一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(教)

一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,.【例1】先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝，x 2＝．则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝；⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x +【例2】不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --=⑵22710x x ++=⑶23125x x -=+⑷()137x x x -=+一元二次方程根与系数的关系【例3】（1）设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值①12(3)(3)x x --；②211211x x x x +++；③12x x -（2）已知α、β是方程2520x x ++=的两根，求βααβ+的值．（3）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是__________．【例4】若方程210x px ++=的一个根为12-，则它的另一根等于__________，p 等于_________【例5】（1）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．①求实数m 的取值范围；②当22120x x -=时，求m 的值．（2）已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数.①求m 的取值范围；②当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（3）关于x 的方程20x px q ++=的两根和为1s ，两根的平方和为2s ，两根的立方和为3s ，试求321s ps qs ++的值．（4）已知方程组22200x y x kx y k ⎧+-=⎨--=⎩①②（x 、y 为未知数）⑴求证：不论k 为何实数，方程组总有两个不同的实数解⑵设方程组的两个不同的实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩求证：221212()()x x y y -+-是一个常数【例6】已知关于x 的方程①2230x mx m -+=的两个实根是1x 、2x 且212()16x x -=。

韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D )A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0(2)若关于x 的一元二次方程12x2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m(m －1)的值为 72． 命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x2＋x －1＝0的两个实数根，则m2＋2m ＋n 的值为 0 . 例4(1)已知α，β是方程x2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1x2>x1＋x2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m>－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜1＜x2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程⎪⎪⎪⎪x2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x2＋ax －4＝0，① x2＋ax ＋4＝0. ② ∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a2＋16≥0，Δ2＝a2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x2－(m ＋5)⎪⎪⎪⎪x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 . 命题点五：构造方程求值例9已知m2－2m －1＝0，n2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m2＋2 018m ＋9＝0，9n2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B )A.59B.95C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x2－2x ＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C )A ．0≤m ≤1B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是 112<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x1和x2，则x1＋x2＝－k ＋1k ＝－1－1k，① x1·x2＝k －1k ＝1－1k.② 由①－②，得x1＋x2－x1·x2＝－2，整理，得(x1－1)(x2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x1－1)(x2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x1－1＝1，x2－1＝3或x1－1＝－1，x2－1＝－3.故x1＋x2＝6或x1＋x2＝－2，即－1－1k ＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k(k －1)＝－3k2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若1x1＋1x2＝4m ，则m 的值为( A ) A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．不存在2．已知关于x 的方程x2－(a2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a的值是( B )A．5 B．－3 C．5或－3 D．13．已知四个互不相等的正实数a，b，c，d满足(a2012－c2012)(a2012－d2012)＝2 012，(b2012－c2012)(b2012－d2012)＝2 012，则(ab)2012－(cd)2012的值为( A )A．－2 012 B．－2 011 C．2 012 D．2 0114．若实数a，b满足12a－ab＋b2＋2＝0，则实数a的取值范围是( C ) A．a≤－2 B．a≥4 C．a≤－2或a≥4 D．－2≤a≤45．已知关于x的方程x2＋(k－2)x＋5－k＝0有两个大于2的实数根，则k的取值范围是( A )A．－5＜k≤－4 B．k>－5 C．k≤－4 D．－4≤k＜－26．关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x21＋x22＝4，则x21－x1x2＋x22的值为4 ．7．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 015＝2026 .8．设a，b是一元二次方程x2－x－1＝0的两个根，则3a3＋4b＋2a2的值为11 ．9．若方程⎪⎪⎪⎪x2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a>254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x21＋x22＝7，求下列代数式的值：(1)(x1－x2)2. (2)x2x1＋2＋x1x2. 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝m ，x1·x2＝2m －1.∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2×(2m －1)＝7，∴m2－4m －5＝0.∴m1＝5，m2＝－1.当m1＝5时，Δ＝m2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)； 当m2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－3.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝13，x2x1＋2＋x1x2＝(x1＋x2)2x1·x2＝－13.12．已知方程x2＋px ＋q ＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p ，x1x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a2－15a －5＝0，b2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值． 解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a2＋b2ab ＝(a ＋b)2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x2＋cx ＋16c＝0的两个实数根，∴Δ＝c2－4×16c≥0，c3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)为关于x 的方程x3－3x2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x1－x21＋x22＋x23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值． 解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k2≥0，得k ≤14， 即分式x(x ＋1)2的最大值为14.。

12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理）。

2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。

3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。

考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根为x1,x2，则x1+x2=—，x1·x2=。

2．以x1，x2为根的一元二次方程是（x—x1)(x-x2）=0，展开代入两根和与两根积,仍得到方程ax2+bx+c=0 （a≠0)。

3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时,那么x1+x2=—p，x1·x2=q.反之,以x1，x2为根的一元二次方程是：(x-x1）（x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程:x2+px+q=0。

4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。

（2)已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。

可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值.（3）已知一元二次方程，不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。

如，方程2x2—3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。

[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2）2-2x1x2=（)2-2×=］（4）验根、求根、确定根的符号。

（5）已知两根,求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。

（6）已知两数和与积，求这两个数.（7）解特殊的方程或方程组。

考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）（A）3，2 （B）—3，—2 （C）3，—2 (D）—3,2考点:一元二次方程的根与系数关系。

一元二次方程的根与系数的关系教学时间课题课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。

2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。

3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。

情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。

教学重点一元二次方程的根与系数关系。

教学难点对根与系数关系的理解和推导。

【教学过程】教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1．课本思考。

分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1+x²)x+ x1x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1+x²)，q= x1 x²。

即二次项系数是1的一元二次方程如果有实教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。

2．跟踪练习。

求下列方程的两根x1、x²。

的和与积。

x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； x²-6x+5=0； x²-6x-15=03．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4．一般的一元二次方程a x²+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x²和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。

数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。

【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。

通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。

培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。

一元二次方程根与系数的关系——韦达定理一、观察与猜想 1、解方程：（1） 2y 2-y-1=0 （2）3x 2-4x=2 解：y=221⨯±--）（ 解：=y 1= ,y 2=则y 1+y 2= ，y 1y 2= 则x 1+x 2= ，x 1x 2= （3）3x 2+7x+2=0解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= （4）5x+2=3x 2解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= 想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？二、一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+a acb b 242---=aacb b ac b b 24422----+-=12.x x =a ac b b 242-+-×a ac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x 1+x 2=a b -， x 1x 2=ac 3. 韦达定理已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有12b x x a +=-12cx x a= 4.如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋ x ＋ac＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)练习：1、如果x 1，x 2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，求x 1+x 2和x 1x 2的值。

一元二次方程的根与系数的关系［学习目标］1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。

3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。

二. 重点、难点：1. 教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。

2. 教学难点：正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。

【典型例题】例 1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。

分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：解得：（方法二）由题意：解得：根据韦达定理设另一根为x，则点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。

例 2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。

解：由已知，根据韦达定理（1）（2）（3）点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。

例 3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。

分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。

解：由题意，为的两个不等实根因而有又点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。

例 4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。

解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：由当时，代入当时，由代入则代入把代入<2>中，或（解法二）将与相减得：此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或（1）若是0则；（2）若是，则；或点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。

一元二次方程根与系数的关系——初中数学第四册教案一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。

教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。

然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。

例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。

韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。

出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

（二）重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

（三）教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。