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2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与 原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若A A, B B, 二次型X´AX可经非退化线性替换化合同于
一个对角矩阵.
即 A P nn , 若 A´＝A ，则存在可逆矩阵 C P nn 使C´AC为对角矩阵． 证：对A的级数作归纳法. n＝1时， A a11 , E AE a11 为对角阵,结论成立. 假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A， 设 A aij
2 2 z z 正定二次型的规范形为 1 2 2) 实对称矩阵A正定
zn 2 Z EZ
可见，正定矩阵是 可逆矩阵.
存在可逆矩阵C，使
A C C
A与E合同,即存在可逆矩阵C，使 A C EC C C
3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同.
d1 d2 若 D
推论2.两个复对称矩阵A、B合同 秩( A) 秩( B ).
推论2、实二次型 f , g 具有相同的规范形
秩f 秩g，且 f 的正惯性指数= g 的正惯性指数.
推论3、实对称矩阵A、B合同
秩( A) 秩( B ) 且二次型X ' AX 与X ' BX的正惯性
指数相等.
2、正定性的判定
注意:
1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A.
2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即
若 X AX X BX 且 A A, B B ，则 A B.
（这表明在选定文字 x1 , x2 ,..., xn下，二次型
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
1）实二次型 X AX 正定
X Rn , 若X 0,则X AX 0
2）设实二次型
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 x1 d 2 x2 2 d n xn
f 正定 di 0, i 1,2,
X 0 (0, ,0, 1 ,0,
(i )
,n
,n
,n
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
,0), i 1,2,
2 f ( X ) d x 则 0 i i 0,
d i 0, i 1, 2,
二、正定矩阵
1、定义
AX 设A为实对称矩阵，若二次型 X
是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
2）合同矩阵具有相同的秩. B C AC , C可逆 秩( B ) 秩( A) 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A A, B C AC , C 可逆
B (C AC ) C AC C AC B
d1 D
, d i 0, i 1,2, dn
1 1 dn d1 1
,n
为任一正对角矩阵，则
d2 d2 dn
即，D与E合同.
nn
, A A.
分四种情形讨论：
注意：
①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种.
②复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定.
2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化 线性替换可化 为规范形，且规范形唯一.
Er 0 , 推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵 0 0 其中r 秩( A).
