2018届黑龙江哈尔滨市第三中学高三第二次高考模拟考试能力测试理数试题(扫描版)

黑龙江省哈尔滨市第三中学校届高三一模考试数学（理）试题第I卷（共分）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设集合!;,集合!J li ,则匸宀三.一（）. . . .【答案】【解析】•••集合\ :■- 4 - | . ^ ,集合- ■■■ - I.' ；-■：!.川二厂1丨；| 二r故选..下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）.■.. •: - - -■：. ■: . y = '/：. .■/ - r：.- '|【答案】【解析】对于，八厂是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，一*.是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递增，故排除; 对于，、•k'.：\是非奇非偶函数，在区间：:：I I单调递减，故排除.故选..设是等差数列的前••项和，若七+叱心，•，那么等于（）【答案】【解析】等差数列中判=斑=-3,所以d2= -l，从而也+自11 = 2叫+ 10U= = ,所以-< *1■■: i Y 故选已知咲：:◎」：［：;」'八，；Y “d.「〔,则应」|=（. :. ■.【答案】【解析…--11. , ：：（■：■-：故选过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（【答案】【解析】乂 + 丁 —」天二。

，即| ：.： _ [ +話二4。

依题意可得，直线方程为 丫 — x ，则圆2 4 — cl — 2 ■ 4 — 1 = 2 -，故选 .............. .设.是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出 .的是（ ）.I.：'：：，二丄，■丄 ].：，二丄，y. !'■.I .■'.'：■：：，“：：，： I- . I ;，:“.，|:【答案】 【解析】由，， 可推出与•平行、相交或异面，由 可推出// -.故选.函数厂匕匚、「：’ i （且 ）的图象恒过定点 ，若点 在直线:；；匸丨 上，其中:1:「，则J 的最大值为（）1 1 1I. . .-. 【答案】【解析】依题意有■■ ■■ I ，代入直线得•：：：： ：： I ，所以二」4 4^2/ 4 4 16故选..设是数列 的前项和，若则 （ ）./ - I . .--.\ ：■-!【答案】【解析】当 时，匚一1 一亠…，解得£二：. 当让/时，：，二-衣，_,则：.机一1〔-一，即.心収匚：i 到直线y 二 x 的距离d—._ 1，所以直线被圆所截得的弦长为3•••数列是首项为：，公比为的等比数列故选..如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积 为（ ）42... -.【答案】1 I2 【解析】由三视图的俯视图可知， 三棱锥的底面为等腰直角三角形， 故体积为--.3 23故选..千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中 国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统 计：年份｛届）2014 2015 20162017学科丸赛茯M 圾一等笑 口及以上学生人數耳 51 49 r' ss57被清华、北大等世菲名校 录取的学生人数尸103j96 108 W7根据上表可得回归方程 中的 为，我校届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）3 x （l-2，］）•-1-2【答案】【解析】因为1::「: J所以.「=丨—丨.1 .■.■< :.',所以回归直线方程为I「产，当；-口时代入，解得「11 .-■,故选.2 2.已知、为双曲线：一二【七二：的左、右焦点，点F为双曲线右支上一点，直a3 b"线］「与圆J 厂相切，且「I - • |…，则双曲线的离心率为（）<10 4 5__3 ' 3 ' 3 '【答案】【解析】设与圆相切于点:,则因为r-\i=: ，所以• 为等腰三角形，设的中点为，由为*%的中点，所以:，又因为在直角 :中，2 4I -' - ；| < -，所以■「卜厂①4又1；| •：：“二' 二②，J=“’：『③ 故由①②③得，：, = "=，故本题选a 3点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到•,=」"［，由双曲线定义有FF .1--'^，列方程即可求离心率的值...设函数：「.，.：：「.r：.' ■- ■:，若弋-1是函数”是极大值点，则实数的取值范围是（）I 1. . :Fl」. .| ■-'Z Z【答案】2【解析】「：［1十•••；十.---- :■. ■•- ■;■，若因为是函数是极大值点，所以7 X X宀’I crn. r 1 2茁?十bx 十1 （2ax-l）（x-l）即I；「I 1，所以i |、：X X X若时，因为沁-m,所以当-■■■ ■■■ ■■■ |时，，当瓷；L时，所以飞-：是函数ie是极大值点，符合题意；当时，若匚-：是函数是极大值点，则需，即，2a 2 1综上，故选•二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）•已知正方形边长为，：是的中点，^则壬-.【答案】【解析】根据题意■/.：i n ■■■ ■■ \：' -I -■.-.1 ■' 11’ 丨：, -- -■■.故正确答案为.y < 1若实数乂疔满足x + y > 1，^U 2乳十丫的最大值为,y > x-1【答案】其中.，晝「，丁，，设一十厂将直线一一冷；:进行平移，当经过点时，目标函数乂上二及其内部:达到最大值，此时.「匚I故答案为■.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（）将最优解坐标代入目标函数求出最值.直线与抛物线于：也相交于不同两点•，若叱:“二是.中点，则直线的斜率【答案】【解析】设，T直线与抛物线：4相交于不同两点••••：「=乜,jy,则两式相减得■■.-■：■:」乂:是，中点y厂兀］Xj-x22。

2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试英语试卷本试卷分为第I卷和第II卷两部分。

第I卷1至8页，第II卷9至10页。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上所对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

不能答在本试卷上，否则无效。

第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5 小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. When does the park close today?A. At 6:30B. At 6:00C. At 5:302. Which hotel will the speakers go to this year?A. The one in the woods.B. The one on top of the hill.C. The one next to the river.3. Why is the woman upset?A.There is too much noise from the construction.B. Her project is behind schedule.C.She can’t move into a new office.4. What is the woman concerned about when buying a desk?A. The size.B. The price.C. The brand.5. Where are the two speakers?A. In a library.B. In a gallery.C. By the sea.第二节（共15 小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：，在复平面内对应的点为，故选：D．由题意分子分母同乘以，再进行化简求出实部和虚部即可．本题考查了复数的除法运算以及几何意义，关键利用共轭复数对分母实数化．2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，集合，，故选：A．分别化简集合A，B，再由交集运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．3.命题p：“，”的否定￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题即￢：，，故选：A．根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.的展开式中常数项是A. 5B.C. 10D.【答案】D【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.已知数列的前n项和为，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据程序框图：算法的作用是求中的最小项．故：，故：，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量M的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.设函数的最小正周期为，且，则A. 在单调递减B. 在单调递增C. 在单调递增D. 在单调递减【答案】D【解析】解：函数，函数的最小正周期为，则：，由于，且，解得．故：，令，解得，当时，在单调递增．当时，在单调递增．所以在单调递减．所以A错误．故选：D．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．7.如果实数x，y满足关系，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设，则z的几何意义是区域内的点到的斜率加上1，由，可得，由，可得；由图象可知，当MA的斜率最小为，MB的斜率最大为，所以的取值范围是：故选：C．画出不等式组表示的平面区域，化目标函数，由z的几何意义求得最优解，计算目标函数的最值即可．本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．8.A，B是圆O：上两个动点，，，M为线段AB的中点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，A，B是圆O：上两个动点，，则为等边三角形且，则，，M为线段AB的中点，则，则；故选：B．根据题意，分析可得为等边三角形且，由向量的加法的运算法则可得，进而可得，计算可得答案．本题考查向量的数量积的运算和圆的有关性质，关键是分析的形状．9.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示，则函数的图象关于点对称，同时点也是函数的对称点；由图象可知，两个函数在上共有4个交点，且两两关于点对称；设对称的两个点的横坐标分别为，，则，个交点的横坐标之和为．故选：A．分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性求得所有交点横坐标的和．本题主要考查了两个函数交点横坐标求和的计算问题，根据函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．10.的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：中，由知，是锐角三角形，由正弦定理可知，，，，，，，，，，则．故选：D．利用二倍角公式化简换成边的关系，求得A的范围，再根据正切函数的单调性求得的取值范围．本题主要考查了正弦定理的应用问题，解题时应把边化成角的问题，利用三角函数的基本性质求解．11.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，该几何体是高为1的三棱锥，且由俯视图可得三菱锥的底为等腰直角三角形，可得，，，为．过PA中点作面PAC垂线与过F作面ABC的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心．设面EMF交AC于H，则，，在中，由余弦定理可得，由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即，，，即该棱锥的外接球的半径．则该棱锥的外接球的表面积为．故选：A．该几何体是高为1的三棱锥，结合图中数据，过PA中点作面PAC垂线与过F作面ABC 的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心设面EMF交AC于H，则，，在中，由余弦定理可得，由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即，即该棱锥的外接球的半径即可求解．本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知S为双曲线上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设与渐近线平行的直线方程为则，与渐近线平行的直线方程为则，，，，，，，要使恒成立，则．双曲线离心率，故选：D．设，与渐近线平行的直线方程为，，则，，，，，，可得，则即可本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列中，，，公比______．【答案】【解析】解：，，，公比．故答案为：．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积首先利用计算机产生两组～区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，，若共产生了N个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为______结果用N，表示【答案】【解析】解：由题意，，又，由N个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则，如图所示；所围成图形的面积可估计为．故答案为：．由题意，计算对应的面积比即可估计所围成图形的面积．本题考查了用模拟实验法求对应面积的比值问题，是基础题．15.设O为抛物线：的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦若，则的面积为______【答案】【解析】解：抛物线的焦点为设弦AB所在直线的方程为，与抛物线联解，得设，，由根与系数的关系得．根据抛物线的定义，得，得．由此可得．，因此，三角形的面积为：．故答案为：．设，，弦AB所在直线的方程为，与抛物线联解，并结合一元二次方程根与系数的关系，得根据抛物线的定义，得，结合抛物线方程化出，可得最后根据三角形面积公式，得到本题的答案．本题给出抛物线过焦点的弦AB的长度，求面积的表达式，着重考查了抛物线的简单性质和直线与抛物线关系等知识，属于中档题．16.是定义在R上的函数，其导函数为若，，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为______．【答案】【解析】解：不等式．令，，，函数在R上单调递增，而，，．不等式其中e为自然对数的底数的解集为．故答案为：．不等式令，根据，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为正项数列，，且求数列通项公式；若，求的前n项和．【答案】解：由，，，，数列为正项数列，，，，，设，则的前n项和为设，当n为偶数时，的前n项和为，当n为奇数时，的前n项和为，故当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上所述为偶数为奇数．【解析】由数列的递推公式可得，即可得到，即可求出数列通项公式；利用分组求和，以及分类讨论即可求出．本题考查了数列的递推公式和数列的前n项和公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段，基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图如图．据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡记为迟到，否则能按时到岗打卡单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至多扣除40元，根据直方图求该人一周按5天计算所得考勤奖的分布列及数学期望假设每天的交通状况相互独立．【答案】解：的频率为：，据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数6．由频率分布直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的平均数为：．设所得考勤奖为X元，X的所有可能取值为100，50，30，20，10，，，，，，．【解析】求出的频率为，据此直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数；由频率分布直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的平均数．设所得考勤奖为X元，X的所有可能取值为100，50，30，20，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查中位数、平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形，，，，．求证：平面平面PBD；若，求二面角的大小．【答案】证明：在梯形ABCD中，过点B作于H，在中，，，又在中，，，，，，面面ABCD，面面，，面PCD，平面ABCD，，，平面PBD，平面PBD，平面PBD，平面PBC，平面平面PBD．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，PD为z轴，建立空间直角坐标系，则1，，2，，0，，0，，1，，2，，1，，，0，，，，，平面PBD，平面PBD的法向量1，，设平面BDQ的法向量y，，则，取，得，设二面角的大小为，则，，二面角的大小为．【解析】过点B作于H推导出，从而平面ABCD，进而，由此能证明平面PBD，从而平面平面PBD．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，PD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知F为椭圆C：的右焦点，，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形．求椭圆C的方程；过点P的两条互相垂直的直线，与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点；求证：以PA，PB为直径的两个圆的另一个交点H在定圆上，并求此圆的方程．【答案】解：，．，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形．，，又，解得，，．椭圆C的方程为：．证明：设直线AB的方程为：，，联立，化为：，，．，，，．．解得舍，或．直线AB经过定点．分别取PA，PB的中点，，则分别为两圆的圆心，且交于对S，S为PH的中点，交y轴于点N．，且，点点S的轨迹为以PN为直径的圆：．点H的轨迹方程为：．【解析】由，可得由P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形可得，，又，解得，c，即可得出．设直线AB的方程为：，，联立，化为：，由，可得，由，可得把根与系数的关系代入解得可得直线AB经过定点．分别取PA，PB的中点，，则分别为两圆的圆心，且交于对S，S为PH的中点，交y轴于点由，且，可得点进而得出圆的方程．本题考查了椭圆与圆的标准方程方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数，直线l：，其中e为自然对数的底．当，时，求证：曲线在直线l的上方；若函数的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；对于中的两个交点的横坐标，及对应的a，当时，求证：【答案】解：证明：，时，令，可得的导数为，，当时，，可得递增，可得，即在递增，可得，曲线在直线l的上方；可令，导数为，当时，，递减，不和题意；当时，由，可得，可得在递减，在递增，有两个零点，的最小值为，解得；由，在上有且只有一个零点；由当时，，由可得时，，即有，所以，则在上有且只有一个零点，综上可得，；证明：由条件可得，，所以，要证，即证，即证，方法一、由可得，，，等价为，成立．方法二、可令，则，当时，，在递减，可得时，，成立．【解析】可令，求得二阶导数，可得单调区间，即可得到证明；可令，求得导数，讨论a的符号，以及函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到所求范围；由交点的定义，作差可得a，要证原式成立，即证，，方法一、运用的单调性可得；方法二，可令，求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，以及化简整理的变形能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l：为参数，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程；点，直线l与曲线C交于M，N，求的值．【答案】解：曲线C的极坐标方程为，即．曲线C的直角坐标方程为，即．将直线l：为参数代入曲线，得到：，所以，和为M和N对应的参数，则．故的值为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，．23.已知x，y，z为正实数，且．求证：；求证：．【答案】解：在等式两边平方得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，；由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立．【解析】在等式两边平方，平方后利用基本不等式得，然后移项，合并同类项即可；在原不等式左边每个分式分子利用基本不等式，然后分别提公因式y、z、x，继续利用基本不等式并结合等式可证明原不等式．本题考查利用基本不等式证明不等式，问题的关键在于对代数式进行化简，灵活配凑，考查转化能力与应变能力，属于中等题．。

2018哈三中第二次模拟考试理科数学答案一、选择题二、填空题13. 3± 14.N N 12 15. 222p 16. {}1>x x 三、解答题17.（1）22112()n n n n a a a a ++-=+，12n n a a +-=，21n a n =+； (6分) （2）212(1)(21)n n n b n +=+-⋅+，328n n S n +=+-，n 为偶数3210n n S n +=--，n 为奇数． (12分)18.（1）中位数为6；平均数04.65.81.05.72.05.62.05.524.05.416.05.31.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯；(4分)（2）设所得考勤奖为X 元，X 的所有可能取值为100，50，30，20，10，321)21()100(5===X P ；325)21()50(515===C X P ； 3210)21()30(525===C X P ；3210)21()20(535===C X P ； 326)21()21()10(555545=+==C C X P ； ∴X 的分布列为)(X E 16=． (12分) 19.（1）在梯形ABCD 中,过点B 作BH CD ⊥于H ，在BCH ∆中，1BH CH ==,045BCH ∴∠=．又在DAB ∆中，1AD AB ==,045ADB ∴∠=，045BDC ∴∠=，090DBC ∴∠=， ∴BD BC ⊥．面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ⋂面ABCD CD =，PD CD ⊥，PD ⊂面PCD ， PD ∴⊥面ABCD ， PD BC ∴⊥，BD PD D ⋂=，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PBD ． (6分)（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,1,1(-=，)1,2,0(-=，)12,222,0(+--=，)0,1,1(=， +=)12,222,0()1,0,0(+--+=)22,222,0(+--=， 可得平面BDQ 一个法向量为)2,1,1(--=，所以22-=，二面角Q BD P --大小为 45． (12分) 20. (1)33OF =⇒=c ，因为ABC ∆为等边三角形，所以33=OF OP， 解得2,1==a b ，所以椭圆方程为1422=+y x . (3分) (2) 设直线m kx y AB +=:，),(),,(2211y x B y x A ，与椭圆方程联立⎩⎨⎧=++=4422y x m kx y ，得：0448)14(222=-+++m kmx x k ， 所以148221+-=+k km x x ，14442221+-=k m x x ， 因为BP AP ⊥，所以0=⋅，所以0)1)(1(2121=--+y y x x ，又因为m kx y +=11，m kx y +=22，所以2212122121)1())(1()1()1)(1(-++-++=--+m x x m k x x k y y x x014325)1(14)1(814)44)(1(22222222=+--=-++--++-+=k m m m k m m k k m k ， 所以1=m （舍）或53-=m ， 所以直线AB 过定点)53,0(-. (8分) 分别取PB PA ,的中点21,O O ，则21,O O 分别为两圆圆心，21O O PH ⊥且交21O O 于点S ，S 为PH 中点，21O O 交y 轴于点N ，因为AB O O //21，且AB O O 2121=，所以点)51,0(N ， 所以点S 的轨迹为以PN 为直径的圆254)53(22=-+y x ， 所以点H 的轨迹方程为2516)51(22=-+y x . (12分)21．解：(1) 令121e )(2---=x x x J x , 则1e )(--='x x J x , 1e )(-=''x x J . 当0>x 时, 0)(>''x J , 所以在),0(+∞上, )(x J '为增函数,所以0)0()(='>'J x J , 从而)(x J 也为增函数, 得0)0()(=>J x J . (2分)(2) 令1e )(--=x a x S x , 则1e )(-='x a x S .当0≤a 时, 0)(<'x S , 得)(x S 在R 上单调递减, 不合题意.当0>a 时, 令0)(='x S 得a x 1ln =. 所以)(x S 在)1ln ,(a-∞上为减函数, 在),1(ln+∞a上为增函数. 由已知, 函数)(x S 有两个零点, 所以01ln )1(ln )(min <-==aa S x S , 得10<<a . 此时, 0e )1(>=-a S , 所以)(x S 在)1ln ,1(a-上有且只有一个零点. 由(1)得当0>x 时, 1)121()(2--++>x x x a x S 1)1(212-+-+=a x a ax , 所以0112)1()2(21)2(2>+=-+⋅-+⋅>a a a a a a a S . 由(1) 知当0>x 时, 0)(>'x J 得1e +>x x 得1ln +<t t )0(>t ,所以a a a 1ln 112>->，所以)(x S 在)2,1(ln aa 上有且只有一个零点. 综上, 10<<a . (7分) (3) 由已知 1e11+=x a x ，1e 22+=x a x , 所以12e e 12x x x x a --=. 只需证明 )e )(e ()e )(e ()e (e 21212121212x x x x x x x x x x +-<+---,即证 0)e )(e (e e 121212<+---x x x x x x . *方法一：由(2)知 01)0(<-=a S ，0,0121><<-x x . 则 *式等价于12e e 12x x x x --1)e (e 12>+x x , 即1)e (e 12>+x x a . 因为 112)e (e 22112>+>++>+x x x a x x ,所以 )e (e)e )(e ()e (e 21212122x 212x x x x x a x x -<+---成立. (12分) 方法二: 令)e )(e (e e )(111x x x x x x x Y +---=, 则]e e )[()(11x x x x x Y +--=',当1x x >时, 可得0)(<'x Y , 所以函数)(x Y 在),(1+∞x 上为减函数, 从而当1x x >时0)()(1=>x Y x Y .所以 )e (e)e )(e ()e (e 21212122x 212x x x x x a x x -<+---成立. 方法三: 因为0e 1>x , 所以*式两端同除以1e x 得 01)1)(e (e 121212<-+----x x x x x x .令=)(t F 1)1(e e -+-t t t , )1e ()(+-=t t t F , 当0>t 时, 0)(<'t F , 所以函数)(t F 在),0(+∞上为递减函数,因为012>-x x , 所以0)0()(12=<-F x x F .所以 )e (e )e )(e ()e (e 21212122x 212x x x x x a x x -<+---成立.22．（1）22144y x -= ；(5分) （2）3:14x t l y t=⎧⎨=+⎩代入曲线C ，27830t t +-= ，1287t t +=-，1237t t =-，1212121111555t t PM PN t t t t -+=+===(10分) 23. （1）2()4x y z ++=，2222224x y z xy xz yz +++++=，22242222222z x y xy xz yz xy xy xz yz -=++++≥+++， 24422z xy yz xz -≥++．(5分)（2）222222222x y y z x z xy yz xz z x y z x y+++++≥++， 222()()()xy yz xz x z y x y z y z x z x y z x x y z y ++=+++++， ()()()2()4x z y x y z y z x x y z z x x y z y +++++≥++=，当且仅当 23x y z ===时取等． (10分)。

2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理 科 数 学考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

（4）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

参考公式：圆锥侧面积S rl π=。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知复数23iz i=-，则复平面内表示z 的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合{}2|1P x Z y x =∈=-，{}|cos ,Q y R y x x R =∈=∈，则P Q =A ．PB ．QC ．{1,1}-D ．{0,1}3．二项式251()x x-的展开式中，含x 4的项的系数为A ．5B ．10C ．-5D ．-104．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3B ．34C ．32D ．125．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内应为A ．k > 4？B ．k > 5？C ．k > 6？D ．k > 7？6．已知数列{}n a 为等差数列，且13174a a a π++=，则212cos()a a +=A ．32 B ．32- C ．12D ．12- 7．已知椭圆的中心为原点，离心率32e =，且它的一个焦点与抛物线243x y =-的焦点重合，则此椭圆方程为A ．2214x y += B ．221416x y +=C ．2214y x += D ．221164x y +=8．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg f x x =。

2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．i 为虚数单位，复数12-=i iz 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=13222y x y A ，集合{}x y x B 42==，则=⋂B AA ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．)⎡+∞⎣D ．)+∞3．命题p ：“R x ∈∃0，02021x x <+”的否定⌝p 为A ．R x ∈∀,x x 212≥+B ．R x ∈∀,x x 212<+C ．R x ∈∃0,02021x x ≥+D ．R x ∈∃0,02021x x >+4．5221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项是 A ．5B ．5-C ．10D ．10-5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，执行如右图所示的 程序框图，则输出的M 一定满足A ．2n nMS =B ．n S nM =C ．n S nM ≥D ．n S nM ≤6．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减A ．128[,]53B ．35[,]53C ．]38,58[D ．]512,58[8．,A B 是圆22:1O x y +=上两个动点，1AB =，32OC OA OB =-，M 为线段AB的中点，则OC OM ⋅的值为 A ．32B ．34C ．12D ．149． 函数11+=x y 的图像与函数)24(sin 3≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于A ．4-B ．2-C ．8-D ．6-10．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A B 2=，0cos cos cos >C B A ，则bA a sin 的取值范围是A．62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,43 C．1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D．162⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭11．某棱锥的三视图如图所示， 则该棱锥的外接球的表面积为A ．12πB ．11πC ．14πD ．13π12．已知S 为双曲线)0,0(12222>>=-b a bya x 上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点N M , 交y 轴于点Q P ,，若()411≥+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+OQ OP ON OM 恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为 A ．(]2,1B ．[)+∞,2 C．(D．)+∞2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．等比数列{}n a 中，318a =，5162a =，公比q = ．14．利用随机模拟方法计算1=y 和2x y =所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，RAND a =1，RAND b =；然后进行平移和伸缩变换，()5.021-=a a ；若共产生了N 个样本点（ ，b ），其中落在所围成图形内的样本点数为1N ，则所围成图形的面积可估计为 （结果用N ，1N 表示）． 15．设O 为抛物线：)0(22>=p px y 的顶点，F 为焦点，且AB 为过焦点F 的弦，若p AB 4=，则AOB ∆的面积为 ．16．)(x f 是定义在R 上的函数,其导函数为)(x f '．若2018)1(,1)()(=->'f x f x f ，则不等式12017)(1+>-x e x f (其中e 为自然对数的底数)的解集为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为正项数列，13a =，且111112()n n n n n n a a a a a a +++-=+*()n N ∈． （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若2(1)n a n n n b a =+-⋅，求{}n b 的前n 项和n S ．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，早高峰时段93≤≤T ，[)5,3∈T 基本畅通；[)6,5∈T 轻度拥堵；[)7,6∈T 中度拥堵；[]9,7∈T 严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图如下．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡（记为迟到），否则 能按时到岗打卡．单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至 多扣除40元，根据直方图求该人一周（按5天计算）所得考勤奖的分布列及数学期 望（假设每天的交通状况相互独立）．如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PCD 底面ABCD ，CD PD ⊥，底面ABCD是直角梯形，CD AB //，90=∠ADC ，1===PD AD AB ，2=CD ．（1）求证：平面⊥PBC 平面PBD ； （2）若()12-=，求二面角P BD Q --的大小．20．（本小题满分12分）已知F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，3=OF ，Q P ,分别为椭圆C 的上下顶点，且PQF ∆为等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 的两条互相垂直的直线21,l l 与椭圆C 分别交于异于点P 的点B A ,，①求证：直线AB 过定点；②求证：以PB PA ,为直径的两个圆的另一个交点H 在定圆上，并求此圆的方程．已知函数 e x, 直线1:+=x y l , 其中e 为自然对数的底． （1）当1=a ,0>x 时, 求证: 曲线221)()(x x h x f -=在直线l 的上方； （2）若函数)(x h 的图象与直线l 有两个不同的交点, 求实数a 的取值范围； （3）对于（2）中的两个交点的横坐标21,x x 及对应的a , 当21x x <时，求证：)e (e)e )(e ()e (e 21212122212x x xxxxa x x -<+---．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线3:14x tl y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点(0,1)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求11PM PN+的值．23．选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）已知,,x y z 为正实数，且2x y z ++=. （1）求证： 24422z xy yz xz -≥++；（2）求证：2222224x y y z x z z x y+++++≥.高考期间的注意事项与考试对策一、精神负担与物质准备1、精神负担越少越好，尤其考试期间，绝不能再增加负担。

黑龙江省哈尔滨三中2018届高三（上）第二次验收数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=（）X 3．（5分）设，b=30.5，c=log30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b 4．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度5．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=，则tan（α﹣）=（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[，] D．[，] 7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．38．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象的一部分如图所示，则下列结论不正确的是（）A．ω=3 B．f（ϕ）=﹣1C．是函数的一条对称轴D．是函数的一个对称中心9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．210．（5分）已知钝角α终边上一点P的坐标为（2sin（﹣3），﹣2cos3），则角α的弧度为（）A．3﹣B．π﹣3 C．π﹣3 D．311．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．[，5] C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，5] 12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足．当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tanα=3，则=．14．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．15．（5分）已知定义在R上的函数g（x）=2x+2﹣x+|x|，则满足g（2x﹣1）＜g（3）的x的取值范围是．16．（5分）对于函数f（x）=现有下列结论：①任取x1，x2∈[2，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1②函数y=f（x）在[4，5]上单调递增③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点④若关于x的方程f（x）=m（m＜0）恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3=其中正确结论的序号为（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知锐角α的终边经过点P（1，2），锐角β的终边过点Q（1，3）（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．18．（12分）在△ABC中，sin2A+sin2C=sin2B﹣sin A sin C（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，，求sin∠BAC的值．19．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求当0≤x≤4时f（x）的值域．20．（12分）设，且时f（x）有最小值﹣8．（1）求a与b的值；（2）设A={x|f（x）＞0}，B={x|x﹣t|≤，x∈R}，且A∩B=∅，求实数t的取值范围．21．（12分）如图，Rt△ABC中，，．点M，N分别在边AB和AC上，将△AMN沿MN翻折，使△AMN变为△A'MN，且顶点A'落在边BC上．设∠AMN=θ（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段CN长度的最大值以及此时△A′MN的面积．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣﹣ax（a＞0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）如果f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，那么是否存在a使k＜0，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【参考答案】一、选择题1．A【解析】sin=sin（2π+）=sin=sin=．故选：A．2．B【解析】对于A：y=x3是奇函数，对于B：y=|x|+1为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；对于C：y=﹣x2+1为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；对于D：y=是减函数；故选：B．3．A【解析】∈（0，1），b=30.5＞1，c=log30.2＜0，则a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：A．4．D【解析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．5．A【解析】∵tan（α+β）=，tan（β+）=，∴tan（α﹣）=tan[（α+β）﹣（）]== =．故选：A．6．D【解析】∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：D．7．C【解析】∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=ab sin C==，故选：C8．B【解析】（1）由题设图象知，A=2，周期T=．∴T=，∴ω==3∴A选项对．∵点（，0）在函数图象上，∴2sin（+ϕ）=0，即sin（+ϕ）=0．∴ϕ=+kπ，k∈Z令ϕ=，可得：f（x）=2sin（3x+）那么f（）=2sin（π+）=．∴B选项不对；当时，f（x）=2sin（+）=﹣2∴C选项对当x=时，f（x）=2sin（+）=0∴D选项对故选：B9．A【解析】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，∴g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣log33=﹣1．故选：A．10．C【解析】∵钝角α终边上一点P的坐标为（2sin（﹣3），﹣2cos3），即点P的坐标（﹣2sin3，﹣2cos3），根据tanα==cot3=tan（﹣3）=tan（﹣3），则角α的弧度为﹣3，故选：C．11．C【解析】∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，∴f″（x）＞0．∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．∴，∵在（1，3）上单调递增，∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3．∴m≤﹣3．故答案为：C．12．D【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足．∴f（x++）=f（﹣+x+），可得f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期为3，∵当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），令f（x）=0，则x2﹣x+1=1，解得x=1又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[﹣1.5，1.5]上，f（﹣1）=﹣f（1）=0，f（0）=0．∴f（1.5）=f（﹣1.5+3）=f（﹣1.5）=﹣f（﹣1.5），∴f（﹣1）=f（1）=f（0）=f（1.5）=f（﹣1.5）=0又∵函数f（x）是周期为3的周期函数，则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6，共9个，故选D.二、填空题13．【解析】∵tanα=3，则==，故答案为：．14．5【解析】f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sin x=﹣2sin2x+6sin x+1．令t=sin x，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y=，∴当t=1时，y有最大值为．故答案为：5．15．（﹣1，2）【解析】∵g（x）=2x+2﹣x+|x|，∴g（﹣x）=2x+2﹣x+|﹣x|=2x+2﹣x+|x|=g（x），则函数g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）=2x+2﹣x+x，则g′（x）=ln2（2x﹣2﹣x）+1，则当x≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，则不等式g（2x﹣1）＜g（3）等价为g（|2x﹣1|）＜g（3），即|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2，即x的取值范围是（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．16．①③④【解析】f（x）=的图象如图所示：①当x∈[2，+∞）时，f（x）的最大值为，最小值为﹣，∴任取x1、x2∈[2，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故③正确；④若关于x的方程f（x）=m（m＜0）恰有3个不同的实根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，则x1+x2=3，，∴x1+x2+x3=，故④正确，故答案为：①③④．三、解答题17．解：（1）∵锐角α的终边经过点P（1，2），锐角β的终边过点Q（1，3），∴cosα==，cosβ==，sinα=，sinβ=∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=；（2）∵由（1）可得：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=﹣；∵α，β为锐角，可得：α+β∈（0，π），∴α+β=．18．解：（1）在△ABC中，∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sin A sin C，∴a2+c2=b2﹣ac，∴cos B==﹣=﹣，∵B∈（0，π），∴B=．（2）在△ABD中，由正弦定理：=，∴sin∠BAD===，∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2×=，∴sin∠BAC===．19．解：函数．化简可得：f（x）=sin cos﹣cos sin﹣cos=sin﹣cos =sin（）（1）f（x）的最小正周期T=（2）当0≤x≤4时，∴≤≤sin（）≤1故得f（x）的值域为．20．解：（1）∵，∴f（x）=2（log2x）2﹣2a log2x+b，∵时f（x）有最小值﹣8，=﹣1，∴，解得a=﹣2，b=﹣6．（2）由（1）得，A={x|f（x）＞0}={x|＞0}={x|0＜x＜或x＞2}，B={x|x﹣t|≤，x∈R}={x|t﹣}，且A∩B=∅，∴t+≤0或，解得t或．∴实数t的取值范围．21．解：（1）设MA=MA'=x，则MB=1﹣x．在Rt△MBA'中，cos（180°﹣2θ）=，∴x==，即AM=．∵A′在边BC上，∴．（2）∵∠B=，AB=1，BC=，∴AC=2，∴∠BAC=60°，在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=180°﹣60°﹣θ=120°﹣θ，又MA=，∴根据正弦定理得：，可得：AN==，令t=2sinθsin（120°﹣θ）=2sinθ（sinθ+cosθ）=sin2θ+sinθcosθ=+sin2θ﹣cos2θ=+sin（2θ﹣30°），∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ﹣30°＜150°，当且仅当2θ﹣30°=90°，θ=60°时，t有最大值，则θ=60°时，AN有最小值．∴CN最大值为．当θ=60°时，△AMN为等边三角形，∴△AMN的面积S=•（）2=．22．解：（1）f（x）定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=e x+e﹣x﹣a，∵e x+e﹣x≥2，即可按如下情况讨论：①当a≤2时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在R上单调递增；②当a＞2时，令f′（x）=0，解得x1=ln，x2=lnx∈（﹣∞，x1），（x2，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减，．（2）由f（x）有两个极值点x1和x2，（x1＜x2）知，a＞2．∵，⇒∴f（x1）﹣f（x2）=（e﹣e）+（e﹣e）+a（x2﹣x1）=2（+a（x2﹣x1），∴＜0⇔2（+a（x2﹣x1）＞0，⇔2e﹣ax1，（x1＜x2）成立．即函数G（x）=2e x﹣ax单调递减，∴G′（x）=2e x﹣a≤0∴a≥2e x恒成立，∵e x无最大值，∴不存在实数a使k＜0．。