－2，0)∪(0，2) B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10、[2014年浙江卷（理16）]设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b -=>>两条渐近线分别交于点A 、B ，若点(P m ，0)满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是__________.二、填空题11、[2014年上海卷（理02）]若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭ .12、[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．13、[2014·四川渠县二中月考] 甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14、[2014·陕西卷] (几何证明选做题)如图1-3所示，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．图1-315、[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．16、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.[浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．19.（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.20.（14分）（2014•北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．21．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．22、【2014年安徽卷（理21）】（本小题满分13分）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(；（Ⅱ）数列}{n a 满足p c a 11>，p n n n a p c a p p a -++-=111，证明：p n n c a a 11>>+．。