一元二次方程根与系数的关系——推导过程

2.5 一元二次方程的根与系数的关系教学目标知识与技能：理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

过程与方法：能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

情感态度与价值观：在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

教学重点：掌握一元二次方程根与系数的关系．教学难点：熟练应用一元二次方程根与系数的关系解决问题教学过程第一环节：复习回顾内容：1、一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0(a≠0)（板书）2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(△=b2-4ac≥0)3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。

效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。

后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。

第二环节：情景引入内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x +1=0目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。

效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。

自然引出本节课要学习的课题第三环节：探究新知内容：计算填表（验证第一环节游戏的结果）问题：1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

一元二次方程求根公式推导过程是什么想要了解一元二次方程的小伙伴赶紧来看看吧！下面由作者为你精心准备了“一元二次方程求根公式推导过程是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！一元二次方程求根公式推导过程是什么一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax +bx+c（一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下：1、ax +bx+c=0（a≠0，表示平方），等式两边都除以a，得x +bx+c=0；2、移项得x +bx=－c，方程两边都加上一次项系数b的一半的平方，即方程两边都加上b ；3、配方得x +bx+b =b －c，即（x+b）=（b -4ac）；4、开根后得x+b=±[√（b -4ac）]（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b -4ac）]。

一元二次方程怎么解？第一种：直接开平方法——这种方法要求等式的左边为一个完全平方式，右边为一个非负的常数，即形如X2=a（a≥0）或者（mX2+n）=a（a≥0），这种形式的方程可直接通过开方后经过简单计算即可得到结果。

第二种：配方法——配方法一共有6个步骤。

第一步，将二次项系数化为1，即化为X²+bX+c=0的形式；第二步，将常数项移到方程右边；第三步，方程两边都加上一次项系数一半的平方；第四步，等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项；第五步，等式两边同时开方；第六步，确定方程的解。

第三种：公式法——使用公式法时首先需要将等式化为标准形式，即为aX²+bX+c=0的形式。

方程的解可直接套用公式得出X=[-b±（b²-4ac）]，将标准形式中的a、b、c 代入即可。

第四种：因式分解法——因式分解法一共有四步。

第一步，将方程右边化为0；第二步，将方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次式的乘积；第四步，通过一次方程写出方程的两个解。

解一元二次方程的步骤分为审题、列方程、解方程，检验，答。

2023一元二次方程根与系数的关系说课稿2023一元二次方程根与系数的关系说课稿1一、教材分析：1、地位和作用一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。

它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。

2、教学重点难点重点：根与系数的关系及其推导。

难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。

二、目标分析：1、知识目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用。

2、能力目标：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力，提高学生推理论证的能力。

3、情感目标：在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。

激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。

三、教法、学法分析：为了体现课改中“以学生为主体”的教育理念，在课程的`引入和新授中充分地考虑在学生已有知识与新知识间架起一座桥梁，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

采用“复习——探索发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手，参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。

学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。

从已知两根构造方程引入，积极配合使学生能观察出所给出的两根与所作方程系数的关系。

比原先求出两根，验证两根之和，之积的难度提高了，但数学思维品质也相对提高了。

实践证明，只要教学语言使用得当，问题情境设计得好，学生是能够从题目中去获得发现的。

四、过程分析：为遵循学生的认识规律，体现学生的主动性，我的设计意图是以创设“学习环境”为主要任务，以主动学习为核心的教学操作策略，教学过程设计体现以知识为载体，思维为主线，能力为目标的原则。

1、创设情景，导入新知首先让学生回忆一元二次方程的求解方法，写出它的一般形式和求根公式，然后解几个一元二次方程。

《一元二次方程根与系数的关系》说课稿单位：博罗县福田东湖学校说课者:陈武校尊敬的各位评委老师上午好:我是来自福田东湖学校的陈武校，今天我要说课的内容是《一元二次方程根与系数的关系》。

下面，我将从说教材、说教法学法、说教学过程、说板书设计这四个部分进行说课。

第一部分:说教材首先,说本课的地位和作用。

一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。

它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。

其次，说教学目标。

根据本教材的结构和内容分析,结合着九年级学生他们的认知结构及其心理特征,我制定了以下的教学目标：1、知识目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系,并会初步应用。

2、能力目标：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，提高学生推理论证的能力。

3、情感目标：在探究中得出结论，获取成功的体验,激发学习热情，建立自信心。

激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.最后，说教学重点和难点。

本着一元二次方程的根与系数的关系新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点。

重点:一元二次方程根与系数的关系和应用。

重点的依据是只有掌握了一元二次方程根与系数的关系 ,才能进一步运用根与系数解决相关数学问题.难点：对根与系数的关系的理解和推导。

难点的依据是对根与系数的关系需要进行深层次的演绎推导过程才能得出结论,学生没有一定的运算能力较难展开。

为了讲清教材的重难点,使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法学法上谈谈。

第二部分：说教法学法。

为了体现“以学生为主体”的教育理念，采用“探究──发现-—应用"的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程,充分调动学生学习的积极性、主动性.通过提出问题让学生回顾旧知引入课题,在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系.进而利用求根公式进行推理论证，极大地调动学生学习数学的欲望。

第二讲 元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 思考：你能利用一元二次方程的求根公式推出韦达定理吗？二、韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数如：已知2是关于x 的一元二次方程042=-+p x x 的一个根，求该方程的另一个根2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值如：若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值如：若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x 1，x 2 ，求作一个新的一元二次方程x 2 –(x 1+x 2) x+ x 1x 2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax 2+bx+c= a(x- x 1)(x- x 2)巩固练习一、填空题1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.4.若x 1、x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2221=+， .________)x (x 221=-5.已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.6.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.二、选择题7.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-8.设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ）A.32- B .—2 C.92 D.—92 9.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A.1 B .—1 C.2 D .—210.设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ） A ．2009 B.2010 C.2011 D.2012三、解答题已知关于x 的一元二次方程01422=-++m x x 有两个非零实数根。

韦达定理公式介绍及典型例题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中，若b-4ac0 则方程没有实数根若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根【例题】已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得x1+x2=-p，x1x2=q.于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198，即x1x2-x1-x2+1=199.运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。

一元二次方程的根与系数的关系（一）教学内容：一元二次方程的根与系数的关系 教学目标：知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 情感与态度目标：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重、难点：重点：根与系数的关系及其推导．难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。

教学程序设计： 一、复习引入：1、写出一元二次方程的一般式和求根公式．请两位同学写在黑板上，其他同学在纸上默写，交换检查，互相更正。

对出错严重之处加以强调。

2、解方程①x 2-5x ＋6＝0，②-2x 2-x+3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生大胆猜测，得出结论。

二、探究新知推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1+x 2（2）x 1*x 2 板书推导过程。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么：a cx x a b x x =⋅-=+2121,教师举例说明，学生理解记忆。

三、反馈训练应用提高练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．根据题目的计算难易选择不同层次的学生回答，对答对的同学给与充分的表扬，对答错者应引导其掌握方法，并多给一次机会，让其得以消化和巩固，同时增强学生自信，提高学习积极性。

反思（1）（2）导出结论2：如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．注意：结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．四、一元二次方程根与系数关系的应用：1、验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）x2-6x＋7＝0；（-1，7）（2）-3x2-5x＋2＝0；（5/3，-2/3）（3）x2+9＝6x （3，3）要求：学生先思考，再举手抢答，调动学习气氛。

一元二次方程根与系数的关系推导1. 一元二次方程的基础概念嘿，大家好！今天咱们来聊聊一元二次方程。

这是数学中最基础、最重要的一个方程了。

所谓一元二次方程，就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 (a)、(b) 和 (c) 是常数，而 (x) 是未知数。

看似简单，实际上蕴含了不少奥秘呢。

1.1 方程的标准形式方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的标准形式就是把二次项、一次项和常数项都放在等式的左边，右边则等于零。

这种形式下，方程的系数 (a)、(b) 和 (c) 就分别是二次项、一项和常数项的系数。

记住了，不管是什么样的一元二次方程，只要符合这个形式，就可以用统一的方法去解了。

1.2 方程的根所谓根，就是使方程成立的 (x) 的值。

比如方程 (2x^2 4x + 2 = 0) 的根就是那些代入方程后可以让它等于零的 (x) 值。

求根的方法有很多种，但最常用的是求解公式。

根的求法可以通过很多途径，我们在后面会详细介绍。

2. 根与系数的关系这部分才是重点！我们要探讨的其实是根与系数之间的有趣关系。

说到这里，有点像在解谜对吧？其实，这关系就像数学世界的秘密武器。

2.1 经典公式：求根公式我们知道，一元二次方程的根可以通过求根公式来找。

这个公式叫做求根公式，具体是：[ x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a} ]。

简单来说，就是用 (b)、(a) 和 (c) 这三个系数，代入公式，计算出 (x) 的值。

这是找根的终极武器，不信你试试看！2.2 根与系数的神奇关系除了公式，根与系数之间还有一些有趣的关系。

比如说，二次方程的两个根之和，实际上等于 (frac{b}{a})。

这就像是“负负得正”的逆运算，听起来有点拗口，但其实就是根和系数之间的小秘密。

再比如，根的乘积等于 (frac{c}{a})。

这两个关系是根和系数之间最基本的联系。

记住了，这些都是基础的数学法则，可以帮助我们更好地理解一元二次方程。