小学奥数 计数题库 几何计数(三).学生版

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。

小学四年级奥数第一部分行程第一章小学四年级奥数第二章小学四年级奥数第三章流水行船第四章扶梯问题第二部分计数第一章乘法原理第二章几何计数第三章加法原理第四章排列第五章组合第三部分几何第一章风筝模型和梯形蝴蝶定理第二章三角形等高模型第三章鸟头模型第四章图形的分割与拼接第四部分计算第一章整数小数四则运算第二章多位数计算第三章换元法与常用计算结论第四章平方差公式和完全平方公式第五部分应用题第一章列方程解应用题第二章一元一次方程解法综合第六部分杂题第一章抽屉原理第二章统筹规划第三章游戏与策略第一部分----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------行程----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程=速度⨯时间总路程=平均速度⨯总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和⨯相遇时间=相遇路程速度差⨯追及时间=追及路程；（三）、火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度;一个有长度、但没速度;解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间；2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度;一个没长度、没速度;解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；2、火车＋人：一个有长度、有速度;一个没长度、但有速度; （1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题;解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题;解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；知识框架第一章 火车过桥和火车与人的相遇追及（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度 人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车＋火车：一个有长度、有速度;一个也有长度、有速度; （1）错车问题：相当于相遇问题;解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题;解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目;在分析题目的时候一定得结合着图来进行。

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。

小学生数学计数问题练习题题1：一共有10个小朋友，他们很喜欢玩积木。

小明比小杰多玩了3个积木，小杰比小强少玩了4个积木，小强又比小丽多玩了2个积木。

那么小丽一共玩了多少个积木？解析：设小丽玩的积木数为x，根据题意可得小明玩的积木数为x+3，小杰玩的积木数为x+3-4=x-1，小强玩的积木数为x-1+2=x+1。

根据题意将上述数量相加，并将结果等于10，得到方程：x + (x + 3) + (x - 1) + (x + 1) = 10。

化简得4x + 4 = 10，继续化简得4x = 6，最终解得x = 1.5。

因为小丽的积木数应为整数，所以小丽一共玩了1.5个积木。

题2：甲、乙、丙三位同学一起参加了一个比赛，根据获得的奖牌数，已知甲获得了5个金牌，乙获得了3个金牌和2个银牌，丙获得了4个银牌和1个铜牌。

请问，他们一共获得了多少个奖牌？解析：甲获得金牌5个，乙获得金牌3个，丙获得金牌0个。

甲获得银牌0个，乙获得银牌2个，丙获得银牌4个。

甲获得铜牌0个，乙获得铜牌0个，丙获得铜牌1个。

将各项奖牌数量相加，可得甲乙丙三人总共获得的奖牌数量为5 + 3 + 2 + 4 + 1 = 15个奖牌。

题3：小智拥有一些钢笔和铅笔，总共25支，其中铅笔的数量比钢笔的数量多3支。

请问小智一共有多少支铅笔？解析：设小智拥有的钢笔数量为x支，根据题意可以得知铅笔的数量为x+3支。

根据题意将钢笔和铅笔数量相加，并将结果等于25，得到方程：x+ (x + 3) = 25。

化简得2x + 3 = 25，继续化简得2x = 22，最终解得x = 11。

因为小智的钢笔数量为11支，所以小智一共有11 + 3 = 14支铅笔。

题4：班级里有30个学生，其中一半是男生，另一半是女生。

如果班级里的男生人数比女生人数多4个，那么男生和女生各有多少人？解析：设班级里的男生人数为x人，根据题意可以得知女生的人数也为x 人。

根据题意将男生和女生人数相加，并将结果等于班级总人数30人，得到方程：x + x = 30。

小学生奥数几何、计数、计算练习题1.小学生奥数几何练习题篇一一、填空1、两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个（）形或（）形或（）形。

2、两个完全相同的梯形可能拼成一个（）形或（）形或（）形。

3、当梯形的上底与下底相等时，梯形就变成（）形。

4、平行四边形的面积公式是（）。

5、一个平行四边形和一个三角形的面积相等，而且它们的的底边也相等，三角形的高是10厘米，平行四边形的高是（）。

二、判断题1、两个三角形可以拼成一个平行四边形。

（）2、一个梯形可以分成两个大小、形状完全相同的三角形。

（）3、等腰梯形的对角线相等。

（）4、两个形状相同、大小相等的直角梯形一定能拼成一个平行四边形。

（）5、平行四边形、菱形、等腰梯形都是轴对称图形。

（）6、只有一组对边平行的图形叫做梯形。

（）7、举一反三：有一组对边平行的四边形叫做梯形。

（）8、两个大小相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。

（）9、两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形。

（）2.小学生奥数几何练习题篇二例题：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的`面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。

（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）练习：（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。

1.掌握計數常用方法；2.熟記一些計數公式及其推導方法；3.根據不同題目靈活運用計數方法進行計數．本講主要介紹了計數的常用方法枚舉法、標數法、樹狀圖法、插板法、對應法等，並滲透分類計數和用容斥原理的計數思想．一、幾何計數在幾何圖形中，有許多有趣的計數問題，如計算線段的條數，滿足某種條件的三角形的個數，若干個圖分平面所成的區域數等等．這類問題看起來似乎沒有什麼規律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些處理方法的．常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．n 條直線最多將平面分成21223(2)2n n n ++++=++……個部分；n 個圓最多分平面的部分數為n (n -1)+2；n 個三角形將平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 個四邊形將平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其他計數問題中，也經常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．解題時需要仔細審題、綜合所學知識點逐步求解．排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先後順序有關；組合問題與各事物所在的先後順序無關，只與這兩個組合中的元素有關．二、幾何計數分類數線段：如果一條線段上有n +1個點(包括兩個端點)（或含有n 個“基本線段”），那麼這n +1個點把這條線段一共分成的線段總數為n +(n -1)+…+2+1條數角：數角與數線段相似，線段圖形中的點類似於角圖形中的邊．數三角形：可用數線段的方法數如右圖所示的三角形（對應法），因為DE 上有15條線段，每條線段的兩端點與點A 相連，可構成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC 上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形．E DCB A數長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對於任意長方形（平行四邊形），教學目標知識要點7-8-3.幾何計數（三）若其橫邊上共有n 條線段，縱邊上共有m 條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn 個．模組一、立體幾何計數【例 1】 用同樣大小的正方體小木塊堆成如下圖的立體圖形，那麼一共用了__________塊小正方體。

小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。

其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。

本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。

一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。

它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。

二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。

对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。

对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。

例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。

三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。

顶点是指图形的两条边交汇的点。

对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。

例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。

四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。

对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。

对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。

例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。

五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。

假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。

首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。

接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。

最后，我们观察图形的对称性。

五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。

六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。

几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。

在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。

小学数学《几何计数》练习题（含答案）内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。

请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？【例4】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【例6】如右图，数数有多少个三角形？【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?【例9】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？【例10】数一数，各图中长方形的个数?【例11】带*的长方形有多少个？【例12】右图中有多少个长方形？【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？习题七1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？2．数一数，右图中有多少个角?3．数数右图中有多少条线段？4．如右图，数数有多少个三角形？5．数一数下图中有多少个正方形？6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*7．数一数，右图中共有多少个正方形?数线段【例15】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。

小学五年级数学思维专题训练—几何计数1．如右图所示，把一个正方体切去8个小角，那么这个新的立方体图形有____条棱。

2．下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的长方形有_____个。

3．如下图所示，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。

把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有_____种。

4．下图是由16个小正方形组成的大正方形，则在这个图中，共有_____个由小正方形组成的长方形（包括正方形）中包含“ ”。

5．下图中有_____个三角形。

6．如下图所示，两条线上有6个点。

试求出以6个点中任意3点为顶点构成的三角形一共有几个。

7.将4个小正方体拼在一起（正方体与正方体拼接的两个面要完全重合），共有_____种不同的拼法。

（旋转后相同算同一种拼法）8.如下图所示，在正方形的7个点中取4个格点作为顶点的四边形中，正方形有______个，取其中3个格点组成的等腰三角形有_______个。

9．下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有_____个，以图中3个点为顶点的三角形有______个。

10．一块木板上有13枚钉子（如左下图）。

用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。

请回答：可以构成多少个正方形？11．下图是半个正方形，它被分成了若干个小的等腰直角三角形，图中，正方形有_____个，三角形有_____个。

12．下图中三角形的个数是______。

13．下图中共有______个三角形。

14．如下图中共有______个正方形。

15．数一数下图中共有_____个三角形。

16．以下图36个方格点钟的4个点为顶点的正方形的个数为______。

17．在下图由10个点排成的长方形中，每边上相邻亮点的距离都是1厘米。

如果用其中的点连成三角形，那么面积是2平方厘米的三角形的个数是______。

小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（高难度）例题1：某小学六年级有10名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？解析：首先确定男生和女生的位置，男生和女生的位置可以互换，所以先计算男生和女生的排列方式。

男生和女生分别有10!和8!种排列方式。

但是男生和女生之间是需要相邻的（间隔排列），所以男生和女生的位置可以看作是一个整体，即总共有(10!)(8!)种排列方式。

因此，共有(10!)(8!)种不同的排列方式。

专项练习应用题：1. 某小学六年级有12名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？2. 某小学六年级有8名男生和6名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？3. 某小学六年级有15名男生和12名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？4. 某小学六年级有6名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？5. 某小学六年级有10名男生和9名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？6. 某小学六年级有7名男生和7名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？7. 某小学六年级有14名男生和15名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

问共有几种不同的排列方式？8. 某小学六年级有9名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。

几何计数知识框架一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

一、 分类数图形【例 1】 下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】 图中有______个正方形．例题精讲【巩固】 数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

CBA【例 5】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

3 小学奥数——几何图形试题及解析小学奥数——几何图形试题及解析一、选择题1. 下列各图形中，几何图形的个数最多的是：A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 长方形解析：该题考察学生对几何图形的辨识和计数能力。

正方形有4条边，矩形也有4条边，三角形有3条边，而长方形同样也有4条边。

因此，答案为D，长方形。

2. 以下哪个几何图形不是多边形？A. 正方形B. 圆形C. 五边形D. 六边形解析：多边形是一个有多个直线边的封闭图形。

正方形有4个边，五边形有5个边，六边形有6个边。

但圆形是一个由无限多个点组成的，边是由连续曲线组成的，因此圆形不是多边形。

答案为B，圆形。

二、填空题1. 三角形的内角和是____度。

解析：三角形的内角和是180度。

2. 矩形的对角线互相垂直且长度相等。

解析：矩形的对角线互相垂直且长度相等。

三、解答题1. 已知一个四边形的两个相邻内角分别是50度和100度，另外两个内角分别是多少度？解析：由四边形的内角和为360度可知两个未知角分别为360度 -50度 - 100度 = 210度。

因此，另外两个内角分别是210度。

2. 一个凸多边形的内角和是1620度，它有几个内角？解析：设凸多边形有n个内角。

由凸多边形的内角和为 (n-2) × 180度，可以得到 n × 180度 = 1620度。

解得 n = 9。

因此，该凸多边形有9个内角。

3. 如图所示，在正方形ABCD中，连接AC和BD两条对角线，交于点O。

若AD的长度为12cm，求AC的长度。

解析：由于正方形的对角线相等且互相垂直，可知AO和OC互相垂直，且AO = OC。

根据勾股定理，可以得到 AD^2 = AO^2 + OD^2，解得AO = OD = (12/√2)cm，而AC = AO + OC = 2AO = 2 × (12/√2)cm = 12√2 cm。

因此，AC的长度为12√2cm。

总结：通过以上的几何图形试题和解析，我们可以看到几何图形的基本概念和性质在小学奥数中起着重要的作用。

几何计数例题讲解板块一：基础题型1．如图，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？解：1,4+3+2+1=10段2，4×1+3×2+2×3+1×4=20厘米2．小明把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？解：1，（1+2+3+4）×3=30根2，（1+3+5+7）+（1+2+3+1）+（1+2）+1=27个3，27-2-2-1=22个3．如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？解：1+4+1=6个4．如图，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？解：5+4+1+1+1=12个6×2+10×2=28个5．如图，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？解：42+32+22+12=30个6．如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？解：C53×4+C42×5=70条C52×C42=60个7．如图，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？解：C52×C42-C52×4=208．如图，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？解：4×6+2×12=48个9．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？解：C123-4×3-4-4=200个10．如图，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、F、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？解：3×2+4+2+1=13个板块二：中档题型1．如图，数一数，图中有多少个三角形？解：25+10+6+3+1+3=48个2．如图，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．解：10+4×5+5=35个35-6=29个35+6×2=47个3．如图，数一数，图中有多少个三角形？解：35×2+3×5=85个4．如图，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）解：7+2+2+2+3+1=17个5．如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？解：4×4+3×3+2×2+1×1=30个6．如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？解：C102×C52=450个2×3×4×6=144个7．如图，数一数，图中共有多少个长方形？解：15×6+21×3-6×3=135个8．如图，数一数，图中共有多少个平行四边形？解：6×3+15+3×2+3+3=45个9．如图，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形，数一数，图中共有多少个梯形？解12×2+4×2+6×2+2+8+2=5610．如图，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？解：9+4×2+2×2=21个11．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图中，共有多少个不同的曲边形？解：10+10+10+5+1=36个12．如图，一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为l的三角形？解：6×7+8×2+8+4=70个板块三：拔高题型1．图中是一个等边三角形的点阵．以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）?解：等边有：9+3+1+2=15个等腰有：3+2×6+6+3=24个共39个2．如图，数一数，图中共有多少个三角形？解：C72×2+C31×2×4+1=67个3．如图，这是一个4x8的矩形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)包含有两个“★”的矩形共有多少个？(2)至少包含一个“★”的矩形有多少个？解：2×1×3×5=30个3×4×6+4×2×5×3-3×2×5=162个4．如图，在图中的3×3正方形格子中，格线的交点称为格点．例如：A，B，C这3个点都是格点，那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？解：4×4=16个5．如图，用12个点将圆周12等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？解：12×（4+3+2+1）=120个6．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形，在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？解：4×8+4×4+2×3+4×2+1=63个7．如图，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？解：4×6+8×（3+1+3+1）+4×（3+3+2+5+2）=148个8．如图，在3×3的方格表内，每个小正方形的面积均为1．请问：(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？解：（1）4个（2）4×10+2×4=48个（3）6×8+4×4+8+4×4+4=92个。

2019年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×2019的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?23．由20个边长为1的小正方形拼成一个45长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是。

学科培优数学“几何计数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在数学竞赛试题中,经常出现一些几何计数问题,所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,我们所使用的所有计数方法都离不开分类．知识梳理一、数线段如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”）,那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条二、数角数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边。

以OA为一条边的角有： E D∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C同样还有：∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个 B∠COD ,∠COE共2个 A ∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）三、数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形。

四、B M C线段AM与AE对应着长方形AMPE,AM与AG对应着长方形AMQG,AM与AB对应着长方形AMNBAM与EG对应着长方形EPQG,AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形,共6个长方形AD边上共有3条线段,其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形,所以共有3×6=18个长方形一般的,类似于这样的长方形（平行四边形）,若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个五、染色问题在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论,对所研究的对象进行“染色”,“染色”实质上是分类的一种形象化的表示,利用“染色”,可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来,从而使问题得到简明的解答。

【题型】应用题【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【答案】630【解析】把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2＝6根火柴；从上向下数第三层用了3×3＝9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20＝60根火柴．所以，总共要用火柴3×(1+2+3+…+20)＝630根．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【答案】13975【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】图19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?【答案】121【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121个．或直接数出有121个．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-4，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？【答案】216【解析】如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×6＝216个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【答案】100，10664【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．于是横向线段有(1+2+3+4)＝10种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)＝10种选法，则共有10×10＝100个长方形．这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)＝124×86＝10664(平方厘米)．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-6，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?【答案】36【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12×3＝36个正、长方形包含“*”．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】图19-7是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?【答案】130【解析】每个4×4正方形中有：边长为1的正方形4×4个；边长为2的正方形3×3个；边长为3的正方形2×2个，边长为4的正方形1×1个．总共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30个正方形．现在5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×5－5×4＝130．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】图19-8中共有多少个三角形?【答案】22【解析】边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】图19-9是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?【答案】6【解析】设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】如图19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【答案】20【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】在图19-1l中，共有多少个不同的三角形?【答案】85【解析】下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×2＝15个三角形，共计35×2+15＝85个三角形．【难度】难度5【知识点】几何计数【题目】如图19-12，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图19-13．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?【答案】11【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-14，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?【答案】32【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．(2)直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．(3)钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-15，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?【答案】200【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形．所以有12×11×10÷6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200个不同的三角形．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】如图19-16，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?【答案】12【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×3×2×1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7×6×5×4)÷24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．那么需要排除的情况有4×3＝12种．所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】数一数下列图形中各有多少条线段.【答案】15【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n 个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD 分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.② 3＋2＋1＝6（条）.③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数出下图中总共有多少个角.【答案】10【解析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数一数下图中总共有多少个角？【答案】55【解析】因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角. 所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，各个图形内各有多少个三角形？【答案】（1）6（2）10【解析】可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数. 【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【答案】60,30【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如右图中，共有多少个角？【答案】13【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【答案】100,12384【解析】①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；②所求的和是[][]51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯+++++++++++++++++++ 1448612384=⨯=(平方厘米)。